Касательное пространство Зарисского

В алгебраической геометрии касательное пространство Зариского — это конструкция, определяющая касательное пространство в точке P на алгебраическом многообразии V (и в более общем смысле). Она не пользуется дифференциальным исчислением , опираясь непосредственно на абстрактную алгебру , а в наиболее конкретных случаях только на теорию системы линейных уравнений .

Мотивация [ править ]

Например, предположим, что C — плоская кривая, определяемая полиномиальным уравнением

F ( X, Y ) = 0

и возьмем P за начало координат (0,0). Стирание членов более высокого порядка, чем 1, приведет к «линеаризованному» чтению уравнения.

Л ( Икс, Y ) = 0

в котором все члены X ^аИ ^б были отброшены, если a + b > 1 .

У нас есть два случая: L может быть 0 или это может быть уравнение прямой. В первом случае касательное пространство (Зарисского) к C в точке (0,0) представляет собой всю плоскость, рассматриваемую как двумерное аффинное пространство . Во втором случае касательное пространство — это линия, рассматриваемая как аффинное пространство. (Вопрос о происхождении возникает, когда мы принимаем P как общую точку на C ; лучше сказать «аффинное пространство», а затем отметить, что P — естественное начало, чем прямо настаивать на том, что это векторное пространство . )

Легко видеть, что над вещественным полем мы можем получить L через первые частные производные от F . Когда они оба равны 0 в точке P , у нас есть особая точка ( двойная точка , точка возврата или что-то более сложное). Общее определение состоит в том, что точки C особые — это случаи, когда касательное пространство имеет размерность 2.

Определение [ править ]

Кокасательное пространство локального кольца R с максимальным идеалом ${\mathfrak {m}}$ определяется как

{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}

где ${\mathfrak {m}}$ ² дается произведением идеалов . Это векторное пространство над полем вычетов k:= R/ ${\mathfrak {m}}$ . Его двойственное (как k -векторное пространство) называется касательным пространством к R . ^[1]

Это определение является обобщением приведенного выше примера на более высокие измерения: предположим, что дано аффинное алгебраическое многообразие V и точка v из V . Морально, моддинг ${\mathfrak {m}}$ ² соответствует исключению нелинейных членов из уравнений, определяющих V внутри некоторого аффинного пространства, в результате чего получается система линейных уравнений, определяющая касательное пространство.

Касательное пространство $T_{P}(X)$ и котангенс пространство $T_{P}^{*}(X)$ к схеме X в точке P является (ко)касательным пространством ${\mathcal {O}}_{X,P}$ . Из-за функториальности Spec естественное фактор-отображение $f:R\rightarrow R/I$ индуцирует гомоморфизм $g:{\mathcal {O}}_{X,f^{-1}(P)}\rightarrow {\mathcal {O}}_{Y,P}$ для X =Spec( R ), P точка в Y =Spec( R/I ). Это используется для встраивания $T_{P}(Y)$ в $T_{f^{-1}P}(X)$ . ^[2] Поскольку морфизмы полей инъективны, сюръекция полей вычетов, индуцированная g, является изоморфизмом. Тогда морфизм k кокасательных пространств индуцируется g , заданный формулой

{\mathfrak {m}}_{P}/{\mathfrak {m}}_{P}^{2}

\cong ({\mathfrak {m}}_{f^{-1}P}/I)/(({\mathfrak {m}}_{f^{-1}P}^{2}+I)/I)

\cong {\mathfrak {m}}_{f^{-1}P}/({\mathfrak {m}}_{f^{-1}P}^{2}+I)

\cong ({\mathfrak {m}}_{f^{-1}P}/{\mathfrak {m}}_{f^{-1}P}^{2})/\mathrm {Ker} (k).

Поскольку это сюръекция, транспонирование $k^{*}:T_{P}(Y)\rightarrow T_{f^{-1}P}(X)$ это инъекция.

для многообразия часто определяют ( Касательное и котасательное пространства аналогичным образом.)

Аналитические функции [ править ]

Если V — подмногообразие n -мерного векторного пространства, определенное идеалом I , то R = Fn _/ I , где Fn _— кольцо гладких/аналитических/голоморфных функций в этом векторном пространстве. Касательное пространство Зарисского в точке x есть

m _n / ( I+m _n²) ,

где m _n — максимальный идеал, состоящий из тех функций из F _n, которые обращаются в нуль в точке x .

В приведенном выше плоском примере I = ( F ( X,Y )), и I+m ² = ( L ( X,Y )) +m ².

Свойства [ править ]

Если R — нётерово размерность касательного пространства не меньше размерности R : локальное кольцо ,

\dim {{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}\geq \dim {R}}

R называется регулярным, если выполнено равенство. На более геометрическом языке, когда R — локальное кольцо многообразия V в точке v , можно также сказать, что v — регулярная точка. В противном случае ее называют особой точкой .

Касательное пространство имеет интерпретацию в терминах K [ t ] / ( t ²), двойственные числа для K ; на языке схем — морфизмы из Spec K [ t ] / ( t ²) схеме X над K соответствуют выбору рациональной точки x ∈ X(k) и элемента касательного пространства в точке x . ^[3] Поэтому говорят также о касательных векторах . См. также: касательное пространство к функтору .

Вообще говоря, размерность касательного пространства Зарисского может быть чрезвычайно велика. Например, пусть $C^{1}(\mathbf {R} )$ — кольцо непрерывно дифференцируемых вещественных функций на $\mathbf {R}$ . Определять $R=C_{0}^{1}(\mathbf {R} )$ быть кольцом ростков таких функций в начале координат. Тогда R — локальное кольцо и его максимальный идеал m состоит из всех ростков, обращающихся в нуль в начале координат. Функции $x^{\alpha }$ для $\alpha \in (1,2)$ определить линейно независимые векторы в коткасательном пространстве Зарисского ${\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}$ , поэтому размерность ${\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}$ это по крайней мере ${\mathfrak {c}}$ , мощность континуума. Размерность касательного пространства Зариского $({\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2})^{*}$ следовательно, по крайней мере $2^{\mathfrak {c}}$ . С другой стороны, кольцо ростков гладких функций в точке n -многообразия имеет n -мерное кокасательное пространство Зарисского. ^[а]