Рациональная точка

В теории чисел и алгебраической геометрии рациональной точкой алгебраического многообразия называется точка, координаты которой принадлежат заданному полю . Если поле не упоминается, то поле рациональных чисел обычно понимают . Если поле представляет собой поле действительных чисел , рациональную точку чаще называют действительной точкой .

Понимание рациональных точек является центральной целью теории чисел и диофантовой геометрии . Например, Великую теорему Ферма можно переформулировать так: для $n > 2$ кривая Ферма уравнения $x^{n}+y^{n}=1$ не имеет других рациональных точек, кроме $(1, 0)$ , $(0, 1)$ и, если $n$ четно, $(-1, 0)$ и $(0, -1)$ .

Определение [ править ]

Для данного поля $k$ и алгебраически замкнутого расширения $K$ поля $k$ аффинное многообразие $X$ над $k$ представляет собой множество общих нулей в $K. н$ набора полиномов с коэффициентами из $k$ :

{\begin{aligned}&f_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n})=0,\\&\qquad \quad \vdots \\&f_{r}(x_{1},\dots ,x_{n})=0.\end{aligned}}

нули называются точками X $Эти общие$ .

k $,$ - рациональная точка (или $k$ - точка ) $X$ — это точка $X$ принадлежащая $k н$ , то есть последовательность $(a_{1},\dots ,a_{n})$ из $n$ элементов $числа k$ таких, что $f_{j}(a_{1},\dots ,a_{n})=0$ для всех $j$ . Множество $k$ -рациональных точек $X$ часто обозначается $X (k)$ .

Иногда, когда поле $k$ понятно или когда $k$ — это поле $\mathbb {Q}$ о рациональных числах говорят «рациональная точка» вместо « $k$ -рациональная точка».

Например, рациональные точки единичного круга уравнения

x^{2}+y^{2}=1

это пары рациональных чисел

\left({\frac {a}{c}},{\frac {b}{c}}\right),

где $(a, b, c)$ — пифагорова тройка .

Эта концепция также имеет смысл в более общих условиях. X Проективное многообразие $в$ проективном пространстве. $\mathbb {P} ^{n}$ над полем $k$ можно определить совокупностью однородных полиномиальных уравнений от переменных $x_{0},\dots ,x_{n}.$ A $k$ -точка $\mathbb {P} ^{n},$ написано $[a_{0},\dots ,a_{n}],$ задается последовательностью из $n + 1$ элементов $k$ , а не всех нулей, с пониманием того, что умножение всех $a_{0},\dots ,a_{n}$ тем же ненулевым элементом $k$ дает одну и ту же точку в проективном пространстве. Тогда $k$ -точка $X$ означает $k$ -точку $\mathbb {P} ^{n}$ при котором данные многочлены обращаются в нуль.

В более общем смысле, пусть $X$ — схема над полем $k$ . Это означает, что морфизм схем $f : X \to Spec (k)$ задан . Тогда $k$ -точка $X$ означает сечение этого морфизма, то есть морфизм $a : Spec(k) \to X$ такой, что композиция $fa$ является тождественной на $Spec(k)$ . Это согласуется с предыдущими определениями, когда $X$ является аффинным или проективным многообразием (рассматриваемым как схема над $k$ ).

Когда $X$ — многообразие над алгебраически замкнутым полем $k$ , большая часть структуры $X$ определяется его множеством $X (k)$ из $k$ -рациональных точек. для общего поля $k$ Однако $X (k)$ дает лишь частичную информацию $X.$ о , для многообразия $X$ над полем $k$ и любого расширения поля $E$ поля $k$ X $,$ также определяет множество $X (E)$ E $В частности$ - рациональных точек X $, то есть$ множество решений уравнений, определяющих $X$ со значениями в $E$ .

Пример. Пусть $X$ — коническая кривая. $x^{2}+y^{2}=-1$ в аффинной плоскости $A 2$ над реальными цифрами $\mathbb {R} .$ Тогда множество действительных точек $X(\mathbb {R} )$ пусто, поскольку квадрат любого действительного числа неотрицательен. С другой стороны, в терминологии алгебраической геометрии алгебраическое многообразие $X$ над $\mathbb {R}$ не пусто, поскольку множество комплексных точек $X(\mathbb {C} )$ не пуст.

В более общем смысле, для схемы $X$ над коммутативным кольцом $R$ и любой коммутативной $R$ - алгеброй $S$ множество $X (S)$ - $S$ точек $X$ означает набор морфизмов $Spec(S) \to X$ над $Spec(R)$ . Схема $X$ определяется с точностью до изоморфизма функтором $S \mapsto X (S)$ ; это философия отождествления схемы с ее функтором точек . Другая формулировка состоит в том, что схема $X$ над $R$ определяет схему $X S$ над $S$ путем замены базы , и $S$ -точки $X$ (над $R$ ) могут быть отождествлены с $S$ -точками $X S$ (над $S$ ).

Теория диофантовых уравнений традиционно подразумевала изучение целых точек , то есть решений полиномиальных уравнений в целых числах. $\mathbb {Z}$ а не рациональное объяснение $\mathbb {Q} .$ Для однородных полиномиальных уравнений, таких как $x^{3}+y^{3}=z^{3},$ эти две проблемы по сути эквивалентны, поскольку каждую рациональную точку можно масштабировать до целой точки.

Рациональные точки на кривых [ править ]

Большую часть теории чисел можно рассматривать как исследование рациональных точек алгебраических многообразий, причем удобным вариантом являются гладкие проективные многообразия. Для гладких проективных кривых поведение рациональных точек сильно зависит от рода кривой.

Род 0 [ править ]

Всякая гладкая проективная кривая $X$ рода нуль над полем $k$ изоморфна конической кривой (степени 2) в $\mathbb {P} ^{2}.$ Если $X$ имеет $k$ -рациональную точку, то она изоморфна $\mathbb {P} ^{1}$ над $k$ , и поэтому его $k$ -рациональные точки полностью понятны. ^[1] Если $k$ — поле $\mathbb {Q}$ рациональных чисел (или, в более общем смысле, числового поля ), существует алгоритм определения того, имеет ли данная коника рациональную точку, основанный на принципе Хассе : коника над $\mathbb {Q}$ имеет рациональную точку тогда и только тогда, когда она имеет точку над всеми пополнениями $\mathbb {Q} ,$ то есть, закончилось $\mathbb {R}$ и все p -адические поля $\mathbb {Q} _{p}.$

Тип 1 [ править ]

Труднее определить, имеет ли кривая рода 1 рациональную точку. Принцип Хассе в этом случае не работает: например, по Эрнсту Зельмеру кубическая кривая $3x^{3}+4y^{3}+5z^{3}=0$ в $\mathbb {P} ^{2}$ имеет точку над всеми завершениями $\mathbb {Q} ,$ но нет рационального смысла. ^[2] Несоблюдение принципа Хассе для кривых рода 1 измеряется группой Тейта–Шафаревича .

Если $X$ — кривая рода 1 с $k$ -рациональной точкой $p0,$ то $X$ называется эллиптической кривой над $k$ . В этом случае $X$ имеет структуру коммутативной алгебраической группы (с $в p0$ качестве нулевого элемента), и поэтому множество $X (k)$ - рациональных $k$ точек является абелевой группой . Теорема Морделла -Вейля гласит, что для эллиптической кривой (или, в более общем плане, абелева многообразия ) $X$ над числовым полем $k$ абелева группа $X (k)$ порождена конечно . Программы компьютерной алгебры могут определить группу Морделла-Вейля $X (k)$ во многих примерах, но неизвестно, существует ли алгоритм, который всегда успешно вычисляет эту группу. Это следовало бы из гипотезы о конечности группы Тейта–Шафаревича или из связанной с ней гипотезы Берча–Суиннертона–Дайера . ^[3]

Род минимум 2 [ править ]

Теорема Фалтингса (ранее гипотеза Морделла) утверждает, что для любой кривой $X$ рода не менее 2 над числовым полем $k$ множество $X (k)$ конечно. ^[4]

Некоторые из великих достижений теории чисел заключаются в определении рациональных точек на определенных кривых. Например, Великая теорема Ферма (доказанная Ричардом Тейлором и Эндрю Уайлсом ) эквивалентна утверждению, что для целого числа $n$ не менее 3 единственные рациональные точки кривой $x^{n}+y^{n}=z^{n}$ в $\mathbb {P} ^{2}$ над $\mathbb {Q}$ очевидны: $[0,1,1]$ и $[1,0,1]$ ; $[0,1,-1]$ и $[1,0,-1]$ для $четного n$ ; и $[1,-1,0]$ для $n$ нечетных. Кривая $X$ (как и любая гладкая кривая степени $n$ в $\mathbb {P} ^{2}$ ) имеет род ${\tfrac {(n-1)(n-2)}{2}}.$

Неизвестно, существует ли алгоритм нахождения всех рациональных точек на произвольной кривой рода не менее 2 над числовым полем. Есть алгоритм, который работает в некоторых случаях. Его прекращение, вообще говоря, следовало бы из гипотез о том, что группа Тейта–Шафаревича абелева многообразия над числовым полем конечна и что препятствие Брауэра–Манина является единственным препятствием для принципа Хассе в случае кривых. ^[5]

Высшие измерения [ править ]

Разновидности с небольшим количеством рациональных точек [ править ]

В более высоких измерениях одной объединяющей целью является Бомбьери – Ланга гипотеза о том, что для любого многообразия $X$ общего типа над числовым полем $k$ множество $k$ -рациональных точек $X$ не является плотным по Зарисскому в $X$ . (То есть $k$ -рациональные точки содержатся в конечном объединении подмногообразий меньшей размерности $X$ .) В размерности 1 это в точности теорема Фалтингса, поскольку кривая имеет общий тип тогда и только тогда, когда она имеет род не менее 2. Ланг также выдвинул более тонкие гипотезы, связывающие конечность рациональных точек с гиперболичностью Кобаяши . ^[6]

Например, гипотеза Бомбьери–Ланга предсказывает, что гладкая гиперповерхность степени $d$ в проективном пространстве $\mathbb {P} ^{n}$ над числовым полем не имеет плотных рациональных точек по Зарисскому, если $d \geq n + 2$ . Об этом случае известно не так много. Самым сильным известным результатом по гипотезе Бомбьери–Ланга является теорема Фалтингса о подмногообразиях абелевых многообразий (обобщающая случай кривых). А именно, если $X$ — подмногообразие абелева многообразия $A$ над числовым полем $k$ , то все $k$ -рациональные точки $X$ содержатся в конечном объединении сдвигов абелевых подмногообразий, содержащихся $X.$ в ^[7] (Поэтому, если $X$ не содержит переведенных абелевых подмногообразий положительной размерности, то $X (k)$ конечно.)

Сорта со многими рациональными точками [ править ]

В противоположном направлении говорят, что многообразие $X$ над числовым полем $k$ имеет потенциально плотные рациональные точки, если существует конечное поле расширения $E$ поля $k$ такое, что $E$ -рациональные точки $X$ являются плотными по Зарисскому в $X$ . Фредерик Кампана предположил, что многообразие потенциально плотно тогда и только тогда, когда оно не имеет рационального расслоения над положительномерным орбифолдом общего типа. ^[8] Известен случай: каждая кубическая поверхность в $\mathbb {P} ^{3}$ над числовым полем $k$ имеет потенциально плотные рациональные точки, потому что (более строго) оно становится рациональным над некоторым конечным расширением $k$ (если только оно не является конусом над плоской кубической кривой). Гипотеза Кампаны также подразумевала бы, что поверхность $X$ K3 (такая как гладкая поверхность четвертой степени в $\mathbb {P} ^{3}$ ) над числовым полем имеет потенциально плотные рациональные точки. Это известно только в особых случаях, например, если $X$ имеет эллиптическое расслоение . ^[9]

Можно спросить, когда разнообразие имеет рациональную точку без расширения основного поля. В случае гиперповерхности $X$ степени $d$ в $\mathbb {P} ^{n}$ над числовым полем хорошие результаты получаются, когда $d$ намного меньше $n$ , часто на основе метода круга Харди-Литтлвуда . Например, теорема Хассе-Минковского гласит, что принцип Хассе справедлив для квадратичных гиперповерхностей над числовым полем (случай $d = 2$ ). Кристофер Хули доказал принцип Хассе для гладких кубических гиперповерхностей в $\mathbb {P} ^{n}$ над $\mathbb {Q}$ когда $n \geq 8$ . ^[10] В более высоких измерениях верно еще больше: каждый гладкий куб в $\mathbb {P} ^{n}$ над $\mathbb {Q}$ имеет рациональную точку, когда $n \geq 9$ , Роджер Хит-Браун . ^[11] В более общем смысле, теорема Берча гласит, что для любого нечетного положительного целого числа $d$ существует целое число $N$ такое, что для всех $n \geq N$ каждая гиперповерхность степени $d$ в $\mathbb {P} ^{n}$ над $\mathbb {Q}$ имеет рациональный смысл.

Для гиперповерхностей меньшей размерности (по степени) дело обстоит сложнее. Например, принцип Хассе не работает для гладкой кубической поверхности. $5x^{3}+9y^{3}+10z^{3}+12w^{3}=0$ в $\mathbb {P} ^{3}$ над $\mathbb {Q} ,$ Ян Касселс и Ричард Гай. ^[12] Жан-Луи Коллио-Телен предположил, что препятствие Брауэра-Манена является единственным препятствием для принципа Хассе для кубических поверхностей. В более общем смысле это должно справедливо для любого рационально связного многообразия числового поля. ^[13]

В некоторых случаях известно, что $X$ имеет «много» рациональных точек всякий раз, когда у него есть одна. Например, расширяя работу Бениамино Сегре и Юрия Манина , Янош Коллар показал: для кубической гиперповерхности $X$ размерности не менее 2 над совершенным полем $k$ , где $X$ не является конусом, $X$ является унирациональным над $k$ , если оно имеет $k$ -рациональную точку. . ^[14] (В частности, для $бесконечного k$ унирациональность означает, что множество $k$ -рациональных точек плотно по Зарисскому в $X$ .) Гипотеза Манина - это более точное утверждение, которое описывает асимптотику числа рациональных точек ограниченной высоты на множестве Фано . разнообразие .

Подсчет точек по конечным полям [ править ]

Многообразие $X$ над конечным полем $k$ имеет лишь конечное число $k$ -рациональных точек. Гипотезы Вейля , доказанные Андре Вейлем в размерности 1 и Пьером Делинем в любой размерности, дают сильные оценки количества $k$ -точек в терминах Бетти чисел $X$ . Например, если $X$ — гладкая проективная кривая рода $g$ над полем $k$ порядка $q$ (простая степень), то

{\big |}|X(k)|-(q+1){\big |}\leq 2g{\sqrt {q}}.

Для гладкой гиперповерхности $X$ степени $d$ в $\mathbb {P} ^{n}$ над полем $k$ порядка $q$ теорема Делиня дает оценку: ^[15]

{\big |}|X(k)|-(q^{n-1}+\cdots +q+1){\big |}\leq {\bigg (}{\frac {(d-1)^{n+1}+(-1)^{n+1}(d-1)}{d}}{\bigg )}q^{(n-1)/2}.

Есть также важные результаты о том, когда проективное многообразие над конечным полем $k$ имеет хотя бы одну $k$ -рациональную точку. Например, из теоремы Шевалле–Уорнинга следует, что любая гиперповерхность $X$ степени $d$ в $\mathbb {P} ^{n}$ над конечным полем $k$ имеет $k$ -рациональную точку, если $d ⩽ n$ . Для гладкого $X$ это также следует из Элен Эно теоремы о том, что каждое гладкое проективное рационально цепное связное многообразие, например каждое многообразие Фано, над конечным полем $k$ имеет $k$ -рациональную точку. ^[16]

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

^ Хиндри и Сильверман (2000), Теорема A.4.3.1.
^ Сильверман (2009), Примечание X.4.11.
^ Сильверман (2009), Гипотеза X.4.13.
^ Хиндри и Сильверман (2000), Теорема E.0.1.
^ Скоробогатов (2001), раздел 6,3.
^ Хиндри и Сильверман (2000), раздел F.5.2.
^ Хиндри и Сильверман (2000), Теорема F.1.1.1.
^ Кампана (2004), Гипотеза 9.20.
^ Хассетт (2003), Теорема 6.4.
^ Хули (1988), Теорема.
^ Хит-Браун (1983), Теорема.
^ Коллио-Телен, Каневский и Сансук (1987), раздел 7.
^ Коллио-Телен (2015), раздел 6.1.
^ Коллар (2002), Теорема 1.1.
^ Кац (1980), раздел II.
^ Эно (2003), Следствие 1.3.

Ссылки [ править ]

Кампана, Фредерик (2004), «Орбифолды, специальные разновидности и теория классификации» (PDF) , Annales de l'Institut Fourier , 54 (3): 499–630, doi : 10.5802/aif.2027 , MR 2097416
Коллио-Телен, Жан-Луи ; Каневский, Дмитрий; Сансук, Жан-Жак (1987), «Арифметика диагональных кубических поверхностей», Диофантова аппроксимация и теория трансцендентности , Конспект лекций по математике, том. 1290, Springer Nature , с. 1–108, номер домена : 10.1007/BFb0078705 , ISBN. 978-3-540-18597-0 , МР 0927558
Эно, Элен (2003), «Многообразия над конечным полем с тривиальной группой Чоу 0-циклов имеют рациональную точку», Inventiones Mathematicae , 151 (1): 187–191, arXiv : math/0207022 , Bibcode : 2003InMat.151 ..187E , doi : 10.1007/s00222-002-0261-8 , MR 1943746
Хассетт, Брендан (2003), «Потенциальная плотность рациональных точек на алгебраических многообразиях», Многомерности более высокой размерности и рациональные точки (Будапешт, 2001) , Математические исследования Общества Боляи, том. 12, Springer Nature , стр. 223–282, номер документа : 10.1007/978-3-662-05123-8_8 , ISBN. 978-3-642-05644-4 , МР 2011748
Хит-Браун, Д.Р. (1983), «Кубические формы с десятью переменными», Труды Лондонского математического общества , 47 (2): 225–257, doi : 10.1112/plms/s3-47.2.225 , MR 0703978
Хиндри, Марк; Сильверман, Джозеф Х. (2000), Диофантова геометрия: введение , Springer Nature , ISBN 978-0-387-98981-5 , МР 1745599
Хули, Кристофер (1988), «О ненарных кубических формах», Журнал чистой и прикладной математики , 1988 (386): 32–98, doi : 10.1515/crll.1988.386.32 , MR 0936992
Кац, Н.М. (1980), «Работа Пьера Делиня» (PDF) , Труды Международного конгресса математиков (Хельсинки, 1978) , Хельсинки: Academia Scientiarum Fennica , стр. 47–52 MR0562594 ,
Коллар, Янош (2002), «Унирациональность кубических гиперповерхностей», Журнал Математического института Жюссье , 1 (3): 467–476, arXiv : math/0005146 , doi : 10.1017/S1474748002000117 , MR 1956057
Пунен, Бьорн (2017), Рациональные точки зрения на многообразия , Американское математическое общество , ISBN 978-1-4704-3773-2 , МР 3729254
Сильверман, Джозеф Х. (2009) [1986], Арифметика эллиптических кривых (2-е изд.), Springer Nature , ISBN 978-0-387-96203-0 , МР 2514094
Скоробогатов, Алексей (2001), Торсоры и рациональные точки , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-80237-6 , МР 1845760

Внешние ссылки [ править ]

Коллио-Телен, Жан-Луи (2015), Локально-глобальные принципы для рациональных точек и нулевых циклов (PDF)

[1] Хиндри и Сильверман (2000), Теорема A.4.3.1.

[2] Сильверман (2009), Примечание X.4.11.

[3] Сильверман (2009), Гипотеза X.4.13.

[4] Хиндри и Сильверман (2000), Теорема E.0.1.

[5] Скоробогатов (2001), раздел 6,3.

[6] Хиндри и Сильверман (2000), раздел F.5.2.

[7] Хиндри и Сильверман (2000), Теорема F.1.1.1.

[8] Кампана (2004), Гипотеза 9.20.

[9] Хассетт (2003), Теорема 6.4.

[10] Хули (1988), Теорема.

[11] Хит-Браун (1983), Теорема.

[12] Коллио-Телен, Каневский и Сансук (1987), раздел 7.

[13] Коллио-Телен (2015), раздел 6.1.

[14] Коллар (2002), Теорема 1.1.

[15] Кац (1980), раздел II.

[16] Эно (2003), Следствие 1.3.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]