Эллиптическая поверхность

В математике эллиптическая поверхность — это поверхность, которая имеет эллиптическое расслоение , другими словами, собственный морфизм со связными слоями в алгебраическую кривую , при этом почти все слои являются гладкими кривыми рода 1. (Над алгебраически замкнутым полем, таким как комплексное числа , эти слои представляют собой эллиптические кривые , возможно, без выбранного начала координат.) Это эквивалентно тому, что общий слой является гладкой кривой рода один. Это следует из правильного изменения базы .

Поверхность и базовая кривая предполагаются неособыми ( комплексные многообразия или регулярные схемы , в зависимости от контекста). Слои, не являющиеся эллиптическими кривыми, называются сингулярными слоями и были классифицированы Кунихико Кодайрой . И эллиптические, и сингулярные слои важны в теории струн , особенно в F-теории .

Эллиптические поверхности образуют большой класс поверхностей, который содержит множество интересных примеров поверхностей и относительно хорошо изучены в теориях комплексных многообразий и гладких 4-многообразий . Они подобны (то есть имеют аналогию) эллиптическим кривым над числовыми полями .

Примеры

• Произведение любой эллиптической кривой на любую кривую представляет собой эллиптическую поверхность (без особых слоев).
• Все поверхности размерности Кодайры 1 являются эллиптическими поверхностями.
• Каждая комплексная поверхность Энриквеса является эллиптической и имеет эллиптическое расслоение над проективной прямой.
• Поверхности Кодаира
• Поверхности Долгачева
• Модульные поверхности Sida

Таблица особых волокон Кодайры

Большинство слоев эллиптического расслоения представляют собой (неособые) эллиптические кривые. Остальные слои называются особыми слоями: их конечное число, и каждый состоит из объединения рациональных кривых, возможно, с особенностями или ненулевой кратностью (поэтому слои могут представлять собой неприводимые схемы). Кодайра и Нерон независимо классифицировали возможные слои, а алгоритм Тейта можно использовать для определения типа слоев эллиптической кривой в числовом поле.

В следующей таблице перечислены возможные слои минимального эллиптического расслоения. («Минимальный» означает примерно тот, который нельзя факторизовать через «меньший»; точнее, особые слои не должны содержать гладких рациональных кривых с числом самопересечения −1.) Это дает:

• Символ волокна Кодайры,
• Андре Нерона . Символ волокна
• Число неприводимых компонент слоя (все рациональные, кроме типа I ₀ )
• Матрица пересечения компонентов. Это либо нулевая матрица 1×1 , либо аффинная матрица Картана , для которой диаграмма Дынкина . задана
• Кратность каждого волокна указана на диаграмме Дынкина.

Кодайра	Нерон	Компоненты	Матрица пересечений	Диаграмма Дынкина	Волокно
я 0	А	1 (эллиптический)	0
я 1	Б 1	1 (с двойной точкой)	0
я 2	BБ2	2 (2 отдельные точки пересечения)	аффинный А 1
Я v (v≥2)	Б в	v (v различных точек пересечения)	аффинный A v-1
м I v (v≥0, м ≥2)		I v с кратностью m
II	С 1	1 (с острием)	0
III	С 2	2 (встречаемся в одной точке заказа 2)	аффинный А 1
IV	С 3	3 (все встречаются в 1 балле)	аффинный А 2
я 0 *	С 4	5	аффинный D 4
я в * (v≥1)	С 5,в	5+v	affine D 4+v
IV *	CС6	7	аффинный E 6
III *	CС7	8	аффинный E 7
II *	С 8	9	аффинный E 8

Эту таблицу можно найти следующим образом. Геометрические рассуждения показывают, что матрица пересечения компонент слоя должна быть отрицательно полуопределенной, связной, симметричной и не иметь диагональных элементов, равных −1 (по минимальности). Такая матрица должна быть равна 0 или кратна матрице Картана аффинной диаграммы Дынкина типа ADE .

Матрица пересечений определяет тип волокна за тремя исключениями:

• Если матрица пересечения равна 0, волокно может быть либо эллиптической кривой (тип I ₀ ), либо иметь двойную точку (тип I ₁ ), либо точку возврата (тип II).
• Если матрица пересечений аффинна A ₁ , то имеются 2 компонента с кратностью пересечения 2. Они могут встречаться либо в 2 точках с порядком 1 (тип I ₂ ), либо в одной точке с порядком 2 (тип III).
• Если матрица пересечений аффинна A ₂ , существует три компонента, каждый из которых соответствует двум другим. Они могут встречаться либо парами в 3 различных точках (тип I ₃ ), либо все встречаться в одной точке (тип IV).

Monodromy

Монодромия определителем вокруг каждого особого слоя — это четко определенный класс сопряженности в группе SL(2, Z ) целочисленных матриц размера 2 × 2 с 1. Монодромия описывает способ, которым первая группа гомологий гладкого слоя (которая изоморфна З ² ) меняется по мере того, как мы обходим особое волокно. Представители этих классов сопряженности, связанных с особыми слоями, имеют вид:

Волокно	Матрица пересечений	Монодромия	j -инвариант	Групповая структура на гладком локусе
В ​	аффинный A ν-1	${\begin{pmatrix}1&\nu \\0&1\end{pmatrix}}$	$\infty$	$\mathbf {Z} /\nu \times \mathbf {C} ^{*}$
II	0	${\begin{pmatrix}1&1\\-1&0\end{pmatrix}}$	0	$\mathbf {C}$
III	аффинный А 1	${\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}$	1728	$\mathbf {Z} /2\times \mathbf {C}$
IV	аффинный А 2	${\begin{pmatrix}0&1\\-1&-1\end{pmatrix}}$	0	$\mathbf {Z} /3\times \mathbf {C}$
я 0 *	аффинный D 4	${\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$	в $\mathbf {C}$	$(\mathbf {Z} /2)^{2}\times \mathbf {C}$
В ​ * (ν≥1)	аффинный D 4+ν	${\begin{pmatrix}-1&-\nu \\0&-1\end{pmatrix}}$	$\infty$	$(\mathbf {Z} /2)^{2}\times \mathbf {C}$ если ν четное, $\mathbf {Z} /4\times \mathbf {C}$ если ν нечетно
IV *	аффинный E 6	${\begin{pmatrix}-1&-1\\1&0\end{pmatrix}}$	0	$\mathbf {Z} /3\times \mathbf {C}$
III *	аффинный E 7	${\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}$	1728	$\mathbf {Z} /2\times \mathbf {C}$
II *	аффинный E 8	${\begin{pmatrix}0&-1\\1&1\end{pmatrix}}$	0	$\mathbf {C}$

Для сингулярных волокон типа II, III, IV, I ₀ ^* , IV ^* , III ^* , или II ^* , монодромия имеет конечный порядок в SL(2, Z ). Это отражает тот факт, что эллиптическое расслоение потенциально имеет хорошую редукцию в таком слое. То есть после разветвленного конечного покрытия базовой кривой особый слой можно заменить гладкой эллиптической кривой. Какая именно гладкая кривая появится, описывается j-инвариантом в таблице. Над комплексными числами кривая с j -инвариантом 0 является единственной эллиптической кривой с группой автоморфизмов порядка 6, а кривая с j -инвариантом 1728 является единственной эллиптической кривой с группой автоморфизмов порядка 4. (Все остальные эллиптические кривые имеют группа автоморфизмов порядка 2.)

Для эллиптического расслоения с сечением , называемого эллиптическим расслоением Якоби , гладкое место каждого слоя имеет групповую структуру. Для сингулярных слоев эта групповая структура на гладком локусе описана в таблице, предполагая для удобства, что базовым полем являются комплексные числа. (Для особого слоя с матрицей пересечений, заданной аффинной диаграммой Дынкина ${\tilde {\Gamma }}$, группа компонент гладкого локуса изоморфна центру односвязной простой группы Ли с диаграммой Дынкина $\Gamma$, как указано здесь .) Знание групповой структуры особых слоев полезно для вычисления группы Морделла-Вейля эллиптического расслоения (группы сечений), в частности его крученой подгруппы.

Каноническая формула расслоения

как эллиптические поверхности вписываются в классификацию поверхностей , важно вычислить каноническое расслоение минимальной эллиптической поверхности f : X → S. Чтобы понять , Над комплексными числами Кодайра доказал следующую формулу канонического расслоения :

$K_{X}=f^{*}(L)\otimes O_{S}{\big (}\sum _{i}(m_{i}-1)D_{i}{\big )}.$

Здесь кратные слои f (если есть) записываются как $f^{*}(p_{i})=m_{i}D_{i}$, для целого числа m _i не менее 2 и делителя D _i, коэффициенты которого имеют наибольший общий делитель, равный 1, а L — некоторое линейное расслоение на гладкой кривой S . Если S проективно (или, что то же самое, компактно), то L определяется S голоморфными эйлеровыми характеристиками и X , S : deg( L = χ( X , O _X ) − 2χ( ) O степень _S ). Из формулы канонического расслоения следует, что K _X -линейно эквивалентен Q возврату некоторого Q -дивизора на S ; здесь существенно, что эллиптическая поверхность X → S минимальна.

Основываясь на работе Кенджи Уэно , Такао Фудзита (1986) дал полезный вариант формулы канонического расслоения, показывающий, как K _X зависит от изменения гладких волокон. А именно, существует Q -линейная эквивалентность

$K_{X}\sim _{\bf {Q}}f^{*}(K_{S}+B_{S}+M_{S}),$

где дискриминантный дивизор BS _это — явный эффективный Q на S, ассоциированный с сингулярными слоями f , а дивизор модулей MS _— -дивизор $(1/12)j^{*}O(1)$, где j : S → P ¹ — функция, задающая j -инвариант гладких слоев. (Таким образом, является _MS Q -линейным классом эквивалентности Q -дивизоров, используя отождествление между группой классов дивизоров Cl( S ) и группой Пикара Pic( S ).) В частности, для S модулей MS _{проективного дивизора} имеет неотрицательную степень и имеет нулевую степень тогда и только тогда, когда эллиптическая поверхность изотривиальна, что означает, что все гладкие слои изоморфны.

Дискриминантный делитель в формуле Фудзиты определяется выражением

$B_{S}=\sum _{p\in S}(1-c(p))[p]$,

где c ( p ) — лог-канонический порог ${\text{lct}}(X,f^{*}(p))$. Это явное рациональное число от 0 до 1, зависящее от типа особого слоя. Явно, lct равен 1 для гладкого волокна или типа $I_{\nu }$, и это 1/ м для нескольких волокон ${}_{m}I_{\nu }$, 1/2 за $I_{\nu }^{*}$, 5/6 для II, 3/4 для III, 2/3 для IV, 1/3 для IV*, 1/4 для III* и 1/6 для II*.

Формула канонического расслоения (в форме Фудзиты) была обобщена Юджиро Каваматой и другими на семейства многообразий Калаби – Яу любой размерности.

Логарифмические преобразования

«Логарифмическое преобразование» перенаправляется сюда. Не путать с логарифмическим преобразованием данных .

Логарифмическое преобразование (порядка m с центром p ) эллиптической поверхности или расслоения превращает слой кратности 1 над точкой p базового пространства в слой кратности m . Его можно обратить вспять, поэтому все волокна с высокой кратностью можно превратить в волокна с кратностью 1, и это можно использовать для устранения всех кратных волокон.

Логарифмические преобразования могут быть весьма жестокими: они могут изменить размерность Кодайры и превратить алгебраические поверхности в неалгебраические поверхности.

Пример: Пусть L — решетка Z +i Z группы C , и пусть E — эллиптическая кривая C / L . Тогда отображение проекции из E × C в C является эллиптическим расслоением. Покажем, как заменить слой выше 0 на слой кратности 2.

Существует автоморфизм E × C порядка 2, который отображает ( c , s ) в ( c +1/2, −s ). Обозначим X как фактор E × C по этому групповому действию. Мы превращаем X в расслоенное пространство над C, отображая ( c , s ) в s ² . Мы строим изоморфизм от X минус слой над 0 до E × C минус слой над 0 путем отображения ( c , s ) в ( c -log( s )/2πi, s ² ). (Два слоя над 0 представляют собой неизоморфные эллиптические кривые, поэтому расслоение X заведомо не изоморфно расслоению E × C над всем C .)

Тогда расслоение X имеет слой кратности 2 над 0, а в остальном оно выглядит как E × C . Мы говорим, что X получено применением логарифмического преобразования порядка 2 к E × C с центром 0.

См. также

• Классификация Энрикеса-Кодайры
• Минимальная модель Нерона

Ссылки

• Барт, Вольф П .; Хулек, Клаус ; Питерс, Крис AM; Ван де Вен, Антониус (2004) [1984], Компактные комплексные поверхности , Springer , doi : 10.1007/978-3-642-57739-0 , ISBN  978-3-540-00832-3 , МР   2030225
• Коссек, Франсуа; Долгачев, Игорь (1989). Поверхности Энрикеса . Бостон: Биркхойзер . дои : 10.1007/978-1-4612-3696-2 . ISBN  3-7643-3417-7 . МР   0986969 .
• Кодайра, Кунихико (1963). «О компактных аналитических поверхностях. II». Энн. математики . 77 : 563–626. дои : 10.2307/1970131 . МР   0184257 . Збл   0118.15802 .
• Кодайра, Кунихико (1964). «О строении компактных комплексных аналитических поверхностей. I». Являюсь. Дж. Математика . 86 : 751–798. дои : 10.2307/2373157 . МР   0187255 . Збл   0137.17501 .
• Коллар, Янош (2007), «Формула канонического расслоения Кодайры и присоединение», Флипы для 3-х и 4-х кратностей , Oxford University Press , стр. 134–162, doi : 10.1093/acprof:oso/9780198570615.003.0008 , MR   2359346
• Нерон, Андре (1964). «Минимальные модели абелевых многообразий на локальных и глобальных телах» . Математические публикации IHÉS (на французском языке). 21 :5–128. дои : 10.1007/BF02684271 . МР   0179172 . Збл   0132.41403 .