Кодайра измерение

В алгебраической геометрии κ размерность Кодаиры ( X ) размер канонической модели проективного многообразия   X. измеряет

Игорь Шафаревич на семинаре представил важный численный инвариант поверхностей с обозначением κ . Сигэру Иитака расширил его и определил измерение Кодайра для разновидностей более высоких измерений (под названием канонического измерения), и позже назвал его в честь Кунихико Кодайры .

Многородовые

Каноническое расслоение гладкого алгебраического многообразия X размерности n над полем — это линейное расслоение -форм n :

$\,\!K_{X}=\bigwedge ^{n}\Omega _{X}^{1},$

является n- й внешней степенью кокасательного расслоения X что .Для целого числа d -я d тензорная степень K _X снова является линейным расслоением.При d ≥ 0 векторное пространство глобальных сечений H ⁰ ( Х , К _Х ^д ) обладает тем замечательным свойством, что является бирациональным инвариантом гладких проективных многообразий X . То есть это векторное пространство канонически отождествляется с соответствующим пространством для любого гладкого проективного многообразия, изоморфного X вне подмножеств меньшей размерности.

При d ≥ 0 d- определяется как размерность й плюрирод X векторного пространстваглобальных разделов K _X ^д :

$P_{d}=h^{0}(X,K_{X}^{d})=\dim H^{0}(X,K_{X}^{d}).$

Плюрироды — важные бирациональные инварианты алгебраического многообразия. В частности, самый простой способ доказать, что многообразие нерационально (т. е. не бирационально проективному пространству), — это показать, что некоторый плюрирод P _d с d > 0не равен нулю. Если пространство сечений K _X ^д не равно нулю, то существует естественное рациональное отображение X в проективное пространство

$\mathbf {P} (H^{0}(X,K_{X}^{d}))=\mathbf {P} ^{P_{d}-1},$

называется d - каноническим отображением . Каноническое кольцо R ( K _X ) многообразия X — это градуированное кольцо

$R(K_{X}):=\bigoplus _{d\geq 0}H^{0}(X,K_{X}^{d}).$

Также см. геометрический род и арифметический род .

Размерность Кодаиры X как определяется $-\infty$ если плюрироды P _d равны нулю для всех d > 0; в противном случае это минимальное κ такое, что P _d /d ^Мистер ограничен. Размерность Кодаиры n -мерного многообразия равна либо $-\infty$ или целое число в диапазоне от 0 до n .

измерения

Следующие целые числа равны, если они неотрицательны. Хорошей ссылкой является Лазарсфельд (2004) , теорема 2.1.33.

• Размер конструкции проекта $\operatorname {Proj} R(K_{X})$, проективное многообразие, называемое канонической моделью X , зависящее только от класса бирациональной эквивалентности X. (Это определяется только в том случае, если каноническое кольцо $R=R(K_{X})$конечно порождено, что верно в характеристике и в общем случае является гипотетическим.) нулевой
• Размерность образа d -канонического отображения для всех положительных кратных d некоторого натурального числа $d_{0}$.
• Степень трансцендентности поля дроби R минус один; т.е. $t-1$, где t — количество алгебраически независимых генераторов, которые можно найти.
• Скорость роста плюриродов: то есть наименьшее число κ такое, что $P_{d}/d^{\kappa }$ ограничен. В обозначениях Big O это минимальное κ такое, что $P_{d}=O(d^{\kappa })$.

Если одно из этих чисел неопределенное или отрицательное, то все они таковы. В этом случае измерение Кодаиры считается отрицательным или $-\infty$. В некоторых исторических источниках его определяют как −1, но тогда формула $\kappa (X\times Y)=\kappa (X)+\kappa (Y)$ не всегда выполняется, и формулировка гипотезы Иитаки усложняется. Например, измерение Кодайры $\mathbf {P} ^{1}\times X$ является $-\infty$ для всех разновидностей X .

Приложение

Размерность Кодаиры дает полезное грубое разделение всех алгебраических многообразий на несколько классов.

Сорта с низкой размерностью Кодаиры можно считать специальными, а сорта с максимальной размерностью Кодаиры называют сортами общего типа .

Геометрически существует очень грубое соответствие между размером Кодаиры и кривизной: отрицательный размер Кодайры соответствует положительной кривизне, нулевой размер Кодаиры соответствует плоскостности, а максимальный размер Кодаиры (общего типа) соответствует отрицательной кривизне.

Специальность многообразий малой кодайровской размерности аналогична особенности римановых многообразий положительной кривизны (а общий тип соответствует типичности неположительной кривизны); см. классические теоремы , особенно о суженной секционной кривизне и положительной кривизне .

Эти утверждения будут уточнены ниже.

Измерение 1

Гладкие проективные кривые дискретно классифицируются по роду , которым может быть любое натуральное число g = 0, 1, ....

Здесь «дискретно классифицированный» означает, что для данного рода существует неприводимое пространство модулей кривых этого рода.

Размерность Кодаиры кривой X равна:

• к = $-\infty$: род 0 ( проективная прямая P ¹ ): K _X неэффективен, P _d = 0 для всех d > 0 .
• κ = 0: род 1 ( эллиптические кривые ): K _X — тривиальное расслоение , P _d = 1 для всех d ≥ 0.
• κ = 1: род g ≥ 2: K _X обилен g , P _d = (2 d − 1)( − 1) для всех d ≥ 2.

Сравните с теоремой униформизации для поверхностей (реальных поверхностей, поскольку комплексная криваяимеет действительное измерение 2): измерение Кодайры $-\infty$ соответствует положительной кривизне, размер Кодайры 0 соответствует плоскостности, размер Кодаиры 1 соответствует отрицательной кривизне. Заметим, что большинство алгебраических кривых имеют общий тип: в пространстве модулей кривых две компоненты связности соответствуют кривым не общего типа, а все остальные компоненты соответствуют кривым общего типа. При этом пространство кривых рода 0 является точкой, пространство кривых рода 1 имеет (комплексную) размерность 1, а пространство кривых рода g ≥ 2 имеет размерность 3 g − 3.

классификационная таблица алгебраических кривых
Кодайра измерение 　к ( С )
	род C ​ : g ( C )	структура
$1$	$\geq 2$	кривая общего типа
$0$	$1$	эллиптическая кривая
$-\infty$	$0$	проективная линия $\mathbb {P} ^{1}$

Измерение 2

Классификация Энрикеса -Кодайры классифицирует алгебраические поверхности: грубо по размерности Кодайры, затем более подробно в пределах заданной размерности Кодайры. Приведем несколько простых примеров: продукт P ¹ × X имеет размерность Кодаиры $-\infty$ для любой кривой X ; произведение двух кривых рода 1 (абелева поверхность) имеет размерность Кодаиры 0; произведение кривой рода 1 на кривую рода не ниже 2 (эллиптическая поверхность) имеет размерность Кодаиры 1; и произведение двух кривых рода не ниже 2 имеет размерность Кодаиры 2 и, следовательно, имеет общий тип .

классификационная таблица алгебраических поверхностей
Кодайра измерение 　к ( С )
	геометрический род п г	неправильность д	структура
$2$			поверхность общего типа
$1$			эллиптическая поверхность
$0$	$1$	$2$	абелева поверхность
	$0$	$1$	гиперэллиптическая поверхность
	$1$	$0$	поверхность К3
	$0$	$0$	Район Энрикес
$-\infty$	$0$	$\geq 1$	линейчатая поверхность
	$0$	$0$	рациональная поверхность

Для поверхности X общего типа образ d -канонического отображения бирационален X, если d ≥ 5.

Любое измерение

Рациональные многообразия (бирациональные многообразия проективному пространству) имеют размерность Кодаиры. $-\infty$. Абелевы многообразия компактные комплексные торы ( проективные ) имеют нулевую размерность Кодаиры. В более общем смысле, многообразия Калаби – Яу (в размерности 1 — эллиптические кривые ; в размерности 2 — абелевы поверхности , поверхности K3 и факторы этих многообразий по конечным группам) имеют нулевую размерность Кодаиры (что соответствует допущению плоских метрик Риччи).

Любое многообразие нулевой характеристики, покрываемое рациональными кривыми (непостоянными отображениями из P ¹ ), называемое однолинейчатым многообразием, имеет размерность Кодаиры −∞. И наоборот, основные гипотезы теории минимальных моделей (в частности, гипотеза об изобилии) подразумевают, что каждое многообразие размерности Кодайры -∞ является неуправляемым. Это обратное известно для многообразий размерности не выше 3.

Сиу (2002) доказал инвариантность плюриродов относительно деформаций для всех гладких комплексных проективных многообразий. В частности, размерность Кодайры не меняется при непрерывном изменении сложной структуры многообразия.

классификационная таблица алгебраических троек
Кодайра измерение 　к ( С )
	геометрический род 　п г	неправильность д	примеры
$3$			тройной общего типа
$2$			расслоение над поверхностью с общим слоем - эллиптической кривой
$1$			расслоение над кривой с общим слоем - поверхность с κ = 0
$0$	$1$	$3$	абелева разновидность
	$0$	$2$	расслоение над абелевой поверхностью, слои которой представляют собой эллиптические кривые
	$0$ или $1$	$1$	расслоение над эллиптической кривой, слоями которой являются поверхности с κ = 0
	$0$ или $1$	$0$	Калаби – Сегодня 3 раза
$-\infty$	$0$	$\geq 1$	нерегулируемый 3-кратный
	$0$	$0$	рациональные трехмерные многообразия, Фано трехмерные многообразия и другие.

Расслоение . нормальных проективных многообразий X → Y означает сюръективный морфизм со связными слоями

Для трехмерного многообразия X общего типа образ d -канонического отображения бирационален X, если d ≥ 61.

Общий тип

См. также: Поверхность общего типа.

Многообразие общего типа X является многообразием максимальной размерности Кодаиры (размерность Кодайры равна его размерности):

$\kappa (X)=\dim X.$

Эквивалентные условия заключаются в том, что линейный пучок $K_{X}$ является big или что d -каноническое отображение является генерически инъективным (т. е. бирациональным отображением своего образа) для d достаточно большого .

Например, многообразие с обильным каноническим расслоением относится к общему типу.

В некотором смысле большинство алгебраических многообразий относятся к общему типу. Например, гладкая гиперповерхность степени d в n -мерном проективном пространстве имеет общий тип тогда и только тогда, когда $d>n+1$. В этом смысле большинство гладких гиперповерхностей в проективном пространстве относятся к общему типу.

Многообразия общего типа кажутся слишком сложными для явной классификации, даже для поверхностей. Тем не менее, имеются некоторые сильные положительные результаты в отношении сортов общего типа. Например, Энрико Бомбьери показал в 1973 году, что d -каноническое отображение любой комплексной поверхности общего типа бирационально для любого $d\geq 5$. В более общем смысле, Кристофер Хэкон и Джеймс МакКернан , Сигэхару Такаяма и Хадзиме Цудзи показали в 2006 году, что для каждого положительного целого числа n существует константа $c(n)$ такая, что d -каноническое отображение любого комплексного n -мерного многообразия общего типа бирационально, если $d\geq c(n)$.

Группа бирациональных автоморфизмов многообразия общего типа конечна.

Приложение к классификации

Пусть X — многообразие неотрицательной размерности Кодаиры над полем нулевой характеристики, и пусть B — каноническая модель X , B = Proj R ( X , K _X ); Размерность B равна размерности X. Кодайры Существует естественное рациональное отображение X – → B ; любой морфизм, полученный из него раздутием X и B, называется расслоением Иитаки . Гипотезы о минимальной модели и изобилии предполагают, что общий слой расслоения Иитаки может быть преобразован в многообразие Калаби – Яу , которое, в частности, имеет нулевую размерность Кодаиры. Более того, существует эффективный Q -дивизор ∆ на B (не единственный) такой, что пара ( B , ∆) klt , K _B + ∆ обильна и каноническое кольцо X совпадает с каноническим кольцом ( B , ∆) в степенях, кратных некоторому d > 0. В этом смысле X разлагается на семейство многообразий нулевой размерности Кодаиры над базой ( B , ∆) общего типа. (Заметим, что многообразие B само по себе не обязательно должно быть общего типа. Например, существуют поверхности размерности Кодайры 1, для которых расслоение Иитаки является эллиптическим расслоением над P ¹ .)

Учитывая упомянутые гипотезы, классификация алгебраических многообразий в значительной степени сводилась бы к случаям размерности Кодаиры. $-\infty$, 0 и общий тип. Для измерения Кодайра $-\infty$ и 0, существует несколько подходов к классификации. Гипотезы минимальной модели и изобилия подразумевают, что каждая разновидность измерения Кодайры $-\infty$ является нелинейчатым , и известно, что каждое нелинейчатое многообразие нулевой характеристики бирационально расслоению Фано . Гипотезы о минимальной модели и изобилии подразумевают, что каждое многообразие Кодайры размерности 0 бирационально многообразию Калаби-Яу с терминальными особенностями .

Гипотеза Иитаки утверждает, что размерность Кодаиры расслоения представляет собой по крайней мере сумму размерности Кодаиры базы и размерности Кодаиры общего слоя; см. Мори (1987) обзор . Гипотеза Иитаки вдохновила развитие теории минимальных моделей в 1970-х и 1980-х годах. Сейчас это известно во многих случаях и в целом следует из гипотез минимальной модели и изобилия.

Связь

Накамура и Уэно доказали следующую формулу аддитивности для комплексных многообразий ( Уэно (1975) ). Хотя базовое пространство не обязательно должно быть алгебраическим, предположение о том, что все слои изоморфны, весьма специфично. Даже при таком допущении формула может оказаться неверной, если волокно не является Мойшезоном.

Пусть π: V → W — аналитическое расслоение компактных комплексных многообразий, а это означает, что π является локальным произведением (и, следовательно, все слои изоморфны как комплексные многообразия). Предположим, что слой F является многообразием Мойшезона . Затем

$\kappa (V)=\kappa (F)+\kappa (W).$

См. также

• Список комплексных и алгебраических поверхностей
• Классификация Энрикеса-Кодайры
• Bogomolov–Sommese vanishing theorem

Ссылки

• Чен, Юнгкай А.; Чен, Мэн (2014), «Явная бирациональная геометрия трехмерных и четырехмерных многообразий общего типа, III», Compositio Mathematica , 151 (6): 1041–1082, arXiv : 1302.0374 , Bibcode : 2013arXiv1302.0374M , doi : 10.1112/S0010437X14007817 , S2CID   119123326
• Долгачев, Игорь (2001) [1994], «Измерение Кодаира» , Энциклопедия Математики , EMS Press
• Фуджино, Осаму; Мори, Сигэфуми (2000), «Формула канонического расслоения», Журнал дифференциальной геометрии , 56 (1): 167–188, doi : 10.4310/jdg/1090347529 , MR   1863025
• Иитака, Сигэру (1970), «О D-размерностях алгебраических многообразий», Proc. Япония Акад. , 46 (6): 487–489, doi : 10.3792/pja/1195520260 , MR   0285532
• Иитака, Сигэру (1971), «О D-размерностях алгебраических многообразий», J. Math. Соц. Япония. , 23 (2): 356–373, doi : 10.2969/jmsj/02320356 , MR   0285531
• Лазарсфельд, Роберт (2004), Позитивность в алгебраической геометрии , том. 1, Берлин: Springer-Verlag, номер документа : 10.1007/978-3-642-18808-4 , ISBN.  978-3-540-22533-1 , МР   2095471
• Мори, Сигефуми (1987), «Классификация многообразий более высокой размерности», Алгебраическая геометрия (Bowdoin, 1985) , Труды симпозиумов по чистой математике, том. 46, Часть 1, Американское математическое общество, стр. 269–331, MR   0927961.
• Shafarevich, Igor R. ; Averbuh, B. G.; Vaĭnberg, Ju. R.; Zhizhchenko, A. B.; Manin, Yuri I. ; Moĭshezon, Boris G. ; Tjurina, G. N.; Tjurin, A. N. (1965), "Algebraic surfaces", Akademiya Nauk SSSR. Trudy Matematicheskogo Instituta Imeni V. A. Steklova , 75 : 1–215, ISSN  0371-9685 , MR  0190143 , Zbl  0154.21001
• Сиу, Юм-Тонг (2002), «Расширение скрученных плюриканонических сечений с плюрисубгармоническим весом и инвариантностью полуположительно скрученных плюриродов для многообразий не обязательно общего типа», Комплексная геометрия (Геттинген, 2000) , Берлин: Springer-Verlag , стр. 223–277, МР   1922108
• Уэно, Кенджи (1975), Теория классификации алгебраических многообразий и компактных комплексных пространств , Конспект лекций по математике, том. 439, Шпрингер-Верлаг , MR   0506253