Арифметический род

В математике арифметический род алгебраического многообразия — одно из немногих возможных обобщений рода алгебраической кривой или римановой поверхности .

Проективные многообразия

Пусть X — проективная схема размерности r над полем k , арифметический род $p_{a}$ X определяется как

p_{a}(X)=(-1)^{r}(\chi ({\mathcal {O}}_{X})-1).

Здесь

\chi ({\mathcal {O}}_{X})

– эйлерова характеристика структурного пучка

{\mathcal {O}}_{X}

. ^[1]

Комплексные проективные многообразия [ править ]

Арифметический род комплексного проективного многообразия размерности n можно определить как комбинацию чисел Ходжа , а именно

p_{a}=\sum _{j=0}^{n-1}(-1)^{j}h^{n-j,0}.

Когда n=1 , формула принимает вид $p_{a}=h^{1,0}$ . Согласно теореме Ходжа , $h^{0,1}=h^{1,0}$ . Следовательно $h^{0,1}=h^{1}(X)/2=g$ , где g — обычное (топологическое) значение рода поверхности, поэтому определения совместимы.

Когда X — компактное кэлерово многообразие, применяя h ^{п , д} = час ^{д , п} восстанавливает более раннее определение проективных многообразий.

Многообразия Кэлера [ править ]

Используя ч ^{п , д} = час ^{д , п}для компактных кэлеровых многообразий это может быть переформулировано как эйлерова характеристика в когерентных когомологиях для структурного пучка ${\mathcal {O}}_{M}$ :

p_{a}=(-1)^{n}(\chi ({\mathcal {O}}_{M})-1).\,

Следовательно, это определение можно применить и к некоторым другим локально окольцованные пространства .

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

П. Гриффитс ; Дж. Харрис (1994). Основы алгебраической геометрии . Библиотека классической литературы Wiley (2-е изд.). Уайли Интерсайенс. п. 494. ИСБН 0-471-05059-8 . Збл 0836.14001 .
Рубей, Елена (2014), Алгебраическая геометрия, краткий словарь , Берлин/Бостон: Уолтер Де Грюйтер, ISBN 978-3-11-031622-3

^ Хартшорн, Робин (1977). Алгебраическая геометрия . Тексты для аспирантов по математике. Том. 52. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York. п. 230. дои : 10.1007/978-1-4757-3849-0 . ISBN 978-1-4419-2807-8 . S2CID 197660097 .

Дальнейшее чтение [ править ]

Хирцебрух, Фридрих (1995) [1978]. Топологические методы в алгебраической геометрии . Классика по математике. Перевод с немецкого и приложение №1 Р.Л.Э. Шварценбергера. Приложение второе А. Бореля (Отпечаток 2-го, корр. отпечатка 3-го изд.). Берлин: Springer-Verlag . ISBN 3-540-58663-6 . Збл 0843.14009 .

[1] Хартшорн, Робин (1977). Алгебраическая геометрия . Тексты для аспирантов по математике. Том. 52. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York. п. 230. дои : 10.1007/978-1-4757-3849-0 . ISBN 978-1-4419-2807-8 . S2CID 197660097 .

[1]

Проективные многообразия ​ ​