Когерентные когомологии пучков

В математике , особенно в алгебраической геометрии и теории комплексных многообразий , когомологии когерентных пучков — это метод получения функций с заданными свойствами. Многие геометрические вопросы можно сформулировать как вопросы о существовании сечений линейных расслоений или более общих когерентных пучков ; такие разделы можно рассматривать как обобщенные функции. Когомологии предоставляют вычислимые инструменты для создания разделов или объяснения того, почему они не существуют. Он также предоставляет инварианты, позволяющие отличить одно алгебраическое многообразие от другого.

Большая часть алгебраической геометрии и комплексной аналитической геометрии сформулирована в терминах когерентных пучков и их когомологий.

Когерентные пучки

Основная статья: Связный пучок

Когерентные пучки можно рассматривать как обобщение векторных расслоений . Существует понятие когерентного аналитического пучка на комплексном аналитическом пространстве и аналогичное понятие когерентного алгебраического пучка на схеме . В обоих случаях данное пространство $X$ в комплекте идет связка колец ${\mathcal {O}}_{X}$пучок голоморфных функций или регулярных функций и когерентные пучки определяются как полная подкатегория категории ${\mathcal {O}}_{X}$- модули (то есть связки ${\mathcal {O}}_{X}$-модули).

Векторные расслоения, такие как касательное расслоение, играют фундаментальную роль в геометрии. В более общем смысле для закрытого подмногообразия $Y$ из $X$ с включением $i:Y\to X$, векторное расслоение $E$ на $Y$ определяет когерентный пучок на $X$, пучок прямых изображений $i_{*}E$, который равен нулю снаружи $Y$. Таким образом, многие вопросы о подразновидностях $X$ можно выразить через когерентные пучки на $X$.

В отличие от векторных расслоений, когерентные пучки (в аналитическом или алгебраическом случае) образуют абелеву категорию , и поэтому они замкнуты относительно таких операций, как взятие ядер , изображений и коядер . На схеме квазикогерентные пучки являются обобщением когерентных пучков, включая локально свободные пучки бесконечного ранга.

Когомологии пучков

Для снопа ${\mathcal {F}}$ абелевых групп в топологическом пространстве $X$, пучков когомологий группы $H^{i}(X,{\mathcal {F}})$ для целых чисел $i$ определяются как правые производные функторы функтора глобальных сечений, ${\mathcal {F}}\mapsto {\mathcal {F}}(X)$. Как результат, $H^{i}(X,{\mathcal {F}})$ равен нулю для $i<0$, и $H^{0}(X,{\mathcal {F}})$ можно отождествить с ${\mathcal {F}}(X)$. Для любой короткой точной последовательности пучков $0\to {\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}\to {\mathcal {C}}\to 0$, существует длинная точная последовательность групп когомологий:

$0\to H^{0}(X,{\mathcal {A}})\to H^{0}(X,{\mathcal {B}})\to H^{0}(X,{\mathcal {C}})\to H^{1}(X,{\mathcal {A}})\to \cdots .$

Если ${\mathcal {F}}$ представляет собой сноп ${\mathcal {O}}_{X}$-модули на схеме $X$, то группы когомологий $H^{i}(X,{\mathcal {F}})$ (определяется с использованием основного топологического пространства $X$) являются модулями над кольцом ${\mathcal {O}}(X)$ регулярных функций. Например, если $X$ это схема над полем $k$, то группы когомологий $H^{i}(X,{\mathcal {F}})$ являются $k$- векторные пространства . Теория становится мощной, когда ${\mathcal {F}}$ является когерентным или квазикогерентным пучком в силу следующей последовательности результатов.

в аффинном

Комплексный анализ произвел революцию благодаря теоремам Картана A и B в 1953 году. Эти результаты говорят, что если ${\mathcal {F}}$ является когерентным аналитическим пучком в пространстве Штейна $X$, затем ${\mathcal {F}}$ охватывается его глобальными разделами и $H^{i}(X,{\mathcal {F}})=0$ для всех $i>0$. (сложное пространство $X$ является Штейном тогда и только тогда, когда оно изоморфно замкнутому аналитическому подпространству $\mathbb {C} ^{n}$ для некоторых $n$.) Эти результаты обобщают большую часть старых работ о построении комплексных аналитических функций с заданными особенностями или другими свойствами.

В 1955 году Серр ввёл в алгебраическую геометрию когерентные пучки (сначала над алгебраически замкнутым полем , но это ограничение было снято Гротендиком ). Аналоги теорем Картана имеют место в большой общности: если ${\mathcal {F}}$ представляет собой квазикогерентный пучок аффинной схемы $X$, затем ${\mathcal {F}}$ охватывается его глобальными разделами, и $H^{i}(X,{\mathcal {F}})=0$ для $i>0$. Это связано с тем, что категория квазикогерентных пучков на аффинной схеме $X$ эквивалентно ​ категории ${\mathcal {O}}(X)$-модули, эквивалентность которых берет пучок ${\mathcal {F}}$ к ${\mathcal {O}}(X)$-модуль $H^{0}(X,{\mathcal {F}})$. Фактически, среди всех квазикомпактных схем аффинные схемы характеризуются исчезновением высших когомологий для квазикогерентных пучков.

проективного пространства

Как следствие исчезновения когомологий для аффинных схем: для отделённой схемы $X$, аффинное открытое накрытие $\{U_{i}\}$ из $X$, и квазикогерентный пучок ${\mathcal {F}}$ на $X$, группы когомологий $H^{*}(X,{\mathcal {F}})$ изоморфны группам когомологий Чеха относительно открытого накрытия $\{U_{i}\}$. Другими словами, зная разделы ${\mathcal {F}}$ на всех конечных пересечениях аффинных открытых подсхем $U_{i}$ определяет когомологии $X$ с коэффициентами в ${\mathcal {F}}$.

Используя когомологии Чеха, можно вычислить когомологии проективного пространства с коэффициентами в любом линейном расслоении. А именно, для поля $k$, положительное целое число $n$и любое целое число $j$, когомологии проективного пространства $\mathbb {P} ^{n}$ над $k$ с коэффициентами в линейном пучке ${\mathcal {O}}(j)$ дается:

$H^{i}(\mathbb {P} ^{n},{\mathcal {O}}(j))\cong {\begin{cases}\bigoplus _{a_{0},\ldots ,a_{n}\geq 0,\;a_{0}+\cdots +a_{n}=j}\;k\cdot x_{0}^{a_{0}}\cdots x_{n}^{a_{n}}&i=0\\[6pt]0&i\neq 0,n\\[6pt]\bigoplus _{a_{0},\ldots ,a_{n}<0,\;a_{0}+\cdots +a_{n}=j}\;k\cdot x_{0}^{a_{0}}\cdots x_{n}^{a_{n}}&i=n\end{cases}}$

В частности, этот расчет показывает, что когомологии проективного пространства над $k$ с коэффициентами в любом линейном расслоении, имеет конечную размерность как $k$-векторное пространство.

Исчезновение этих групп когомологий выше размерности $n$ является частным случаем теоремы Гротендика об исчезновении : для любого пучка абелевых групп ${\mathcal {F}}$ в нётеровом топологическом пространстве $X$ размера $n<\infty$, $H^{i}(X,{\mathcal {F}})=0$ для всех $i>n$. Это особенно полезно для $X$ ( нётерова схема например, многообразие по полю) и ${\mathcal {F}}$ квазикогерентный пучок.

плоских

Учитывая гладкую проективную плоскую кривую $C$ степени $d$, пучковые когомологии $H^{*}(C,{\mathcal {O}}_{C})$ можно легко вычислить, используя длинную точную последовательность когомологий. Прежде всего отметим, что для вложения $i:C\to \mathbb {P} ^{2}$ существует изоморфизм групп когомологий

$H^{*}(\mathbb {P} ^{2},i_{*}{\mathcal {O}}_{C})\cong H^{*}(C,{\mathcal {O}}_{C})$

с $i_{*}$ это точно. Это означает, что короткая точная последовательность когерентных пучков

$0\to {\mathcal {O}}(-d)\to {\mathcal {O}}\to i_{*}{\mathcal {O}}_{C}\to 0$

на $\mathbb {P} ^{2}$, называемая идеальной последовательностью , можно использовать для вычисления когомологий с помощью длинной точной последовательности в когомологиях. Последовательность читается как

${\begin{aligned}0&\to H^{0}(\mathbb {P} ^{2},{\mathcal {O}}(-d))\to H^{0}(\mathbb {P} ^{2},{\mathcal {O}})\to H^{0}(\mathbb {P} ^{2},{\mathcal {O}}_{C})\\&\to H^{1}(\mathbb {P} ^{2},{\mathcal {O}}(-d))\to H^{1}(\mathbb {P} ^{2},{\mathcal {O}})\to H^{1}(\mathbb {P} ^{2},{\mathcal {O}}_{C})\\&\to H^{2}(\mathbb {P} ^{2},{\mathcal {O}}(-d))\to H^{2}(\mathbb {P} ^{2},{\mathcal {O}})\to H^{2}(\mathbb {P} ^{2},{\mathcal {O}}_{C})\end{aligned}}$

которое можно упростить, используя предыдущие вычисления в проективном пространстве. Для простоты предположим, что базовое кольцо $\mathbb {C}$ (или любое алгебраически замкнутое поле). Тогда существуют изоморфизмы

${\begin{aligned}H^{0}(C,{\mathcal {O}}_{C})&\cong H^{0}(\mathbb {P} ^{2},{\mathcal {O}})\\H^{1}(C,{\mathcal {O}}_{C})&\cong H^{2}(\mathbb {P} ^{2},{\mathcal {O}}(-d))\end{aligned}}$

что показывает, что $H^{1}$ кривой является конечномерным векторным пространством ранга

${d-1 \choose d-3}={\frac {(d-1)(d-2)}{2}}$.

Теорема Куннета

Существует аналог формулы Куннета в когомологиях когерентных пучков для произведений многообразий. Даны квазикомпактные схемы $X,Y$ с аффинными диагоналями над полем $k$, (например, разделенные схемы), и пусть ${\mathcal {F}}\in {\text{Coh}}(X)$ и ${\mathcal {G}}\in {\text{Coh}}(Y)$, то существует изоморфизм

$H^{k}(X\times _{{\text{Spec}}(k)}Y,\pi _{1}^{*}{\mathcal {F}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X\times _{{\text{Spec}}(k)}Y}}\pi _{2}^{*}{\mathcal {G}})\cong \bigoplus _{i+j=k}H^{i}(X,{\mathcal {F}})\otimes _{k}H^{j}(Y,{\mathcal {G}})$

где $\pi _{1},\pi _{2}$ являются каноническими проекциями $X\times _{{\text{Spec}}(k)}Y$ к $X,Y$.

когомологий

В $X=\mathbb {P} ^{1}\times \mathbb {P} ^{1}$, общий раздел ${\mathcal {O}}_{X}(a,b)=\pi _{1}^{*}{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{1}}(a)\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}\pi _{2}^{*}{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{1}}(b)$ определяет кривую $C$, дающий идеальную последовательность

$0\to {\mathcal {O}}_{X}(-a,-b)\to {\mathcal {O}}_{X}\to {\mathcal {O}}_{C}\to 0$

Тогда длинная точная последовательность будет выглядеть так:

${\begin{aligned}0&\to H^{0}(X,{\mathcal {O}}(-a,-b))\to H^{0}(X,{\mathcal {O}})\to H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{C})\\&\to H^{1}(X,{\mathcal {O}}(-a,-b))\to H^{1}(X,{\mathcal {O}})\to H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{C})\\&\to H^{2}(X,{\mathcal {O}}(-a,-b))\to H^{2}(X,{\mathcal {O}})\to H^{2}(X,{\mathcal {O}}_{C})\end{aligned}}$

предоставление

${\begin{aligned}H^{0}(C,{\mathcal {O}}_{C})&\cong H^{0}(X,{\mathcal {O}})\\H^{1}(C,{\mathcal {O}}_{C})&\cong H^{2}(X,{\mathcal {O}}(-a,-b))\end{aligned}}$

С $H^{1}$— род кривой, мы можем использовать формулу Куннета для вычисления ее чисел Бетти. Это

$H^{2}(X,{\mathcal {O}}_{X}(-a,-b))\cong H^{1}(\mathbb {P} ^{1},{\mathcal {O}}(-a))\otimes _{k}H^{1}(\mathbb {P} ^{1},{\mathcal {O}}(-b))$

который имеет ранг

${\binom {a-1}{a-2}}{\binom {b-1}{b-2}}=(a-1)(b-1)=ab-a-b+1$

для $-a,-b\leq -2$. В частности, если $C$ определяется исчезающим местом общего сечения ${\mathcal {O}}(2,k)$, оно принадлежит к роду

$2k-2-k+1=k-1$

следовательно, кривую любого рода можно найти внутри $\mathbb {P} ^{1}\times \mathbb {P} ^{1}$.

Конечномерность

Для правильной схемы $X$ над полем $k$ и любой связный пучок ${\mathcal {F}}$ на $X$, группы когомологий $H^{i}(X,{\mathcal {F}})$ имеют конечную размерность как $k$-векторные пространства. В частном случае, когда $X$ проективно ​ над $k$, это доказывается сведением к случаю линейных расслоений в проективном пространстве, обсуждавшемуся выше. В общем случае собственной схемы над полем Гротендик доказал конечность когомологий путем сведения к проективному случаю, используя лемму Чоу .

Конечномерность когомологий справедлива и в аналогичной ситуации с когерентными аналитическими пучками в любом компактном комплексном пространстве, но по совершенно иному аргументу. Картан и Серр доказали конечномерность в этой аналитической ситуации, используя теорему Шварца о компактных операторах в пространствах Фреше . Относительные версии этого результата для собственного морфизма были доказаны Гротендиком (для локально нётеровых схем) и Грауэртом (для комплексных аналитических пространств). А именно, для собственного морфизма $f:X\to Y$ (в алгебраической или аналитической ситуации) и когерентный пучок ${\mathcal {F}}$ на $X$, прямых изображений чем выше пучки $R^{i}f_{*}{\mathcal {F}}$ являются последовательными. Когда $Y$ является точкой, эта теорема дает конечномерность когомологий.

Конечномерность когомологий приводит ко многим числовым инвариантам проективных многообразий. Например, если $X$ — гладкая проективная кривая над алгебраически замкнутым полем $k$, род ​ $X$ определяется как размерность $k$-векторное пространство $H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})$. Когда $k$ — поле комплексных чисел , это согласуется с родом пространства $X(\mathbb {C} )$ комплексных точек в его классической (евклидовой) топологии. (В этом случае $X(\mathbb {C} )=X^{an}$ — замкнутая ориентированная поверхность .) Среди многих возможных многомерных обобщений геометрический род гладкого проективного многообразия $X$ размера $n$ это размерность $H^{n}(X,{\mathcal {O}}_{X})$, а арифметический род (согласно одному соглашению ) — знакопеременная сумма

$\chi (X,{\mathcal {O}}_{X})=\sum _{j}(-1)^{j}\dim _{k}(H^{j}(X,{\mathcal {O}}_{X})).$

Двойственность Серра

Основная статья: Двойственность Серра

Двойственность Серра является аналогом двойственности Пуанкаре для когомологий когерентных пучков. В этой аналогии канонический расслоение $K_{X}$ играет роль ориентационного пучка . А именно, для гладкой собственной схемы $X$ размера $n$ над полем $k$, существует естественная карта трасс $H^{n}(X,K_{X})\to k$, который является изоморфизмом, если $X$ , геометрически связна то есть изменение базовое $X$ к алгебраическому замыканию $k$ подключен ​ . Двойственность Серра для векторного расслоения $E$ на $X$ говорит, что продукт

$H^{i}(X,E)\times H^{n-i}(X,K_{X}\otimes E^{*})\to H^{n}(X,K_{X})\to k$

является идеальной парой для любого целого числа $i$. В частности, $k$-векторные пространства $H^{i}(X,E)$ и $H^{n-i}(X,K_{X}\otimes E^{*})$ имеют одинаковую (конечную) размерность. (Серр также доказал двойственность Серра для голоморфных векторных расслоений на любом компактном комплексном многообразии.) Теория двойственности Гротендика включает обобщения на любой когерентный пучок и любой собственный морфизм схем, хотя утверждения становятся менее элементарными.

Например, для гладкой проективной кривой $X$ над алгебраически замкнутым полем $k$, из двойственности Серра следует, что размерность пространства $H^{0}(X,\Omega ^{1})=H^{0}(X,K_{X})$ 1-формы на $X$ равен роду $X$ (размер $H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})$).

Теоремы ГАГА

Основная статья: ГАГА

Теоремы GAGA связывают алгебраические многообразия над комплексными числами с соответствующими аналитическими пространствами. Для схемы X конечного типа над C существует функтор от когерентных алгебраических пучков на X к когерентным аналитическим пучкам на ассоциированном аналитическом пространстве X ^а . Ключевая теорема GAGA (Гротендика, обобщающая теорему Серра на проективный случай) состоит в том, что если X собственное над C , то этот функтор является эквивалентностью категорий. Более того, для любого когерентного алгебраического пучка E на собственной схеме X над C естественное отображение

$H^{i}(X,E)\to H^{i}(X^{\text{an}},E^{\text{an}})$

(конечномерных) комплексных векторных пространств является изоморфизмом для всех i . (Первая группа здесь определяется с использованием топологии Зарисского, а вторая — с использованием классической (евклидовой) топологии.) Например, из эквивалентности между алгебраическими и аналитическими когерентными пучками в проективном пространстве следует теорема Чоу о том, что каждое замкнутое аналитическое подпространство CP ^н является алгебраическим.

Теоремы

Теорема об исчезновении Серра гласит, что для любого обильного линейного расслоения $L$ по правильной схеме $X$ над нётеровым кольцом и любым связным пучком ${\mathcal {F}}$ на $X$, существует целое число $m_{0}$ такой, что для всех $m\geq m_{0}$, сноп ${\mathcal {F}}\otimes L^{\otimes m}$ натянут на свои глобальные сечения и не имеет когомологий в положительных степенях.

Хотя теорема об исчезновении Серра полезна, неясность числа $m_{0}$ может быть проблемой. Теорема Кодаиры об исчезновении является важным явным результатом. А именно, если $X$ — гладкое проективное многообразие над полем нулевой характеристики, $L$ представляет собой обширный линейный пакет на $X$, и $K_{X}$ , канонический расслоение то

$H^{j}(X,K_{X}\otimes L)=0$

для всех $j>0$. Обратите внимание, что теорема Серра гарантирует такое же исчезновение для больших степеней числа. $L$. Исчезновение Кодайры и его обобщения имеют фундаментальное значение для классификации алгебраических многообразий и программы минимальной модели . Исчезновение Кодайры терпит неудачу в полях с положительной характеристикой.

Теория Ходжа

Основная статья: Теория Ходжа

Теорема Ходжа связывает когерентные когомологии пучков с сингулярными когомологиями (или когомологиями де Рама ). А именно, если $X$ является гладким комплексным проективным многообразием, то существует каноническое разложение комплексных векторных пространств в прямую сумму:

$H^{a}(X,\mathbf {C} )\cong \bigoplus _{b=0}^{a}H^{a-b}(X,\Omega ^{b}),$

для каждого $a$. Группа слева означает сингулярные когомологии $X(\mathbf {C} )$ в его классической (евклидовой) топологии, тогда как группы справа представляют собой группы когомологий когерентных пучков, которые (по GAGA) могут быть взяты либо в топологии Зарисского, либо в классической топологии. Тот же вывод справедлив для любой гладкой собственной схемы $X$ над $\mathbf {C}$или для любого компактного кэлерова многообразия .

Например, из теоремы Ходжа следует, что определение рода гладкой проективной кривой $X$ как размерность $H^{1}(X,{\mathcal {O}})$, что имеет смысл в любом поле $k$, согласуется с топологическим определением (как половина первого числа Бетти ), когда $k$ это комплексные числа. Теория Ходжа вдохновила на большое количество работ по топологическим свойствам комплексных алгебраических многообразий.

–

Основная статья: Теорема Гротендика – Римана – Роха

Для правильной схемы X над полем k эйлерова характеристика когерентного пучка E на X — это целое число

$\chi (X,E)=\sum _{j}(-1)^{j}\dim _{k}(H^{j}(X,E)).$

Эйлерова характеристика когерентного пучка E может быть вычислена из классов Черна E и в соответствии с теоремой Римана-Роха и ее обобщениями, теоремой Хирцебруха-Римана-Роха теоремой Гротендика-Римана-Роха . Например, если L — линейное расслоение на гладкой собственной геометрически связной кривой X над полем k , то

$\chi (X,L)={\text{deg}}(L)-{\text{genus}}(X)+1,$

deg( L ) обозначает степень L где .

В сочетании с теоремой об исчезновении теорему Римана – Роха часто можно использовать для определения размерности векторного пространства секций линейного расслоения. Зная, что линейное расслоение на X имеет достаточно секций, в свою очередь, можно использовать для определения отображения X в проективное пространство, например, замкнутого погружения. Этот подход важен для классификации алгебраических многообразий.

Теорема Римана–Роха также справедлива для голоморфных векторных расслоений на компактном комплексном многообразии согласно теореме об индексе Атьи–Зингера .

Рост

Размерности групп когомологий на схеме размерности n могут расти не более чем как многочлен степени n .

Пусть X — проективная схема размерности n , а D дивизор на X. — Если ${\mathcal {F}}$ — любой когерентный пучок на X, тогда

$h^{i}(X,{\mathcal {F}}(mD))=O(m^{n})$ для каждого я .

Для высших когомологий nef дивизора D на X ;

$h^{i}(X,{\mathcal {O}}_{X}(mD))=O(m^{n-1})$

Приложения

Учитывая схему X над полем k , теория деформации изучает деформации X до бесконечно малых окрестностей. Простейший случай деформаций по кольцу $R:=k[\epsilon ]/\epsilon ^{2}$ двойственных чисел проверяет, существует ли схема X _R над Spec R такая, что специальный слой

$X_{R}\times _{\operatorname {Spec} R}\operatorname {Spec} k$

изоморфно данному X . Когерентные пучковые когомологии с коэффициентами в касательном пучке $T_{X}$ контролирует этот класс деформаций X при условии, что X является гладким. А именно,

• классы изоморфизма деформаций указанного типа параметризуются первыми когерентными когомологиями $H^{1}(X,T_{X})$,
• есть элемент (называемый классом препятствий ) в $H^{2}(X,T_{X})$ который обращается в нуль тогда и только тогда, когда существует деформация X над Spec R, как указано выше.

Ссылки

• Картан, Анри; Серр, Жан-Пьер (1953). «Теорема конечности о компактных аналитических многообразиях» . Еженедельные отчеты сессий Парижской академии наук . 237 : 128–130. Збл   0050.17701 .
• Грауэрт, Ганс ; Реммерт, Рейнхольд (1984), Когерентные аналитические пучки , Основы математических наук, том. 265, Springer-Verlag , номер домена : 10.1007/978-3-642-69582-7 , ISBN.  3-540-13178-7 , МР   0755331
• Гротендик, Александр ; Рейно, Мишель (2003) [1971], Семинар Буа Мари по алгебраической геометрии – 1960–61 – Плоские накрытия и фундаментальная группа (SGA 1) (Математические документы 3 ) , Париж: Société Mathématique de France , arXiv : math.AG/0206203 , ISBN  978-2-85629-141-2 , МР   2017446
• Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1961). «Элементы алгебраической геометрии: III. Когомологическое исследование когерентных пучков, Часть первая» . Публикации IHÉS по математике . 11 . дои : 10.1007/bf02684274 . МР   0217085 .
• Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Тексты для аспирантов по математике , том. 52, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN.  978-0-387-90244-9 , МР   0463157
• Серр, Жан-Пьер (1955), «Когерентные алгебраические пучки» (PDF) , Annals of Mathematics , 61 (2): 197–278, doi : 10.2307/1969915 , JSTOR   1969915 , MR   0068874
• Паршин, А.Н. (2001) [1994], «Теоремы конечности» , Энциклопедия Математики , EMS Press
• Грауэрт, Ганс; Реммерт, Рейнхольд (2004). «Теорема конечности». Теория пространств Штейна . Классика по математике. стр. 186–203. дои : 10.1007/978-3-642-18921-0_8 . ISBN  978-3-540-00373-1 .

Внешние ссылки

• Авторы проекта Stacks, The Stacks Project