Общая точка

В алгебраической геометрии общая точка P алгебраического многообразия X — это точка общего положения , в которой все общие свойства истинны, причем общее свойство — это свойство, которое истинно почти для каждой точки.

В классической алгебраической геометрии общей точкой аффинного или проективного алгебраического многообразия размерности d называется такая точка, поле, порожденное ее координатами, имеет степень трансцендентности d над полем, порожденным коэффициентами уравнений многообразия.

В теории схем спектр имеет единственную точку области целостности общего положения, которая является нулевым идеалом. Поскольку замыканием этой точки для топологии Зарисского является весь спектр, определение было расширено до общей топологии , где общей точкой топологического пространства X является точка, замыканием которой X. является

Определение и мотивация

Типичная точка топологического пространства X — это точка P которой замыканием является все X , то есть точка, плотная в X. ,

Терминология возникает из случая топологии Зарисского на множестве подмногообразий алгебраического множества : алгебраическое множество неприводимо (т. е. оно не является объединением двух собственных алгебраических подмножеств) тогда и только тогда, когда топологическое пространство подмногообразий имеет общую точку.

Примеры

• Единственное пространство Хаусдорфа , имеющее общую точку, — это одноэлементное множество .
• Любая интегральная схема имеет (единственную) общую точку; в случае аффинной интегральной схемы (т. е. простого спектра области целостности ) точка общего положения — это точка, связанная с простым идеалом (0).

История

В основополагающем подходе Андре Вейля , развитом в его «Основах алгебраической геометрии» , общие точки играли важную роль, но обрабатывались по-другому. Для алгебраического многообразия V над полем K , общие точки представляли V собой целый класс точек V, принимающих значения в универсальной области Ω, алгебраически замкнутом поле, содержащем K но также и бесконечный запас новых неопределенных. Этот подход работал без необходимости непосредственно иметь дело с топологией V ( то есть топологией K -Зарисского), поскольку все специализации можно было обсуждать на уровне области (как в подходе теории оценки к алгебраической геометрии, популярном в 1930-е годы).

Это произошло за счет огромной коллекции одинаково общих точек. Оскар Зариски , коллега Вейля в Сан-Паулу сразу после Второй мировой войны , всегда настаивал на том, что общие точки должны быть уникальными. (Это можно выразить словами топологов: идея Вейля не дает колмогоровского пространства , а Зарисский мыслит в терминах фактора Колмогорова .)

В результате быстрых фундаментальных изменений 1950-х годов подход Вейля устарел. Однако в теории схем с 1957 года родовые точки вернулись: на этот раз в стиле Зарисского . Например для R кольцо дискретного нормирования , Spec ( R ) состоит из двух точек: общей точки (исходящей из простого идеала {0}) и замкнутой точки или специальной точки, исходящей из единственного максимального идеала . Для морфизмов в Spec ( R ) слой над специальной точкой является специальным слоем , что является важным понятием, например, в редукции по модулю p , теории монодромии и других теориях вырождения. Общий слой также является слоем над общей точкой. Геометрия вырождения в значительной степени связана с переходом от общих волокон к специальным, или, другими словами, с тем, как специализация параметров влияет на ситуацию. (Для кольца дискретного нормирования рассматриваемое топологическое пространство представляет собой Серпинского пространство топологов . Другие локальные кольца имеют уникальные общие и специальные точки, но более сложный спектр, поскольку они представляют общие измерения. Случай дискретного нормирования во многом похож на комплексный unit disk для этих целей.)

Ссылки

• Викерс, Стивен (1989). Топология через логику . Кембриджские трактаты по теоретической информатике. Том. 5. с. 65. ИСБН  0-521-36062-5 .
• Вейль, Андре (1946). Основы алгебраической геометрии . Публикации коллоквиума Американского математического общества. Том. XXIX. ISBN  978-1-4704-3176-1 . OCLC   1030398184 .