Почти везде

Функция 1/x дифференцируема . и непрерывна почти всюду, точнее, всюду, кроме точки x = 0

В теории меры (раздел математического анализа ) свойство сохраняется почти везде , если в техническом смысле множество, для которого это свойство имеет место, охватывает почти все возможности. Понятие «почти всюду» является сопутствующим понятию меры ноль и аналогично понятию почти наверняка в теории вероятностей .

Точнее, свойство справедливо почти везде, если оно справедливо для всех элементов множества, кроме подмножества нулевой меры: или, что то же самое, если набор элементов, для которых применяется это свойство, равен conull . В случаях, когда мера не является полной , достаточно, чтобы множество содержалось внутри множества нулевой меры. При обсуждении множеств действительных чисел , мера Лебега обычно предполагается если не указано иное.

Термин почти везде сокращается ae ; в более старой литературе pp используется для обозначения эквивалентной французской фразы presque partout .

Множество полной меры — это множество, дополнение которого имеет нулевую меру. В теории вероятностей термины «почти наверняка» , «почти наверняка» и «почти всегда» относятся к событиям с вероятностью 1, не обязательно включая все исходы. Это и есть множества полной меры в вероятностном пространстве.

Иногда вместо того, чтобы сказать, что свойство справедливо почти везде, говорят, что это свойство справедливо почти для всех элементов (хотя термин « почти все» может иметь и другие значения).

Определение

Если $(X,\Sigma ,\mu )$ — это пространство меры , свойство $P$ говорят, что он действует почти повсюду в $X$ если существует набор $N\in \Sigma$ с $\mu (N)=0$, и все $x\in X\setminus N$ иметь собственность $P$. Другой распространенный способ выразить то же самое — сказать, что «почти каждый пункт удовлетворяет $P\,$", или что "почти для каждого $x$, $P(x)$ держит».

Не обязательно , чтобы набор $\{x\in X:\neg P(x)\}$имеет меру 0; оно может не принадлежать $\Sigma$. По приведенному выше определению достаточно, чтобы $\{x\in X:\neg P(x)\}$ содержаться в некотором множестве $N$ которое измеримо и имеет меру 0.

Свойства

• Если собственность $P$ имеет место почти везде и подразумевает свойство $Q$, то свойство $Q$держится почти везде. Это следует из монотонности мер.
• Если $(P_{n})$ — конечная или счетная последовательность свойств, каждое из которых выполняется почти всюду, то их соединение $\forall nP_{n}$держится почти везде. Это следует из счетной субаддитивности мер.
• Напротив, если $(P_{x})_{x\in \mathbf {R} }$ — несчетное семейство свойств, каждое из которых выполняется почти всюду, то их соединение $\forall xP_{x}$не обязательно выполняется почти везде. Например, если $\mu$ является мерой Лебега на $X=\mathbf {R}$ и $P_{x}$ является свойством не быть равным $x$ (т.е. $P_{x}(y)$ верно тогда и только тогда, когда $y\neq x$), то каждый $P_{x}$ имеет место почти всюду, но союз $\forall xP_{x}$ нигде не держится.

Вследствие первых двух свойств часто можно рассуждать о «почти каждой точке» пространства меры, как если бы это была обычная точка, а не абстракция. Это часто делается неявно в неформальных математических аргументах. Однако следует быть осторожным с этим способом рассуждения из-за третьего пункта выше: универсальная квантификация бесчисленных семейств утверждений действительна для обычных точек, но не для «почти каждой точки».

Примеры

• Если f : R → R — интегрируемая по Лебегу функция и $f(x)\geq 0$ почти везде, то
  $$\int _{a}^{b}f(x)\,dx\geq 0$$
  для всех действительных чисел $a<b$ с равенством тогда и только тогда, когда $f(x)=0$ почти везде.
• Если f : [ a , b ] → R — монотонная функция , то почти всюду f дифференцируема .
• Если f : R → R измеримо по Лебегу и
  $$\int _{a}^{b}|f(x)|\,dx<\infty$$
  для всех действительных чисел $a<b$, то существует множество E (зависящее от f ) такое, что, если x находится в E , среднее Лебега
  $${\frac {1}{2\varepsilon }}\int _{x-\varepsilon }^{x+\varepsilon }f(t)\,dt$$
  сходится к f ( x ) как $\epsilon$уменьшается до нуля. Множество E называется множеством Лебега функции f . Можно доказать, что его дополнение имеет нулевую меру. Другими словами, среднее Лебега функции f сходится к f почти всюду.
• Ограниченная функция f : [ a , b ] → R интегрируема по Риману тогда и только тогда, когда она непрерывна почти всюду.
• Любопытно, что десятичное представление почти каждого действительного числа в интервале [0, 1] содержит полный текст пьес Шекспира , закодированный в ASCII ; аналогично для любой другой последовательности конечных цифр, см. Нормальное число .

Определение с использованием ультрафильтров

Вне контекста реального анализа понятие свойства, истинного почти всюду, иногда определяется в терминах ультрафильтра . Ультрафильтр на множестве X — это максимальный набор F подмножеств X такой, что:

1. Если U ∈ F и U ⊆ V , то V ∈ F
2. Пересечение любых двух множеств из F находится в F
3. Пустое множество не находится в F

Свойство P точек в X выполняется почти всюду относительно ультрафильтра F , если множество точек, для которых выполняется P находится в F. ,

Например, одна конструкция гипердействительной системы счисления определяет гипердействительное число как класс эквивалентности последовательностей, которые равны почти всюду, как это определено ультрафильтром.

Определение почти всюду в терминах ультрафильтров тесно связано с определением в терминах мер, поскольку каждый ультрафильтр определяет конечно-аддитивную меру, принимающую только значения 0 и 1, где множество имеет меру 1 тогда и только тогда, когда оно включено. в ультрафильтре.

См. также

• Функция Дирихле — функция, почти всюду равная 0.

Библиография

• Биллингсли, Патрик (1995). Вероятность и мера (3-е изд.). Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья. ISBN  0-471-00710-2 .