Неравенства Кларксона

В математике , неравенства Кларксона названные в честь Джеймса А. Кларксона , являются результатами теории L ^п пространства . Они дают границы для L ^п - нормы суммы и разности двух измеримых функций в L ^п с точки зрения L ^п -нормы этих функций индивидуально.

Формулировка неравенств

Пусть ( X , Σ, µ ) — пространство с мерой ; пусть f , g : X → R — измеримые функции в L ^п . Тогда для 2 ⩽ p < +∞

$\left\|{\frac {f+g}{2}}\right\|_{L^{p}}^{p}+\left\|{\frac {f-g}{2}}\right\|_{L^{p}}^{p}\leq {\frac {1}{2}}\left(\|f\|_{L^{p}}^{p}+\|g\|_{L^{p}}^{p}\right).$

Для 1 < р < 2,

$\left\|{\frac {f+g}{2}}\right\|_{L^{p}}^{q}+\left\|{\frac {f-g}{2}}\right\|_{L^{p}}^{q}\leq \left({\frac {1}{2}}\|f\|_{L^{p}}^{p}+{\frac {1}{2}}\|g\|_{L^{p}}^{p}\right)^{\frac {q}{p}},$

где

${\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1,$

т. е. q = p ⁄ ( p - 1).

Случай p ≥ 2 доказать несколько проще, поскольку он представляет собой простое применение неравенства и выпуклости треугольника

$x\mapsto x^{p}.$

Ссылки

• Кларксон, Джеймс А. (1936), «Равномерно выпуклые пространства», Труды Американского математического общества , 40 (3): 396–414, doi : 10.2307/1989630 , JSTOR   1989630 , MR   1501880 .
• Ханнер, Олоф (1956), "О равномерной выпуклости L ^п и ℓ ^п ", Архив математики , 3 (3): 239–244, Bibcode : 1956ArM.....3..239H , doi : 10.1007/BF02589410 , MR   0077087 .
• Фридрихс, К.О. (1970), «О неравенствах Кларксона», Communications on Pure and Applied Mathematics , 23 (4): 603–607, doi : 10.1002/cpa.3160230405 , MR   0264372 .

Внешние ссылки

• Неравенство Кларксона в PlanetMath .