Евклидово расстояние

Использование теоремы Пифагора для вычисления двумерного евклидова расстояния

В математике евклидово расстояние между двумя точками евклидова пространства — это длина отрезка между ними. Его можно вычислить из декартовых координат точек с использованием теоремы Пифагора , и поэтому его иногда называют расстоянием Пифагора .

Эти имена происходят от древнегреческих математиков Евклида и Пифагора . В греческой дедуктивной геометрии Евклида , примером которой служат « Начала» , расстояния представлялись не числами, а отрезками прямой одинаковой длины, которые считались «равными». Понятие расстояния присуще компасу, используемому для рисования круга , все точки которого находятся на одинаковом расстоянии от общей центральной точки . Связь теоремы Пифагора с расчетом расстояний не была установлена ​​до 18 века.

Расстояние между двумя объектами, которые не являются точками, обычно определяется как наименьшее расстояние между парами точек от двух объектов. Известны формулы для вычисления расстояний между разными типами объектов, например, расстояния от точки до линии . В высшей математике понятие расстояния было обобщено на абстрактные метрические пространства , и изучались другие расстояния, кроме евклидовых. В некоторых приложениях в статистике и оптимизации вместо самого расстояния используется квадрат евклидова расстояния.

Формулы расстояний

Одно измерение

Расстояние между любыми двумя точками на действительной линии — это абсолютное значение числовой разности их координат, их абсолютная разность . Таким образом, если $p$ и $q$ являются двумя точками на реальной прямой, то расстояние между ними определяется выражением:

$$d(p,q)=|p-q|.$$

Более сложная формула, дающая то же значение, но легче обобщающая на более высокие измерения:

$$d(p,q)={\sqrt {(p-q)^{2}}}.$$

В этой формуле возведение в квадрат и последующее извлечение квадратного корня оставляет любое положительное число неизменным, но заменяет любое отрицательное число его абсолютным значением.

Два измерения

Пусть в евклидовой плоскости точка $p$ иметь декартовы координаты $(p_{1},p_{2})$ и позвольте указать $q$ есть координаты $(q_{1},q_{2})$. Тогда расстояние между $p$ и $q$ дан кем-то:

$$d(p,q)={\sqrt {(p_{1}-q_{1})^{2}+(p_{2}-q_{2})^{2}}}.$$

В этом можно убедиться, применив теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику с горизонтальной и вертикальной сторонами, имеющему отрезок из $p$ к $q$как его гипотенуза. Две формулы квадрата внутри квадратного корня дают площади квадратов по горизонтальной и вертикальной сторонам, а внешний квадратный корень преобразует площадь квадрата на гипотенузе в длину гипотенузы.

Также возможно вычислить расстояние для точек, заданных полярными координатами . Если полярные координаты $p$ являются $(r,\theta )$ и полярные координаты $q$ являются $(s,\psi )$, то их расстояние определяется законом косинусов :

$$d(p,q)={\sqrt {r^{2}+s^{2}-2rs\cos(\theta -\psi )}}.$$

Когда $p$ и $q$ выражаются комплексными числами на комплексной плоскости , можно использовать ту же формулу для одномерных точек, выраженных действительными числами, хотя здесь знак абсолютного значения указывает на комплексную норму :

$$d(p,q)=|p-q|.$$

Высшие измерения

Получение $n$Формула -мерного евклидова расстояния путем многократного применения теоремы Пифагора

В трех измерениях для точек, заданных их декартовыми координатами, расстояние равно

$$d(p,q)={\sqrt {(p_{1}-q_{1})^{2}+(p_{2}-q_{2})^{2}+(p_{3}-q_{3})^{2}}}.$$

В общем, для точек, заданных декартовыми координатами в $n$-мерное евклидово пространство, расстояние равно

$$d(p,q)={\sqrt {(p_{1}-q_{1})^{2}+(p_{2}-q_{2})^{2}+\cdots +(p_{n}-q_{n})^{2}}}.$$

Евклидово расстояние также можно выразить более компактно через евклидову норму разности евклидовых векторов :

$$d(p,q)=\|p-q\|.$$

Объекты, кроме точек

Для пар объектов, которые не являются обеими точками, расстояние проще всего определить как наименьшее расстояние между любыми двумя точками двух объектов, хотя более сложные обобщения от точек к множествам, такие как расстояние Хаусдорфа . также часто используются Формулы для расчета расстояний между различными типами объектов включают:

• Расстояние от точки до прямой в евклидовой плоскости
• Расстояние от точки до плоскости в трехмерном евклидовом пространстве
• Расстояние между двумя линиями в трехмерном евклидовом пространстве

Расстояние от точки до кривой можно использовать для определения ее параллельной кривой , другой кривой, все точки которой имеют одинаковое расстояние до данной кривой.

Свойства

Евклидово расстояние является типичным примером расстояния в метрическом пространстве . и подчиняется всем определяющим свойствам метрического пространства:

• Оно симметрично , то есть для всех точек $p$ и $q$, $d(p,q)=d(q,p)$. То есть (в отличие от дорожного расстояния с улицами с односторонним движением) расстояние между двумя точками не зависит от того, какая из двух точек является начальной, а какая конечным пунктом.
• Оно положительное , что означает, что расстояние между любыми двумя различными точками является положительным числом , а расстояние от любой точки до самой себя равно нулю.
• Оно подчиняется неравенству треугольника : для каждых трёх точек $p$, $q$, и $r$, $d(p,q)+d(q,r)\geq d(p,r)$. Интуитивно, путешествуя из $p$ к $r$ с помощью $q$ не может быть короче, чем путешествие прямо из $p$ к $r$.

Другое свойство, неравенство Птолемея , касается евклидовых расстояний между четырьмя точками. $p$, $q$, $r$, и $s$. В нем говорится, что

$$d(p,q)\cdot d(r,s)+d(q,r)\cdot d(p,s)\geq d(p,r)\cdot d(q,s).$$

Для точек на плоскости это можно перефразировать следующим образом: для каждого четырехугольника произведения противоположных сторон четырехугольника в сумме дают по крайней мере такое же большое число, как произведение его диагоналей. Однако неравенство Птолемея применимо в более общем плане к точкам евклидовых пространств любого измерения, независимо от того, как они расположены. Для точек в метрических пространствах, не являющихся евклидовыми, это неравенство может быть неверным. евклидова Геометрия расстояния изучает свойства евклидова расстояния, такие как неравенство Птолемея, и их применение для проверки того, происходят ли заданные наборы расстояний из точек евклидова пространства.

Согласно теореме Бекмана-Куорлза , любое преобразование евклидовой плоскости или многомерного евклидова пространства, сохраняющее единичные расстояния, должно быть изометрией , сохраняющей все расстояния.

евклидова

Конус . , график евклидова расстояния от начала координат на плоскости

Параболоид . , график квадрата евклидова расстояния от начала координат

Во многих приложениях, в частности при сравнении расстояний, может быть удобнее опустить последний квадратный корень при вычислении евклидовых расстояний, поскольку квадратный корень не меняет порядок ( $d_{1}^{2}>d_{2}^{2}$ если и только если $d_{1}>d_{2}$). Значение, полученное в результате этого упущения, представляет собой квадрат евклидова расстояния и называется квадратом евклидова расстояния . Например, евклидово минимальное остовное дерево можно определить, используя только порядок расстояний, а не их числовые значения. Сравнение квадратов расстояний дает тот же результат, но позволяет избежать ненужных вычислений квадратного корня и обойти проблемы числовой точности. В виде уравнения квадрат расстояния можно выразить как сумму квадратов :

$$d^{2}(p,q)=(p_{1}-q_{1})^{2}+(p_{2}-q_{2})^{2}+\cdots +(p_{n}-q_{n})^{2}.$$

Помимо применения для сравнения расстояний, квадрат Евклидова расстояния имеет центральное значение в статистике , где он используется в методе наименьших квадратов , стандартном методе подгонки статистических оценок к данным путем минимизации среднего значения квадратов расстояний между наблюдаемыми и оцененными значениями. , и как простейшую форму расхождения для сравнения распределений вероятностей . Сложение квадратов расстояний друг к другу, как это делается при подборе методом наименьших квадратов, соответствует операции над (неквадратными) расстояниями, называемой сложением Пифагора . В кластерном анализе квадраты расстояний можно использовать для усиления эффекта более длинных расстояний.

Квадрат евклидова расстояния не образует метрического пространства, поскольку не удовлетворяет неравенству треугольника. Однако это гладкая, строго выпуклая функция двух точек, в отличие от расстояния, которое негладкое (около пар равных точек) и выпуклое, но не строго выпуклое. Таким образом, квадрат расстояния предпочтителен в теории оптимизации , поскольку он позволяет выпуклый анализ использовать . Поскольку возведение в квадрат является монотонной функцией неотрицательных значений, минимизация квадрата расстояния эквивалентна минимизации евклидова расстояния, поэтому задача оптимизации эквивалентна с точки зрения любого из них, но ее легче решить, используя квадрат расстояния.

Коллекция всех квадратов расстояний между парами точек из конечного набора может храниться в евклидовой матрице расстояний и используется в этой форме в геометрии расстояний.

Обобщения

В более продвинутых областях математики, когда евклидово пространство рассматривается как векторное , его расстояние связано с нормой , называемой евклидовой нормой , определяемой как расстояние каждого вектора от начала координат . Одним из важных свойств этой нормы по сравнению с другими нормами является то, что она остается неизменной при произвольных поворотах пространства вокруг начала координат. По теореме Дворецкого каждое конечномерное нормированное векторное пространство имеет многомерное подпространство, норма которого приблизительно евклидова; Евклидова норма – это единственная норма с этим свойством. Его можно распространить на бесконечномерные векторные пространства, поскольку L ² норма или L ² расстояние. Евклидово расстояние придает евклидову пространству структуру топологического пространства , евклидову топологию , с открытыми шарами (подмножествами точек, находящимися на меньшем, чем заданное расстояние от данной точки) в качестве его окрестностей .

Сравнение чебышевского, евклидова и таксистного расстояний для гипотенузы треугольника 3-4-5 на шахматной доске

Другие распространенные расстояния в реальных координатных пространствах и функциональных пространствах :

• Расстояние Чебышева ( L ^∞ расстояние), которое измеряет расстояние как максимальное из расстояний по каждой координате.
• Расстояние такси ( L ¹ расстояние), также называемое Манхэттенским расстоянием, которое измеряет расстояние как сумму расстояний по каждой координате.
• Расстояние Минковского ( L ^п расстояние), обобщение, которое объединяет евклидово расстояние, расстояние такси и расстояние Чебышева.

Для точек на трехмерных поверхностях евклидово расстояние следует отличать от геодезического расстояния — длины кратчайшей кривой, принадлежащей поверхности. В частности, для измерения расстояний по большому кругу на Земле или других сферических или околосферических поверхностях используемые расстояния включают расстояние гаверсинуса , дающее расстояния по большому кругу между двумя точками на сфере на основе их долготы и широты, а также формулы Винсенти. также известное как «расстояние Винсента» для расстояния на сфероиде.

История

Евклидово расстояние — это расстояние в евклидовом пространстве . Обе концепции названы в честь древнегреческого математика Евклида , чьи «Начала» на многие столетия стали стандартным учебником по геометрии. Понятия длины и расстояния широко распространены в разных культурах и могут быть датированы самыми ранними из сохранившихся «протописьменных» бюрократических документов из Шумера четвертого тысячелетия до нашей эры (задолго до Евклида). Было высказано предположение, что они развиваются у детей раньше, чем соответствующие понятия скорости и времени. Но понятие расстояния как числа, определяемого из двух точек, на самом деле не встречается в «Началах» Евклида . Вместо этого Евклид подходит к этой концепции неявно, через конгруэнтность отрезков прямой, через сравнение длин отрезков прямой и через концепцию пропорциональности .

Теорема Пифагора также древняя, но свою центральную роль в измерении расстояний она смогла сыграть только после изобретения декартовых координат Рене Декартом в 1637 году. Сама формула расстояния была впервые опубликована в 1731 году Алексисом Клеро . Из-за этой формулы евклидово расстояние также иногда называют расстоянием Пифагора. Хотя точные измерения больших расстояний на поверхности Земли, которые не являются евклидовыми, снова изучались во многих культурах с древних времен (см. историю геодезии ), идея о том, что евклидово расстояние может быть не единственным способом измерения расстояний между точками в математические пространства появились еще позже, с формулировкой неевклидовой геометрии в XIX веке . Определение евклидовой нормы и евклидова расстояния для геометрий более трех измерений также впервые появилось в 19 веке, в работе Огюстена-Луи Коши .