Параболоид
Эта статья нуждается в дополнительных ссылок для проверки . ( июнь 2020 г. ) |
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/12/Paraboloid_of_Revolution.svg/220px-Paraboloid_of_Revolution.svg.png)
В геометрии параболоид , — это квадрика имеющая ровно одну ось симметрии и не имеющая центра симметрии . Термин «параболоид» происходит от слова парабола , которое относится к коническому сечению , имеющему аналогичное свойство симметрии.
Каждое плоское сечение параболоида плоскостью, параллельной оси симметрии, является параболой. Параболоид является гиперболическим, если каждое второе плоское сечение является либо гиперболой , либо двумя пересекающимися прямыми (в случае сечения касательной плоскостью). Параболоид является эллиптическим, если любое другое непустое плоское сечение представляет собой либо эллипс , либо одну точку (в случае сечения касательной плоскостью). Параболоид бывает эллиптическим или гиперболическим.
Эквивалентно, параболоид может быть определен как квадратичная поверхность, которая не является цилиндром и имеет неявное уравнение , часть второй степени которого может быть разложена по комплексным числам на два разных линейных фактора. Параболоид является гиперболическим, если факторы действительны; эллиптический, если множители комплексно сопряжены .
Эллиптический параболоид имеет форму овальной чашки и имеет точку максимума или минимума, когда его ось вертикальна. В подходящей системе координат с тремя осями x , y и z это можно представить уравнением [1]
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2e/HyperbolicParaboloid.svg/220px-HyperbolicParaboloid.svg.png)
Гиперболический параболоид (не путать с гиперболоидом ) — двулинейчатая поверхность, имеющая форму седла . В подходящей системе координат гиперболический параболоид можно представить уравнением [2] [3]
Любой параболоид (эллиптический или гиперболический) является поверхностью перемещения , так как он может быть порожден движущейся параболой, направляемой второй параболой.
Свойства и приложения [ править ]
Эллиптический параболоид [ править ]
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/08/Paraboloid-3dmesh.png/220px-Paraboloid-3dmesh.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5c/Paraboloid3d.png/220px-Paraboloid3d.png)
В подходящей декартовой системе координат эллиптический параболоид имеет уравнение
Если a = b , эллиптический параболоид является круговым параболоидом или параболоидом вращения . Это поверхность вращения , полученная вращением параболы вокруг своей оси.
Круглый параболоид содержит круги. Это справедливо и в общем случае (см. раздел «Циркуляр» ).
С точки зрения проективной геометрии эллиптический параболоид — это эллипсоид плоскости , касающийся на бесконечности .
- Плоские сечения
Плоские сечения эллиптического параболоида могут быть:
- парабола , если плоскость параллельна оси,
- точка является , если плоскость касательной .
- в противном случае эллипс значение или пустое .
Параболический отражатель [ править ]
На оси круглого параболоида есть точка, называемая фокусом (или фокальной точкой ), такая, что, если параболоид является зеркалом, свет (или другие волны) от точечного источника в фокусе отражается в параллельный луч. , параллельно оси параболоида. Это работает и наоборот: параллельный луч света, параллельный оси параболоида, концентрируется в фокусной точке. Доказательство см. в разделе Парабола § Доказательство отражательного свойства .
Поэтому форма кругового параболоида широко используется в астрономии для параболических рефлекторов и параболических антенн.
Поверхность вращающейся жидкости также представляет собой круглый параболоид. Он используется в телескопах с жидкими зеркалами и при изготовлении зеркал телескопов с твердыми частицами (см. Вращающуюся печь ).
-
Параллельные лучи, попадающие в круглое параболоидное зеркало, отражаются в фокусную точку F или наоборот .
-
Параболический отражатель
-
Вращающаяся вода в стакане
Гиперболический параболоид [ править ]
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/01/Hyperbolic-paraboloid.svg/220px-Hyperbolic-paraboloid.svg.png)
Гиперболический параболоид представляет собой двулинейчатую поверхность : он содержит два семейства взаимно скошенных линий . Линии в каждом семействе параллельны общей плоскости, но не друг другу. Следовательно, гиперболический параболоид является коноидом .
Эти свойства характеризуют гиперболические параболоиды и используются в одном из старейших определений гиперболических параболоидов: гиперболический параболоид — это поверхность, которая может быть образована движущейся линией, параллельной фиксированной плоскости и пересекающей две фиксированные наклонные линии .
Это свойство позволяет легко изготовить гиперболический параболоид из самых разных материалов и для самых разных целей: от бетонных крыш до закусок. В частности, жареные закуски Pringles напоминают усеченный гиперболический параболоид. [4]
Гиперболический параболоид является седловой поверхностью , так как его гауссовая кривизна в каждой точке отрицательна. Поэтому, хотя это и линейчатая поверхность, она не развертывается .
С точки зрения проективной геометрии , гиперболический параболоид — это однополостный гиперболоид плоскости , касающийся на бесконечности .
Гиперболический параболоид уравнения или (то же самое с точностью до вращения осей ) можно назвать прямоугольным гиперболическим параболоидом по аналогии с прямоугольными гиперболами .
- Плоские сечения
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/63/ParabHyper.png/220px-ParabHyper.png)
Плоское сечение гиперболического параболоида с уравнением
- линия , если плоскость параллельна оси z , и имеет уравнение вида ,
- парабола , если плоскость параллельна оси z , а сечение не является прямой,
- пара пересекающихся прямых , если плоскость является касательной ,
- гипербола , иначе .
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5a/Hyperbolic_paraboloid.stl/220px-Hyperbolic_paraboloid.stl.png)
Примеры в архитектуре [ править ]
Двухскатные крыши часто представляют собой гиперболические параболоиды, поскольку их легко построить из прямых участков материала. Некоторые примеры:
- Philips Pavilion Expo '58, Брюссель (1958)
- ИИТ Дели - Крыша зала Догра
- Собор Святой Марии, Токио , Япония (1964 г.)
- Церковь Святого Ричарда, Хэм , в Хэме, Лондон, Англия (1966)
- Собор Успения Пресвятой Богородицы , Сан-Франциско, Калифорния, США (1971 г.)
- Сэддлдоум в Калгари, Альберта, Канада (1983)
- Скандинавиум в Гетеборге, Швеция (1971)
- Океанография в Валенсии, Испания (2003 г.)
- Лондонский велопарк , Англия (2011)
- Центр отдыха и развлечений Waterworld , Рексхэм , Уэльс (1970)
- Крыша станции технического обслуживания Markham Moor , A1 (южное направление), Ноттингемшир, Англия
- Кафе «Комета» , Сокольский район, Москва, Россия (1960). Архитектор В.Володин, инженер Н.Дроздов. Снесен.
-
Железнодорожная станция Варшава Охота , пример гиперболической параболоидной конструкции.
-
Поверхность, иллюстрирующая гиперболический параболоид
-
Ресторан Los Manantiales, Сочимилько, Мексика
-
Гиперболические параболоидные тонкостенные крыши в L'Oceanogràfic , Валенсия, Испания (снято в 2019 году)
-
Крыша станции технического обслуживания Markham Moor, Ноттингемшир (фото 2009 г.)
пучками эллиптического и параболоидов Цилиндр между гиперболического
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/99/Parabol-el-zy-hy-s.svg/400px-Parabol-el-zy-hy-s.svg.png)
Карандаш . эллиптических параболоидов
Кривизна [ править ]
Эллиптический параболоид, параметризованный просто как
Гиперболический параболоид, [2] когда параметризован как
Геометрическое изображение таблицы умножения [ править ]
Если гиперболический параболоид
Два параболоида R 2 → R- функции
Размеры параболоидной тарелки [ править ]
Размеры симметричной параболоидной тарелки связаны уравнением
Более сложный расчет необходим для нахождения диаметра тарелки, измеренного по ее поверхности . Иногда его называют «линейным диаметром», и он равен диаметру плоского круглого листа материала, обычно металла, подходящего размера, который можно разрезать и согнуть для изготовления блюда. При расчете полезны два промежуточных результата: P = 2 F (или эквивалент: P = р 2 / 2 D ) и Q = √ P 2 + Р 2 , где F , D и R определены, как указано выше. Тогда диаметр тарелки, измеренный вдоль поверхности, определяется выражением
Объем блюда, количество жидкости, которое оно могло бы вместить, если бы край был горизонтальным, а вершина находилась внизу (например, емкость параболоидного вока ), определяется выражением
См. также [ править ]
- Эллипсоид - поверхность квадрики, похожая на деформированную сферу.
- Гиперболоид - неограниченная квадратичная поверхность.
- Параболический громкоговоритель - динамик параболической формы, создающий когерентные плоские волны.
- Параболический отражатель - отражатель, имеющий форму параболоида.
Ссылки [ править ]
- ^ Томас, Джордж Б.; Морис Д. Вейр; Джоэл Хасс ; Фрэнк Р. Джордиано (2005). Исчисление Томаса, 11-е изд . Пирсон Эдьюкейшн, Инк. п. 892. ИСБН 0-321-18558-7 .
- ^ Перейти обратно: а б Вайсштейн, Эрик В. «Гиперболический параболоид». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/HyperbolicParaboloid.html
- ^ Томас, Джордж Б.; Морис Д. Вейр; Джоэл Хасс; Фрэнк Р. Джордиано (2005). Исчисление Томаса, 11-е изд . Пирсон Эдьюкейшн, Инк. п. 896. ИСБН 0-321-18558-7 .
- ^ Зилл, Деннис Г.; Райт, Уоррен С. (2011), Исчисление: ранние трансценденталии , Jones & Bartlett Publishers, стр. 649, ISBN 9781449644482 .
Внешние ссылки [ править ]
СМИ, связанные с параболоидом, на Викискладе?