Параболоид

Параболоид революции

В геометрии параболоид — это квадрика , имеющая ровно одну ось симметрии и не имеющая центра симметрии . Термин «параболоид» происходит от слова парабола , которое относится к коническому сечению , имеющему аналогичное свойство симметрии.

Каждое плоское сечение параболоида плоскостью, параллельной оси симметрии, является параболой. Параболоид является гиперболическим, если каждое второе плоское сечение является либо гиперболой , либо двумя пересекающимися прямыми (в случае сечения касательной плоскостью). Параболоид является эллиптическим, если любое другое непустое плоское сечение представляет собой либо эллипс , либо одну точку (в случае сечения касательной плоскостью). Параболоид бывает эллиптическим или гиперболическим.

Эквивалентно, параболоид может быть определен как квадратичная поверхность, которая не является цилиндром и имеет неявное уравнение , часть второй степени которого может быть разложена по комплексным числам на два разных линейных фактора. Параболоид является гиперболическим, если факторы действительны; эллиптический, если множители комплексно сопряжены .

Эллиптический параболоид имеет форму овальной чашки и имеет точку максимума или минимума, когда его ось вертикальна. В подходящей системе координат с тремя осями x , y и z это можно представить уравнением

$$z={\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}.$$

где a и b — константы, определяющие уровень кривизны в плоскостях xz и yz соответственно. В этом положении эллиптический параболоид открывается вверх.

Гиперболический параболоид

Гиперболический параболоид (не путать с гиперболоидом ) — это двулинейчатая поверхность , имеющая форму седла . В подходящей системе координат гиперболический параболоид можно представить уравнением

$$z={\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}.$$

В этом положении гиперболический параболоид открывается вниз по оси x и вверх по оси y (то есть парабола в плоскости x = 0 открывается вверх, а парабола в плоскости y = 0 открывается вниз).

Любой параболоид (эллиптический или гиперболический) является поверхностью перемещения , так как он может быть порожден движущейся параболой, направляемой второй параболой.

Свойства и приложения

Эллиптический параболоид

Полигональная сетка круглого параболоида

Круглый параболоид

В подходящей декартовой системе координат эллиптический параболоид имеет уравнение

$$z={\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}.$$

Если a = b , эллиптический параболоид является круговым параболоидом или параболоидом вращения . Это поверхность вращения, полученная вращением параболы вокруг своей оси.

Круглый параболоид содержит круги. Это справедливо и в общем случае (см. раздел «Циркуляр» ).

С точки зрения проективной геометрии эллиптический параболоид — это эллипсоид плоскости , касающийся на бесконечности .

Плоские сечения

Плоские сечения эллиптического параболоида могут быть:

• парабола , если плоскость параллельна оси,
• точка , если плоскость является касательной .
• в противном случае эллипс значение или пустое .

Параболический отражатель

Основные статьи: Параболический рефлектор и параболическая антенна

На оси круглого параболоида есть точка, называемая фокусом (или фокальной точкой ), такая, что, если параболоид является зеркалом, свет (или другие волны) от точечного источника в фокусе отражается в параллельный луч. , параллельно оси параболоида. Это работает и наоборот: параллельный луч света, параллельный оси параболоида, концентрируется в фокусной точке. Доказательство см. в разделе Парабола § Доказательство отражательного свойства .

Поэтому форма кругового параболоида широко используется в астрономии для параболических рефлекторов и параболических антенн.

Поверхность вращающейся жидкости также представляет собой круглый параболоид. Он используется в телескопах с жидкими зеркалами и при изготовлении зеркал телескопов с твердыми частицами (см. Вращающуюся печь ).

• 
  Параллельные лучи, попадающие в круглое параболоидное зеркало, отражаются в фокусную точку F или наоборот.
• 
  Параболический отражатель
• 
  Вращающаяся вода в стакане

Гиперболический параболоид

Гиперболический параболоид с содержащимися в нем прямыми.

Жареные закуски Pringles имеют форму гиперболического параболоида.

Гиперболический параболоид представляет собой двулинейчатую поверхность : он содержит два семейства взаимно скошенных линий . Линии в каждом семействе параллельны общей плоскости, но не друг другу. Следовательно, гиперболический параболоид является коноидом .

Эти свойства характеризуют гиперболические параболоиды и используются в одном из старейших определений гиперболических параболоидов: гиперболический параболоид — это поверхность, которая может быть образована движущейся линией, параллельной фиксированной плоскости и пересекающей две фиксированные наклонные линии .

Это свойство позволяет легко изготовить гиперболический параболоид из самых разных материалов и для самых разных целей: от бетонных крыш до закусок. В частности, жареные закуски Pringles напоминают усеченный гиперболический параболоид.

Гиперболический параболоид является седловой поверхностью , так как его гауссовая кривизна в каждой точке отрицательна. Поэтому, хотя это и линейчатая поверхность, она не развертывается .

С точки зрения проективной геометрии , гиперболический параболоид — это однополостный гиперболоид , касающийся плоскости на бесконечности .

Гиперболический параболоид уравнения $z=axy$ или $z={\tfrac {a}{2}}(x^{2}-y^{2})$ (то же самое с точностью до вращения осей ) можно назвать прямоугольным гиперболическим параболоидом по аналогии с прямоугольными гиперболами .

Плоские сечения

Гиперболический параболоид с гиперболами и параболами.

Плоское сечение гиперболического параболоида с уравнением

$$z={\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}$$

может быть

• линия , если плоскость параллельна оси z , и имеет уравнение вида $bx\pm ay+b=0$,
• парабола , , если плоскость параллельна оси z , а сечение не является прямой
• пара пересекающихся прямых , если плоскость является касательной ,
• гипербола , иначе.

STL Модель гиперболического параболоида

Примеры в архитектуре

Двухскатные крыши часто представляют собой гиперболические параболоиды, поскольку их легко построить из прямых участков материала. Некоторые примеры:

• Philips Pavilion Expo '58, Брюссель (1958)
• ИИТ Дели - Крыша зала Догра
• Собор Святой Марии, Токио , Япония (1964 г.)
• Церковь Святого Ричарда, Хэм , в Хэме, Лондон, Англия (1966)
• Собор Успения Пресвятой Богородицы , Сан-Франциско, Калифорния, США (1971 г.)
• Сэддлдоум в Калгари, Альберта, Канада (1983)
• Скандинавиум в Гетеборге, Швеция (1971)
• Океанография в Валенсии, Испания (2003 г.)
• Лондонский велопарк , Англия (2011)
• Центр отдыха и развлечений Waterworld , Рексхэм , Уэльс (1970)
• Крыша станции технического обслуживания Markham Moor , A1 (южное направление), Ноттингемшир, Англия
• Cafe "Kometa" , Sokol district, Moscow, Russia (1960). Architect V.Volodin, engineer N.Drozdov. Demolished.

• 
  Железнодорожная станция Варшава Охота , пример гиперболической параболоидной конструкции.
• 
  Поверхность, иллюстрирующая гиперболический параболоид
• 
  Ресторан Los Manantiales, Сочимилько, Мексика
• 
  Гиперболические параболоидные тонкостенные крыши в L'Oceanogràfic , Валенсия, Испания (снято в 2019 году)
• 
  Крыша станции технического обслуживания Markham Moor, Ноттингемшир (фото 2009 г.)

эллиптического и

эллиптический параболоид, параболический цилиндр, гиперболический параболоид

Карандаш . эллиптических параболоидов

$$z=x^{2}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}},\ b>0,$$

и пучок гиперболических параболоидов

$$z=x^{2}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}},\ b>0,$$

приблизиться к той же поверхности

$$z=x^{2}$$

для $b\rightarrow \infty$,который представляет собой параболический цилиндр (см. изображение).

Кривизна

Эллиптический параболоид, параметризованный просто как

$${\vec {\sigma }}(u,v)=\left(u,v,{\frac {u^{2}}{a^{2}}}+{\frac {v^{2}}{b^{2}}}\right)$$

имеет гауссову кривизну

$$K(u,v)={\frac {4}{a^{2}b^{2}\left(1+{\frac {4u^{2}}{a^{4}}}+{\frac {4v^{2}}{b^{4}}}\right)^{2}}}$$

и средняя кривизна

$$H(u,v)={\frac {a^{2}+b^{2}+{\frac {4u^{2}}{a^{2}}}+{\frac {4v^{2}}{b^{2}}}}{a^{2}b^{2}{\sqrt {\left(1+{\frac {4u^{2}}{a^{4}}}+{\frac {4v^{2}}{b^{4}}}\right)^{3}}}}}$$

которые всегда положительны, имеют максимум в начале координат, уменьшаются по мере удаления точки на поверхности от начала координат и асимптотически стремятся к нулю, когда указанная точка бесконечно удаляется от начала координат.

Гиперболический параболоид, когда параметризован как

$${\vec {\sigma }}(u,v)=\left(u,v,{\frac {u^{2}}{a^{2}}}-{\frac {v^{2}}{b^{2}}}\right)$$

имеет гауссову кривизну

$$K(u,v)={\frac {-4}{a^{2}b^{2}\left(1+{\frac {4u^{2}}{a^{4}}}+{\frac {4v^{2}}{b^{4}}}\right)^{2}}}$$

и средняя кривизна

$$H(u,v)={\frac {-a^{2}+b^{2}-{\frac {4u^{2}}{a^{2}}}+{\frac {4v^{2}}{b^{2}}}}{a^{2}b^{2}{\sqrt {\left(1+{\frac {4u^{2}}{a^{4}}}+{\frac {4v^{2}}{b^{4}}}\right)^{3}}}}}.$$

Геометрическое изображение таблицы умножения

Если гиперболический параболоид

$$z={\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}$$

поворачивается на угол π / 4 в направлении + z (по правилу правой руки ), в результате получается поверхность

$$z=\left({\frac {x^{2}+y^{2}}{2}}\right)\left({\frac {1}{a^{2}}}-{\frac {1}{b^{2}}}\right)+xy\left({\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}\right)$$

и если a = b, то это упрощается до

$$z={\frac {2xy}{a^{2}}}.$$

Наконец, полагая a = √ 2 , мы видим, что гиперболический параболоид

$$z={\frac {x^{2}-y^{2}}{2}}.$$

конгруэнтна поверхности

$$z=xy$$

трехмерную номограмму которую можно рассматривать как геометрическое представление ( как бы ) таблицы умножения .

Два параболоида R ² → R -функции

$$z_{1}(x,y)={\frac {x^{2}-y^{2}}{2}}$$

и

$$z_{2}(x,y)=xy$$

являются гармонически сопряженными и вместе образуют аналитическую функцию

$$f(z)={\frac {z^{2}}{2}}=f(x+yi)=z_{1}(x,y)+iz_{2}(x,y)$$

которая является аналитическим продолжением R → R f параболической функции ( x ) = х ² / 2 .

Размеры параболоидной тарелки

Размеры симметричной параболоидной тарелки связаны уравнением

$$4FD=R^{2},$$

где F — фокусное расстояние, D — глубина тарелки (измеряется вдоль оси симметрии от вершины до плоскости обода), R — радиус обода. Все они должны быть в одной и той же единице длины . Если известны две из этих трех длин, это уравнение можно использовать для расчета третьей.

Более сложный расчет необходим для нахождения диаметра тарелки, измеренного по ее поверхности . Иногда его называют «линейным диаметром», и он равен диаметру плоского круглого листа материала, обычно металла, подходящего размера, который можно разрезать и согнуть для изготовления блюда. При расчете полезны два промежуточных результата: P = 2 F (или эквивалент: P = Р ² / 2 D ) и Q знак равно √ P ² + Р ² , где F , D и R определены, как указано выше. Тогда диаметр тарелки, измеренный вдоль поверхности, определяется выражением

$${\frac {RQ}{P}}+P\ln \left({\frac {R+Q}{P}}\right),$$

где ln x означает натуральный логарифм x основанию , т.е. его логарифм по e .

Объем блюда, количество жидкости, которое оно могло бы вместить, если бы край был горизонтальным, а вершина находилась внизу (например, емкость параболоидного вока ), определяется выражением

$${\frac {\pi }{2}}R^{2}D,$$

где символы определены, как указано выше. Это можно сравнить с формулами объёмов цилиндра ( π R ² Д ), полушарие ( 2π / 3R ² D , где D = R ), и конус ( π / 3R ² Д ). π Р ² - это площадь апертуры тарелки, площадь, ограниченная ободом, которая пропорциональна количеству солнечного света, которое может перехватить рефлекторная тарелка. Площадь поверхности параболической тарелки можно найти по формуле площади поверхности вращения , которая дает

$$A={\frac {\pi R\left({\sqrt {(R^{2}+4D^{2})^{3}}}-R^{3}\right)}{6D^{2}}}.$$

См. также

• Эллипсоид - поверхность квадрики, похожая на деформированную сферу.
• Гиперболоид - неограниченная квадратичная поверхность.
• Параболический громкоговоритель - динамик параболической формы, создающий когерентные плоские волны.
• Параболический отражатель - отражатель, имеющий форму параболоида.

Внешние ссылки

• СМИ, связанные с параболоидом, на Викискладе?