Гиперболоид

Не путать с гиперболическим параболоидом , седловидной поверхностью.

Гиперболоид одного листа

коническая поверхность между ними

Гиперболоид из двух листов

В геометрии гиперболоид вращения , иногда называемый круговым гиперболоидом , представляет собой поверхность , образованную вращением гиперболы вокруг одной из ее главных осей . Гиперболоид — это поверхность , полученная из гиперболоида вращения путем его деформации с помощью направленного масштабирования или, в более общем смысле, аффинного преобразования .

Гиперболоид — это квадрика , то есть поверхность определяемая как множество нулей многочлена , второй степени от трёх переменных. Среди квадратичных поверхностей гиперболоид характеризуется тем, что не является конусом или цилиндром , имеет центр симметрии и пересекает множество плоскостей в гиперболы. Гиперболоид имеет три попарно перпендикулярные оси симметрии и три попарно перпендикулярные плоскости симметрии .

Учитывая гиперболоид, можно выбрать декартову систему координат так, чтобы гиперболоид определялся одним из следующих уравнений:

$${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=1,$$

или

$${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=-1.$$

Координатные оси являются осями симметрии гиперболоида, а начало координат — центром симметрии гиперболоида. В любом случае гиперболоид асимптотичен конусу уравнений:

$${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=0.$$

Гиперболоид революции существует тогда и только тогда, когда $a^{2}=b^{2}.$ В противном случае оси определяются однозначно ( вплоть до замены оси x и оси y ).

Существует два вида гиперболоидов. В первом случае ( +1 в правой части уравнения): однополостный гиперболоид , также называемый гиперболическим гиперболоидом . Это связная поверхность , имеющая отрицательную гауссову кривизну в каждой точке . Это означает, что вблизи каждой точки пересечение гиперболоида и его касательной плоскости в этой точке состоит из двух ветвей кривой, имеющих различные касательные в этой точке. В случае однополостного гиперболоида эти ветви кривых представляют собой линии , и, таким образом, однополостный гиперболоид представляет собой двулинейчатую поверхность.

Во втором случае ( −1 в правой части уравнения): двухполостный гиперболоид , также называемый эллиптическим гиперболоидом . Поверхность имеет две связные компоненты и положительную гауссову кривизну в каждой точке. Поверхность выпукла в том смысле, что касательная плоскость в каждой точке пересекает поверхность только в этой точке.

Параметрические представления

Анимация гиперболоида вращения

Декартовы координаты для гиперболоидов могут быть определены аналогично сферическим координатам , сохраняя азимута угол θ ∈ [0, 2 π ) , но изменяя наклон v на гиперболические тригонометрические функции :

Одноповерхностный гиперболоид: v ∈ (−∞, ∞)

$${\begin{aligned}x&=a\cosh v\cos \theta \\y&=b\cosh v\sin \theta \\z&=c\sinh v\end{aligned}}$$

Двухповерхностный гиперболоид: v ∈ [0, ∞)

$${\begin{aligned}x&=a\sinh v\cos \theta \\y&=b\sinh v\sin \theta \\z&=\pm c\cosh v\end{aligned}}$$

гиперболоид одного листа: генерация вращающейся гиперболой (вверху) и линией (внизу: красная или синяя)

однолистный гиперболоид: плоские сечения

Следующее параметрическое представление включает однолистные, двухлистовые гиперболоиды и их общий граничный конус, каждый из которых имеет $z$-ось как ось симметрии:

$$\mathbf {x} (s,t)=\left({\begin{array}{lll}a{\sqrt {s^{2}+d}}\cos t\\b{\sqrt {s^{2}+d}}\sin t\\cs\end{array}}\right)$$

• Для $d>0$ получается однолистный гиперболоид,
• Для $d<0$ гиперболоид из двух листов, и
• Для $d=0$ двойной конус.

Можно получить параметрическое представление гиперболоида с другой осью координат в качестве оси симметрии, перетасовав положение $cs$ член к соответствующему компоненту в приведенном выше уравнении.

Обобщенные уравнения

В более общем смысле, произвольно ориентированный гиперболоид с центром в v определяется уравнением

$$(\mathbf {x} -\mathbf {v} )^{\mathrm {T} }A(\mathbf {x} -\mathbf {v} )=1,$$

где A — матрица , а x , v — векторы .

Собственные векторы A A определяют главные направления гиперболоида, а собственные значения являются обратными квадратам полуосей: ${1/a^{2}}$, ${1/b^{2}}$ и ${1/c^{2}}$. Однополостный гиперболоид имеет два положительных собственных значения и одно отрицательное собственное значение. Двухполостный гиперболоид имеет одно положительное собственное значение и два отрицательных собственных значения.

Свойства

Однолистный гиперболоид

Линии на поверхности

• Однолистный гиперболоид содержит два пучка линий. Это двулинейчатая поверхность .

Если гиперболоид имеет уравнение ${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=1$ затем строки

$$g_{\alpha }^{\pm }:\mathbf {x} (t)={\begin{pmatrix}a\cos \alpha \\b\sin \alpha \\0\end{pmatrix}}+t\cdot {\begin{pmatrix}-a\sin \alpha \\b\cos \alpha \\\pm c\end{pmatrix}}\ ,\quad t\in \mathbb {R} ,\ 0\leq \alpha \leq 2\pi \$$

содержатся в поверхности.

В случае $a=b$ гиперболоид представляет собой поверхность вращения и может быть создан путем вращения одной из двух линий. $g_{0}^{+}$ или $g_{0}^{-}$, которые наклонены к оси вращения (см. рисунок). Это свойство называется Рена теоремой . Более распространенное создание однополостного гиперболоида вращения - это вращение гиперболы вокруг ее малой полуоси (см. Рисунок; вращение гиперболы вокруг другой оси дает двухполостную гиперболу вращения).

Однополостный гиперболоид проективно эквивалентен гиперболическому параболоиду .

Сечения плоскости

Для простоты плоские сечения единичного гиперболоида с уравнением $\ H_{1}:x^{2}+y^{2}-z^{2}=1$ считаются. Поскольку гиперболоид общего положения является аффинным образом единичного гиперболоида, результат применим и к общему случаю.

• Плоскость с наклоном менее 1 (1 — наклон прямых на гиперболоиде) пересекает $H_{1}$ в эллипсе ,
• Плоскость с наклоном, равным 1, содержащая начало координат, пересекает $H_{1}$ в паре параллельных линий ,
• Плоскость с наклоном, равным 1, не содержащая начало координат, пересекает $H_{1}$ в параболе ,
• Касательная плоскость пересекает $H_{1}$ в паре пересекающихся линий ,
• Некасательная плоскость с наклоном больше 1 пересекает $H_{1}$ в гиперболе .

Очевидно, что любой однополостный гиперболоид вращения содержит окружности. Это также верно, но менее очевидно в общем случае (см. круговой раздел ).

Гиперболоид из двух листов

гиперболоид двух листов: генерация вращением гиперболы

гиперболоид двух листов: плоские сечения

Двухлистный гиперболоид не содержит прямых. Рассмотрение плоских сечений можно вести для единичного двухлистового гиперболоида с уравнением

$$H_{2}:\ x^{2}+y^{2}-z^{2}=-1.$$

который может быть порожден вращением гиперболы вокруг одной из своих осей (той, которая разрезает гиперболу)

• Плоскость с наклоном меньше 1 (1 — наклон асимптот порождающей гиперболы) пересекает $H_{2}$ либо в эллипсе , либо в точке , либо вообще нет,
• Плоскость с наклоном, равным 1, содержащая начало координат (середину гиперболоида), не пересекает $H_{2}$,
• Плоскость с наклоном, равным 1, не содержащая начало координат, пересекает $H_{2}$ в параболе ,
• Плоскость с наклоном больше 1 пересекает $H_{2}$ в гиперболе .

Очевидно, что любой двухполостный гиперболоид вращения содержит окружности. Это также верно, но менее очевидно в общем случае (см. круговой раздел ).

Примечание. Двухлистный гиперболоид проективно эквивалентен сфере.

Другая недвижимость

Симметрии

Гиперболоиды с уравнениями

$${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1,\quad {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=-1$$

являются

• точки, симметричные началу координат,
• симметричны координатным плоскостям и
• вращательно-симметрично оси z и симметрично любой плоскости, содержащей ось z, в случае $a=b$ (гиперболоид революции).

Кривизна

В то время как гауссова кривизна однополостного гиперболоида отрицательна, двухполостного гиперболоида положительна. Двухлистный гиперболоид с другой подходящей метрикой, несмотря на свою положительную кривизну, также может быть использован в качестве модели гиперболической геометрии.

В более чем трёх измерениях

Воображаемые гиперболоиды часто встречаются в математике высших измерений. Например, в псевдоевклидовом пространстве используется квадратичная форма :

$$q(x)=\left(x_{1}^{2}+\cdots +x_{k}^{2}\right)-\left(x_{k+1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}\right),\quad k<n.$$

Когда c — любая константа , то часть пространства, заданная выражением

$$\lbrace x\ :\ q(x)=c\rbrace$$

называется гиперболоидом . Вырожденный случай соответствует c = 0 .

В качестве примера рассмотрим следующий отрывок:

... векторы скорости всегда лежат на поверхности, которую Минковский называет четырехмерным гиперболоидом, поскольку, выраженное в терминах чисто вещественных координат ( y ₁ , ..., y ₄ ) , ее уравнение равно y ²
₁₊ ​ и ²
₂₊ ​ и ²
₃ - и ²
₄ = −1 , аналог гиперболоида y ²
₁₊ ​ и ²
₂ - и ²
₃ = −1 трехмерного пространства.

Однако термин «квазисфера» также используется в этом контексте, поскольку сфера и гиперболоид имеют некоторую общность (см. § Связь со сферой ниже).

Гиперболоидные конструкции

Основная статья: Гиперболоидная структура

В построении используются однолистные гиперболоиды, причем конструкции называются гиперболоидными конструкциями . Гиперболоид — это двулинейчатая поверхность ; таким образом, его можно построить из прямых стальных балок, создав прочную конструкцию с меньшими затратами, чем другие методы. Примеры включают градирни , особенно электростанций , и многие другие конструкции .

• Галерея однолистных гиперболоидных структур
• 
  Маяк Аджиоголь , Украина , 1911 год.
• 
  Первая запатентованная в 1916 году Van Iterson градирня компании DSM Emma в Херлене , Нидерланды , 1918 год.
• 
  Башня порта Кобе , Япония , 1963 год.
• 
  Макдоннелла Научного центра Сент-Луиса Джеймса С. Планетарий , Сент-Луис , штат Миссури , 1963 год.
• 
  Диспетчерская вышка международного аэропорта Ньюкасл , Ньюкасл-апон-Тайн , Англия , 1967 год.
• 
  Башня электропередачи Ештед , Чехия , 1968 год.
• 
  Собор Бразилиа , Бразилия , 1970 год.
• 
  Гиперболоидная водонапорная башня с тороидальным резервуаром, Цеханув , Польша , 1972 год.
• 
  Рой Томсон Холл , Торонто , Канада , 1982 год.
• 
  Градирня THTR-300 для выведенного из эксплуатации ториевого ядерного реактора в Хамм -Юнтропе, Германия , 1983 год.
• 
  Мост Корпорейшн -Стрит , Манчестер , Англия , 1999 год.
• 
  Смотровая башня Киллесберг , Штутгарт , Германия , 2001 год.
• 
  BMW Welt , (BMW World), музей и место проведения мероприятий, Мюнхен , Германия , 2007 г.
• 
  Кантонская башня , Китай , 2010 год.
• 
  Водонапорная башня Эссар -ле-Руа , Франция .

Отношение к сфере

В 1853 году Уильям Роуэн Гамильтон опубликовал свои «Лекции по кватернионам» , которые включали представление бикватернионов . Следующий отрывок со страницы 673 показывает, как Гамильтон использует алгебру бикватернионов и векторы из кватернионов для создания гиперболоидов из уравнения сферы :

... уравнение единичной сферы ρ ² + 1 = 0 и измените вектор ρ на бивекторную форму , например σ + τ √ −1 . Уравнение сферы тогда распадается на систему двух следующих:

п ² − т ² + 1 знак равно 0 , С . е = 0 ;

и предлагает рассматривать σ и τ как два действительных и прямоугольных вектора, такие что

Т τ = ( Т σ ² − 1 ) ^1/2 .

Отсюда легко сделать вывод, что если мы предположим, что σ || λ , где λ — вектор в данной позиции, новый вещественный вектор σ + τ оканчивается на поверхности двулистного и равностороннего гиперболоида ; и что, если, с другой стороны, мы предположим, что τ || λ , то геометрическое место конца вещественного вектора σ + τ будет равносторонним, но однополостным гиперболоидом . Таким образом, изучение этих двух гиперболоидов очень просто связано через бикватернионы с изучением сферы; ...

В этом отрывке S — оператор, задающий скалярную часть кватерниона, а T — «тензор», который теперь называется нормой кватерниона.

Современный взгляд на объединение сферы и гиперболоида использует идею конического сечения как среза квадратичной формы . Вместо конической поверхности требуются конические гиперповерхности в четырехмерном пространстве с точками p = ( w , x , y , z ) ∈ R. ⁴ определяется квадратичными формами . Сначала рассмотрим коническую гиперповерхность

• $P=\left\{p\;:\;w^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}\right\}$ и
• $H_{r}=\lbrace p\ :\ w=r\rbrace ,$ что является гиперплоскостью .

Затем $P\cap H_{r}$ представляет собой сферу радиуса r . С другой стороны, коническая гиперповерхность

$Q=\lbrace p\ :\ w^{2}+z^{2}=x^{2}+y^{2}\rbrace$ предусматривает, что $Q\cap H_{r}$ является гиперболоидом.

В теории квадратичных форм единичная состоящее квазисфера — это подмножество квадратичного пространства X, из таких точек x ∈ X , что квадратичная норма x равна единице.

См. также

Шуховская гиперболоидная башня (1898 г.) в Выксе , Россия

• Пространство Де Ситтера
• Эллипсоид
• Список поверхностей
• Параболоид / Гиперболический параболоид
• Регулус
• Вращение осей
• Сплит-кватернион § Профиль
• Перевод осей

Ссылки

• Вильгельм Блашке (1948) Аналитическая геометрия , заглавная буква V: «Квадрикен», Wolfenbutteler Verlagsanstalt.
• Дэвид А. Брэннан, М.Ф. Эсплен и Джереми Дж. Грей (1999) Геометрия , стр. 39–41 Издательство Кембриджского университета .
• HSM Coxeter (1961) Введение в геометрию , с. 130, Джон Уайли и сыновья .

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Гиперболоид» . Математический мир .
  • Вайсштейн, Эрик В. «Однополостный гиперболоид» . Математический мир .
  • Вайсштейн, Эрик В. «Двуполостный гиперболоид» . Математический мир .
  • Вайсштейн, Эрик В. «Эллиптический гиперболоид» . Математический мир .