Псевдоевклидово пространство

В математике и теоретической физике псевдоевклидово пространство — это конечномерное вещественное n - пространство вместе с невырожденной квадратичной формой q . Такую квадратичную форму можно, при подходящем выборе базиса ( e ₁ , …, ) _en , применить к вектору x = x ₁ e ₁ + ⋯ + x _n e _n , давая

$$q(x)=\left(x_{1}^{2}+\dots +x_{k}^{2}\right)-\left(x_{k+1}^{2}+\dots +x_{n}^{2}\right)$$

который называется скалярным квадратом вектора x .

Для евклидовых пространств k = n , что означает, что квадратичная форма положительно определена. Когда 0 < k < n , q является изотропной квадратичной формой , в противном случае она анизотропна . Обратите внимание, что если 1 ⩽ i ⩽ k < j ⩽ n , то ( e i ₊ e j ₎ = 0 , так что ei _j + e _q является нулевым вектором . В псевдоевклидовом пространстве с k < n , в отличие от евклидова пространства, существуют векторы с отрицательным квадратом скаляра.

Как и в случае с термином «евклидово пространство» , термин «псевклидово пространство» может использоваться для обозначения аффинного пространства или векторного пространства в зависимости от автора, причем последнее альтернативно называется псевдоевклидовым векторным пространством. (см. различие между точкой и вектором ).

Геометрия

Геометрия псевдоевклидова пространства последовательна, несмотря на то, что некоторые свойства евклидова пространства не применяются, в первую очередь то, что оно не является метрическим пространством, как объясняется ниже. Аффинная структура неизменна, а значит, и понятия линия , плоскость и вообще аффинное подпространство ( плоское ), а также отрезки прямой .

Положительные, нулевые и

n = 3 , k 2 в зависимости от выбора знака q равно 1 или

Нулевой вектор — это вектор, для которого квадратичная форма равна нулю. В отличие от евклидова пространства, такой вектор может быть ненулевым, и в этом случае он самоортогонален .Если квадратичная форма неопределенна, псевдоевклидово пространство имеет линейный конус нулевых векторов, заданный формулой { x | q ( ​​Икс ) знак равно 0 } . Когда псевдоевклидово пространство представляет собой модель пространства-времени (см. ниже ), нулевой конус называется световым конусом начала координат.

Нулевой конус разделяет два открытых множества . соответственно, для которых q ( x ) > 0 и q ( x ) < 0 . Если k ≥ 2 , то множество векторов, для которых q ( x ) > 0 связно , . Если k = 1 , то он состоит из двух непересекающихся частей: одной с x ₁ > 0 , а другой с x ₁ < 0 . Аналогично, если n − k ≥ 2 , то множество векторов, для которых q ( x ) < 0, связно. Если n − k = 1 , то он состоит из двух непересекающихся частей: одной с x _n > 0 , а другой с x _n < 0 .

Интервал

Квадратичная форма q соответствует квадрату вектора в евклидовом случае. Чтобы определить векторную норму (и расстояние) инвариантным способом , необходимо получить квадратные корни из скалярных квадратов, что приводит, возможно, к мнимым расстояниям; увидеть квадратный корень из отрицательных чисел . Но даже для треугольника с положительными скалярными квадратами всех трех сторон (квадратные корни которого действительны и положительны) неравенство треугольника , вообще говоря, не выполняется.

термины норма и расстояние Следовательно, в псевдоевклидовой геометрии избегаются , которые можно заменить скалярным квадратом и интервалом соответственно.

Однако для кривой которой , все касательные векторы имеют скалярные квадраты одного знака, длина дуги определена. У него есть важные применения: увидеть собственное время например, .

Вращения и сферы

Группа вращений неопределенная такого пространства — это ортогональная группа O( q ) , также обозначаемая как O( k , n − k ) без ссылки на конкретную квадратичную форму. Такие «повороты» сохраняют форму q и, следовательно, скалярный квадрат каждого вектора, включая то, является ли он положительным, нулевым или отрицательным.

В то время как евклидово пространство имеет единичную сферу , псевдоевклидово пространство имеет гиперповерхности { x | q ( ​​Икс ) знак равно 1 } и { Икс | q ( ​​Икс ) знак равно -1 } . Такая гиперповерхность, называемая квазисферой , сохраняется соответствующей неопределенной ортогональной группой.

Симметричная билинейная форма

Квадратичная форма q порождает симметричную билинейную форму, определяемую следующим образом:

$$\langle x,y\rangle ={\tfrac {1}{2}}[q(x+y)-q(x)-q(y)]=\left(x_{1}y_{1}+\ldots +x_{k}y_{k}\right)-\left(x_{k+1}y_{k+1}+\ldots +x_{n}y_{n}\right).$$

Квадратичная форма может быть выражена через билинейную форму: q ( x ) = ⟨ x , x ⟩ .

Когда ⟨ x , y ⟩ = 0 , то x и y — ортогональные векторы псевдоевклидова пространства.

Эту билинейную форму часто называют скалярным произведением , а иногда и «внутренним произведением» или «скалярным произведением», но она не определяет пространство внутреннего произведения и не обладает свойствами скалярного произведения евклидовых векторов.

Если x и y ортогональны и ( x ) q ( y ) < 0 , то x гиперболически -ортогонален y q .

Стандартный базис реального n -пространства ортогонален . нет ортонормальных базисов В псевдоевклидовом пространстве , для которых билинейная форма неопределенна, поскольку ее нельзя использовать для определения векторной нормы .

Подпространства и ортогональность

Для (положительномерного) подпространства U псевдоевклидова пространства, когда квадратичная форма ограничена U , q возможны следующие три случая:

1. д | _U либо положительно, либо отрицательно определен . Тогда U существенно евклидово (с точностью до знака q ).
2. д | _U неопределенно, но невырождено. Тогда U само является псевдоевклидовым. Это возможно только в том случае, если dim   U ≥ 2 ; если dim U = 2 , что означает, что U — плоскость , то она называется гиперболической плоскостью .
3. д | _У деградировал.

Одним из наиболее неприятных свойств (с точки зрения евклидовой интуиции) псевдоевклидовых векторов и квартир является их ортогональность . Когда два ненулевых евклидовых вектора ортогональны, они не коллинеарны . Пересечения любого евклидова линейного подпространства с его ортогональным дополнением представляют собой {0} подпространство . Но из определения из предыдущего подраздела сразу следует, что любой вектор ν нулевого скалярного квадрата ортогонален сам себе. Следовательно, изотропная линия N = ⟨ ν ⟩, порожденная нулевым вектором ν, является подмножеством его ортогонального дополнения N ^⊥ .

Формальное определение ортогонального дополнения векторного подпространства в псевдоевклидовом пространстве дает совершенно корректный результат, который удовлетворяет равенству dim U + dim U ^⊥ = n из-за невырожденности квадратичной формы. Это просто условие

У ∩ У ^⊥ = {0} или, что то же самое, U + U ^⊥ = все пространство,

которое можно нарушить, если подпространство U содержит нулевое направление. Хотя подпространства образуют решетку , как и в любом векторном пространстве, эта ⊥ операция не является ортодополнением , в отличие от пространств внутреннего произведения .

Для подпространства N, состоящего полностью из нулевых векторов (что означает, что скалярный квадрат q , ограниченный N , равен 0 ), всегда выполняется:

Н ⊂ Н ^⊥ или, что то же самое, N ∩ N ^⊥ = Н. ​

до min( k , n − k ) Такое подпространство может иметь размерность .

Для (положительного) евклидова k -подпространства его ортогональным дополнением является ( n - k ) -мерное отрицательное «евклидово» подпространство, и наоборот.Обычно для ( d ₊ + d _- + d ₀ ) -мерного подпространства U, состоящего из d ₊ положительных и d _- отрицательных измерений (см. закон инерции Сильвестра для пояснения), его ортогональное «дополнение» U ^⊥ имеет ( k − d ₊ − d ₀ ) положительные и ( n − k − d ₋ − d ₀ ) отрицательные размерности, а остальные d ₀ вырождены и образуют U ∩ U ^⊥ пересечение.

Закон параллелограмма

Закон параллелограмма принимает вид

$q(x)+q(y)={\tfrac {1}{2}}(q(x+y)+q(x-y)).$

Используя квадрат тождества суммы , для произвольного треугольника можно выразить скалярный квадрат третьей стороны из скалярных квадратов двух сторон и произведения их билинейной формы:

$q(x+y)=q(x)+q(y)+2\langle x,y\rangle .$

Это показывает, что для ортогональных векторов справедлив псевдоевклидов аналог теоремы Пифагора :

$\langle x,y\rangle =0\Rightarrow q(x)+q(y)=q(x+y).$

Угол

Как правило, абсолютное значение | ⟨ х , у ⟩ | билинейной формы на двух векторах может быть больше, чем √ | q ( ​​Икс ) q ( y ) | , равно ему или меньше. Это вызывает те же проблемы с определением угла (см. Скалярное произведение § Геометрическое определение ), как показано выше для расстояний.

Если k = 1 (только один положительный член в q ), то для векторов положительного скалярного квадрата:

$$|\langle x,y\rangle |\geq {\sqrt {q(x)q(y)}}\,,$$

что позволяет определить гиперболический угол , аналог угла между этими векторами через обратный гиперболический косинус :

$$\operatorname {arcosh} {\frac {|\langle x,y\rangle |}{\sqrt {q(x)q(y)}}}\,.$$

Оно соответствует расстоянию в ( n − 1) -мерном гиперболическом пространстве . Это известно как быстрота в контексте теории относительности, обсуждаемой ниже . В отличие от угла Евклида, он принимает значения из [0, +∞) и равен 0 для антипараллельных векторов .

Не существует разумного определения угла между нулевым вектором и другим вектором (нулевым или ненулевым).

Алгебра и тензорное исчисление

Подобно евклидовым пространствам, каждое псевдоевклидово векторное пространство порождает алгебру Клиффорда . В отличие от свойств, приведенных выше, где замена q на − q меняла числа, но не геометрию , изменение знака квадратичной формы приводит к отдельной алгебре Клиффорда, поэтому, например, Cl _1,2 ( R ) и Cl _2,1 ( R ) являются не изоморфен.

Как и в любом векторном пространстве, существуют псевдоевклидовы тензоры . Как и в евклидовой структуре, здесь есть операторы повышения и понижения индексов , но, в отличие от случая с евклидовыми тензорами , нет баз, в которых эти операции не изменяли бы значения компонентов . Если существует вектор v ^б , соответствующий ковариантный вектор :

$v_{\alpha }=q_{\alpha \beta }v^{\beta }\,,$

и со стандартной формой

$q_{\alpha \beta }={\begin{pmatrix}I_{k\times k}&0\\0&-I_{(n-k)\times (n-k)}\end{pmatrix}}$

первые k компонентов v _α численно такие же, как и компоненты v ^б , но остальные n − k имеют противоположные знаки .

Соответствие между контравариантными и ковариантными тензорами делает тензорное исчисление на псевдоримановых многообразиях обобщением исчисления на римановых многообразиях.

Примеры

Очень важным псевдоевклидовым пространством является пространство Минковского специальная теория относительности , которое представляет собой математическую основу, в которой формулируется . Для пространства Минковского n = 4 и k = 3. так что

$q(x)=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-x_{4}^{2},$

Геометрию, связанную с этой псевдометрикой, исследовал Пуанкаре . Его группа вращения — группа Лоренца . Группа Пуанкаре включает в себя также трансляции и играет ту же роль, что и евклидовы группы обычных евклидовых пространств.

Другое псевдоевклидово пространство — это плоскость z = x + yj, состоящая из расщепленных комплексных чисел , снабженная квадратичной формой

$\lVert z\rVert =zz^{*}=z^{*}z=x^{2}-y^{2}.$

Это простейший случай неопределенного псевдоевклидова пространства ( n = 2 , k = 1 ) и единственный случай, когда нулевой конус делит оставшееся пространство на четыре открытых множества. Группа СО ⁺ (1, 1) состоит из так называемых гиперболических вращений .

См. также

• Псевдориманово многообразие
• Гиперболическое уравнение
• Гиперболоидная модель
• Паравектор

Ссылки

• Картан, Эли (1981) [1938], Теория спиноров , Нью-Йорк: Dover Publications , стр. 3, ISBN  978-0-486-64070-9 , МР   0631850
• Вернер Греуб (1963) Линейная алгебра , 2-е издание, §12.4 Псевдоевклидовы пространства, стр. 237–49, Springer-Verlag.
• Уолтер Нолл (1964) «Евклидова геометрия и хронометрия Минковского», American Mathematical Monthly 71:129–44.
• Новиков, ИП; Фоменко А.Т.; [перевод с русского М. Цаплиной] (1990). Основные элементы дифференциальной геометрии и топологии . Дордрехт; Бостон: Академическое издательство Kluwer. ISBN  0-7923-1009-8 . {{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
• Секерес, Питер (2004). Курс современной математической физики: группы, гильбертово пространство и дифференциальная геометрия . Издательство Кембриджского университета . ISBN  0-521-82960-7 .
• Шафаревич, ИР ; А.О. Ремизов (2012). Линейная алгебра и геометрия . Спрингер . ISBN  978-3-642-30993-9 .

Внешние ссылки

• Д.Д. Соколов (составитель), Псевдоевклидово пространство , Энциклопедия математики