Математически векторы являются элементами векторного пространства. над полем , и для использования в физике обычно определяется с помощью или . Конкретно, если размерность из конечно, то после выбора базиса мы можем рассматривать такие векторные пространства как или .
Двойственное пространство — это пространство линейных функционалов, отображающих . Конкретно, в матричной записи их можно рассматривать как векторы-строки, которые дают число при применении к векторам-столбцам. Мы обозначаем это через , так что это линейная карта .
Тогда при выборе базиса , мы можем просматривать векторы как вектор с компонентами (векторы по соглашению берутся так, чтобы индексы были вверху). Это подбирает выбор основы для , определяемый набором соотношений .
В приложениях повышение и понижение выполняется с использованием структуры, известной как (псевдо) метрический тензор («псевдо-» означает тот факт, что мы допускаем неопределенность метрики). Формально это невырожденная симметричная билинейная форма.
В этой основе он имеет компоненты и может рассматриваться как симметричная матрица в с этими компонентами. Обратная метрика существует в силу невырожденности и обозначается , и как матрица является обратной .
Поднятие и понижение векторов и ковекторов [ править ]
Подъем и опускание затем осуществляется в координатах. Дан вектор с компонентами , мы можем сжать метрику, чтобы получить ковектор :
и именно это мы подразумеваем под снижением индекса. И наоборот, сжатие ковектора с обратной метрикой дает вектор:
Этот процесс называется повышением индекса.
Повышение, а затем понижение одного и того же индекса (или наоборот) являются обратными операциями, что выражается в том, что метрический и обратный метрические тензоры обратны друг другу (как следует из терминологии):
Конечномерные действительные векторные пространства с (псевдо)метриками классифицируются с точностью до сигнатуры, бескоординатного свойства, которое четко определяется законом инерции Сильвестра . Возможные метрики реального пространства индексируются по сигнатуре. . Это показатель, связанный с многомерное реальное пространство. Метрика имеет подпись если существует базис (называемый ортонормированным базисом ) такой, что в этом базисе метрика принимает вид с положительные и отрицательные.
Бетонное пространство с элементами, которые -векторов, и эта конкретная реализация метрики обозначается , где 2-кортеж призван прояснить, что базовое векторное пространство является : оснащение этого векторного пространства метрикой это то, что превращает пространство в .
Примеры:
представляет собой модель трехмерного пространства. Метрика эквивалентна стандартному скалярному произведению .
, эквивалентный реальное пространство измерений как пространство внутреннего продукта с . В евклидовом пространстве подъем и опускание не требуются, поскольку векторы и компоненты ковектора одинаковы.
— пространство Минковского (точнее, пространство Минковского в выборе ортонормированного базиса), модель пространства-времени со слабой кривизной. Обычно при написании выражений, включающих тензоры в пространстве Минковского, используются греческие индексы, а латинские индексы зарезервированы для евклидова пространства.
Хорошо сформулированные выражения ограничены правилами суммирования Эйнштейна : любой индекс может появиться не более одного раза, и, кроме того, повышенный индекс должен сжиматься с пониженным индексом. С помощью этих правил мы сразу можем увидеть, что такое выражение, как
хорошо сформулировано, хотя
не является.
Пример в пространстве-времени Минковского [ править ]
Поучительно рассмотреть, что означает повышение и понижение в контексте абстрактной линейной алгебры.
Сначала исправим определения: — конечномерное векторное пространство над полем . Обычно или .
является невырожденной билинейной формой, т. е.
— это отображение, линейное по обоим аргументам, что делает его билинейной формой.
К будучи невырожденным, мы имеем в виду, что для каждого , Eсть такой, что
В конкретных приложениях часто считается структурой в векторном пространстве, например, скалярным произведением или, в более общем смысле, метрическим тензором , которому разрешено иметь неопределенную сигнатуру, или симплектической формой. . Вместе они охватывают случаи, когда либо симметричен, либо антисимметричен, но в полной общности не должно быть ни одного из этих случаев.
Существует частичная оценочная карта, связанная с ,
где обозначает аргумент, который должен быть оценен, и обозначает аргумент, оценка которого отложена. Затем является элементом , который отправляет .
Мы решили определить эту карту частичной оценки как вычисляемую по первому аргументу. С таким же успехом мы могли бы определить его по второму аргументу, и невырожденность также не зависит от выбранного аргумента. Кроме того, когда имеет четко определенную (анти)симметрию, оценка любого аргумента эквивалентна (вплоть до знака минус для антисимметрии).
Невырожденность показывает, что карта частичной оценки инъективна или, что то же самое, что ядро карты тривиально. В конечном измерении дуальное пространство имеет равную размерность , поэтому невырожденности достаточно, чтобы заключить, что отображение является линейным изоморфизмом. Если представляет собой структуру векторного пространства, иногда называемую это каноническим изоморфизмом .
Следовательно, оно имеет обратную величину, и этого достаточно, чтобы определить связанную билинейную форму на двойственном:
где неоднократное использование устраняется с помощью принятого аргумента. То есть, является обратной картой, а является билинейной формой.
Проверка этих выражений в координатах показывает, что именно это абстрактно означает повышение и понижение индексов.
Мы не будем сразу развивать абстрактный формализм для тензоров. Формально Тензор — это объект, описываемый через его компоненты, и имеющий компоненты вверх, компоненты вниз. Общий тензор написан
Мы можем использовать метрический тензор для повышения и понижения индексов тензора точно так же, как мы повышали и понижали векторные индексы и повышали индексы ковекторов.
Для тензора порядка n индексы повышаются (совместимо с вышеизложенным): [1]
и снижен на:
и для смешанного тензора:
Нам не нужно повышать или понижать все индексы одновременно: вполне нормально повышать или понижать один индекс. Снижение индекса тензор дает тензор, а повышение индекса дает (где иметь подходящие значения, например, мы не можем снизить индекс тензор.)
^ NB: Некоторые тексты, например: Гриффитс, Дэвид Дж. (1987). Введение в элементарные частицы . Wiley, John & Sons, Inc. ISBN 0-471-60386-4 . , покажет этот тензор с общим коэффициентом −1. Это связано с тем, что они использовали отрицательное значение использованного здесь метрического тензора: (− + + +) , см. метрическую сигнатуру . отсутствуют, В более старых текстах, таких как Джексон (2-е издание), коэффициенты c поскольку в них используются гауссовы единицы . Здесь единицы СИ . используются
Arc.Ask3.Ru Номер скриншота №: CE8DB1A081852A215A6037B89EC8008B__1714669320 URL1:https://en.wikipedia.org/wiki/Raising_and_lowering_indices Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1: Raising and lowering indices - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть, любые претензии не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, денежную единицу можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)