Криволинейные координаты могут быть сформулированы в тензорном исчислении , что имеет важные применения в физике и технике , особенно для описания переноса физических величин и деформации вещества в механике жидкости и механике сплошных сред .
трёхмерных криволинейных координатах тензорная алгебра в Векторная и
Элементарная векторная и тензорная алгебра в криволинейных координатах используется в некоторых старых научных публикациях по механике и физике и может быть незаменима для понимания работ начала и середины 1900-х годов, например текста Грина и Зерны. [1] В этом разделе приведены некоторые полезные соотношения алгебры векторов и тензоров второго порядка в криволинейных координатах. Обозначения и содержание в основном взяты из Огдена, [2] Нагди, [3] Симмондс, [4] Грин и Зерна, [1] Басар и Вейхерт, [5] и Сиарлет. [6]
Преобразования координат [ править ]
Рассмотрим две системы координат с координатными переменными
(
Z
1
,
Z
2
,
Z
3
)
{\displaystyle (Z^{1},Z^{2},Z^{3})}
и
(
Z
1
´
,
Z
2
´
,
Z
3
´
)
{\displaystyle (Z^{\acute {1}},Z^{\acute {2}},Z^{\acute {3}})}
, который мы кратко представим как просто
Z
i
{\displaystyle Z^{i}}
и
Z
i
´
{\displaystyle Z^{\acute {i}}}
соответственно и всегда предполагать наш индекс
i
{\displaystyle i}
пробегает от 1 до 3. Будем считать, что эти системы координат вложены в трехмерное евклидово пространство. Координаты
Z
i
{\displaystyle Z^{i}}
и
Z
i
´
{\displaystyle Z^{\acute {i}}}
могут использоваться для объяснения друг друга, поскольку, двигаясь по координатной линии в одной системе координат, мы можем использовать другую для описания нашего положения. Таким образом, координаты
Z
i
{\displaystyle Z^{i}}
и
Z
i
´
{\displaystyle Z^{\acute {i}}}
являются функциями друг друга
Z
i
=
f
i
(
Z
1
´
,
Z
2
´
,
Z
3
´
)
{\displaystyle Z^{i}=f^{i}(Z^{\acute {1}},Z^{\acute {2}},Z^{\acute {3}})}
для
i
=
1
,
2
,
3
{\displaystyle i=1,2,3}
который можно записать как
Z
i
=
Z
i
(
Z
1
´
,
Z
2
´
,
Z
3
´
)
=
Z
i
(
Z
i
´
)
{\displaystyle Z^{i}=Z^{i}(Z^{\acute {1}},Z^{\acute {2}},Z^{\acute {3}})=Z^{i}(Z^{\acute {i}})}
для
i
´
,
i
=
1
,
2
,
3
{\displaystyle {\acute {i}},i=1,2,3}
Эти три уравнения вместе также называются преобразованием координат из
Z
i
´
{\displaystyle Z^{\acute {i}}}
к
Z
i
{\displaystyle Z^{i}}
.Обозначим это преобразование через
T
{\displaystyle T}
. Поэтому мы представим преобразование из системы координат с координатными переменными
Z
i
´
{\displaystyle Z^{\acute {i}}}
в систему координат с координатами
Z
i
{\displaystyle Z^{i}}
как:
Z
=
T
(
z
´
)
{\displaystyle Z=T({\acute {z}})}
Аналогично мы можем представить
Z
i
´
{\displaystyle Z^{\acute {i}}}
как функция
Z
i
{\displaystyle Z^{i}}
следующее:
Z
i
´
=
g
i
´
(
Z
1
,
Z
2
,
Z
3
)
{\displaystyle Z^{\acute {i}}=g^{\acute {i}}(Z^{1},Z^{2},Z^{3})}
для
i
´
=
1
,
2
,
3
{\displaystyle {\acute {i}}=1,2,3}
аналогичным образом мы можем записать свободные уравнения более компактно как
Z
i
´
=
Z
i
´
(
Z
1
,
Z
2
,
Z
3
)
=
Z
i
´
(
Z
i
)
{\displaystyle Z^{\acute {i}}=Z^{\acute {i}}(Z^{1},Z^{2},Z^{3})=Z^{\acute {i}}(Z^{i})}
для
i
´
,
i
=
1
,
2
,
3
{\displaystyle {\acute {i}},i=1,2,3}
Эти три уравнения вместе также называются преобразованием координат из
Z
i
{\displaystyle Z^{i}}
к
Z
i
´
{\displaystyle Z^{\acute {i}}}
. Обозначим это преобразование через
S
{\displaystyle S}
. Преобразование из системы координат будем представлять с координатными переменными
Z
i
{\displaystyle Z^{i}}
в систему координат с координатами
Z
i
´
{\displaystyle Z^{\acute {i}}}
как:
z
´
=
S
(
z
)
{\displaystyle {\acute {z}}=S(z)}
Если преобразование
T
{\displaystyle T}
биективен, то мы называем образ преобразования, а именно
Z
i
{\displaystyle Z^{i}}
, набор допустимых координат для
Z
i
´
{\displaystyle Z^{\acute {i}}}
. Если
T
{\displaystyle T}
линейна система координат
Z
i
{\displaystyle Z^{i}}
будем называть аффинной системой координат , в противном случае
Z
i
{\displaystyle Z^{i}}
называется криволинейной системой координат
Как мы теперь видим, координаты
Z
i
{\displaystyle Z^{i}}
и
Z
i
´
{\displaystyle Z^{\acute {i}}}
являются функциями друг друга, мы можем взять производную координатной переменной
Z
i
{\displaystyle Z^{i}}
относительно координатной переменной
Z
i
´
{\displaystyle Z^{\acute {i}}}
учитывать
∂
Z
i
∂
Z
i
´
=
d
e
f
J
i
´
i
{\displaystyle {\frac {\partial {Z^{i}}}{\partial {Z^{\acute {i}}}}}\;{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\;J_{\acute {i}}^{i}}
для
i
´
,
i
=
1
,
2
,
3
{\displaystyle {\acute {i}},i=1,2,3}
, эти производные можно расположить в матрице, скажем
J
{\displaystyle J}
,в котором
J
i
´
i
{\displaystyle J_{\acute {i}}^{i}}
это элемент в
i
{\displaystyle i}
-й ряд и
i
´
{\displaystyle {\acute {i}}}
-й столбец
J
=
(
J
1
´
1
J
2
´
1
J
3
´
1
J
1
´
2
J
2
´
2
J
3
´
2
J
1
´
3
J
2
´
3
J
3
´
3
)
=
(
∂
Z
1
∂
Z
1
´
∂
Z
1
∂
Z
2
´
∂
Z
1
∂
Z
3
´
∂
Z
2
∂
Z
1
´
∂
Z
2
∂
Z
2
´
∂
Z
2
∂
Z
3
´
∂
Z
3
∂
Z
1
´
∂
Z
3
∂
Z
2
´
∂
Z
3
∂
Z
3
´
)
{\displaystyle J={\begin{pmatrix}J_{\acute {1}}^{1}&J_{\acute {2}}^{1}&J_{\acute {3}}^{1}\\J_{\acute {1}}^{2}&J_{\acute {2}}^{2}&J_{\acute {3}}^{2}\\J_{\acute {1}}^{3}&J_{\acute {2}}^{3}&J_{\acute {3}}^{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\partial {Z^{1}} \over \partial {Z^{\acute {1}}}}&{\partial {Z^{1}} \over \partial {Z^{\acute {2}}}}&{\partial {Z^{1}} \over \partial {Z^{\acute {3}}}}\\{\partial {Z^{2}} \over \partial {Z^{\acute {1}}}}&{\partial {Z^{2}} \over \partial {Z^{\acute {2}}}}&{\partial {Z^{2}} \over \partial {Z^{\acute {3}}}}\\{\partial {Z^{3}} \over \partial {Z^{\acute {1}}}}&{\partial {Z^{3}} \over \partial {Z^{\acute {2}}}}&{\partial {Z^{3}} \over \partial {Z^{\acute {3}}}}\end{pmatrix}}}
Полученная матрица называется матрицей Якобиана.
Векторы в криволинейных координатах [ править ]
Пусть ( b 1 , b 2 , b 3 ) — произвольный базис трехмерного евклидова пространства. В общем, базисные векторы не являются ни единичными векторами, ни взаимно ортогональными . Однако они должны быть линейно независимыми. Тогда вектор v можно выразить как [4] : 27
v
=
v
k
b
k
{\displaystyle \mathbf {v} =v^{k}\,\mathbf {b} _{k}}
Компоненты
v к являются
контравариантными компонентами вектора
v .
Взаимный базис ( b 1 , б 2 , б 3 ) определяется соотношением [4] : 28–29
b
i
⋅
b
j
=
δ
j
i
{\displaystyle \mathbf {b} ^{i}\cdot \mathbf {b} _{j}=\delta _{j}^{i}}
где
δ я j —
дельта Кронекера .
Вектор v также можно выразить через обратный базис:
v
=
v
k
b
k
{\displaystyle \mathbf {v} =v_{k}~\mathbf {b} ^{k}}
Компоненты
v k являются
ковариантными компонентами вектора
v
{\displaystyle \mathbf {v} }
.
Тензоры второго порядка в криволинейных координатах [ править ]
Тензор второго порядка можно выразить как
S
=
S
i
j
b
i
⊗
b
j
=
S
j
i
b
i
⊗
b
j
=
S
i
j
b
i
⊗
b
j
=
S
i
j
b
i
⊗
b
j
{\displaystyle {\boldsymbol {S}}=S^{ij}~\mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {b} _{j}=S_{~j}^{i}~\mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {b} ^{j}=S_{i}^{~j}~\mathbf {b} ^{i}\otimes \mathbf {b} _{j}=S_{ij}~\mathbf {b} ^{i}\otimes \mathbf {b} ^{j}}
Компоненты
S ij называются
контравариантными компонентами,
S я j смешанные
правоковариантные компоненты,
S i дж смешанные
левоковариантные компоненты и
Sij компоненты ковариантные
. тензора второго порядка
Метрический тензор и компонентами между отношения
Величины g ij , g ij определяются как [4] : 39
g
i
j
=
b
i
⋅
b
j
=
g
j
i
;
g
i
j
=
b
i
⋅
b
j
=
g
j
i
{\displaystyle g_{ij}=\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j}=g_{ji}~;~~g^{ij}=\mathbf {b} ^{i}\cdot \mathbf {b} ^{j}=g^{ji}}
Из приведенных выше уравнений мы имеем
v
i
=
g
i
k
v
k
;
v
i
=
g
i
k
v
k
;
b
i
=
g
i
j
b
j
;
b
i
=
g
i
j
b
j
{\displaystyle v^{i}=g^{ik}~v_{k}~;~~v_{i}=g_{ik}~v^{k}~;~~\mathbf {b} ^{i}=g^{ij}~\mathbf {b} _{j}~;~~\mathbf {b} _{i}=g_{ij}~\mathbf {b} ^{j}}
Компоненты вектора связаны соотношением [4] : 30–32
v
⋅
b
i
=
v
k
b
k
⋅
b
i
=
v
k
δ
k
i
=
v
i
{\displaystyle \mathbf {v} \cdot \mathbf {b} ^{i}=v^{k}~\mathbf {b} _{k}\cdot \mathbf {b} ^{i}=v^{k}~\delta _{k}^{i}=v^{i}}
v
⋅
b
i
=
v
k
b
k
⋅
b
i
=
v
k
δ
i
k
=
v
i
{\displaystyle \mathbf {v} \cdot \mathbf {b} _{i}=v_{k}~\mathbf {b} ^{k}\cdot \mathbf {b} _{i}=v_{k}~\delta _{i}^{k}=v_{i}}
Также,
v
⋅
b
i
=
v
k
b
k
⋅
b
i
=
g
k
i
v
k
{\displaystyle \mathbf {v} \cdot \mathbf {b} _{i}=v^{k}~\mathbf {b} _{k}\cdot \mathbf {b} _{i}=g_{ki}~v^{k}}
v
⋅
b
i
=
v
k
b
k
⋅
b
i
=
g
k
i
v
k
{\displaystyle \mathbf {v} \cdot \mathbf {b} ^{i}=v_{k}~\mathbf {b} ^{k}\cdot \mathbf {b} ^{i}=g^{ki}~v_{k}}
Компоненты тензора второго порядка связаны соотношением
S
i
j
=
g
i
k
S
k
j
=
g
j
k
S
k
i
=
g
i
k
g
j
l
S
k
l
{\displaystyle S^{ij}=g^{ik}~S_{k}^{~j}=g^{jk}~S_{~k}^{i}=g^{ik}~g^{jl}~S_{kl}}
Знак переменного тензора [ править ]
В ортонормированном правостороннем базисе знакопеременный тензор третьего порядка определяется как
E
=
ε
i
j
k
e
i
⊗
e
j
⊗
e
k
{\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {E}}}=\varepsilon _{ijk}~\mathbf {e} ^{i}\otimes \mathbf {e} ^{j}\otimes \mathbf {e} ^{k}}
В общем криволинейном базисе тот же тензор можно выразить как
E
=
E
i
j
k
b
i
⊗
b
j
⊗
b
k
=
E
i
j
k
b
i
⊗
b
j
⊗
b
k
{\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {E}}}={\mathcal {E}}_{ijk}~\mathbf {b} ^{i}\otimes \mathbf {b} ^{j}\otimes \mathbf {b} ^{k}={\mathcal {E}}^{ijk}~\mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {b} _{j}\otimes \mathbf {b} _{k}}
Можно показать, что
E
i
j
k
=
[
b
i
,
b
j
,
b
k
]
=
(
b
i
×
b
j
)
⋅
b
k
;
E
i
j
k
=
[
b
i
,
b
j
,
b
k
]
{\displaystyle {\mathcal {E}}_{ijk}=\left[\mathbf {b} _{i},\mathbf {b} _{j},\mathbf {b} _{k}\right]=(\mathbf {b} _{i}\times \mathbf {b} _{j})\cdot \mathbf {b} _{k}~;~~{\mathcal {E}}^{ijk}=\left[\mathbf {b} ^{i},\mathbf {b} ^{j},\mathbf {b} ^{k}\right]}
Сейчас,
b
i
×
b
j
=
J
ε
i
j
p
b
p
=
g
ε
i
j
p
b
p
{\displaystyle \mathbf {b} _{i}\times \mathbf {b} _{j}=J~\varepsilon _{ijp}~\mathbf {b} ^{p}={\sqrt {g}}~\varepsilon _{ijp}~\mathbf {b} ^{p}}
Следовательно,
E
i
j
k
=
J
ε
i
j
k
=
g
ε
i
j
k
{\displaystyle {\mathcal {E}}_{ijk}=J~\varepsilon _{ijk}={\sqrt {g}}~\varepsilon _{ijk}}
Аналогично мы можем показать, что
E
i
j
k
=
1
J
ε
i
j
k
=
1
g
ε
i
j
k
{\displaystyle {\mathcal {E}}^{ijk}={\cfrac {1}{J}}~\varepsilon ^{ijk}={\cfrac {1}{\sqrt {g}}}~\varepsilon ^{ijk}}
Векторные операции [ править ]
Карта идентичности [ править ]
Карта идентичности, которую я определил
I
⋅
v
=
v
{\displaystyle \mathbf {I} \cdot \mathbf {v} =\mathbf {v} }
можно показать как: [4] : 39
I
=
g
i
j
b
i
⊗
b
j
=
g
i
j
b
i
⊗
b
j
=
b
i
⊗
b
i
=
b
i
⊗
b
i
{\displaystyle \mathbf {I} =g^{ij}\mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {b} _{j}=g_{ij}\mathbf {b} ^{i}\otimes \mathbf {b} ^{j}=\mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {b} ^{i}=\mathbf {b} ^{i}\otimes \mathbf {b} _{i}}
Скалярное (точечное) произведение [ править ]
Скалярное произведение двух векторов в криволинейных координатах равно [4] : 32
u
⋅
v
=
u
i
v
i
=
u
i
v
i
=
g
i
j
u
i
v
j
=
g
i
j
u
i
v
j
{\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =u^{i}v_{i}=u_{i}v^{i}=g_{ij}u^{i}v^{j}=g^{ij}u_{i}v_{j}}
Векторное (перекрестное) произведение [ править ]
Перекрестное произведение двух векторов определяется выражением: [4] : 32–34
u
×
v
=
ε
i
j
k
u
j
v
k
e
i
{\displaystyle \mathbf {u} \times \mathbf {v} =\varepsilon _{ijk}u_{j}v_{k}\mathbf {e} _{i}}
где ε ijk — символ перестановки , а ei — декартов базисный вектор. В криволинейных координатах эквивалентное выражение:
u
×
v
=
[
(
b
m
×
b
n
)
⋅
b
s
]
u
m
v
n
b
s
=
E
s
m
n
u
m
v
n
b
s
{\displaystyle \mathbf {u} \times \mathbf {v} =[(\mathbf {b} _{m}\times \mathbf {b} _{n})\cdot \mathbf {b} _{s}]u^{m}v^{n}\mathbf {b} ^{s}={\mathcal {E}}_{smn}u^{m}v^{n}\mathbf {b} ^{s}}
где
E
i
j
k
{\displaystyle {\mathcal {E}}_{ijk}}
— знакопеременный тензор третьего порядка . Перекрестное произведение двух векторов определяется выражением:
u
×
v
=
ε
i
j
k
u
^
j
v
^
k
e
i
{\displaystyle \mathbf {u} \times \mathbf {v} =\varepsilon _{ijk}{\hat {u}}_{j}{\hat {v}}_{k}\mathbf {e} _{i}}
где ε ijk — символ перестановки и
e
i
{\displaystyle \mathbf {e} _{i}}
является декартовым базисным вектором. Поэтому,
e
p
×
e
q
=
ε
i
p
q
e
i
{\displaystyle \mathbf {e} _{p}\times \mathbf {e} _{q}=\varepsilon _{ipq}\mathbf {e} _{i}}
и
b
m
×
b
n
=
∂
x
∂
q
m
×
∂
x
∂
q
n
=
∂
(
x
p
e
p
)
∂
q
m
×
∂
(
x
q
e
q
)
∂
q
n
=
∂
x
p
∂
q
m
∂
x
q
∂
q
n
e
p
×
e
q
=
ε
i
p
q
∂
x
p
∂
q
m
∂
x
q
∂
q
n
e
i
.
{\displaystyle \mathbf {b} _{m}\times \mathbf {b} _{n}={\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial q^{m}}}\times {\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial q^{n}}}={\frac {\partial (x_{p}\mathbf {e} _{p})}{\partial q^{m}}}\times {\frac {\partial (x_{q}\mathbf {e} _{q})}{\partial q^{n}}}={\frac {\partial x_{p}}{\partial q^{m}}}{\frac {\partial x_{q}}{\partial q^{n}}}\mathbf {e} _{p}\times \mathbf {e} _{q}=\varepsilon _{ipq}{\frac {\partial x_{p}}{\partial q^{m}}}{\frac {\partial x_{q}}{\partial q^{n}}}\mathbf {e} _{i}.}
Следовательно,
(
b
m
×
b
n
)
⋅
b
s
=
ε
i
p
q
∂
x
p
∂
q
m
∂
x
q
∂
q
n
∂
x
i
∂
q
s
{\displaystyle (\mathbf {b} _{m}\times \mathbf {b} _{n})\cdot \mathbf {b} _{s}=\varepsilon _{ipq}{\frac {\partial x_{p}}{\partial q^{m}}}{\frac {\partial x_{q}}{\partial q^{n}}}{\frac {\partial x_{i}}{\partial q^{s}}}}
Возвращаясь к векторному произведению и используя соотношения:
u
^
j
=
∂
x
j
∂
q
m
u
m
,
v
^
k
=
∂
x
k
∂
q
n
v
n
,
e
i
=
∂
x
i
∂
q
s
b
s
,
{\displaystyle {\hat {u}}_{j}={\frac {\partial x_{j}}{\partial q^{m}}}u^{m},\quad {\hat {v}}_{k}={\frac {\partial x_{k}}{\partial q^{n}}}v^{n},\quad \mathbf {e} _{i}={\frac {\partial x_{i}}{\partial q^{s}}}\mathbf {b} ^{s},}
дает нам:
u
×
v
=
ε
i
j
k
u
^
j
v
^
k
e
i
=
ε
i
j
k
∂
x
j
∂
q
m
∂
x
k
∂
q
n
∂
x
i
∂
q
s
u
m
v
n
b
s
=
[
(
b
m
×
b
n
)
⋅
b
s
]
u
m
v
n
b
s
=
E
s
m
n
u
m
v
n
b
s
{\displaystyle \mathbf {u} \times \mathbf {v} =\varepsilon _{ijk}{\hat {u}}_{j}{\hat {v}}_{k}\mathbf {e} _{i}=\varepsilon _{ijk}{\frac {\partial x_{j}}{\partial q^{m}}}{\frac {\partial x_{k}}{\partial q^{n}}}{\frac {\partial x_{i}}{\partial q^{s}}}u^{m}v^{n}\mathbf {b} ^{s}=[(\mathbf {b} _{m}\times \mathbf {b} _{n})\cdot \mathbf {b} _{s}]u^{m}v^{n}\mathbf {b} ^{s}={\mathcal {E}}_{smn}u^{m}v^{n}\mathbf {b} ^{s}}
Тензорные операции [ править ]
Карта идентичности [ править ]
идентичности Карта
I
{\displaystyle {\mathsf {I}}}
определяется
I
⋅
v
=
v
{\displaystyle {\mathsf {I}}\cdot \mathbf {v} =\mathbf {v} }
может быть показано, что [4] : 39
I
=
g
i
j
b
i
⊗
b
j
=
g
i
j
b
i
⊗
b
j
=
b
i
⊗
b
i
=
b
i
⊗
b
i
{\displaystyle {\mathsf {I}}=g^{ij}\mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {b} _{j}=g_{ij}\mathbf {b} ^{i}\otimes \mathbf {b} ^{j}=\mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {b} ^{i}=\mathbf {b} ^{i}\otimes \mathbf {b} _{i}}
тензора второго порядка вектор на Действие
Действие
v
=
S
u
{\displaystyle \mathbf {v} ={\boldsymbol {S}}\mathbf {u} }
может быть выражено в криволинейных координатах как
v
i
b
i
=
S
i
j
u
j
b
i
=
S
j
i
u
j
b
i
;
v
i
b
i
=
S
i
j
u
i
b
i
=
S
i
j
u
j
b
i
{\displaystyle v^{i}\mathbf {b} _{i}=S^{ij}u_{j}\mathbf {b} _{i}=S_{j}^{i}u^{j}\mathbf {b} _{i};\qquad v_{i}\mathbf {b} ^{i}=S_{ij}u^{i}\mathbf {b} ^{i}=S_{i}^{j}u_{j}\mathbf {b} ^{i}}
порядка двух тензоров второго произведение Внутреннее
Внутренний продукт двух тензоров второго порядка
U
=
S
⋅
T
{\displaystyle {\boldsymbol {U}}={\boldsymbol {S}}\cdot {\boldsymbol {T}}}
может быть выражено в криволинейных координатах как
U
i
j
b
i
⊗
b
j
=
S
i
k
T
.
j
k
b
i
⊗
b
j
=
S
i
.
k
T
k
j
b
i
⊗
b
j
{\displaystyle U_{ij}\mathbf {b} ^{i}\otimes \mathbf {b} ^{j}=S_{ik}T_{.j}^{k}\mathbf {b} ^{i}\otimes \mathbf {b} ^{j}=S_{i}^{.k}T_{kj}\mathbf {b} ^{i}\otimes \mathbf {b} ^{j}}
Альтернативно,
U
=
S
i
j
T
.
n
m
g
j
m
b
i
⊗
b
n
=
S
.
m
i
T
.
n
m
b
i
⊗
b
n
=
S
i
j
T
j
n
b
i
⊗
b
n
{\displaystyle {\boldsymbol {U}}=S^{ij}T_{.n}^{m}g_{jm}\mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {b} ^{n}=S_{.m}^{i}T_{.n}^{m}\mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {b} ^{n}=S^{ij}T_{jn}\mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {b} ^{n}}
Определитель тензора второго порядка [ править ]
Если
S
{\displaystyle {\boldsymbol {S}}}
является тензором второго порядка, то определитель определяется соотношением
[
S
u
,
S
v
,
S
w
]
=
det
S
[
u
,
v
,
w
]
{\displaystyle \left[{\boldsymbol {S}}\mathbf {u} ,{\boldsymbol {S}}\mathbf {v} ,{\boldsymbol {S}}\mathbf {w} \right]=\det {\boldsymbol {S}}\left[\mathbf {u} ,\mathbf {v} ,\mathbf {w} \right]}
где
u
,
v
,
w
{\displaystyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} ,\mathbf {w} }
являются произвольными векторами и
[
u
,
v
,
w
]
:=
u
⋅
(
v
×
w
)
.
{\displaystyle \left[\mathbf {u} ,\mathbf {v} ,\mathbf {w} \right]:=\mathbf {u} \cdot (\mathbf {v} \times \mathbf {w} ).}
и декартовыми базисными векторами Отношения между криволинейными
Пусть ( e 1 , e 2 , e 3 ) будут обычными декартовыми базисными векторами интересующего евклидова пространства и пусть
b
i
=
F
e
i
{\displaystyle \mathbf {b} _{i}={\boldsymbol {F}}\mathbf {e} _{i}}
где
F i — тензор преобразования второго порядка, который отображает
e i в
b i . Затем,
b
i
⊗
e
i
=
(
F
e
i
)
⊗
e
i
=
F
(
e
i
⊗
e
i
)
=
F
.
{\displaystyle \mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {e} _{i}=({\boldsymbol {F}}\mathbf {e} _{i})\otimes \mathbf {e} _{i}={\boldsymbol {F}}(\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{i})={\boldsymbol {F}}~.}
Из этого соотношения мы можем показать, что
b
i
=
F
−
T
e
i
;
g
i
j
=
[
F
−
1
F
−
T
]
i
j
;
g
i
j
=
[
g
i
j
]
−
1
=
[
F
T
F
]
i
j
{\displaystyle \mathbf {b} ^{i}={\boldsymbol {F}}^{-{\rm {T}}}\mathbf {e} ^{i}~;~~g^{ij}=[{\boldsymbol {F}}^{-{\rm {1}}}{\boldsymbol {F}}^{-{\rm {T}}}]_{ij}~;~~g_{ij}=[g^{ij}]^{-1}=[{\boldsymbol {F}}^{\rm {T}}{\boldsymbol {F}}]_{ij}}
Позволять
J
:=
det
F
{\displaystyle J:=\det {\boldsymbol {F}}}
быть якобианом преобразования. Тогда по определению определителя
[
b
1
,
b
2
,
b
3
]
=
det
F
[
e
1
,
e
2
,
e
3
]
.
{\displaystyle \left[\mathbf {b} _{1},\mathbf {b} _{2},\mathbf {b} _{3}\right]=\det {\boldsymbol {F}}\left[\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}\right]~.}
С
[
e
1
,
e
2
,
e
3
]
=
1
{\displaystyle \left[\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}\right]=1}
у нас есть
J
=
det
F
=
[
b
1
,
b
2
,
b
3
]
=
b
1
⋅
(
b
2
×
b
3
)
{\displaystyle J=\det {\boldsymbol {F}}=\left[\mathbf {b} _{1},\mathbf {b} _{2},\mathbf {b} _{3}\right]=\mathbf {b} _{1}\cdot (\mathbf {b} _{2}\times \mathbf {b} _{3})}
Используя приведенные выше соотношения, можно получить ряд интересных результатов.
Во-первых, рассмотрим
g
:=
det
[
g
i
j
]
{\displaystyle g:=\det[g_{ij}]}
Затем
g
=
det
[
F
T
]
⋅
det
[
F
]
=
J
⋅
J
=
J
2
{\displaystyle g=\det[{\boldsymbol {F}}^{\rm {T}}]\cdot \det[{\boldsymbol {F}}]=J\cdot J=J^{2}}
Аналогично мы можем показать, что
det
[
g
i
j
]
=
1
J
2
{\displaystyle \det[g^{ij}]={\cfrac {1}{J^{2}}}}
Поэтому, используя тот факт, что
[
g
i
j
]
=
[
g
i
j
]
−
1
{\displaystyle [g^{ij}]=[g_{ij}]^{-1}}
,
∂
g
∂
g
i
j
=
2
J
∂
J
∂
g
i
j
=
g
g
i
j
{\displaystyle {\cfrac {\partial g}{\partial g_{ij}}}=2~J~{\cfrac {\partial J}{\partial g_{ij}}}=g~g^{ij}}
Еще одно интересное соотношение получено ниже. Напомним, что
b
i
⋅
b
j
=
δ
j
i
⇒
b
1
⋅
b
1
=
1
,
b
1
⋅
b
2
=
b
1
⋅
b
3
=
0
⇒
b
1
=
A
(
b
2
×
b
3
)
{\displaystyle \mathbf {b} ^{i}\cdot \mathbf {b} _{j}=\delta _{j}^{i}\quad \Rightarrow \quad \mathbf {b} ^{1}\cdot \mathbf {b} _{1}=1,~\mathbf {b} ^{1}\cdot \mathbf {b} _{2}=\mathbf {b} ^{1}\cdot \mathbf {b} _{3}=0\quad \Rightarrow \quad \mathbf {b} ^{1}=A~(\mathbf {b} _{2}\times \mathbf {b} _{3})}
где
А — еще неопределенная константа. Затем
b
1
⋅
b
1
=
A
b
1
⋅
(
b
2
×
b
3
)
=
A
J
=
1
⇒
A
=
1
J
{\displaystyle \mathbf {b} ^{1}\cdot \mathbf {b} _{1}=A~\mathbf {b} _{1}\cdot (\mathbf {b} _{2}\times \mathbf {b} _{3})=AJ=1\quad \Rightarrow \quad A={\cfrac {1}{J}}}
Это наблюдение приводит к соотношениям
b
1
=
1
J
(
b
2
×
b
3
)
;
b
2
=
1
J
(
b
3
×
b
1
)
;
b
3
=
1
J
(
b
1
×
b
2
)
{\displaystyle \mathbf {b} ^{1}={\cfrac {1}{J}}(\mathbf {b} _{2}\times \mathbf {b} _{3})~;~~\mathbf {b} ^{2}={\cfrac {1}{J}}(\mathbf {b} _{3}\times \mathbf {b} _{1})~;~~\mathbf {b} ^{3}={\cfrac {1}{J}}(\mathbf {b} _{1}\times \mathbf {b} _{2})}
В индексной записи
ε
i
j
k
b
k
=
1
J
(
b
i
×
b
j
)
=
1
g
(
b
i
×
b
j
)
{\displaystyle \varepsilon _{ijk}~\mathbf {b} ^{k}={\cfrac {1}{J}}(\mathbf {b} _{i}\times \mathbf {b} _{j})={\cfrac {1}{\sqrt {g}}}(\mathbf {b} _{i}\times \mathbf {b} _{j})}
где
ε
i
j
k
{\displaystyle \varepsilon _{ijk}}
— обычный
символ перестановки .
Мы не нашли явного выражения для тензора преобразования F, поскольку альтернативная форма отображения между криволинейными и декартовыми базисами более полезна. Предполагая достаточную степень гладкости отображения (и немного злоупотребляя обозначениями), мы имеем
b
i
=
∂
x
∂
q
i
=
∂
x
∂
x
j
∂
x
j
∂
q
i
=
e
j
∂
x
j
∂
q
i
{\displaystyle \mathbf {b} _{i}={\cfrac {\partial \mathbf {x} }{\partial q^{i}}}={\cfrac {\partial \mathbf {x} }{\partial x_{j}}}~{\cfrac {\partial x_{j}}{\partial q^{i}}}=\mathbf {e} _{j}~{\cfrac {\partial x_{j}}{\partial q^{i}}}}
Сходным образом,
e
i
=
b
j
∂
q
j
∂
x
i
{\displaystyle \mathbf {e} _{i}=\mathbf {b} _{j}~{\cfrac {\partial q^{j}}{\partial x_{i}}}}
Из этих результатов мы имеем
e
k
⋅
b
i
=
∂
x
k
∂
q
i
⇒
∂
x
k
∂
q
i
b
i
=
e
k
⋅
(
b
i
⊗
b
i
)
=
e
k
{\displaystyle \mathbf {e} ^{k}\cdot \mathbf {b} _{i}={\frac {\partial x_{k}}{\partial q^{i}}}\quad \Rightarrow \quad {\frac {\partial x_{k}}{\partial q^{i}}}~\mathbf {b} ^{i}=\mathbf {e} ^{k}\cdot (\mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {b} ^{i})=\mathbf {e} ^{k}}
и
b
k
=
∂
q
k
∂
x
i
e
i
{\displaystyle \mathbf {b} ^{k}={\frac {\partial q^{k}}{\partial x_{i}}}~\mathbf {e} ^{i}}
тензорное исчисление в трехмерных координатах Векторное и криволинейных
Симмондс, [4] в своей книге по тензорному анализу цитирует Альберта Эйнштейна высказывание [7]
Магия этой теории вряд ли не сможет не очаровать любого, кто по-настоящему ее понял; он представляет собой подлинный триумф метода абсолютного дифференциального исчисления, основанного Гауссом, Риманом, Риччи и Леви-Чивитой.
Векторное и тензорное исчисление в общих криволинейных координатах используется в тензорном анализе на четырехмерных криволинейных многообразиях в общей теории относительности . [8] в механике изогнутых снарядов , [6] при исследовании инвариантности свойств уравнений Максвелла , которые представляли интерес для метаматериалов. [9] [10] и во многих других областях.
В этом разделе приведены некоторые полезные соотношения при исчислении векторов и тензоров второго порядка в криволинейных координатах. Обозначения и содержание в основном взяты из Огдена, [2] Симмондс, [4] Грин и Зерна, [1] Басар и Вейхерт, [5] и Сиарлет. [6]
Основные определения [ править ]
Пусть положение точки в пространстве характеризуется тремя координатными переменными
(
q
1
,
q
2
,
q
3
)
{\displaystyle (q^{1},q^{2},q^{3})}
.
Координатная кривая q 1 представляет собой кривую, на которой q 2 , q 3 постоянны. Пусть x — вектор положения точки относительно некоторого начала координат. Тогда, предполагая, что такое отображение и обратное ему существуют и непрерывны, мы можем написать [2] : 55
x
=
φ
(
q
1
,
q
2
,
q
3
)
;
q
i
=
ψ
i
(
x
)
=
[
φ
−
1
(
x
)
]
i
{\displaystyle \mathbf {x} ={\boldsymbol {\varphi }}(q^{1},q^{2},q^{3})~;~~q^{i}=\psi ^{i}(\mathbf {x} )=[{\boldsymbol {\varphi }}^{-1}(\mathbf {x} )]^{i}}
Поля ψ
я (
x ) называются
криволинейными координатными функциями криволинейной системы
координат ψ (
x ) =
φ −1 (
Икс ).
q я координатные кривые определяются однопараметрическим семейством функций, заданным формулой
x
i
(
α
)
=
φ
(
α
,
q
j
,
q
k
)
,
i
≠
j
≠
k
{\displaystyle \mathbf {x} _{i}(\alpha )={\boldsymbol {\varphi }}(\alpha ,q^{j},q^{k})~,~~i\neq j\neq k}
с
q дж , q к зафиксированный.
Касательный вектор для координат кривых [ править ]
Касательный вектор к кривой x i в точке x i (α) (или к координатной кривой q i в точке x ) равен
d
x
i
d
α
≡
∂
x
∂
q
i
{\displaystyle {\cfrac {\rm {{d}\mathbf {x} _{i}}}{\rm {{d}\alpha }}}\equiv {\cfrac {\partial \mathbf {x} }{\partial q^{i}}}}
Скалярное поле [ править ]
Пусть f ( x ) — скалярное поле в пространстве. Затем
f
(
x
)
=
f
[
φ
(
q
1
,
q
2
,
q
3
)
]
=
f
φ
(
q
1
,
q
2
,
q
3
)
{\displaystyle f(\mathbf {x} )=f[{\boldsymbol {\varphi }}(q^{1},q^{2},q^{3})]=f_{\varphi }(q^{1},q^{2},q^{3})}
Градиент поля
f определяется выражением
[
∇
f
(
x
)
]
⋅
c
=
d
d
α
f
(
x
+
α
c
)
|
α
=
0
{\displaystyle [{\boldsymbol {\nabla }}f(\mathbf {x} )]\cdot \mathbf {c} ={\cfrac {\rm {d}}{\rm {{d}\alpha }}}f(\mathbf {x} +\alpha \mathbf {c} ){\biggr |}_{\alpha =0}}
где
c — произвольный постоянный вектор. Если мы определим компоненты
c я из
c таковы, что
q
i
+
α
c
i
=
ψ
i
(
x
+
α
c
)
{\displaystyle q^{i}+\alpha ~c^{i}=\psi ^{i}(\mathbf {x} +\alpha ~\mathbf {c} )}
затем
[
∇
f
(
x
)
]
⋅
c
=
d
d
α
f
φ
(
q
1
+
α
c
1
,
q
2
+
α
c
2
,
q
3
+
α
c
3
)
|
α
=
0
=
∂
f
φ
∂
q
i
c
i
=
∂
f
∂
q
i
c
i
{\displaystyle [{\boldsymbol {\nabla }}f(\mathbf {x} )]\cdot \mathbf {c} ={\cfrac {\rm {d}}{\rm {{d}\alpha }}}f_{\varphi }(q^{1}+\alpha ~c^{1},q^{2}+\alpha ~c^{2},q^{3}+\alpha ~c^{3}){\biggr |}_{\alpha =0}={\cfrac {\partial f_{\varphi }}{\partial q^{i}}}~c^{i}={\cfrac {\partial f}{\partial q^{i}}}~c^{i}}
Если мы установим
f
(
x
)
=
ψ
i
(
x
)
{\displaystyle f(\mathbf {x} )=\psi ^{i}(\mathbf {x} )}
, то поскольку
q
i
=
ψ
i
(
x
)
{\displaystyle q^{i}=\psi ^{i}(\mathbf {x} )}
, у нас есть
[
∇
ψ
i
(
x
)
]
⋅
c
=
∂
ψ
i
∂
q
j
c
j
=
c
i
{\displaystyle [{\boldsymbol {\nabla }}\psi ^{i}(\mathbf {x} )]\cdot \mathbf {c} ={\cfrac {\partial \psi ^{i}}{\partial q^{j}}}~c^{j}=c^{i}}
который предоставляет средства извлечения контравариантного компонента вектора
c .
Если b i — ковариантный (или естественный) базис в точке, и если b я является контравариантным (или взаимным) базисом в этой точке, тогда
[
∇
f
(
x
)
]
⋅
c
=
∂
f
∂
q
i
c
i
=
(
∂
f
∂
q
i
b
i
)
(
c
i
b
i
)
⇒
∇
f
(
x
)
=
∂
f
∂
q
i
b
i
{\displaystyle [{\boldsymbol {\nabla }}f(\mathbf {x} )]\cdot \mathbf {c} ={\cfrac {\partial f}{\partial q^{i}}}~c^{i}=\left({\cfrac {\partial f}{\partial q^{i}}}~\mathbf {b} ^{i}\right)\left(c^{i}~\mathbf {b} _{i}\right)\quad \Rightarrow \quad {\boldsymbol {\nabla }}f(\mathbf {x} )={\cfrac {\partial f}{\partial q^{i}}}~\mathbf {b} ^{i}}
Краткое обоснование такого выбора базиса приведено в следующем разделе.
Векторное поле [ править ]
Аналогичный процесс можно использовать для получения градиента векторного поля f ( x ). Градиент определяется выражением
[
∇
f
(
x
)
]
⋅
c
=
∂
f
∂
q
i
c
i
{\displaystyle [{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {f} (\mathbf {x} )]\cdot \mathbf {c} ={\cfrac {\partial \mathbf {f} }{\partial q^{i}}}~c^{i}}
Если мы рассмотрим градиент векторного поля положения
r (
x ) =
x , то мы можем показать, что
c
=
∂
x
∂
q
i
c
i
=
b
i
(
x
)
c
i
;
b
i
(
x
)
:=
∂
x
∂
q
i
{\displaystyle \mathbf {c} ={\cfrac {\partial \mathbf {x} }{\partial q^{i}}}~c^{i}=\mathbf {b} _{i}(\mathbf {x} )~c^{i}~;~~\mathbf {b} _{i}(\mathbf {x} ):={\cfrac {\partial \mathbf {x} }{\partial q^{i}}}}
Векторное поле
b i касается
q я координатной кривой и образует
естественный базис в каждой точке кривой. Этот базис, как обсуждалось в начале этой статьи, также называется
ковариантным криволинейным базисом. Мы также можем определить
взаимный базис или
контравариантный криволинейный базис
b я . Все алгебраические отношения между базисными векторами, обсуждаемые в разделе о тензорной алгебре, применимы к естественному базису и обратному ему элементу в каждой точке
x .
Поскольку c произвольно, мы можем написать
∇
f
(
x
)
=
∂
f
∂
q
i
⊗
b
i
{\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {f} (\mathbf {x} )={\cfrac {\partial \mathbf {f} }{\partial q^{i}}}\otimes \mathbf {b} ^{i}}
Заметим, что контравариантный базисный вектор b я перпендикулярен поверхности постоянной ψ я и дается
b
i
=
∇
ψ
i
{\displaystyle \mathbf {b} ^{i}={\boldsymbol {\nabla }}\psi ^{i}}
Символы Кристоффеля первого рода [ править ]
Символы Кристоффеля первого рода определяются как
b
i
,
j
=
∂
b
i
∂
q
j
:=
Γ
i
j
k
b
k
⇒
b
i
,
j
⋅
b
l
=
Γ
i
j
l
{\displaystyle \mathbf {b} _{i,j}={\frac {\partial \mathbf {b} _{i}}{\partial q^{j}}}:=\Gamma _{ijk}~\mathbf {b} ^{k}\quad \Rightarrow \quad \mathbf {b} _{i,j}\cdot \mathbf {b} _{l}=\Gamma _{ijl}}
Чтобы выразить Γ
ijk через
g ij, заметим, что
g
i
j
,
k
=
(
b
i
⋅
b
j
)
,
k
=
b
i
,
k
⋅
b
j
+
b
i
⋅
b
j
,
k
=
Γ
i
k
j
+
Γ
j
k
i
g
i
k
,
j
=
(
b
i
⋅
b
k
)
,
j
=
b
i
,
j
⋅
b
k
+
b
i
⋅
b
k
,
j
=
Γ
i
j
k
+
Γ
k
j
i
g
j
k
,
i
=
(
b
j
⋅
b
k
)
,
i
=
b
j
,
i
⋅
b
k
+
b
j
⋅
b
k
,
i
=
Γ
j
i
k
+
Γ
k
i
j
{\displaystyle {\begin{aligned}g_{ij,k}&=(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j})_{,k}=\mathbf {b} _{i,k}\cdot \mathbf {b} _{j}+\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j,k}=\Gamma _{ikj}+\Gamma _{jki}\\g_{ik,j}&=(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{k})_{,j}=\mathbf {b} _{i,j}\cdot \mathbf {b} _{k}+\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{k,j}=\Gamma _{ijk}+\Gamma _{kji}\\g_{jk,i}&=(\mathbf {b} _{j}\cdot \mathbf {b} _{k})_{,i}=\mathbf {b} _{j,i}\cdot \mathbf {b} _{k}+\mathbf {b} _{j}\cdot \mathbf {b} _{k,i}=\Gamma _{jik}+\Gamma _{kij}\end{aligned}}}
Поскольку
b i,j =
b j,i, имеем Γ
ijk = Γ
jik . Использование их для перестановки приведенных выше отношений дает
Γ
i
j
k
=
1
2
(
g
i
k
,
j
+
g
j
k
,
i
−
g
i
j
,
k
)
=
1
2
[
(
b
i
⋅
b
k
)
,
j
+
(
b
j
⋅
b
k
)
,
i
−
(
b
i
⋅
b
j
)
,
k
]
{\displaystyle \Gamma _{ijk}={\frac {1}{2}}(g_{ik,j}+g_{jk,i}-g_{ij,k})={\frac {1}{2}}[(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{k})_{,j}+(\mathbf {b} _{j}\cdot \mathbf {b} _{k})_{,i}-(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j})_{,k}]}
второго рода Символы Кристоффеля
второго Символы Кристоффеля рода определяются как
Γ
i
j
k
=
Γ
j
i
k
{\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}=\Gamma _{ji}^{k}}
в котором
∂
b
i
∂
q
j
=
Γ
i
j
k
b
k
{\displaystyle {\cfrac {\partial \mathbf {b} _{i}}{\partial q^{j}}}=\Gamma _{ij}^{k}~\mathbf {b} _{k}}
Это означает, что
Γ
i
j
k
=
∂
b
i
∂
q
j
⋅
b
k
=
−
b
i
⋅
∂
b
k
∂
q
j
{\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}={\cfrac {\partial \mathbf {b} _{i}}{\partial q^{j}}}\cdot \mathbf {b} ^{k}=-\mathbf {b} _{i}\cdot {\cfrac {\partial \mathbf {b} ^{k}}{\partial q^{j}}}}
Другие следующие отношения:
∂
b
i
∂
q
j
=
−
Γ
j
k
i
b
k
;
∇
b
i
=
Γ
i
j
k
b
k
⊗
b
j
;
∇
b
i
=
−
Γ
j
k
i
b
k
⊗
b
j
{\displaystyle {\cfrac {\partial \mathbf {b} ^{i}}{\partial q^{j}}}=-\Gamma _{jk}^{i}~\mathbf {b} ^{k}~;~~{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {b} _{i}=\Gamma _{ij}^{k}~\mathbf {b} _{k}\otimes \mathbf {b} ^{j}~;~~{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {b} ^{i}=-\Gamma _{jk}^{i}~\mathbf {b} ^{k}\otimes \mathbf {b} ^{j}}
Еще одно особенно полезное соотношение, которое показывает, что символ Кристоффеля зависит только от метрического тензора и его производных:
Γ
i
j
k
=
g
k
m
2
(
∂
g
m
i
∂
q
j
+
∂
g
m
j
∂
q
i
−
∂
g
i
j
∂
q
m
)
{\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}={\frac {g^{km}}{2}}\left({\frac {\partial g_{mi}}{\partial q^{j}}}+{\frac {\partial g_{mj}}{\partial q^{i}}}-{\frac {\partial g_{ij}}{\partial q^{m}}}\right)}
Явное выражение для градиента векторного поля [ править ]
Следующие выражения для градиента векторного поля в криволинейных координатах весьма полезны.
∇
v
=
[
∂
v
i
∂
q
k
+
Γ
l
k
i
v
l
]
b
i
⊗
b
k
=
[
∂
v
i
∂
q
k
−
Γ
k
i
l
v
l
]
b
i
⊗
b
k
{\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} &=\left[{\cfrac {\partial v^{i}}{\partial q^{k}}}+\Gamma _{lk}^{i}~v^{l}\right]~\mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {b} ^{k}\\[8pt]&=\left[{\cfrac {\partial v_{i}}{\partial q^{k}}}-\Gamma _{ki}^{l}~v_{l}\right]~\mathbf {b} ^{i}\otimes \mathbf {b} ^{k}\end{aligned}}}
Представление физического векторного поля [ править ]
Векторное поле v можно представить в виде
v
=
v
i
b
i
=
v
^
i
b
^
i
{\displaystyle \mathbf {v} =v_{i}~\mathbf {b} ^{i}={\hat {v}}_{i}~{\hat {\mathbf {b} }}^{i}}
где
v
i
{\displaystyle v_{i}}
– ковариантные компоненты поля,
v
^
i
{\displaystyle {\hat {v}}_{i}}
– физические компоненты и (без
суммирования )
b
^
i
=
b
i
g
i
i
{\displaystyle {\hat {\mathbf {b} }}^{i}={\cfrac {\mathbf {b} ^{i}}{\sqrt {g^{ii}}}}}
— нормированный контравариантный базисный вектор.
второго порядка поле Тензорное
Градиент тензорного поля второго порядка можно аналогичным образом выразить как
∇
S
=
∂
S
∂
q
i
⊗
b
i
{\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}{\boldsymbol {S}}={\frac {\partial {\boldsymbol {S}}}{\partial q^{i}}}\otimes \mathbf {b} ^{i}}
Явные выражения для градиента [ править ]
Если рассмотреть выражение для тензора через контравариантный базис, то
∇
S
=
∂
∂
q
k
[
S
i
j
b
i
⊗
b
j
]
⊗
b
k
=
[
∂
S
i
j
∂
q
k
−
Γ
k
i
l
S
l
j
−
Γ
k
j
l
S
i
l
]
b
i
⊗
b
j
⊗
b
k
{\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}{\boldsymbol {S}}={\frac {\partial }{\partial q^{k}}}[S_{ij}~\mathbf {b} ^{i}\otimes \mathbf {b} ^{j}]\otimes \mathbf {b} ^{k}=\left[{\frac {\partial S_{ij}}{\partial q^{k}}}-\Gamma _{ki}^{l}~S_{lj}-\Gamma _{kj}^{l}~S_{il}\right]~\mathbf {b} ^{i}\otimes \mathbf {b} ^{j}\otimes \mathbf {b} ^{k}}
Мы также можем написать
∇
S
=
[
∂
S
i
j
∂
q
k
+
Γ
k
l
i
S
l
j
+
Γ
k
l
j
S
i
l
]
b
i
⊗
b
j
⊗
b
k
=
[
∂
S
j
i
∂
q
k
+
Γ
k
l
i
S
j
l
−
Γ
k
j
l
S
l
i
]
b
i
⊗
b
j
⊗
b
k
=
[
∂
S
i
j
∂
q
k
−
Γ
i
k
l
S
l
j
+
Γ
k
l
j
S
i
l
]
b
i
⊗
b
j
⊗
b
k
{\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\nabla }}{\boldsymbol {S}}&=\left[{\cfrac {\partial S^{ij}}{\partial q^{k}}}+\Gamma _{kl}^{i}~S^{lj}+\Gamma _{kl}^{j}~S^{il}\right]~\mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {b} _{j}\otimes \mathbf {b} ^{k}\\[8pt]&=\left[{\cfrac {\partial S_{~j}^{i}}{\partial q^{k}}}+\Gamma _{kl}^{i}~S_{~j}^{l}-\Gamma _{kj}^{l}~S_{~l}^{i}\right]~\mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {b} ^{j}\otimes \mathbf {b} ^{k}\\[8pt]&=\left[{\cfrac {\partial S_{i}^{~j}}{\partial q^{k}}}-\Gamma _{ik}^{l}~S_{l}^{~j}+\Gamma _{kl}^{j}~S_{i}^{~l}\right]~\mathbf {b} ^{i}\otimes \mathbf {b} _{j}\otimes \mathbf {b} ^{k}\end{aligned}}}
физического тензорного поля порядка Представление второго
Физические компоненты тензорного поля второго порядка можно получить, используя нормированный контравариантный базис, т. е.
S
=
S
i
j
b
i
⊗
b
j
=
S
^
i
j
b
^
i
⊗
b
^
j
{\displaystyle {\boldsymbol {S}}=S_{ij}~\mathbf {b} ^{i}\otimes \mathbf {b} ^{j}={\hat {S}}_{ij}~{\hat {\mathbf {b} }}^{i}\otimes {\hat {\mathbf {b} }}^{j}}
где базисные векторы со шляпкой были нормализованы. Это означает, что (опять без суммирования)
S
^
i
j
=
S
i
j
g
i
i
g
j
j
{\displaystyle {\hat {S}}_{ij}=S_{ij}~{\sqrt {g^{ii}~g^{jj}}}}
Дивергенция [ править ]
Векторное поле [ править ]
Дивергенция ( векторного поля
v
{\displaystyle \mathbf {v} }
)определяется как
div
v
=
∇
⋅
v
=
tr
(
∇
v
)
{\displaystyle \operatorname {div} ~\mathbf {v} ={\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} ={\text{tr}}({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} )}
В терминах компонент относительно криволинейного базиса
∇
⋅
v
=
∂
v
i
∂
q
i
+
Γ
ℓ
i
i
v
ℓ
=
[
∂
v
i
∂
q
j
−
Γ
j
i
ℓ
v
ℓ
]
g
i
j
{\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} ={\cfrac {\partial v^{i}}{\partial q^{i}}}+\Gamma _{\ell i}^{i}~v^{\ell }=\left[{\cfrac {\partial v_{i}}{\partial q^{j}}}-\Gamma _{ji}^{\ell }~v_{\ell }\right]~g^{ij}}
Часто используется альтернативное уравнение дивергенции векторного поля. Чтобы вывести это соотношение, напомним, что
∇
⋅
v
=
∂
v
i
∂
q
i
+
Γ
ℓ
i
i
v
ℓ
{\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} ={\frac {\partial v^{i}}{\partial q^{i}}}+\Gamma _{\ell i}^{i}~v^{\ell }}
Сейчас,
Γ
ℓ
i
i
=
Γ
i
ℓ
i
=
g
m
i
2
[
∂
g
i
m
∂
q
ℓ
+
∂
g
ℓ
m
∂
q
i
−
∂
g
i
l
∂
q
m
]
{\displaystyle \Gamma _{\ell i}^{i}=\Gamma _{i\ell }^{i}={\cfrac {g^{mi}}{2}}\left[{\frac {\partial g_{im}}{\partial q^{\ell }}}+{\frac {\partial g_{\ell m}}{\partial q^{i}}}-{\frac {\partial g_{il}}{\partial q^{m}}}\right]}
Отметим, что в силу симметрии
g
{\displaystyle {\boldsymbol {g}}}
,
g
m
i
∂
g
ℓ
m
∂
q
i
=
g
m
i
∂
g
i
ℓ
∂
q
m
{\displaystyle g^{mi}~{\frac {\partial g_{\ell m}}{\partial q^{i}}}=g^{mi}~{\frac {\partial g_{i\ell }}{\partial q^{m}}}}
у нас есть
∇
⋅
v
=
∂
v
i
∂
q
i
+
g
m
i
2
∂
g
i
m
∂
q
ℓ
v
ℓ
{\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} ={\frac {\partial v^{i}}{\partial q^{i}}}+{\cfrac {g^{mi}}{2}}~{\frac {\partial g_{im}}{\partial q^{\ell }}}~v^{\ell }}
Напомним, что если [
g ij ] — матрица, компоненты которой —
g ij , то обратная матрица равна
[
g
i
j
]
−
1
=
[
g
i
j
]
{\displaystyle [g_{ij}]^{-1}=[g^{ij}]}
. Обратная матрица определяется выражением
[
g
i
j
]
=
[
g
i
j
]
−
1
=
A
i
j
g
;
g
:=
det
(
[
g
i
j
]
)
=
det
g
{\displaystyle [g^{ij}]=[g_{ij}]^{-1}={\cfrac {A^{ij}}{g}}~;~~g:=\det([g_{ij}])=\det {\boldsymbol {g}}}
где
ij являются
матрицей-кофактором компонентов
g ij . Из матричной алгебры мы имеем
g
=
det
(
[
g
i
j
]
)
=
∑
i
g
i
j
A
i
j
⇒
∂
g
∂
g
i
j
=
A
i
j
{\displaystyle g=\det([g_{ij}])=\sum _{i}g_{ij}~A^{ij}\quad \Rightarrow \quad {\frac {\partial g}{\partial g_{ij}}}=A^{ij}}
Следовательно,
[
g
i
j
]
=
1
g
∂
g
∂
g
i
j
{\displaystyle [g^{ij}]={\cfrac {1}{g}}~{\frac {\partial g}{\partial g_{ij}}}}
Подстановка этого соотношения в выражение для дивергенции дает
∇
⋅
v
=
∂
v
i
∂
q
i
+
1
2
g
∂
g
∂
g
m
i
∂
g
i
m
∂
q
ℓ
v
ℓ
=
∂
v
i
∂
q
i
+
1
2
g
∂
g
∂
q
ℓ
v
ℓ
{\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} ={\frac {\partial v^{i}}{\partial q^{i}}}+{\cfrac {1}{2g}}~{\frac {\partial g}{\partial g_{mi}}}~{\frac {\partial g_{im}}{\partial q^{\ell }}}~v^{\ell }={\frac {\partial v^{i}}{\partial q^{i}}}+{\cfrac {1}{2g}}~{\frac {\partial g}{\partial q^{\ell }}}~v^{\ell }}
Небольшие манипуляции приводят к более компактной форме.
∇
⋅
v
=
1
g
∂
∂
q
i
(
v
i
g
)
{\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} ={\cfrac {1}{\sqrt {g}}}~{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}(v^{i}~{\sqrt {g}})}
второго порядка поле Тензорное
Дивергенция тензорного поля второго порядка определяется формулой
(
∇
⋅
S
)
⋅
a
=
∇
⋅
(
S
a
)
{\displaystyle ({\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {S}})\cdot \mathbf {a} ={\boldsymbol {\nabla }}\cdot ({\boldsymbol {S}}\mathbf {a} )}
где
a — произвольный постоянный вектор.
[11]
В криволинейных координатах
∇
⋅
S
=
[
∂
S
i
j
∂
q
k
−
Γ
k
i
l
S
l
j
−
Γ
k
j
l
S
i
l
]
g
i
k
b
j
=
[
∂
S
i
j
∂
q
i
+
Γ
i
l
i
S
l
j
+
Γ
i
l
j
S
i
l
]
b
j
=
[
∂
S
j
i
∂
q
i
+
Γ
i
l
i
S
j
l
−
Γ
i
j
l
S
l
i
]
b
j
=
[
∂
S
i
j
∂
q
k
−
Γ
i
k
l
S
l
j
+
Γ
k
l
j
S
i
l
]
g
i
k
b
j
{\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {S}}&=\left[{\cfrac {\partial S_{ij}}{\partial q^{k}}}-\Gamma _{ki}^{l}~S_{lj}-\Gamma _{kj}^{l}~S_{il}\right]~g^{ik}~\mathbf {b} ^{j}\\[8pt]&=\left[{\cfrac {\partial S^{ij}}{\partial q^{i}}}+\Gamma _{il}^{i}~S^{lj}+\Gamma _{il}^{j}~S^{il}\right]~\mathbf {b} _{j}\\[8pt]&=\left[{\cfrac {\partial S_{~j}^{i}}{\partial q^{i}}}+\Gamma _{il}^{i}~S_{~j}^{l}-\Gamma _{ij}^{l}~S_{~l}^{i}\right]~\mathbf {b} ^{j}\\[8pt]&=\left[{\cfrac {\partial S_{i}^{~j}}{\partial q^{k}}}-\Gamma _{ik}^{l}~S_{l}^{~j}+\Gamma _{kl}^{j}~S_{i}^{~l}\right]~g^{ik}~\mathbf {b} _{j}\end{aligned}}}
Скалярное поле [ править ]
Лапласиан скалярного поля φ( x ) определяется как
∇
2
φ
:=
∇
⋅
(
∇
φ
)
{\displaystyle \nabla ^{2}\varphi :={\boldsymbol {\nabla }}\cdot ({\boldsymbol {\nabla }}\varphi )}
Использование альтернативного выражения для дивергенции векторного поля дает нам
∇
2
φ
=
1
g
∂
∂
q
i
(
[
∇
φ
]
i
g
)
{\displaystyle \nabla ^{2}\varphi ={\cfrac {1}{\sqrt {g}}}~{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}([{\boldsymbol {\nabla }}\varphi ]^{i}~{\sqrt {g}})}
Сейчас
∇
φ
=
∂
φ
∂
q
l
b
l
=
g
l
i
∂
φ
∂
q
l
b
i
⇒
[
∇
φ
]
i
=
g
l
i
∂
φ
∂
q
l
{\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\varphi ={\frac {\partial \varphi }{\partial q^{l}}}~\mathbf {b} ^{l}=g^{li}~{\frac {\partial \varphi }{\partial q^{l}}}~\mathbf {b} _{i}\quad \Rightarrow \quad [{\boldsymbol {\nabla }}\varphi ]^{i}=g^{li}~{\frac {\partial \varphi }{\partial q^{l}}}}
Поэтому,
∇
2
φ
=
1
g
∂
∂
q
i
(
g
l
i
∂
φ
∂
q
l
g
)
{\displaystyle \nabla ^{2}\varphi ={\cfrac {1}{\sqrt {g}}}~{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}\left(g^{li}~{\frac {\partial \varphi }{\partial q^{l}}}~{\sqrt {g}}\right)}
Скручивание векторного поля [ править ]
Ротор векторного поля v в ковариантных криволинейных координатах можно записать как
∇
×
v
=
E
r
s
t
v
s
|
r
b
t
{\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {v} ={\mathcal {E}}^{rst}v_{s|r}~\mathbf {b} _{t}}
где
v
s
|
r
=
v
s
,
r
−
Γ
s
r
i
v
i
{\displaystyle v_{s|r}=v_{s,r}-\Gamma _{sr}^{i}~v_{i}}
Ортогональные криволинейные координаты [ править ]
Предположим, для целей этого раздела, что криволинейная система координат ортогональна , т.е.
b
i
⋅
b
j
=
{
g
i
i
if
i
=
j
0
if
i
≠
j
,
{\displaystyle \mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j}={\begin{cases}g_{ii}&{\text{if }}i=j\\0&{\text{if }}i\neq j,\end{cases}}}
или эквивалентно,
b
i
⋅
b
j
=
{
g
i
i
if
i
=
j
0
if
i
≠
j
,
{\displaystyle \mathbf {b} ^{i}\cdot \mathbf {b} ^{j}={\begin{cases}g^{ii}&{\text{if }}i=j\\0&{\text{if }}i\neq j,\end{cases}}}
где
g
i
i
=
g
i
i
−
1
{\displaystyle g^{ii}=g_{ii}^{-1}}
. Как прежде,
b
i
,
b
j
{\displaystyle \mathbf {b} _{i},\mathbf {b} _{j}}
являются ковариантными базисными векторами, а
b я ,
б дж являются контравариантными базисными векторами. Кроме того, пусть (
e 1 ,
Это 2 ,
Это 3 ) быть фоном, фиксированным,
декартовым базисом. Список ортогональных криволинейных координат приведен ниже.
Метрический тензор в координатах ортогональных криволинейных
Пусть r ( x ) будет вектором положения точки x относительно начала системы координат. Обозначения можно упростить, заметив, что x = r ( x ). В каждой точке мы можем построить небольшой линейный элемент d x . Квадрат длины линейного элемента является скалярным произведением d x • d x называется метрикой пространства . и Напомним, что интересующее пространство считается евклидовым, когда мы говорим о криволинейных координатах. Выразим вектор положения через фоновый фиксированный декартов базис, т. е.
x
=
∑
i
=
1
3
x
i
e
i
{\displaystyle \mathbf {x} =\sum _{i=1}^{3}x_{i}~\mathbf {e} _{i}}
Используя цепное правило , мы можем затем выразить d x через трехмерные ортогональные криволинейные координаты ( q 1 , q 2 , q 3 ) как
d
x
=
∑
i
=
1
3
∑
j
=
1
3
(
∂
x
i
∂
q
j
e
i
)
d
q
j
{\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {x} =\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\left({\cfrac {\partial x_{i}}{\partial q^{j}}}~\mathbf {e} _{i}\right)\mathrm {d} q^{j}}
Таким образом, метрика определяется выражением
d
x
⋅
d
x
=
∑
i
=
1
3
∑
j
=
1
3
∑
k
=
1
3
∂
x
i
∂
q
j
∂
x
i
∂
q
k
d
q
j
d
q
k
{\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {x} \cdot \mathrm {d} \mathbf {x} =\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}{\cfrac {\partial x_{i}}{\partial q^{j}}}~{\cfrac {\partial x_{i}}{\partial q^{k}}}~\mathrm {d} q^{j}~\mathrm {d} q^{k}}
Симметричная величина
g
i
j
(
q
i
,
q
j
)
=
∑
k
=
1
3
∂
x
k
∂
q
i
∂
x
k
∂
q
j
=
b
i
⋅
b
j
{\displaystyle g_{ij}(q^{i},q^{j})=\sum _{k=1}^{3}{\cfrac {\partial x_{k}}{\partial q^{i}}}~{\cfrac {\partial x_{k}}{\partial q^{j}}}=\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j}}
называется
фундаментальным (или метрическим) тензором евклидова
пространства в криволинейных координатах.
Обратите внимание также, что
g
i
j
=
∂
x
∂
q
i
⋅
∂
x
∂
q
j
=
(
∑
k
h
k
i
e
k
)
⋅
(
∑
m
h
m
j
e
m
)
=
∑
k
h
k
i
h
k
j
{\displaystyle g_{ij}={\cfrac {\partial \mathbf {x} }{\partial q^{i}}}\cdot {\cfrac {\partial \mathbf {x} }{\partial q^{j}}}=\left(\sum _{k}h_{ki}~\mathbf {e} _{k}\right)\cdot \left(\sum _{m}h_{mj}~\mathbf {e} _{m}\right)=\sum _{k}h_{ki}~h_{kj}}
где
h ij — коэффициенты Ламе.
Если мы определим масштабные коэффициенты, h i , используя
b
i
⋅
b
i
=
g
i
i
=
∑
k
h
k
i
2
=:
h
i
2
⇒
|
∂
x
∂
q
i
|
=
|
b
i
|
=
g
i
i
=
h
i
{\displaystyle \mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{i}=g_{ii}=\sum _{k}h_{ki}^{2}=:h_{i}^{2}\quad \Rightarrow \quad \left|{\cfrac {\partial \mathbf {x} }{\partial q^{i}}}\right|=\left|\mathbf {b} _{i}\right|={\sqrt {g_{ii}}}=h_{i}}
мы получаем связь между фундаментальным тензором и коэффициентами Ламе.
Пример: полярные координаты [ править ]
Если мы рассмотрим полярные координаты для R 2 , Обратите внимание, что
(
x
,
y
)
=
(
r
cos
θ
,
r
sin
θ
)
{\displaystyle (x,y)=(r\cos \theta ,r\sin \theta )}
(r, θ) — криволинейные координаты, а определитель Якоби преобразования (
r , θ) → (
r cos θ,
r sin θ) равен
r .
Ортогональные b базисные векторы: r sin θ = (cos θ, sin θ), b θ = (− r , r cos θ). Нормализованные базисные векторы: e r = (cos θ, sin θ), e θ = (−sin θ, cos θ), а масштабные коэффициенты: r = 1 и h θ = r. h Фундаментальный тензор: g 11 = 1, g 22 = r 2 , г 12 = г 21 =0.
Линейные и поверхностные интегралы [ править ]
Если мы хотим использовать криволинейные координаты для вычислений векторного исчисления , необходимо внести коррективы в расчет линейных, поверхностных и объемных интегралов. Для простоты мы снова ограничим обсуждение тремя измерениями и ортогональными криволинейными координатами. Однако те же аргументы применимы и к
n
{\displaystyle n}
-мерные проблемы, однако в выражениях присутствуют дополнительные члены, когда система координат неортогональна.
Линейные интегралы [ править ]
Обычно при вычислении линейных интегралов нас интересует вычисление
∫
C
f
d
s
=
∫
a
b
f
(
x
(
t
)
)
|
∂
x
∂
t
|
d
t
{\displaystyle \int _{C}f\,ds=\int _{a}^{b}f(\mathbf {x} (t))\left|{\partial \mathbf {x} \over \partial t}\right|\;dt}
где
x (
t ) параметризует C в декартовых координатах.
В криволинейных координатах член
|
∂
x
∂
t
|
=
|
∑
i
=
1
3
∂
x
∂
q
i
∂
q
i
∂
t
|
{\displaystyle \left|{\partial \mathbf {x} \over \partial t}\right|=\left|\sum _{i=1}^{3}{\partial \mathbf {x} \over \partial q^{i}}{\partial q^{i} \over \partial t}\right|}
по правилу цепочки . А из определения коэффициентов Ламе
∂
x
∂
q
i
=
∑
k
h
k
i
e
k
{\displaystyle {\partial \mathbf {x} \over \partial q^{i}}=\sum _{k}h_{ki}~\mathbf {e} _{k}}
и поэтому
|
∂
x
∂
t
|
=
|
∑
k
(
∑
i
h
k
i
∂
q
i
∂
t
)
e
k
|
=
∑
i
∑
j
∑
k
h
k
i
h
k
j
∂
q
i
∂
t
∂
q
j
∂
t
=
∑
i
∑
j
g
i
j
∂
q
i
∂
t
∂
q
j
∂
t
{\displaystyle {\begin{aligned}\left|{\partial \mathbf {x} \over \partial t}\right|&=\left|\sum _{k}\left(\sum _{i}h_{ki}~{\cfrac {\partial q^{i}}{\partial t}}\right)\mathbf {e} _{k}\right|\\[8pt]&={\sqrt {\sum _{i}\sum _{j}\sum _{k}h_{ki}~h_{kj}{\cfrac {\partial q^{i}}{\partial t}}{\cfrac {\partial q^{j}}{\partial t}}}}={\sqrt {\sum _{i}\sum _{j}g_{ij}~{\cfrac {\partial q^{i}}{\partial t}}{\cfrac {\partial q^{j}}{\partial t}}}}\end{aligned}}}
Теперь, поскольку
g
i
j
=
0
{\displaystyle g_{ij}=0}
когда
i
≠
j
{\displaystyle i\neq j}
, у нас есть
|
∂
x
∂
t
|
=
∑
i
g
i
i
(
∂
q
i
∂
t
)
2
=
∑
i
h
i
2
(
∂
q
i
∂
t
)
2
{\displaystyle \left|{\partial \mathbf {x} \over \partial t}\right|={\sqrt {\sum _{i}g_{ii}~\left({\cfrac {\partial q^{i}}{\partial t}}\right)^{2}}}={\sqrt {\sum _{i}h_{i}^{2}~\left({\cfrac {\partial q^{i}}{\partial t}}\right)^{2}}}}
и мы можем продолжить работу в обычном режиме.
Поверхностные интегралы [ править ]
Аналогично, если нас интересует поверхностный интеграл , соответствующий расчет с параметризацией поверхности в декартовых координатах будет следующим:
∫
S
f
d
S
=
∬
T
f
(
x
(
s
,
t
)
)
|
∂
x
∂
s
×
∂
x
∂
t
|
d
s
d
t
{\displaystyle \int _{S}f\,dS=\iint _{T}f(\mathbf {x} (s,t))\left|{\partial \mathbf {x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf {x} \over \partial t}\right|\,ds\,dt}
Опять же, в криволинейных координатах имеем
|
∂
x
∂
s
×
∂
x
∂
t
|
=
|
(
∑
i
∂
x
∂
q
i
∂
q
i
∂
s
)
×
(
∑
j
∂
x
∂
q
j
∂
q
j
∂
t
)
|
{\displaystyle \left|{\partial \mathbf {x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf {x} \over \partial t}\right|=\left|\left(\sum _{i}{\partial \mathbf {x} \over \partial q^{i}}{\partial q^{i} \over \partial s}\right)\times \left(\sum _{j}{\partial \mathbf {x} \over \partial q^{j}}{\partial q^{j} \over \partial t}\right)\right|}
и мы снова используем определение криволинейных координат, чтобы получить
∂
x
∂
q
i
∂
q
i
∂
s
=
∑
k
(
∑
i
=
1
3
h
k
i
∂
q
i
∂
s
)
e
k
;
∂
x
∂
q
j
∂
q
j
∂
t
=
∑
m
(
∑
j
=
1
3
h
m
j
∂
q
j
∂
t
)
e
m
{\displaystyle {\partial \mathbf {x} \over \partial q^{i}}{\partial q^{i} \over \partial s}=\sum _{k}\left(\sum _{i=1}^{3}h_{ki}~{\partial q^{i} \over \partial s}\right)\mathbf {e} _{k}~;~~{\partial \mathbf {x} \over \partial q^{j}}{\partial q^{j} \over \partial t}=\sum _{m}\left(\sum _{j=1}^{3}h_{mj}~{\partial q^{j} \over \partial t}\right)\mathbf {e} _{m}}
Поэтому,
|
∂
x
∂
s
×
∂
x
∂
t
|
=
|
∑
k
∑
m
(
∑
i
=
1
3
h
k
i
∂
q
i
∂
s
)
(
∑
j
=
1
3
h
m
j
∂
q
j
∂
t
)
e
k
×
e
m
|
=
|
∑
p
∑
k
∑
m
E
k
m
p
(
∑
i
=
1
3
h
k
i
∂
q
i
∂
s
)
(
∑
j
=
1
3
h
m
j
∂
q
j
∂
t
)
e
p
|
{\displaystyle {\begin{aligned}\left|{\partial \mathbf {x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf {x} \over \partial t}\right|&=\left|\sum _{k}\sum _{m}\left(\sum _{i=1}^{3}h_{ki}~{\partial q^{i} \over \partial s}\right)\left(\sum _{j=1}^{3}h_{mj}~{\partial q^{j} \over \partial t}\right)\mathbf {e} _{k}\times \mathbf {e} _{m}\right|\\[8pt]&=\left|\sum _{p}\sum _{k}\sum _{m}{\mathcal {E}}_{kmp}\left(\sum _{i=1}^{3}h_{ki}~{\partial q^{i} \over \partial s}\right)\left(\sum _{j=1}^{3}h_{mj}~{\partial q^{j} \over \partial t}\right)\mathbf {e} _{p}\right|\end{aligned}}}
где
E
{\displaystyle {\mathcal {E}}}
является
символом перестановки .
В детерминантной форме векторное произведение по криволинейным координатам будет:
|
e
1
e
2
e
3
∑
i
h
1
i
∂
q
i
∂
s
∑
i
h
2
i
∂
q
i
∂
s
∑
i
h
3
i
∂
q
i
∂
s
∑
j
h
1
j
∂
q
j
∂
t
∑
j
h
2
j
∂
q
j
∂
t
∑
j
h
3
j
∂
q
j
∂
t
|
{\displaystyle {\begin{vmatrix}\mathbf {e} _{1}&\mathbf {e} _{2}&\mathbf {e} _{3}\\&&\\\sum _{i}h_{1i}{\partial q^{i} \over \partial s}&\sum _{i}h_{2i}{\partial q^{i} \over \partial s}&\sum _{i}h_{3i}{\partial q^{i} \over \partial s}\\&&\\\sum _{j}h_{1j}{\partial q^{j} \over \partial t}&\sum _{j}h_{2j}{\partial q^{j} \over \partial t}&\sum _{j}h_{3j}{\partial q^{j} \over \partial t}\end{vmatrix}}}
Град, локон, делитель, лапласиан [ править ]
В ортогональных криволинейных трехмерных координатах, где
b
i
=
∑
k
g
i
k
b
k
;
g
i
i
=
1
g
i
i
=
1
h
i
2
{\displaystyle \mathbf {b} ^{i}=\sum _{k}g^{ik}~\mathbf {b} _{k}~;~~g^{ii}={\cfrac {1}{g_{ii}}}={\cfrac {1}{h_{i}^{2}}}}
можно выразить
градиент скалярного
или как
поля векторного
∇
φ
=
∑
i
∂
φ
∂
q
i
b
i
=
∑
i
∑
j
∂
φ
∂
q
i
g
i
j
b
j
=
∑
i
1
h
i
2
∂
f
∂
q
i
b
i
;
∇
v
=
∑
i
1
h
i
2
∂
v
∂
q
i
⊗
b
i
{\displaystyle \nabla \varphi =\sum _{i}{\partial \varphi \over \partial q^{i}}~\mathbf {b} ^{i}=\sum _{i}\sum _{j}{\partial \varphi \over \partial q^{i}}~g^{ij}~\mathbf {b} _{j}=\sum _{i}{\cfrac {1}{h_{i}^{2}}}~{\partial f \over \partial q^{i}}~\mathbf {b} _{i}~;~~\nabla \mathbf {v} =\sum _{i}{\cfrac {1}{h_{i}^{2}}}~{\partial \mathbf {v} \over \partial q^{i}}\otimes \mathbf {b} _{i}}
Для ортогонального базиса
g
=
g
11
g
22
g
33
=
h
1
2
h
2
2
h
3
2
⇒
g
=
h
1
h
2
h
3
{\displaystyle g=g_{11}~g_{22}~g_{33}=h_{1}^{2}~h_{2}^{2}~h_{3}^{2}\quad \Rightarrow \quad {\sqrt {g}}=h_{1}h_{2}h_{3}}
Тогда дивергенцию
как векторного поля можно записать
∇
⋅
v
=
1
h
1
h
2
h
3
∂
∂
q
i
(
h
1
h
2
h
3
v
i
)
{\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} ={\cfrac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}~{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}(h_{1}h_{2}h_{3}~v^{i})}
Также,
v
i
=
g
i
k
v
k
⇒
v
1
=
g
11
v
1
=
v
1
h
1
2
;
v
2
=
g
22
v
2
=
v
2
h
2
2
;
v
3
=
g
33
v
3
=
v
3
h
3
2
{\displaystyle v^{i}=g^{ik}~v_{k}\quad \Rightarrow v^{1}=g^{11}~v_{1}={\cfrac {v_{1}}{h_{1}^{2}}}~;~~v^{2}=g^{22}~v_{2}={\cfrac {v_{2}}{h_{2}^{2}}}~;~~v^{3}=g^{33}~v_{3}={\cfrac {v_{3}}{h_{3}^{2}}}}
Поэтому,
∇
⋅
v
=
1
h
1
h
2
h
3
∑
i
∂
∂
q
i
(
h
1
h
2
h
3
h
i
2
v
i
)
{\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} ={\cfrac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}~\sum _{i}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}\left({\cfrac {h_{1}h_{2}h_{3}}{h_{i}^{2}}}~v_{i}\right)}
мы можем получить выражение для
лапласиана Аналогичным образом , заметив, что
g
l
i
∂
φ
∂
q
l
=
{
g
11
∂
φ
∂
q
1
,
g
22
∂
φ
∂
q
2
,
g
33
∂
φ
∂
q
3
}
=
{
1
h
1
2
∂
φ
∂
q
1
,
1
h
2
2
∂
φ
∂
q
2
,
1
h
3
2
∂
φ
∂
q
3
}
{\displaystyle g^{li}~{\frac {\partial \varphi }{\partial q^{l}}}=\left\{g^{11}~{\frac {\partial \varphi }{\partial q^{1}}},g^{22}~{\frac {\partial \varphi }{\partial q^{2}}},g^{33}~{\frac {\partial \varphi }{\partial q^{3}}}\right\}=\left\{{\cfrac {1}{h_{1}^{2}}}~{\frac {\partial \varphi }{\partial q^{1}}},{\cfrac {1}{h_{2}^{2}}}~{\frac {\partial \varphi }{\partial q^{2}}},{\cfrac {1}{h_{3}^{2}}}~{\frac {\partial \varphi }{\partial q^{3}}}\right\}}
Тогда у нас есть
∇
2
φ
=
1
h
1
h
2
h
3
∑
i
∂
∂
q
i
(
h
1
h
2
h
3
h
i
2
∂
φ
∂
q
i
)
{\displaystyle \nabla ^{2}\varphi ={\cfrac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}~\sum _{i}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}\left({\cfrac {h_{1}h_{2}h_{3}}{h_{i}^{2}}}~{\frac {\partial \varphi }{\partial q^{i}}}\right)}
Выражения для градиента, дивергенции и лапласиана можно напрямую распространить на
n -мерности.
Ротор выражением векторного поля определяется
∇
×
v
=
1
h
1
h
2
h
3
∑
i
=
1
n
e
i
∑
j
k
ε
i
j
k
h
i
∂
(
h
k
v
k
)
∂
q
j
{\displaystyle \nabla \times \mathbf {v} ={\frac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}\sum _{i=1}^{n}\mathbf {e} _{i}\sum _{jk}\varepsilon _{ijk}h_{i}{\frac {\partial (h_{k}v_{k})}{\partial q^{j}}}}
где εijk
— символ
Леви-Чивита .
Пример: Цилиндрические полярные координаты [ править ]
Для цилиндрических координат имеем
(
x
1
,
x
2
,
x
3
)
=
x
=
φ
(
q
1
,
q
2
,
q
3
)
=
φ
(
r
,
θ
,
z
)
=
{
r
cos
θ
,
r
sin
θ
,
z
}
{\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3})=\mathbf {x} ={\boldsymbol {\varphi }}(q^{1},q^{2},q^{3})={\boldsymbol {\varphi }}(r,\theta ,z)=\{r\cos \theta ,r\sin \theta ,z\}}
и
{
ψ
1
(
x
)
,
ψ
2
(
x
)
,
ψ
3
(
x
)
}
=
(
q
1
,
q
2
,
q
3
)
≡
(
r
,
θ
,
z
)
=
{
x
1
2
+
x
2
2
,
tan
−
1
(
x
2
/
x
1
)
,
x
3
}
{\displaystyle \{\psi ^{1}(\mathbf {x} ),\psi ^{2}(\mathbf {x} ),\psi ^{3}(\mathbf {x} )\}=(q^{1},q^{2},q^{3})\equiv (r,\theta ,z)=\{{\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}},\tan ^{-1}(x_{2}/x_{1}),x_{3}\}}
где
0
<
r
<
∞
,
0
<
θ
<
2
π
,
−
∞
<
z
<
∞
{\displaystyle 0<r<\infty ~,~~0<\theta <2\pi ~,~~-\infty <z<\infty }
Тогда ковариантные и контравариантные базисные векторы равны
b
1
=
e
r
=
b
1
b
2
=
r
e
θ
=
r
2
b
2
b
3
=
e
z
=
b
3
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {b} _{1}&=\mathbf {e} _{r}=\mathbf {b} ^{1}\\\mathbf {b} _{2}&=r~\mathbf {e} _{\theta }=r^{2}~\mathbf {b} ^{2}\\\mathbf {b} _{3}&=\mathbf {e} _{z}=\mathbf {b} ^{3}\end{aligned}}}
где
e
r
,
e
θ
,
e
z
{\displaystyle \mathbf {e} _{r},\mathbf {e} _{\theta },\mathbf {e} _{z}}
являются единичными векторами в
r
,
θ
,
z
{\displaystyle r,\theta ,z}
направления.
Заметим, что компоненты метрического тензора таковы, что
g
i
j
=
g
i
j
=
0
(
i
≠
j
)
;
g
11
=
1
,
g
22
=
1
r
,
g
33
=
1
{\displaystyle g^{ij}=g_{ij}=0(i\neq j)~;~~{\sqrt {g^{11}}}=1,~{\sqrt {g^{22}}}={\cfrac {1}{r}},~{\sqrt {g^{33}}}=1}
что показывает, что базис ортогонален.
Ненулевые компоненты символа Кристоффеля второго рода равны
Γ
12
2
=
Γ
21
2
=
1
r
;
Γ
22
1
=
−
r
{\displaystyle \Gamma _{12}^{2}=\Gamma _{21}^{2}={\cfrac {1}{r}}~;~~\Gamma _{22}^{1}=-r}
Представление физического векторного поля [ править ]
Нормализованные контравариантные базисные векторы в цилиндрических полярных координатах имеют вид
b
^
1
=
e
r
;
b
^
2
=
e
θ
;
b
^
3
=
e
z
{\displaystyle {\hat {\mathbf {b} }}^{1}=\mathbf {e} _{r}~;~~{\hat {\mathbf {b} }}^{2}=\mathbf {e} _{\theta }~;~~{\hat {\mathbf {b} }}^{3}=\mathbf {e} _{z}}
а физические компоненты вектора
v равны
(
v
^
1
,
v
^
2
,
v
^
3
)
=
(
v
1
,
v
2
/
r
,
v
3
)
=:
(
v
r
,
v
θ
,
v
z
)
{\displaystyle ({\hat {v}}_{1},{\hat {v}}_{2},{\hat {v}}_{3})=(v_{1},v_{2}/r,v_{3})=:(v_{r},v_{\theta },v_{z})}
Градиент скалярного поля [ править ]
Градиент скалярного поля f ( x ) в цилиндрических координатах теперь может быть вычислен из общего выражения в криволинейных координатах и имеет вид
∇
f
=
∂
f
∂
r
e
r
+
1
r
∂
f
∂
θ
e
θ
+
∂
f
∂
z
e
z
{\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}f={\cfrac {\partial f}{\partial r}}~\mathbf {e} _{r}+{\cfrac {1}{r}}~{\cfrac {\partial f}{\partial \theta }}~\mathbf {e} _{\theta }+{\cfrac {\partial f}{\partial z}}~\mathbf {e} _{z}}
Градиент векторного поля [ править ]
, что градиент векторного поля v ( x Точно так же можно показать ) в цилиндрических координатах равен
∇
v
=
∂
v
r
∂
r
e
r
⊗
e
r
+
1
r
(
∂
v
r
∂
θ
−
v
θ
)
e
r
⊗
e
θ
+
∂
v
r
∂
z
e
r
⊗
e
z
+
∂
v
θ
∂
r
e
θ
⊗
e
r
+
1
r
(
∂
v
θ
∂
θ
+
v
r
)
e
θ
⊗
e
θ
+
∂
v
θ
∂
z
e
θ
⊗
e
z
+
∂
v
z
∂
r
e
z
⊗
e
r
+
1
r
∂
v
z
∂
θ
e
z
⊗
e
θ
+
∂
v
z
∂
z
e
z
⊗
e
z
{\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} &={\cfrac {\partial v_{r}}{\partial r}}~\mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{r}+{\cfrac {1}{r}}\left({\cfrac {\partial v_{r}}{\partial \theta }}-v_{\theta }\right)~\mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{\theta }+{\cfrac {\partial v_{r}}{\partial z}}~\mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{z}\\[8pt]&+{\cfrac {\partial v_{\theta }}{\partial r}}~\mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{r}+{\cfrac {1}{r}}\left({\cfrac {\partial v_{\theta }}{\partial \theta }}+v_{r}\right)~\mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{\theta }+{\cfrac {\partial v_{\theta }}{\partial z}}~\mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{z}\\[8pt]&+{\cfrac {\partial v_{z}}{\partial r}}~\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{r}+{\cfrac {1}{r}}{\cfrac {\partial v_{z}}{\partial \theta }}~\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{\theta }+{\cfrac {\partial v_{z}}{\partial z}}~\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{z}\end{aligned}}}
Дивергенция векторного поля [ править ]
Используя уравнение дивергенции векторного поля в криволинейных координатах, можно показать, что дивергенция в цилиндрических координатах равна
∇
⋅
v
=
∂
v
r
∂
r
+
1
r
(
∂
v
θ
∂
θ
+
v
r
)
+
∂
v
z
∂
z
{\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} &={\cfrac {\partial v_{r}}{\partial r}}+{\cfrac {1}{r}}\left({\cfrac {\partial v_{\theta }}{\partial \theta }}+v_{r}\right)+{\cfrac {\partial v_{z}}{\partial z}}\end{aligned}}}
Лапласиан скалярного поля [ править ]
Лапласиан легче вычислить, если учесть, что
∇
2
f
=
∇
⋅
∇
f
{\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}^{2}f={\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}f}
. В цилиндрических полярных координатах
v
=
∇
f
=
[
v
r
v
θ
v
z
]
=
[
∂
f
∂
r
1
r
∂
f
∂
θ
∂
f
∂
z
]
{\displaystyle \mathbf {v} ={\boldsymbol {\nabla }}f=\left[v_{r}~~v_{\theta }~~v_{z}\right]=\left[{\cfrac {\partial f}{\partial r}}~~{\cfrac {1}{r}}{\cfrac {\partial f}{\partial \theta }}~~{\cfrac {\partial f}{\partial z}}\right]}
Следовательно,
∇
⋅
v
=
∇
2
f
=
∂
2
f
∂
r
2
+
1
r
(
1
r
∂
2
f
∂
θ
2
+
∂
f
∂
r
)
+
∂
2
f
∂
z
2
=
1
r
[
∂
∂
r
(
r
∂
f
∂
r
)
]
+
1
r
2
∂
2
f
∂
θ
2
+
∂
2
f
∂
z
2
{\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} ={\boldsymbol {\nabla }}^{2}f={\cfrac {\partial ^{2}f}{\partial r^{2}}}+{\cfrac {1}{r}}\left({\cfrac {1}{r}}{\cfrac {\partial ^{2}f}{\partial \theta ^{2}}}+{\cfrac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\cfrac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}={\cfrac {1}{r}}\left[{\cfrac {\partial }{\partial r}}\left(r{\cfrac {\partial f}{\partial r}}\right)\right]+{\cfrac {1}{r^{2}}}{\cfrac {\partial ^{2}f}{\partial \theta ^{2}}}+{\cfrac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}}
физического тензорного поля порядка Представление второго
Физические компоненты тензорного поля второго порядка — это те, которые получаются, когда тензор выражается через нормированный контравариантный базис. В цилиндрических полярных координатах этими компонентами являются:
S
^
11
=
S
11
=:
S
r
r
,
S
^
12
=
S
12
r
=:
S
r
θ
,
S
^
13
=
S
13
=:
S
r
z
S
^
21
=
S
21
r
=:
S
θ
r
,
S
^
22
=
S
22
r
2
=:
S
θ
θ
,
S
^
23
=
S
23
r
=:
S
θ
z
S
^
31
=
S
31
=:
S
z
r
,
S
^
32
=
S
32
r
=:
S
z
θ
,
S
^
33
=
S
33
=:
S
z
z
{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {S}}_{11}&=S_{11}=:S_{rr},&{\hat {S}}_{12}&={\frac {S_{12}}{r}}=:S_{r\theta },&{\hat {S}}_{13}&=S_{13}=:S_{rz}\\[6pt]{\hat {S}}_{21}&={\frac {S_{21}}{r}}=:S_{\theta r},&{\hat {S}}_{22}&={\frac {S_{22}}{r^{2}}}=:S_{\theta \theta },&{\hat {S}}_{23}&={\frac {S_{23}}{r}}=:S_{\theta z}\\[6pt]{\hat {S}}_{31}&=S_{31}=:S_{zr},&{\hat {S}}_{32}&={\frac {S_{32}}{r}}=:S_{z\theta },&{\hat {S}}_{33}&=S_{33}=:S_{zz}\end{aligned}}}
тензорного поля порядка Градиент второго
Используя приведенные выше определения, мы можем показать, что градиент тензорного поля второго порядка в цилиндрических полярных координатах можно выразить как
∇
S
=
∂
S
r
r
∂
r
e
r
⊗
e
r
⊗
e
r
+
1
r
[
∂
S
r
r
∂
θ
−
(
S
θ
r
+
S
r
θ
)
]
e
r
⊗
e
r
⊗
e
θ
+
∂
S
r
r
∂
z
e
r
⊗
e
r
⊗
e
z
+
∂
S
r
θ
∂
r
e
r
⊗
e
θ
⊗
e
r
+
1
r
[
∂
S
r
θ
∂
θ
+
(
S
r
r
−
S
θ
θ
)
]
e
r
⊗
e
θ
⊗
e
θ
+
∂
S
r
θ
∂
z
e
r
⊗
e
θ
⊗
e
z
+
∂
S
r
z
∂
r
e
r
⊗
e
z
⊗
e
r
+
1
r
[
∂
S
r
z
∂
θ
−
S
θ
z
]
e
r
⊗
e
z
⊗
e
θ
+
∂
S
r
z
∂
z
e
r
⊗
e
z
⊗
e
z
+
∂
S
θ
r
∂
r
e
θ
⊗
e
r
⊗
e
r
+
1
r
[
∂
S
θ
r
∂
θ
+
(
S
r
r
−
S
θ
θ
)
]
e
θ
⊗
e
r
⊗
e
θ
+
∂
S
θ
r
∂
z
e
θ
⊗
e
r
⊗
e
z
+
∂
S
θ
θ
∂
r
e
θ
⊗
e
θ
⊗
e
r
+
1
r
[
∂
S
θ
θ
∂
θ
+
(
S
r
θ
+
S
θ
r
)
]
e
θ
⊗
e
θ
⊗
e
θ
+
∂
S
θ
θ
∂
z
e
θ
⊗
e
θ
⊗
e
z
+
∂
S
θ
z
∂
r
e
θ
⊗
e
z
⊗
e
r
+
1
r
[
∂
S
θ
z
∂
θ
+
S
r
z
]
e
θ
⊗
e
z
⊗
e
θ
+
∂
S
θ
z
∂
z
e
θ
⊗
e
z
⊗
e
z
+
∂
S
z
r
∂
r
e
z
⊗
e
r
⊗
e
r
+
1
r
[
∂
S
z
r
∂
θ
−
S
z
θ
]
e
z
⊗
e
r
⊗
e
θ
+
∂
S
z
r
∂
z
e
z
⊗
e
r
⊗
e
z
+
∂
S
z
θ
∂
r
e
z
⊗
e
θ
⊗
e
r
+
1
r
[
∂
S
z
θ
∂
θ
+
S
z
r
]
e
z
⊗
e
θ
⊗
e
θ
+
∂
S
z
θ
∂
z
e
z
⊗
e
θ
⊗
e
z
+
∂
S
z
z
∂
r
e
z
⊗
e
z
⊗
e
r
+
1
r
∂
S
z
z
∂
θ
e
z
⊗
e
z
⊗
e
θ
+
∂
S
z
z
∂
z
e
z
⊗
e
z
⊗
e
z
{\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\nabla }}{\boldsymbol {S}}&={\frac {\partial S_{rr}}{\partial r}}~\mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{r}+{\cfrac {1}{r}}\left[{\frac {\partial S_{rr}}{\partial \theta }}-(S_{\theta r}+S_{r\theta })\right]~\mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{\theta }+{\frac {\partial S_{rr}}{\partial z}}~\mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{z}\\[8pt]&+{\frac {\partial S_{r\theta }}{\partial r}}~\mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{r}+{\cfrac {1}{r}}\left[{\frac {\partial S_{r\theta }}{\partial \theta }}+(S_{rr}-S_{\theta \theta })\right]~\mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{\theta }+{\frac {\partial S_{r\theta }}{\partial z}}~\mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{z}\\[8pt]&+{\frac {\partial S_{rz}}{\partial r}}~\mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{r}+{\cfrac {1}{r}}\left[{\frac {\partial S_{rz}}{\partial \theta }}-S_{\theta z}\right]~\mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{\theta }+{\frac {\partial S_{rz}}{\partial z}}~\mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{z}\\[8pt]&+{\frac {\partial S_{\theta r}}{\partial r}}~\mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{r}+{\cfrac {1}{r}}\left[{\frac {\partial S_{\theta r}}{\partial \theta }}+(S_{rr}-S_{\theta \theta })\right]~\mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{\theta }+{\frac {\partial S_{\theta r}}{\partial z}}~\mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{z}\\[8pt]&+{\frac {\partial S_{\theta \theta }}{\partial r}}~\mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{r}+{\cfrac {1}{r}}\left[{\frac {\partial S_{\theta \theta }}{\partial \theta }}+(S_{r\theta }+S_{\theta r})\right]~\mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{\theta }+{\frac {\partial S_{\theta \theta }}{\partial z}}~\mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{z}\\[8pt]&+{\frac {\partial S_{\theta z}}{\partial r}}~\mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{r}+{\cfrac {1}{r}}\left[{\frac {\partial S_{\theta z}}{\partial \theta }}+S_{rz}\right]~\mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{\theta }+{\frac {\partial S_{\theta z}}{\partial z}}~\mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{z}\\[8pt]&+{\frac {\partial S_{zr}}{\partial r}}~\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{r}+{\cfrac {1}{r}}\left[{\frac {\partial S_{zr}}{\partial \theta }}-S_{z\theta }\right]~\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{\theta }+{\frac {\partial S_{zr}}{\partial z}}~\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{z}\\[8pt]&+{\frac {\partial S_{z\theta }}{\partial r}}~\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{r}+{\cfrac {1}{r}}\left[{\frac {\partial S_{z\theta }}{\partial \theta }}+S_{zr}\right]~\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{\theta }+{\frac {\partial S_{z\theta }}{\partial z}}~\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{z}\\[8pt]&+{\frac {\partial S_{zz}}{\partial r}}~\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{r}+{\cfrac {1}{r}}~{\frac {\partial S_{zz}}{\partial \theta }}~\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{\theta }+{\frac {\partial S_{zz}}{\partial z}}~\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{z}\end{aligned}}}
второго порядка Дивергенция тензорного поля
Дивергенция тензорного поля второго порядка в цилиндрических полярных координатах может быть получена из выражения для градиента путем сбора членов, в которых скалярное произведение двух внешних векторов в двоичных произведениях не равно нулю. Поэтому,
∇
⋅
S
=
∂
S
r
r
∂
r
e
r
+
∂
S
r
θ
∂
r
e
θ
+
∂
S
r
z
∂
r
e
z
+
1
r
[
∂
S
r
θ
∂
θ
+
(
S
r
r
−
S
θ
θ
)
]
e
r
+
1
r
[
∂
S
θ
θ
∂
θ
+
(
S
r
θ
+
S
θ
r
)
]
e
θ
+
1
r
[
∂
S
θ
z
∂
θ
+
S
r
z
]
e
z
+
∂
S
z
r
∂
z
e
r
+
∂
S
z
θ
∂
z
e
θ
+
∂
S
z
z
∂
z
e
z
{\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {S}}&={\frac {\partial S_{rr}}{\partial r}}~\mathbf {e} _{r}+{\frac {\partial S_{r\theta }}{\partial r}}~\mathbf {e} _{\theta }+{\frac {\partial S_{rz}}{\partial r}}~\mathbf {e} _{z}\\[8pt]&+{\cfrac {1}{r}}\left[{\frac {\partial S_{r\theta }}{\partial \theta }}+(S_{rr}-S_{\theta \theta })\right]~\mathbf {e} _{r}+{\cfrac {1}{r}}\left[{\frac {\partial S_{\theta \theta }}{\partial \theta }}+(S_{r\theta }+S_{\theta r})\right]~\mathbf {e} _{\theta }+{\cfrac {1}{r}}\left[{\frac {\partial S_{\theta z}}{\partial \theta }}+S_{rz}\right]~\mathbf {e} _{z}\\[8pt]&+{\frac {\partial S_{zr}}{\partial z}}~\mathbf {e} _{r}+{\frac {\partial S_{z\theta }}{\partial z}}~\mathbf {e} _{\theta }+{\frac {\partial S_{zz}}{\partial z}}~\mathbf {e} _{z}\end{aligned}}}
Примечания
^ Перейти обратно: а б с Грин, А.Е.; Зерна, В. (1968). Теоретическая эластичность . Издательство Оксфордского университета. ISBN 0-19-853486-8 .
^ Перейти обратно: а б с Огден, RW (2000). Нелинейные упругие деформации . Дувр.
^ Нагди, премьер-министр (1972). «Теория оболочек и пластин». В С. Флюгге (ред.). Справочник по физике . Том. ВИа/2. стр. 425–640.
^ Перейти обратно: а б с д Это ж г час я дж к Симмондс, Дж. Г. (1994). Кратко о тензорном анализе . Спрингер. ISBN 0-387-90639-8 .
^ Перейти обратно: а б Басар, Ю.; Вейхерт, Д. (2000). Численная механика сплошных сред твердого тела: фундаментальные понятия и перспективы . Спрингер.
^ Перейти обратно: а б с Сиарлет, PG (2000). Теория оболочек . Том. 1. Эльзевир Наука.
^ Эйнштейн, А. (1915). «Вклад в общую теорию относительности». В Лачосе, К. (ред.). Десятилетие Эйнштейна . п. 213.
^ Миснер, CW; Торн, Канзас; Уилер, Дж. А. (1973). Гравитация . WH Freeman and Co. ISBN 0-7167-0344-0 .
^ Гринлиф, А.; Лассас, М.; Ульманн, Г. (2003). «Анизотропная проводимость, которую невозможно обнаружить с помощью EIT». Физиологическое измерение . 24 (2): 413–419. дои : 10.1088/0967-3334/24/2/353 . ПМИД 12812426 . S2CID 250813768 .
^ Леонхардт, Ю.; Филбин, Т.Г. (2006). «Общая теория относительности в электротехнике». Новый журнал физики . 8 (10): 247. arXiv : cond-mat/0607418 . Бибкод : 2006NJPh....8..247L . дои : 10.1088/1367-2630/8/10/247 . S2CID 12100599 .
^ «Дивергенция тензорного поля» . Введение в эластичность/тензоры . Викиверситет . Проверено 26 ноября 2010 г.
дальнейшее чтение
Шпигель, MR (1959). Векторный анализ . Нью-Йорк: Серия набросков Шаума. ISBN 0-07-084378-3 .
Арфкен, Джордж (1995). Математические методы для физиков . Академическая пресса. ISBN 0-12-059877-9 .
Внешние ссылки [ править ]
показывать Two dimensional Three dimensional