Тензоры в криволинейных координатах

Криволинейные координаты могут быть сформулированы в тензорном исчислении , что имеет важные применения в физике и технике , особенно для описания переноса физических величин и деформации вещества в механике жидкости и механике сплошной среды .

трёхмерных криволинейных

Примечание. соглашение Эйнштейна о суммировании повторяющихся индексов. Ниже используется

Элементарная векторная и тензорная алгебра в криволинейных координатах используется в некоторых старых научных публикациях по механике и физике и может быть незаменима для понимания работ начала и середины 1900-х годов, например текста Грина и Зерны. В этом разделе приведены некоторые полезные соотношения алгебры векторов и тензоров второго порядка в криволинейных координатах. Обозначения и содержание в основном взяты из Огдена, Нагди, Симмондс, Грин и Зерна, Басар и Вейхерт, и Сиарлет.

Преобразования координат

Рассмотрим две системы координат с координатными переменными $(Z^{1},Z^{2},Z^{3})$ и $(Z^{\acute {1}},Z^{\acute {2}},Z^{\acute {3}})$, который мы кратко представим как просто $Z^{i}$ и $Z^{\acute {i}}$ соответственно и всегда предполагать наш индекс $i$ пробегает от 1 до 3. Будем считать, что эти системы координат вложены в трехмерное евклидово пространство. Координаты $Z^{i}$ и $Z^{\acute {i}}$ могут использоваться для объяснения друг друга, поскольку, двигаясь по координатной линии в одной системе координат, мы можем использовать другую для описания нашего положения. Таким образом, координаты $Z^{i}$ и $Z^{\acute {i}}$ являются функциями друг друга

$$Z^{i}=f^{i}(Z^{\acute {1}},Z^{\acute {2}},Z^{\acute {3}})$$

для $i=1,2,3$

который можно записать как

$$Z^{i}=Z^{i}(Z^{\acute {1}},Z^{\acute {2}},Z^{\acute {3}})=Z^{i}(Z^{\acute {i}})$$

для ${\acute {i}},i=1,2,3$

Эти три уравнения вместе также называются преобразованием координат из $Z^{\acute {i}}$ к $Z^{i}$.Обозначим это преобразование через $T$. Поэтому мы представим преобразование из системы координат с координатными переменными $Z^{\acute {i}}$ в систему координат с координатами $Z^{i}$ как:

$$Z=T({\acute {z}})$$

Аналогично мы можем представить $Z^{\acute {i}}$ как функция $Z^{i}$ следующее:

$$Z^{\acute {i}}=g^{\acute {i}}(Z^{1},Z^{2},Z^{3})$$

для ${\acute {i}}=1,2,3$

аналогичным образом мы можем записать свободные уравнения более компактно как

$$Z^{\acute {i}}=Z^{\acute {i}}(Z^{1},Z^{2},Z^{3})=Z^{\acute {i}}(Z^{i})$$

для ${\acute {i}},i=1,2,3$

Эти три уравнения вместе также называются преобразованием координат из $Z^{i}$ к $Z^{\acute {i}}$. Обозначим это преобразование через $S$. Преобразование из системы координат будем представлять с координатными переменными $Z^{i}$ в систему координат с координатами $Z^{\acute {i}}$ как:

$${\acute {z}}=S(z)$$

Если преобразование $T$ биективен, то мы называем образ преобразования, а именно $Z^{i}$, набор допустимых координат для $Z^{\acute {i}}$. Если $T$ линейна система координат $Z^{i}$ будем называть аффинной системой координат , в противном случае $Z^{i}$ называется криволинейной системой координат

Якобиан

Как мы теперь видим, координаты $Z^{i}$ и $Z^{\acute {i}}$ являются функциями друг друга, мы можем взять производную координатной переменной $Z^{i}$ относительно координатной переменной $Z^{\acute {i}}$

учитывать

$${\frac {\partial {Z^{i}}}{\partial {Z^{\acute {i}}}}}\;{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\;J_{\acute {i}}^{i}$$

для ${\acute {i}},i=1,2,3$, эти производные можно расположить в матрице, скажем $J$, в котором $J_{\acute {i}}^{i}$ это элемент в $i$-й ряд и ${\acute {i}}$-й столбец

$$J={\begin{pmatrix}J_{\acute {1}}^{1}&J_{\acute {2}}^{1}&J_{\acute {3}}^{1}\\J_{\acute {1}}^{2}&J_{\acute {2}}^{2}&J_{\acute {3}}^{2}\\J_{\acute {1}}^{3}&J_{\acute {2}}^{3}&J_{\acute {3}}^{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\partial {Z^{1}} \over \partial {Z^{\acute {1}}}}&{\partial {Z^{1}} \over \partial {Z^{\acute {2}}}}&{\partial {Z^{1}} \over \partial {Z^{\acute {3}}}}\\{\partial {Z^{2}} \over \partial {Z^{\acute {1}}}}&{\partial {Z^{2}} \over \partial {Z^{\acute {2}}}}&{\partial {Z^{2}} \over \partial {Z^{\acute {3}}}}\\{\partial {Z^{3}} \over \partial {Z^{\acute {1}}}}&{\partial {Z^{3}} \over \partial {Z^{\acute {2}}}}&{\partial {Z^{3}} \over \partial {Z^{\acute {3}}}}\end{pmatrix}}$$

Полученная матрица называется матрицей Якобиана.

Векторы в криволинейных координатах

Пусть ( b ₁ , b ₂ , b ₃ ) — произвольный базис трехмерного евклидова пространства. В общем, базисные векторы не являются ни единичными векторами, ни взаимно ортогональными . Однако они должны быть линейно независимыми. Тогда вектор v можно выразить как

$$\mathbf {v} =v^{k}\,\mathbf {b} _{k}$$

Компоненты v ^к являются контравариантными компонентами вектора v .

Взаимный базис ( b ¹ , б ² , б ³ ) определяется соотношением

$$\mathbf {b} ^{i}\cdot \mathbf {b} _{j}=\delta _{j}^{i}$$

где δ ^я _j — дельта Кронекера .

Вектор v также можно выразить через обратный базис:

$$\mathbf {v} =v_{k}~\mathbf {b} ^{k}$$

Компоненты v _k являются ковариантными компонентами вектора $\mathbf {v}$.

Тензоры второго порядка в криволинейных координатах

Тензор второго порядка можно выразить как

$${\boldsymbol {S}}=S^{ij}~\mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {b} _{j}=S_{~j}^{i}~\mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {b} ^{j}=S_{i}^{~j}~\mathbf {b} ^{i}\otimes \mathbf {b} _{j}=S_{ij}~\mathbf {b} ^{i}\otimes \mathbf {b} ^{j}$$

Компоненты S ^ij называются контравариантными компонентами, S ^я _j смешанные правоковариантные компоненты, S _i ^дж смешанные левоковариантные и Sij _{компоненты} ковариантные компоненты тензора второго порядка.

тензор и отношения

Величины g _ij , g ^ij определяются как

$$g_{ij}=\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j}=g_{ji}~;~~g^{ij}=\mathbf {b} ^{i}\cdot \mathbf {b} ^{j}=g^{ji}$$

Из приведенных выше уравнений мы имеем

$$v^{i}=g^{ik}~v_{k}~;~~v_{i}=g_{ik}~v^{k}~;~~\mathbf {b} ^{i}=g^{ij}~\mathbf {b} _{j}~;~~\mathbf {b} _{i}=g_{ij}~\mathbf {b} ^{j}$$

Компоненты вектора связаны соотношением

$$\mathbf {v} \cdot \mathbf {b} ^{i}=v^{k}~\mathbf {b} _{k}\cdot \mathbf {b} ^{i}=v^{k}~\delta _{k}^{i}=v^{i}$$

$$\mathbf {v} \cdot \mathbf {b} _{i}=v_{k}~\mathbf {b} ^{k}\cdot \mathbf {b} _{i}=v_{k}~\delta _{i}^{k}=v_{i}$$

Также,

$$\mathbf {v} \cdot \mathbf {b} _{i}=v^{k}~\mathbf {b} _{k}\cdot \mathbf {b} _{i}=g_{ki}~v^{k}$$

$$\mathbf {v} \cdot \mathbf {b} ^{i}=v_{k}~\mathbf {b} ^{k}\cdot \mathbf {b} ^{i}=g^{ki}~v_{k}$$

Компоненты тензора второго порядка связаны соотношением

$$S^{ij}=g^{ik}~S_{k}^{~j}=g^{jk}~S_{~k}^{i}=g^{ik}~g^{jl}~S_{kl}$$

Знак переменного тензора

В ортонормированном правостороннем базисе знакопеременный тензор третьего порядка определяется как

$${\boldsymbol {\mathcal {E}}}=\varepsilon _{ijk}~\mathbf {e} ^{i}\otimes \mathbf {e} ^{j}\otimes \mathbf {e} ^{k}$$

В общем криволинейном базисе тот же тензор можно выразить как

$${\boldsymbol {\mathcal {E}}}={\mathcal {E}}_{ijk}~\mathbf {b} ^{i}\otimes \mathbf {b} ^{j}\otimes \mathbf {b} ^{k}={\mathcal {E}}^{ijk}~\mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {b} _{j}\otimes \mathbf {b} _{k}$$

Можно показать, что

$${\mathcal {E}}_{ijk}=\left[\mathbf {b} _{i},\mathbf {b} _{j},\mathbf {b} _{k}\right]=(\mathbf {b} _{i}\times \mathbf {b} _{j})\cdot \mathbf {b} _{k}~;~~{\mathcal {E}}^{ijk}=\left[\mathbf {b} ^{i},\mathbf {b} ^{j},\mathbf {b} ^{k}\right]$$

Сейчас,

$$\mathbf {b} _{i}\times \mathbf {b} _{j}=J~\varepsilon _{ijp}~\mathbf {b} ^{p}={\sqrt {g}}~\varepsilon _{ijp}~\mathbf {b} ^{p}$$

Следовательно,

$${\mathcal {E}}_{ijk}=J~\varepsilon _{ijk}={\sqrt {g}}~\varepsilon _{ijk}$$

Аналогично мы можем показать, что

$${\mathcal {E}}^{ijk}={\cfrac {1}{J}}~\varepsilon ^{ijk}={\cfrac {1}{\sqrt {g}}}~\varepsilon ^{ijk}$$

Векторные операции

Карта идентичности

Карта идентичности , которую я определил $\mathbf {I} \cdot \mathbf {v} =\mathbf {v}$ можно показать как:

$$\mathbf {I} =g^{ij}\mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {b} _{j}=g_{ij}\mathbf {b} ^{i}\otimes \mathbf {b} ^{j}=\mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {b} ^{i}=\mathbf {b} ^{i}\otimes \mathbf {b} _{i}$$

Скалярное (точечное) произведение

Скалярное произведение двух векторов в криволинейных координатах равно

$$\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =u^{i}v_{i}=u_{i}v^{i}=g_{ij}u^{i}v^{j}=g^{ij}u_{i}v_{j}$$

Векторное (перекрестное) произведение

Перекрестное произведение двух векторов определяется выражением:

$$\mathbf {u} \times \mathbf {v} =\varepsilon _{ijk}u_{j}v_{k}\mathbf {e} _{i}$$

где ε _ijk — символ перестановки , а e _i — декартов базисный вектор. В криволинейных координатах эквивалентное выражение:

$$\mathbf {u} \times \mathbf {v} =[(\mathbf {b} _{m}\times \mathbf {b} _{n})\cdot \mathbf {b} _{s}]u^{m}v^{n}\mathbf {b} ^{s}={\mathcal {E}}_{smn}u^{m}v^{n}\mathbf {b} ^{s}$$

где ${\mathcal {E}}_{ijk}$ — знакопеременный тензор третьего порядка . Перекрестное произведение двух векторов определяется выражением:

$$\mathbf {u} \times \mathbf {v} =\varepsilon _{ijk}{\hat {u}}_{j}{\hat {v}}_{k}\mathbf {e} _{i}$$

где ε _ijk — символ перестановки и $\mathbf {e} _{i}$ является декартовым базисным вектором. Поэтому,

$$\mathbf {e} _{p}\times \mathbf {e} _{q}=\varepsilon _{ipq}\mathbf {e} _{i}$$

и

$$\mathbf {b} _{m}\times \mathbf {b} _{n}={\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial q^{m}}}\times {\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial q^{n}}}={\frac {\partial (x_{p}\mathbf {e} _{p})}{\partial q^{m}}}\times {\frac {\partial (x_{q}\mathbf {e} _{q})}{\partial q^{n}}}={\frac {\partial x_{p}}{\partial q^{m}}}{\frac {\partial x_{q}}{\partial q^{n}}}\mathbf {e} _{p}\times \mathbf {e} _{q}=\varepsilon _{ipq}{\frac {\partial x_{p}}{\partial q^{m}}}{\frac {\partial x_{q}}{\partial q^{n}}}\mathbf {e} _{i}.$$

Следовательно,

$$(\mathbf {b} _{m}\times \mathbf {b} _{n})\cdot \mathbf {b} _{s}=\varepsilon _{ipq}{\frac {\partial x_{p}}{\partial q^{m}}}{\frac {\partial x_{q}}{\partial q^{n}}}{\frac {\partial x_{i}}{\partial q^{s}}}$$

Возвращаясь к векторному произведению и используя соотношения:

$${\hat {u}}_{j}={\frac {\partial x_{j}}{\partial q^{m}}}u^{m},\quad {\hat {v}}_{k}={\frac {\partial x_{k}}{\partial q^{n}}}v^{n},\quad \mathbf {e} _{i}={\frac {\partial x_{i}}{\partial q^{s}}}\mathbf {b} ^{s},$$

дает нам:

$$\mathbf {u} \times \mathbf {v} =\varepsilon _{ijk}{\hat {u}}_{j}{\hat {v}}_{k}\mathbf {e} _{i}=\varepsilon _{ijk}{\frac {\partial x_{j}}{\partial q^{m}}}{\frac {\partial x_{k}}{\partial q^{n}}}{\frac {\partial x_{i}}{\partial q^{s}}}u^{m}v^{n}\mathbf {b} ^{s}=[(\mathbf {b} _{m}\times \mathbf {b} _{n})\cdot \mathbf {b} _{s}]u^{m}v^{n}\mathbf {b} ^{s}={\mathcal {E}}_{smn}u^{m}v^{n}\mathbf {b} ^{s}$$

Тензорные операции

Карта идентичности

Карта идентичности ${\mathsf {I}}$ определяется ${\mathsf {I}}\cdot \mathbf {v} =\mathbf {v}$ может быть показано, что

$${\mathsf {I}}=g^{ij}\mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {b} _{j}=g_{ij}\mathbf {b} ^{i}\otimes \mathbf {b} ^{j}=\mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {b} ^{i}=\mathbf {b} ^{i}\otimes \mathbf {b} _{i}$$

тензора второго порядка

Действие $\mathbf {v} ={\boldsymbol {S}}\mathbf {u}$ может быть выражено в криволинейных координатах как

$$v^{i}\mathbf {b} _{i}=S^{ij}u_{j}\mathbf {b} _{i}=S_{j}^{i}u^{j}\mathbf {b} _{i};\qquad v_{i}\mathbf {b} ^{i}=S_{ij}u^{i}\mathbf {b} ^{i}=S_{i}^{j}u_{j}\mathbf {b} ^{i}$$

двух тензоров

Внутренний продукт двух тензоров второго порядка ${\boldsymbol {U}}={\boldsymbol {S}}\cdot {\boldsymbol {T}}$ может быть выражено в криволинейных координатах как

$$U_{ij}\mathbf {b} ^{i}\otimes \mathbf {b} ^{j}=S_{ik}T_{.j}^{k}\mathbf {b} ^{i}\otimes \mathbf {b} ^{j}=S_{i}^{.k}T_{kj}\mathbf {b} ^{i}\otimes \mathbf {b} ^{j}$$

Альтернативно,

$${\boldsymbol {U}}=S^{ij}T_{.n}^{m}g_{jm}\mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {b} ^{n}=S_{.m}^{i}T_{.n}^{m}\mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {b} ^{n}=S^{ij}T_{jn}\mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {b} ^{n}$$

Определитель тензора второго порядка

Если ${\boldsymbol {S}}$ является тензором второго порядка, то определитель определяется соотношением

$$\left[{\boldsymbol {S}}\mathbf {u} ,{\boldsymbol {S}}\mathbf {v} ,{\boldsymbol {S}}\mathbf {w} \right]=\det {\boldsymbol {S}}\left[\mathbf {u} ,\mathbf {v} ,\mathbf {w} \right]$$

где $\mathbf {u} ,\mathbf {v} ,\mathbf {w}$ являются произвольными векторами и

$$\left[\mathbf {u} ,\mathbf {v} ,\mathbf {w} \right]:=\mathbf {u} \cdot (\mathbf {v} \times \mathbf {w} ).$$

базисными векторами

Пусть ( e ₁ , e ₂ , e ₃ ) будут обычными декартовыми базисными векторами интересующего евклидова пространства и пусть

$$\mathbf {b} _{i}={\boldsymbol {F}}\mathbf {e} _{i}$$

где F _i — тензор преобразования второго порядка, который отображает e _i в b _i . Затем,

$$\mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {e} _{i}=({\boldsymbol {F}}\mathbf {e} _{i})\otimes \mathbf {e} _{i}={\boldsymbol {F}}(\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{i})={\boldsymbol {F}}~.$$

Из этого соотношения мы можем показать, что

$$\mathbf {b} ^{i}={\boldsymbol {F}}^{-{\rm {T}}}\mathbf {e} ^{i}~;~~g^{ij}=[{\boldsymbol {F}}^{-{\rm {1}}}{\boldsymbol {F}}^{-{\rm {T}}}]_{ij}~;~~g_{ij}=[g^{ij}]^{-1}=[{\boldsymbol {F}}^{\rm {T}}{\boldsymbol {F}}]_{ij}$$

Позволять $J:=\det {\boldsymbol {F}}$ быть якобианом преобразования. Тогда по определению определителя

$$\left[\mathbf {b} _{1},\mathbf {b} _{2},\mathbf {b} _{3}\right]=\det {\boldsymbol {F}}\left[\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}\right]~.$$

С

$$\left[\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}\right]=1$$

у нас есть

$$J=\det {\boldsymbol {F}}=\left[\mathbf {b} _{1},\mathbf {b} _{2},\mathbf {b} _{3}\right]=\mathbf {b} _{1}\cdot (\mathbf {b} _{2}\times \mathbf {b} _{3})$$

Используя приведенные выше соотношения, можно получить ряд интересных результатов.

Во-первых, рассмотрим

$$g:=\det[g_{ij}]$$

Затем

$$g=\det[{\boldsymbol {F}}^{\rm {T}}]\cdot \det[{\boldsymbol {F}}]=J\cdot J=J^{2}$$

Аналогично мы можем показать, что

$$\det[g^{ij}]={\cfrac {1}{J^{2}}}$$

Поэтому, используя тот факт, что $[g^{ij}]=[g_{ij}]^{-1}$,

$${\cfrac {\partial g}{\partial g_{ij}}}=2~J~{\cfrac {\partial J}{\partial g_{ij}}}=g~g^{ij}$$

Еще одно интересное соотношение получено ниже. Напомним, что

$$\mathbf {b} ^{i}\cdot \mathbf {b} _{j}=\delta _{j}^{i}\quad \Rightarrow \quad \mathbf {b} ^{1}\cdot \mathbf {b} _{1}=1,~\mathbf {b} ^{1}\cdot \mathbf {b} _{2}=\mathbf {b} ^{1}\cdot \mathbf {b} _{3}=0\quad \Rightarrow \quad \mathbf {b} ^{1}=A~(\mathbf {b} _{2}\times \mathbf {b} _{3})$$

где А — еще неопределенная константа. Затем

$$\mathbf {b} ^{1}\cdot \mathbf {b} _{1}=A~\mathbf {b} _{1}\cdot (\mathbf {b} _{2}\times \mathbf {b} _{3})=AJ=1\quad \Rightarrow \quad A={\cfrac {1}{J}}$$

Это наблюдение приводит к соотношениям

$$\mathbf {b} ^{1}={\cfrac {1}{J}}(\mathbf {b} _{2}\times \mathbf {b} _{3})~;~~\mathbf {b} ^{2}={\cfrac {1}{J}}(\mathbf {b} _{3}\times \mathbf {b} _{1})~;~~\mathbf {b} ^{3}={\cfrac {1}{J}}(\mathbf {b} _{1}\times \mathbf {b} _{2})$$

В индексной записи

$$\varepsilon _{ijk}~\mathbf {b} ^{k}={\cfrac {1}{J}}(\mathbf {b} _{i}\times \mathbf {b} _{j})={\cfrac {1}{\sqrt {g}}}(\mathbf {b} _{i}\times \mathbf {b} _{j})$$

где $\varepsilon _{ijk}$ — обычный символ перестановки .

Мы не нашли явного выражения для тензора преобразования F , поскольку альтернативная форма отображения между криволинейными и декартовыми базисами более полезна. Предполагая достаточную степень гладкости отображения (и немного злоупотребляя обозначениями), мы имеем

$$\mathbf {b} _{i}={\cfrac {\partial \mathbf {x} }{\partial q^{i}}}={\cfrac {\partial \mathbf {x} }{\partial x_{j}}}~{\cfrac {\partial x_{j}}{\partial q^{i}}}=\mathbf {e} _{j}~{\cfrac {\partial x_{j}}{\partial q^{i}}}$$

Сходным образом,

$$\mathbf {e} _{i}=\mathbf {b} _{j}~{\cfrac {\partial q^{j}}{\partial x_{i}}}$$

Из этих результатов мы имеем

$$\mathbf {e} ^{k}\cdot \mathbf {b} _{i}={\frac {\partial x_{k}}{\partial q^{i}}}\quad \Rightarrow \quad {\frac {\partial x_{k}}{\partial q^{i}}}~\mathbf {b} ^{i}=\mathbf {e} ^{k}\cdot (\mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {b} ^{i})=\mathbf {e} ^{k}$$

и

$$\mathbf {b} ^{k}={\frac {\partial q^{k}}{\partial x_{i}}}~\mathbf {e} ^{i}$$

в трехмерных криволинейных

Примечание. соглашение Эйнштейна о суммировании повторяющихся индексов. Ниже используется

Симмондс, в своей книге по тензорному анализу цитирует Альберта Эйнштейна высказывание

Магия этой теории вряд ли не сможет не очаровать любого, кто по-настоящему ее понял; он представляет собой подлинный триумф метода абсолютного дифференциального исчисления, основанного Гауссом, Риманом, Риччи и Леви-Чивитой.

Векторное и тензорное исчисление в общих криволинейных координатах используется в тензорном анализе на четырехмерных криволинейных многообразиях в общей теории относительности . в механике изогнутых снарядов , при исследовании инвариантности свойств уравнений Максвелла , которые представляли интерес для метаматериалов. и во многих других областях.

В этом разделе приведены некоторые полезные соотношения при исчислении векторов и тензоров второго порядка в криволинейных координатах. Обозначения и содержание в основном взяты из Огдена, Симмондс, Грин и Зерна, Басар и Вейхерт, и Сиарлет.

Основные определения

Пусть положение точки в пространстве характеризуется тремя координатными переменными $(q^{1},q^{2},q^{3})$.

Координатная кривая q ¹ представляет собой кривую, на которой q ² , q ³ постоянны. Пусть x — вектор положения точки относительно некоторого начала координат. Тогда, предполагая, что такое отображение и обратное ему существуют и непрерывны, мы можем написать

$$\mathbf {x} ={\boldsymbol {\varphi }}(q^{1},q^{2},q^{3})~;~~q^{i}=\psi ^{i}(\mathbf {x} )=[{\boldsymbol {\varphi }}^{-1}(\mathbf {x} )]^{i}$$

Поля ψ ^я ( x ) называются криволинейными координатными функциями криволинейной системы координат ψ ( x ) = φ ⁻¹ ( х ).

q ​ ^я координатные кривые определяются однопараметрическим семейством функций, заданным формулой

$$\mathbf {x} _{i}(\alpha )={\boldsymbol {\varphi }}(\alpha ,q^{j},q^{k})~,~~i\neq j\neq k$$

с q ^дж , q ^к зафиксированный.

Касательный вектор для координат кривых

Касательный вектор к кривой x _i в точке x _i (α) (или к координатной кривой q _i в точке x ) равен

$${\cfrac {\rm {{d}\mathbf {x} _{i}}}{\rm {{d}\alpha }}}\equiv {\cfrac {\partial \mathbf {x} }{\partial q^{i}}}$$

Градиент

Скалярное поле

Пусть f ( x ) — скалярное поле в пространстве. Затем

$$f(\mathbf {x} )=f[{\boldsymbol {\varphi }}(q^{1},q^{2},q^{3})]=f_{\varphi }(q^{1},q^{2},q^{3})$$

Градиент поля f определяется выражением

$$[{\boldsymbol {\nabla }}f(\mathbf {x} )]\cdot \mathbf {c} ={\cfrac {\rm {d}}{\rm {{d}\alpha }}}f(\mathbf {x} +\alpha \mathbf {c} ){\biggr |}_{\alpha =0}$$

где c — произвольный постоянный вектор. Если мы определим компоненты c ^я из c таковы, что

$$q^{i}+\alpha ~c^{i}=\psi ^{i}(\mathbf {x} +\alpha ~\mathbf {c} )$$

затем

$$[{\boldsymbol {\nabla }}f(\mathbf {x} )]\cdot \mathbf {c} ={\cfrac {\rm {d}}{\rm {{d}\alpha }}}f_{\varphi }(q^{1}+\alpha ~c^{1},q^{2}+\alpha ~c^{2},q^{3}+\alpha ~c^{3}){\biggr |}_{\alpha =0}={\cfrac {\partial f_{\varphi }}{\partial q^{i}}}~c^{i}={\cfrac {\partial f}{\partial q^{i}}}~c^{i}$$

Если мы установим $f(\mathbf {x} )=\psi ^{i}(\mathbf {x} )$, то поскольку $q^{i}=\psi ^{i}(\mathbf {x} )$, у нас есть

$$[{\boldsymbol {\nabla }}\psi ^{i}(\mathbf {x} )]\cdot \mathbf {c} ={\cfrac {\partial \psi ^{i}}{\partial q^{j}}}~c^{j}=c^{i}$$

который предоставляет средства извлечения контравариантного компонента вектора c .

Если b _i — ковариантный (или естественный) базис в точке, и если b ^я является контравариантным (или взаимным) базисом в этой точке, тогда

$$[{\boldsymbol {\nabla }}f(\mathbf {x} )]\cdot \mathbf {c} ={\cfrac {\partial f}{\partial q^{i}}}~c^{i}=\left({\cfrac {\partial f}{\partial q^{i}}}~\mathbf {b} ^{i}\right)\left(c^{i}~\mathbf {b} _{i}\right)\quad \Rightarrow \quad {\boldsymbol {\nabla }}f(\mathbf {x} )={\cfrac {\partial f}{\partial q^{i}}}~\mathbf {b} ^{i}$$

Краткое обоснование такого выбора базиса дано в следующем разделе.

Векторное поле

Аналогичный процесс можно использовать для получения градиента векторного поля f ( x ). Градиент определяется выражением

$$[{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {f} (\mathbf {x} )]\cdot \mathbf {c} ={\cfrac {\partial \mathbf {f} }{\partial q^{i}}}~c^{i}$$

Если мы рассмотрим градиент векторного поля положения r ( x ) = x , то мы можем показать, что

$$\mathbf {c} ={\cfrac {\partial \mathbf {x} }{\partial q^{i}}}~c^{i}=\mathbf {b} _{i}(\mathbf {x} )~c^{i}~;~~\mathbf {b} _{i}(\mathbf {x} ):={\cfrac {\partial \mathbf {x} }{\partial q^{i}}}$$

Векторное поле b _i касается q ^я координатной кривой и образует естественный базис в каждой точке кривой. Этот базис, как обсуждалось в начале этой статьи, также называется ковариантным криволинейным базисом. Мы также можем определить взаимный базис или контравариантный криволинейный базис b ^я . Все алгебраические отношения между базисными векторами, обсуждаемые в разделе о тензорной алгебре, применимы к естественному базису и обратному ему базису в каждой точке x .

Поскольку c произвольно, мы можем написать

$${\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {f} (\mathbf {x} )={\cfrac {\partial \mathbf {f} }{\partial q^{i}}}\otimes \mathbf {b} ^{i}$$

Заметим, что контравариантный базисный вектор b ^я перпендикулярен поверхности постоянной ψ ^я и дается

$$\mathbf {b} ^{i}={\boldsymbol {\nabla }}\psi ^{i}$$

Символы Кристоффеля первого рода

Символы Кристоффеля первого рода определяются как

$$\mathbf {b} _{i,j}={\frac {\partial \mathbf {b} _{i}}{\partial q^{j}}}:=\Gamma _{ijk}~\mathbf {b} ^{k}\quad \Rightarrow \quad \mathbf {b} _{i,j}\cdot \mathbf {b} _{l}=\Gamma _{ijl}$$

Чтобы выразить Γ _ijk через g _ij, заметим, что

$${\begin{aligned}g_{ij,k}&=(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j})_{,k}=\mathbf {b} _{i,k}\cdot \mathbf {b} _{j}+\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j,k}=\Gamma _{ikj}+\Gamma _{jki}\\g_{ik,j}&=(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{k})_{,j}=\mathbf {b} _{i,j}\cdot \mathbf {b} _{k}+\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{k,j}=\Gamma _{ijk}+\Gamma _{kji}\\g_{jk,i}&=(\mathbf {b} _{j}\cdot \mathbf {b} _{k})_{,i}=\mathbf {b} _{j,i}\cdot \mathbf {b} _{k}+\mathbf {b} _{j}\cdot \mathbf {b} _{k,i}=\Gamma _{jik}+\Gamma _{kij}\end{aligned}}$$

Поскольку b _i,j = b _j,i, имеем Γ _ijk = Γ _jik . Использование их для перестановки приведенных выше отношений дает

$$\Gamma _{ijk}={\frac {1}{2}}(g_{ik,j}+g_{jk,i}-g_{ij,k})={\frac {1}{2}}[(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{k})_{,j}+(\mathbf {b} _{j}\cdot \mathbf {b} _{k})_{,i}-(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j})_{,k}]$$

второго

Символы Кристоффеля второго рода определяются как

$$\Gamma _{ij}^{k}=\Gamma _{ji}^{k}$$

в котором

$${\cfrac {\partial \mathbf {b} _{i}}{\partial q^{j}}}=\Gamma _{ij}^{k}~\mathbf {b} _{k}$$

Это подразумевает, что

$$\Gamma _{ij}^{k}={\cfrac {\partial \mathbf {b} _{i}}{\partial q^{j}}}\cdot \mathbf {b} ^{k}=-\mathbf {b} _{i}\cdot {\cfrac {\partial \mathbf {b} ^{k}}{\partial q^{j}}}$$

Другие следующие отношения:

$${\cfrac {\partial \mathbf {b} ^{i}}{\partial q^{j}}}=-\Gamma _{jk}^{i}~\mathbf {b} ^{k}~;~~{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {b} _{i}=\Gamma _{ij}^{k}~\mathbf {b} _{k}\otimes \mathbf {b} ^{j}~;~~{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {b} ^{i}=-\Gamma _{jk}^{i}~\mathbf {b} ^{k}\otimes \mathbf {b} ^{j}$$

Еще одно особенно полезное соотношение, которое показывает, что символ Кристоффеля зависит только от метрического тензора и его производных:

$$\Gamma _{ij}^{k}={\frac {g^{km}}{2}}\left({\frac {\partial g_{mi}}{\partial q^{j}}}+{\frac {\partial g_{mj}}{\partial q^{i}}}-{\frac {\partial g_{ij}}{\partial q^{m}}}\right)$$

Явное выражение для градиента векторного поля

Следующие выражения для градиента векторного поля в криволинейных координатах весьма полезны.

$${\begin{aligned}{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} &=\left[{\cfrac {\partial v^{i}}{\partial q^{k}}}+\Gamma _{lk}^{i}~v^{l}\right]~\mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {b} ^{k}\\[8pt]&=\left[{\cfrac {\partial v_{i}}{\partial q^{k}}}-\Gamma _{ki}^{l}~v_{l}\right]~\mathbf {b} ^{i}\otimes \mathbf {b} ^{k}\end{aligned}}$$

Представление физического векторного поля

Векторное поле v можно представить в виде

$$\mathbf {v} =v_{i}~\mathbf {b} ^{i}={\hat {v}}_{i}~{\hat {\mathbf {b} }}^{i}$$

где $v_{i}$ – ковариантные компоненты поля, ${\hat {v}}_{i}$ – физические компоненты и (без суммирования )

$${\hat {\mathbf {b} }}^{i}={\cfrac {\mathbf {b} ^{i}}{\sqrt {g^{ii}}}}$$

— нормированный контравариантный базисный вектор.

второго

Градиент тензорного поля второго порядка можно аналогичным образом выразить как

$${\boldsymbol {\nabla }}{\boldsymbol {S}}={\frac {\partial {\boldsymbol {S}}}{\partial q^{i}}}\otimes \mathbf {b} ^{i}$$

Явные выражения для градиента

Если рассматривать выражение для тензора через контравариантный базис, то

$${\boldsymbol {\nabla }}{\boldsymbol {S}}={\frac {\partial }{\partial q^{k}}}[S_{ij}~\mathbf {b} ^{i}\otimes \mathbf {b} ^{j}]\otimes \mathbf {b} ^{k}=\left[{\frac {\partial S_{ij}}{\partial q^{k}}}-\Gamma _{ki}^{l}~S_{lj}-\Gamma _{kj}^{l}~S_{il}\right]~\mathbf {b} ^{i}\otimes \mathbf {b} ^{j}\otimes \mathbf {b} ^{k}$$

Мы также можем написать

$${\begin{aligned}{\boldsymbol {\nabla }}{\boldsymbol {S}}&=\left[{\cfrac {\partial S^{ij}}{\partial q^{k}}}+\Gamma _{kl}^{i}~S^{lj}+\Gamma _{kl}^{j}~S^{il}\right]~\mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {b} _{j}\otimes \mathbf {b} ^{k}\\[8pt]&=\left[{\cfrac {\partial S_{~j}^{i}}{\partial q^{k}}}+\Gamma _{kl}^{i}~S_{~j}^{l}-\Gamma _{kj}^{l}~S_{~l}^{i}\right]~\mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {b} ^{j}\otimes \mathbf {b} ^{k}\\[8pt]&=\left[{\cfrac {\partial S_{i}^{~j}}{\partial q^{k}}}-\Gamma _{ik}^{l}~S_{l}^{~j}+\Gamma _{kl}^{j}~S_{i}^{~l}\right]~\mathbf {b} ^{i}\otimes \mathbf {b} _{j}\otimes \mathbf {b} ^{k}\end{aligned}}$$

физического тензорного поля

Физические компоненты тензорного поля второго порядка можно получить, используя нормированный контравариантный базис, т. е.

$${\boldsymbol {S}}=S_{ij}~\mathbf {b} ^{i}\otimes \mathbf {b} ^{j}={\hat {S}}_{ij}~{\hat {\mathbf {b} }}^{i}\otimes {\hat {\mathbf {b} }}^{j}$$

где базисные векторы со шляпкой были нормализованы. Это означает, что (опять без суммирования)

$${\hat {S}}_{ij}=S_{ij}~{\sqrt {g^{ii}~g^{jj}}}$$

Дивергенция

Векторное поле

Дивергенция ( векторного поля $\mathbf {v}$) определяется как

$$\operatorname {div} ~\mathbf {v} ={\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} ={\text{tr}}({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} )$$

В терминах компонент относительно криволинейного базиса

$${\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} ={\cfrac {\partial v^{i}}{\partial q^{i}}}+\Gamma _{\ell i}^{i}~v^{\ell }=\left[{\cfrac {\partial v_{i}}{\partial q^{j}}}-\Gamma _{ji}^{\ell }~v_{\ell }\right]~g^{ij}$$

Часто используется альтернативное уравнение дивергенции векторного поля. Чтобы вывести это соотношение, напомним, что

$${\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} ={\frac {\partial v^{i}}{\partial q^{i}}}+\Gamma _{\ell i}^{i}~v^{\ell }$$

Сейчас,

$$\Gamma _{\ell i}^{i}=\Gamma _{i\ell }^{i}={\cfrac {g^{mi}}{2}}\left[{\frac {\partial g_{im}}{\partial q^{\ell }}}+{\frac {\partial g_{\ell m}}{\partial q^{i}}}-{\frac {\partial g_{il}}{\partial q^{m}}}\right]$$

Отметим, что в силу симметрии ${\boldsymbol {g}}$,

$$g^{mi}~{\frac {\partial g_{\ell m}}{\partial q^{i}}}=g^{mi}~{\frac {\partial g_{i\ell }}{\partial q^{m}}}$$

у нас есть

$${\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} ={\frac {\partial v^{i}}{\partial q^{i}}}+{\cfrac {g^{mi}}{2}}~{\frac {\partial g_{im}}{\partial q^{\ell }}}~v^{\ell }$$

Напомним, что если [ g _ij ] — матрица, компоненты которой — g _ij , то обратная матрица равна $[g_{ij}]^{-1}=[g^{ij}]$. Обратная матрица определяется выражением

$$[g^{ij}]=[g_{ij}]^{-1}={\cfrac {A^{ij}}{g}}~;~~g:=\det([g_{ij}])=\det {\boldsymbol {g}}$$

где А ^ij являются матрицей-кофактором компонентов g _ij . Из матричной алгебры мы имеем

$$g=\det([g_{ij}])=\sum _{i}g_{ij}~A^{ij}\quad \Rightarrow \quad {\frac {\partial g}{\partial g_{ij}}}=A^{ij}$$

Следовательно,

$$[g^{ij}]={\cfrac {1}{g}}~{\frac {\partial g}{\partial g_{ij}}}$$

Подстановка этого соотношения в выражение для дивергенции дает

$${\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} ={\frac {\partial v^{i}}{\partial q^{i}}}+{\cfrac {1}{2g}}~{\frac {\partial g}{\partial g_{mi}}}~{\frac {\partial g_{im}}{\partial q^{\ell }}}~v^{\ell }={\frac {\partial v^{i}}{\partial q^{i}}}+{\cfrac {1}{2g}}~{\frac {\partial g}{\partial q^{\ell }}}~v^{\ell }$$

Небольшие манипуляции приводят к более компактной форме.

$${\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} ={\cfrac {1}{\sqrt {g}}}~{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}(v^{i}~{\sqrt {g}})$$

второго

Дивергенция формулой тензорного поля второго порядка определяется

$$({\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {S}})\cdot \mathbf {a} ={\boldsymbol {\nabla }}\cdot ({\boldsymbol {S}}\mathbf {a} )$$

где a — произвольный постоянный вектор. В криволинейных координатах

$${\begin{aligned}{\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {S}}&=\left[{\cfrac {\partial S_{ij}}{\partial q^{k}}}-\Gamma _{ki}^{l}~S_{lj}-\Gamma _{kj}^{l}~S_{il}\right]~g^{ik}~\mathbf {b} ^{j}\\[8pt]&=\left[{\cfrac {\partial S^{ij}}{\partial q^{i}}}+\Gamma _{il}^{i}~S^{lj}+\Gamma _{il}^{j}~S^{il}\right]~\mathbf {b} _{j}\\[8pt]&=\left[{\cfrac {\partial S_{~j}^{i}}{\partial q^{i}}}+\Gamma _{il}^{i}~S_{~j}^{l}-\Gamma _{ij}^{l}~S_{~l}^{i}\right]~\mathbf {b} ^{j}\\[8pt]&=\left[{\cfrac {\partial S_{i}^{~j}}{\partial q^{k}}}-\Gamma _{ik}^{l}~S_{l}^{~j}+\Gamma _{kl}^{j}~S_{i}^{~l}\right]~g^{ik}~\mathbf {b} _{j}\end{aligned}}$$

Лаплас

Скалярное поле

Лапласиан скалярного поля φ( x ) определяется как

$$\nabla ^{2}\varphi :={\boldsymbol {\nabla }}\cdot ({\boldsymbol {\nabla }}\varphi )$$

Использование альтернативного выражения для дивергенции векторного поля дает нам

$$\nabla ^{2}\varphi ={\cfrac {1}{\sqrt {g}}}~{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}([{\boldsymbol {\nabla }}\varphi ]^{i}~{\sqrt {g}})$$

Сейчас

$${\boldsymbol {\nabla }}\varphi ={\frac {\partial \varphi }{\partial q^{l}}}~\mathbf {b} ^{l}=g^{li}~{\frac {\partial \varphi }{\partial q^{l}}}~\mathbf {b} _{i}\quad \Rightarrow \quad [{\boldsymbol {\nabla }}\varphi ]^{i}=g^{li}~{\frac {\partial \varphi }{\partial q^{l}}}$$

Поэтому,

$$\nabla ^{2}\varphi ={\cfrac {1}{\sqrt {g}}}~{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}\left(g^{li}~{\frac {\partial \varphi }{\partial q^{l}}}~{\sqrt {g}}\right)$$

Скручивание векторного поля

Ротор векторного поля v в ковариантных криволинейных координатах можно записать как

$${\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {v} ={\mathcal {E}}^{rst}v_{s|r}~\mathbf {b} _{t}$$

где

$$v_{s|r}=v_{s,r}-\Gamma _{sr}^{i}~v_{i}$$

Ортогональные криволинейные координаты

Для целей этого раздела предположим, что криволинейная система координат ортогональна , т. е.

$$\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j}={\begin{cases}g_{ii}&{\text{if }}i=j\\0&{\text{if }}i\neq j,\end{cases}}$$

или эквивалентно,

$$\mathbf {b} ^{i}\cdot \mathbf {b} ^{j}={\begin{cases}g^{ii}&{\text{if }}i=j\\0&{\text{if }}i\neq j,\end{cases}}$$

где $g^{ii}=g_{ii}^{-1}$. Как и прежде, $\mathbf {b} _{i},\mathbf {b} _{j}$ являются ковариантными базисными векторами, а b ^я , б ^дж являются контрвариантными базисными векторами. Кроме того, пусть ( e ¹ , и ² , и ³ ) быть фоном, фиксированным, декартовым базисом. Список ортогональных криволинейных координат приведен ниже.

тензор в ортогональных

Основная статья: Метрический тензор

Пусть r ( x ) будет вектором положения точки x относительно начала системы координат. Обозначения можно упростить, заметив, что x = r ( x ). В каждой точке мы можем построить небольшой линейный элемент d x . Квадрат длины линейного элемента является скалярным произведением d x • d и называется метрикой пространства x . Напомним, что интересующее пространство считается евклидовым, когда мы говорим о криволинейных координатах. Выразим вектор положения через фоновый фиксированный декартов базис, т. е.

$$\mathbf {x} =\sum _{i=1}^{3}x_{i}~\mathbf {e} _{i}$$

Используя цепное правило , мы можем затем выразить d x через трехмерные ортогональные криволинейные координаты ( q ¹ , q ² , q ³ ) как

$$\mathrm {d} \mathbf {x} =\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\left({\cfrac {\partial x_{i}}{\partial q^{j}}}~\mathbf {e} _{i}\right)\mathrm {d} q^{j}$$

Таким образом, метрика определяется выражением

$$\mathrm {d} \mathbf {x} \cdot \mathrm {d} \mathbf {x} =\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}{\cfrac {\partial x_{i}}{\partial q^{j}}}~{\cfrac {\partial x_{i}}{\partial q^{k}}}~\mathrm {d} q^{j}~\mathrm {d} q^{k}$$

Симметричная величина

$$g_{ij}(q^{i},q^{j})=\sum _{k=1}^{3}{\cfrac {\partial x_{k}}{\partial q^{i}}}~{\cfrac {\partial x_{k}}{\partial q^{j}}}=\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j}$$

называется фундаментальным (или метрическим) тензором в евклидова пространства криволинейных координатах.

Обратите внимание также, что

$$g_{ij}={\cfrac {\partial \mathbf {x} }{\partial q^{i}}}\cdot {\cfrac {\partial \mathbf {x} }{\partial q^{j}}}=\left(\sum _{k}h_{ki}~\mathbf {e} _{k}\right)\cdot \left(\sum _{m}h_{mj}~\mathbf {e} _{m}\right)=\sum _{k}h_{ki}~h_{kj}$$

где h _ij — коэффициенты Ламе.

Если мы определим масштабные коэффициенты, h _i , используя

$$\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{i}=g_{ii}=\sum _{k}h_{ki}^{2}=:h_{i}^{2}\quad \Rightarrow \quad \left|{\cfrac {\partial \mathbf {x} }{\partial q^{i}}}\right|=\left|\mathbf {b} _{i}\right|={\sqrt {g_{ii}}}=h_{i}$$

мы получаем связь между фундаментальным тензором и коэффициентами Ламе.

Пример: полярные координаты

Если мы рассмотрим полярные координаты для R ² , Обратите внимание, что

$$(x,y)=(r\cos \theta ,r\sin \theta )$$

(r, θ) — криволинейные координаты, а определитель Якобиана преобразования ( r , θ) → ( r cos θ, r sin θ) равен r .

Ортогональные cos θ базисные векторы: b _r = (cos θ, sin θ), b _θ = (− r sin θ, r ). Нормализованные базисные векторы: e _r = (cos θ, sin θ), e _θ = (-sin θ, cos θ), а масштабные коэффициенты: h _r = 1 и h _θ = r . Фундаментальный тензор g ₁₁ =1, g ₂₂ = r ² , г ₁₂ = г ₂₁ =0.

Линейные и поверхностные интегралы

Если мы хотим использовать криволинейные координаты для вычислений векторного исчисления , необходимо внести коррективы в расчет линейных, поверхностных и объемных интегралов. Для простоты мы снова ограничим обсуждение тремя измерениями и ортогональными криволинейными координатами. Однако те же аргументы применимы и к $n$-мерные проблемы, однако в выражениях, когда система координат не ортогональна, есть некоторые дополнительные члены.

Линейные интегралы

Обычно при вычислении линейных интегралов нас интересует вычисление

$$\int _{C}f\,ds=\int _{a}^{b}f(\mathbf {x} (t))\left|{\partial \mathbf {x} \over \partial t}\right|\;dt$$

где x ( t ) параметризует C в декартовых координатах.В криволинейных координатах член

$$\left|{\partial \mathbf {x} \over \partial t}\right|=\left|\sum _{i=1}^{3}{\partial \mathbf {x} \over \partial q^{i}}{\partial q^{i} \over \partial t}\right|$$

по правилу цепочки . А из определения коэффициентов Ламе

$${\partial \mathbf {x} \over \partial q^{i}}=\sum _{k}h_{ki}~\mathbf {e} _{k}$$

и таким образом

$${\begin{aligned}\left|{\partial \mathbf {x} \over \partial t}\right|&=\left|\sum _{k}\left(\sum _{i}h_{ki}~{\cfrac {\partial q^{i}}{\partial t}}\right)\mathbf {e} _{k}\right|\\[8pt]&={\sqrt {\sum _{i}\sum _{j}\sum _{k}h_{ki}~h_{kj}{\cfrac {\partial q^{i}}{\partial t}}{\cfrac {\partial q^{j}}{\partial t}}}}={\sqrt {\sum _{i}\sum _{j}g_{ij}~{\cfrac {\partial q^{i}}{\partial t}}{\cfrac {\partial q^{j}}{\partial t}}}}\end{aligned}}$$

Теперь, поскольку $g_{ij}=0$ когда $i\neq j$, у нас есть

$$\left|{\partial \mathbf {x} \over \partial t}\right|={\sqrt {\sum _{i}g_{ii}~\left({\cfrac {\partial q^{i}}{\partial t}}\right)^{2}}}={\sqrt {\sum _{i}h_{i}^{2}~\left({\cfrac {\partial q^{i}}{\partial t}}\right)^{2}}}$$

и мы можем продолжить работу в обычном режиме.

Поверхностные интегралы

Аналогично, если нас интересует поверхностный интеграл , соответствующий расчет с параметризацией поверхности в декартовых координатах будет следующим:

$$\int _{S}f\,dS=\iint _{T}f(\mathbf {x} (s,t))\left|{\partial \mathbf {x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf {x} \over \partial t}\right|\,ds\,dt$$

Опять же, в криволинейных координатах имеем

$$\left|{\partial \mathbf {x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf {x} \over \partial t}\right|=\left|\left(\sum _{i}{\partial \mathbf {x} \over \partial q^{i}}{\partial q^{i} \over \partial s}\right)\times \left(\sum _{j}{\partial \mathbf {x} \over \partial q^{j}}{\partial q^{j} \over \partial t}\right)\right|$$

и мы снова используем определение криволинейных координат, чтобы получить

$${\partial \mathbf {x} \over \partial q^{i}}{\partial q^{i} \over \partial s}=\sum _{k}\left(\sum _{i=1}^{3}h_{ki}~{\partial q^{i} \over \partial s}\right)\mathbf {e} _{k}~;~~{\partial \mathbf {x} \over \partial q^{j}}{\partial q^{j} \over \partial t}=\sum _{m}\left(\sum _{j=1}^{3}h_{mj}~{\partial q^{j} \over \partial t}\right)\mathbf {e} _{m}$$

Поэтому,

$${\begin{aligned}\left|{\partial \mathbf {x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf {x} \over \partial t}\right|&=\left|\sum _{k}\sum _{m}\left(\sum _{i=1}^{3}h_{ki}~{\partial q^{i} \over \partial s}\right)\left(\sum _{j=1}^{3}h_{mj}~{\partial q^{j} \over \partial t}\right)\mathbf {e} _{k}\times \mathbf {e} _{m}\right|\\[8pt]&=\left|\sum _{p}\sum _{k}\sum _{m}{\mathcal {E}}_{kmp}\left(\sum _{i=1}^{3}h_{ki}~{\partial q^{i} \over \partial s}\right)\left(\sum _{j=1}^{3}h_{mj}~{\partial q^{j} \over \partial t}\right)\mathbf {e} _{p}\right|\end{aligned}}$$

где ${\mathcal {E}}$ является символом перестановки .

В детерминантной форме векторное произведение по криволинейным координатам будет:

$${\begin{vmatrix}\mathbf {e} _{1}&\mathbf {e} _{2}&\mathbf {e} _{3}\\&&\\\sum _{i}h_{1i}{\partial q^{i} \over \partial s}&\sum _{i}h_{2i}{\partial q^{i} \over \partial s}&\sum _{i}h_{3i}{\partial q^{i} \over \partial s}\\&&\\\sum _{j}h_{1j}{\partial q^{j} \over \partial t}&\sum _{j}h_{2j}{\partial q^{j} \over \partial t}&\sum _{j}h_{3j}{\partial q^{j} \over \partial t}\end{vmatrix}}$$

Град, локон, делитель, лапласиан

В ортогональных криволинейных трехмерных координатах, где

$$\mathbf {b} ^{i}=\sum _{k}g^{ik}~\mathbf {b} _{k}~;~~g^{ii}={\cfrac {1}{g_{ii}}}={\cfrac {1}{h_{i}^{2}}}$$

можно градиент скалярного как или векторного поля выразить

$$\nabla \varphi =\sum _{i}{\partial \varphi \over \partial q^{i}}~\mathbf {b} ^{i}=\sum _{i}\sum _{j}{\partial \varphi \over \partial q^{i}}~g^{ij}~\mathbf {b} _{j}=\sum _{i}{\cfrac {1}{h_{i}^{2}}}~{\partial f \over \partial q^{i}}~\mathbf {b} _{i}~;~~\nabla \mathbf {v} =\sum _{i}{\cfrac {1}{h_{i}^{2}}}~{\partial \mathbf {v} \over \partial q^{i}}\otimes \mathbf {b} _{i}$$

Для ортогонального базиса

$$g=g_{11}~g_{22}~g_{33}=h_{1}^{2}~h_{2}^{2}~h_{3}^{2}\quad \Rightarrow \quad {\sqrt {g}}=h_{1}h_{2}h_{3}$$

Тогда дивергенцию векторного поля можно записать как

$${\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} ={\cfrac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}~{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}(h_{1}h_{2}h_{3}~v^{i})$$

Также,

$$v^{i}=g^{ik}~v_{k}\quad \Rightarrow v^{1}=g^{11}~v_{1}={\cfrac {v_{1}}{h_{1}^{2}}}~;~~v^{2}=g^{22}~v_{2}={\cfrac {v_{2}}{h_{2}^{2}}}~;~~v^{3}=g^{33}~v_{3}={\cfrac {v_{3}}{h_{3}^{2}}}$$

Поэтому,

$${\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} ={\cfrac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}~\sum _{i}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}\left({\cfrac {h_{1}h_{2}h_{3}}{h_{i}^{2}}}~v_{i}\right)$$

мы можем получить выражение для лапласиана Аналогичным образом , заметив, что

$$g^{li}~{\frac {\partial \varphi }{\partial q^{l}}}=\left\{g^{11}~{\frac {\partial \varphi }{\partial q^{1}}},g^{22}~{\frac {\partial \varphi }{\partial q^{2}}},g^{33}~{\frac {\partial \varphi }{\partial q^{3}}}\right\}=\left\{{\cfrac {1}{h_{1}^{2}}}~{\frac {\partial \varphi }{\partial q^{1}}},{\cfrac {1}{h_{2}^{2}}}~{\frac {\partial \varphi }{\partial q^{2}}},{\cfrac {1}{h_{3}^{2}}}~{\frac {\partial \varphi }{\partial q^{3}}}\right\}$$

Тогда у нас есть

$$\nabla ^{2}\varphi ={\cfrac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}~\sum _{i}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}\left({\cfrac {h_{1}h_{2}h_{3}}{h_{i}^{2}}}~{\frac {\partial \varphi }{\partial q^{i}}}\right)$$

Выражения для градиента, дивергенции и лапласиана можно напрямую распространить на n -мерности.

Ротор определяется векторного поля выражением

$$\nabla \times \mathbf {v} ={\frac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}\sum _{i=1}^{n}\mathbf {e} _{i}\sum _{jk}\varepsilon _{ijk}h_{i}{\frac {\partial (h_{k}v_{k})}{\partial q^{j}}}$$

где εijk _— символ Леви-Чивита .

Пример: Цилиндрические полярные координаты

Для цилиндрических координат имеем

$$(x_{1},x_{2},x_{3})=\mathbf {x} ={\boldsymbol {\varphi }}(q^{1},q^{2},q^{3})={\boldsymbol {\varphi }}(r,\theta ,z)=\{r\cos \theta ,r\sin \theta ,z\}$$

и

$$\{\psi ^{1}(\mathbf {x} ),\psi ^{2}(\mathbf {x} ),\psi ^{3}(\mathbf {x} )\}=(q^{1},q^{2},q^{3})\equiv (r,\theta ,z)=\{{\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}},\tan ^{-1}(x_{2}/x_{1}),x_{3}\}$$

где

$$0<r<\infty ~,~~0<\theta <2\pi ~,~~-\infty <z<\infty$$

Тогда ковариантные и контравариантные базисные векторы равны

$${\begin{aligned}\mathbf {b} _{1}&=\mathbf {e} _{r}=\mathbf {b} ^{1}\\\mathbf {b} _{2}&=r~\mathbf {e} _{\theta }=r^{2}~\mathbf {b} ^{2}\\\mathbf {b} _{3}&=\mathbf {e} _{z}=\mathbf {b} ^{3}\end{aligned}}$$

где $\mathbf {e} _{r},\mathbf {e} _{\theta },\mathbf {e} _{z}$ являются единичными векторами в $r,\theta ,z$ направления.

Заметим, что компоненты метрического тензора таковы, что

$$g^{ij}=g_{ij}=0(i\neq j)~;~~{\sqrt {g^{11}}}=1,~{\sqrt {g^{22}}}={\cfrac {1}{r}},~{\sqrt {g^{33}}}=1$$

что показывает, что базис ортогонален.

Ненулевые компоненты символа Кристоффеля второго рода равны

$$\Gamma _{12}^{2}=\Gamma _{21}^{2}={\cfrac {1}{r}}~;~~\Gamma _{22}^{1}=-r$$

Представление физического векторного поля

Нормализованные контравариантные базисные векторы в цилиндрических полярных координатах имеют вид

$${\hat {\mathbf {b} }}^{1}=\mathbf {e} _{r}~;~~{\hat {\mathbf {b} }}^{2}=\mathbf {e} _{\theta }~;~~{\hat {\mathbf {b} }}^{3}=\mathbf {e} _{z}$$

а физические компоненты вектора v равны

$$({\hat {v}}_{1},{\hat {v}}_{2},{\hat {v}}_{3})=(v_{1},v_{2}/r,v_{3})=:(v_{r},v_{\theta },v_{z})$$

Градиент скалярного поля

Градиент скалярного поля f ( x ) в цилиндрических координатах теперь может быть вычислен из общего выражения в криволинейных координатах и ​​имеет вид

$${\boldsymbol {\nabla }}f={\cfrac {\partial f}{\partial r}}~\mathbf {e} _{r}+{\cfrac {1}{r}}~{\cfrac {\partial f}{\partial \theta }}~\mathbf {e} _{\theta }+{\cfrac {\partial f}{\partial z}}~\mathbf {e} _{z}$$

Градиент векторного поля

градиент векторного поля v ( x Точно так же можно показать, что ) в цилиндрических координатах равен

$${\begin{aligned}{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} &={\cfrac {\partial v_{r}}{\partial r}}~\mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{r}+{\cfrac {1}{r}}\left({\cfrac {\partial v_{r}}{\partial \theta }}-v_{\theta }\right)~\mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{\theta }+{\cfrac {\partial v_{r}}{\partial z}}~\mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{z}\\[8pt]&+{\cfrac {\partial v_{\theta }}{\partial r}}~\mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{r}+{\cfrac {1}{r}}\left({\cfrac {\partial v_{\theta }}{\partial \theta }}+v_{r}\right)~\mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{\theta }+{\cfrac {\partial v_{\theta }}{\partial z}}~\mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{z}\\[8pt]&+{\cfrac {\partial v_{z}}{\partial r}}~\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{r}+{\cfrac {1}{r}}{\cfrac {\partial v_{z}}{\partial \theta }}~\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{\theta }+{\cfrac {\partial v_{z}}{\partial z}}~\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{z}\end{aligned}}$$

Дивергенция векторного поля

Используя уравнение дивергенции векторного поля в криволинейных координатах, можно показать, что дивергенция в цилиндрических координатах равна

$${\begin{aligned}{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} &={\cfrac {\partial v_{r}}{\partial r}}+{\cfrac {1}{r}}\left({\cfrac {\partial v_{\theta }}{\partial \theta }}+v_{r}\right)+{\cfrac {\partial v_{z}}{\partial z}}\end{aligned}}$$

Лапласиан скалярного поля

Лапласиан легче вычислить, если учесть, что ${\boldsymbol {\nabla }}^{2}f={\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}f$. В цилиндрических полярных координатах

$$\mathbf {v} ={\boldsymbol {\nabla }}f=\left[v_{r}~~v_{\theta }~~v_{z}\right]=\left[{\cfrac {\partial f}{\partial r}}~~{\cfrac {1}{r}}{\cfrac {\partial f}{\partial \theta }}~~{\cfrac {\partial f}{\partial z}}\right]$$

Следовательно,

$${\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} ={\boldsymbol {\nabla }}^{2}f={\cfrac {\partial ^{2}f}{\partial r^{2}}}+{\cfrac {1}{r}}\left({\cfrac {1}{r}}{\cfrac {\partial ^{2}f}{\partial \theta ^{2}}}+{\cfrac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\cfrac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}={\cfrac {1}{r}}\left[{\cfrac {\partial }{\partial r}}\left(r{\cfrac {\partial f}{\partial r}}\right)\right]+{\cfrac {1}{r^{2}}}{\cfrac {\partial ^{2}f}{\partial \theta ^{2}}}+{\cfrac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}$$

физического тензорного поля

Физические компоненты тензорного поля второго порядка — это те, которые получаются, когда тензор выражается через нормированный контравариантный базис. В цилиндрических полярных координатах этими компонентами являются:

$${\begin{aligned}{\hat {S}}_{11}&=S_{11}=:S_{rr},&{\hat {S}}_{12}&={\frac {S_{12}}{r}}=:S_{r\theta },&{\hat {S}}_{13}&=S_{13}=:S_{rz}\\[6pt]{\hat {S}}_{21}&={\frac {S_{21}}{r}}=:S_{\theta r},&{\hat {S}}_{22}&={\frac {S_{22}}{r^{2}}}=:S_{\theta \theta },&{\hat {S}}_{23}&={\frac {S_{23}}{r}}=:S_{\theta z}\\[6pt]{\hat {S}}_{31}&=S_{31}=:S_{zr},&{\hat {S}}_{32}&={\frac {S_{32}}{r}}=:S_{z\theta },&{\hat {S}}_{33}&=S_{33}=:S_{zz}\end{aligned}}$$

поля второго

Используя приведенные выше определения, мы можем показать, что градиент тензорного поля второго порядка в цилиндрических полярных координатах можно выразить как

$${\begin{aligned}{\boldsymbol {\nabla }}{\boldsymbol {S}}&={\frac {\partial S_{rr}}{\partial r}}~\mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{r}+{\cfrac {1}{r}}\left[{\frac {\partial S_{rr}}{\partial \theta }}-(S_{\theta r}+S_{r\theta })\right]~\mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{\theta }+{\frac {\partial S_{rr}}{\partial z}}~\mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{z}\\[8pt]&+{\frac {\partial S_{r\theta }}{\partial r}}~\mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{r}+{\cfrac {1}{r}}\left[{\frac {\partial S_{r\theta }}{\partial \theta }}+(S_{rr}-S_{\theta \theta })\right]~\mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{\theta }+{\frac {\partial S_{r\theta }}{\partial z}}~\mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{z}\\[8pt]&+{\frac {\partial S_{rz}}{\partial r}}~\mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{r}+{\cfrac {1}{r}}\left[{\frac {\partial S_{rz}}{\partial \theta }}-S_{\theta z}\right]~\mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{\theta }+{\frac {\partial S_{rz}}{\partial z}}~\mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{z}\\[8pt]&+{\frac {\partial S_{\theta r}}{\partial r}}~\mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{r}+{\cfrac {1}{r}}\left[{\frac {\partial S_{\theta r}}{\partial \theta }}+(S_{rr}-S_{\theta \theta })\right]~\mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{\theta }+{\frac {\partial S_{\theta r}}{\partial z}}~\mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{z}\\[8pt]&+{\frac {\partial S_{\theta \theta }}{\partial r}}~\mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{r}+{\cfrac {1}{r}}\left[{\frac {\partial S_{\theta \theta }}{\partial \theta }}+(S_{r\theta }+S_{\theta r})\right]~\mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{\theta }+{\frac {\partial S_{\theta \theta }}{\partial z}}~\mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{z}\\[8pt]&+{\frac {\partial S_{\theta z}}{\partial r}}~\mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{r}+{\cfrac {1}{r}}\left[{\frac {\partial S_{\theta z}}{\partial \theta }}+S_{rz}\right]~\mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{\theta }+{\frac {\partial S_{\theta z}}{\partial z}}~\mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{z}\\[8pt]&+{\frac {\partial S_{zr}}{\partial r}}~\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{r}+{\cfrac {1}{r}}\left[{\frac {\partial S_{zr}}{\partial \theta }}-S_{z\theta }\right]~\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{\theta }+{\frac {\partial S_{zr}}{\partial z}}~\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{z}\\[8pt]&+{\frac {\partial S_{z\theta }}{\partial r}}~\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{r}+{\cfrac {1}{r}}\left[{\frac {\partial S_{z\theta }}{\partial \theta }}+S_{zr}\right]~\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{\theta }+{\frac {\partial S_{z\theta }}{\partial z}}~\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{z}\\[8pt]&+{\frac {\partial S_{zz}}{\partial r}}~\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{r}+{\cfrac {1}{r}}~{\frac {\partial S_{zz}}{\partial \theta }}~\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{\theta }+{\frac {\partial S_{zz}}{\partial z}}~\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{z}\end{aligned}}$$

поля второго

Дивергенция тензорного поля второго порядка в цилиндрических полярных координатах может быть получена из выражения для градиента путем сбора членов, в которых скалярное произведение двух внешних векторов в двоичных произведениях не равно нулю. Поэтому,

$${\begin{aligned}{\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {S}}&={\frac {\partial S_{rr}}{\partial r}}~\mathbf {e} _{r}+{\frac {\partial S_{r\theta }}{\partial r}}~\mathbf {e} _{\theta }+{\frac {\partial S_{rz}}{\partial r}}~\mathbf {e} _{z}\\[8pt]&+{\cfrac {1}{r}}\left[{\frac {\partial S_{r\theta }}{\partial \theta }}+(S_{rr}-S_{\theta \theta })\right]~\mathbf {e} _{r}+{\cfrac {1}{r}}\left[{\frac {\partial S_{\theta \theta }}{\partial \theta }}+(S_{r\theta }+S_{\theta r})\right]~\mathbf {e} _{\theta }+{\cfrac {1}{r}}\left[{\frac {\partial S_{\theta z}}{\partial \theta }}+S_{rz}\right]~\mathbf {e} _{z}\\[8pt]&+{\frac {\partial S_{zr}}{\partial z}}~\mathbf {e} _{r}+{\frac {\partial S_{z\theta }}{\partial z}}~\mathbf {e} _{\theta }+{\frac {\partial S_{zz}}{\partial z}}~\mathbf {e} _{z}\end{aligned}}$$

См. также

• Ковариантность и контравариантность
• Базовое введение в математику искривленного пространства-времени
• Ортогональные координаты
• Формулы Френе – Серре
• Ковариантная производная
• Тензорная производная (механика сплошных сред)
• Криволинейная перспектива
• Del в цилиндрических и сферических координатах

Ссылки

Примечания

Дальнейшее чтение

• Шпигель, MR (1959). Векторный анализ . Нью-Йорк: Серия набросков Шаума. ISBN  0-07-084378-3 .
• Арфкен, Джордж (1995). Математические методы для физиков . Академическая пресса. ISBN  0-12-059877-9 .

Внешние ссылки

• Вывод единичных векторов в криволинейных координатах.
• Страница MathWorld о криволинейных координатах
• Электронная книга профессора Р. Брэннона по криволинейным координатам