Теория пластин

Для теории геологических плит см. Тектоника плит .

Режим вибрации зажатой квадратной пластины

В механике сплошной среды теории пластин представляют собой математическое описание механики плоских пластин , основанное на теории балок . Плиты определяются как плоские конструктивные элементы малой толщины по сравнению с плоскими размерами. Типичное отношение толщины к ширине пластинчатой ​​конструкции составляет менее 0,1. Теория пластин использует это несоответствие в масштабе длины, чтобы свести полную трехмерную задачу механики твердого тела к двумерной задаче. Целью теории пластин является расчет деформаций и напряжений в пластине, подвергающейся нагрузкам .

Из многочисленных теорий пластин, разработанных с конца XIX века, две широко приняты и используются в технике. Это

• теория ) пластин Теория пластин Кирхгофа – Лава (классическая
• Теория пластин Уфлянда-Миндлина (теория сдвиговых пластин первого порядка)

Теория Кирхгофа – Лява для тонких пластин.

Основная статья: Теория пластин Кирхгофа – Любви

Примечание. соглашение Эйнштейна о суммировании повторяющихся индексов. Ниже используется

Деформация тонкой пластины с выделением смещения средней поверхности (красный) и нормали к средней поверхности (синий)

Теория Кирхгофа – Лява представляет собой распространение теории пучков Эйлера – Бернулли на тонкие пластины. Теория была разработана в 1888 году Лавом. используя предположения, предложенные Кирхгофом. Предполагается, что плоскость средней поверхности можно использовать для представления трехмерной пластины в двухмерной форме.

В этой теории сделаны следующие кинематические предположения:

• прямые линии, нормальные к срединной поверхности, после деформации остаются прямыми
• прямые линии, нормальные к срединной поверхности, после деформации остаются нормальными к срединной поверхности
• толщина пластины не изменяется при деформации.

Поле смещения

Гипотеза Кирхгофа предполагает, что поле смещений имеет вид

${\begin{aligned}u_{\alpha }(\mathbf {x} )&=u_{\alpha }^{0}(x_{1},x_{2})-x_{3}~{\frac {\partial w^{0}}{\partial x_{\alpha }}}=u_{\alpha }^{0}-x_{3}~w_{,\alpha }^{0}~;~~\alpha =1,2\\u_{3}(\mathbf {x} )&=w^{0}(x_{1},x_{2})\end{aligned}}$

где $x_{1}$ и $x_{2}$ – декартовы координаты на срединной поверхности недеформированной пластины, $x_{3}$ - координата направления толщины, $u_{1}^{0},u_{2}^{0}$ - перемещения средней поверхности в плоскости, а $w^{0}$ - это смещение срединной поверхности в $x_{3}$ направление.

Если $\varphi _{\alpha }$ – углы поворота нормали к срединной поверхности, то в теории Кирхгофа – Лява $\varphi _{\alpha }=w_{,\alpha }^{0}\,.$

Смещение средней поверхности (слева) и нормали (справа)

Соотношения деформации-перемещения

Для ситуации, когда деформации в пластине бесконечно малы, а поворот нормалей срединной поверхности составляет менее 10 °, деформации и смещения соотношения имеют вид

${\begin{aligned}\varepsilon _{\alpha \beta }&={\tfrac {1}{2}}(u_{\alpha ,\beta }^{0}+u_{\beta ,\alpha }^{0})-x_{3}~w_{,\alpha \beta }^{0}\\\varepsilon _{\alpha 3}&=-w_{,\alpha }^{0}+w_{,\alpha }^{0}=0\\\varepsilon _{33}&=0\end{aligned}}$

Следовательно, единственные ненулевые деформации наблюдаются в плоскостных направлениях.

Если поворот нормалей к срединной поверхности находится в диапазоне от 10 ° до 15 °, соотношения деформации и смещения можно аппроксимировать с использованием деформаций фон Кармана . Тогда кинематические предположения теории Кирхгофа-Лява приводят к следующим соотношениям деформации-перемещения

${\begin{aligned}\varepsilon _{\alpha \beta }&={\frac {1}{2}}(u_{\alpha ,\beta }^{0}+u_{\beta ,\alpha }^{0}+w_{,\alpha }^{0}~w_{,\beta }^{0})-x_{3}~w_{,\alpha \beta }^{0}\\\varepsilon _{\alpha 3}&=-w_{,\alpha }^{0}+w_{,\alpha }^{0}=0\\\varepsilon _{33}&=0\end{aligned}}$

Эта теория является нелинейной из-за квадратичных членов в соотношениях деформации-перемещения.

Уравнения равновесия

Уравнения равновесия пластинки можно вывести из принципа виртуальной работы . Для ситуации, когда деформации и повороты пластины малы, уравнения равновесия ненагруженной пластины имеют вид

${\begin{aligned}N_{\alpha \beta ,\alpha }&=0\\M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }&=0\end{aligned}}$

где равнодействующие напряжения и равнодействующие момента напряжения определяются как

$N_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}\sigma _{\alpha \beta }~dx_{3}~;~~M_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}x_{3}~\sigma _{\alpha \beta }~dx_{3}$

а толщина пластины $2h$. Количества $\sigma _{\alpha \beta }$ являются стрессы.

Если пластина нагружена внешней распределенной нагрузкой $q(x)$ нормальна срединной поверхности и направлена ​​в положительном направлении. $x_{3}$ направлении, то принцип виртуальной работы приводит к уравнениям равновесия

${\begin{aligned}N_{\alpha \beta ,\alpha }&=0\\M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }-q&=0\end{aligned}}$

При умеренных вращениях соотношения деформации-перемещения принимают форму Кармана, и уравнения равновесия могут быть выражены как

${\begin{aligned}N_{\alpha \beta ,\alpha }&=0\\M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }+[N_{\alpha \beta }~w_{,\beta }^{0}]_{,\alpha }-q&=0\end{aligned}}$

Граничные условия

Граничные условия, необходимые для решения уравнений равновесия теории пластин, можно получить из граничных членов принципа виртуальной работы.

Для малых деформаций и малых вращений граничные условия таковы:

${\begin{aligned}n_{\alpha }~N_{\alpha \beta }&\quad \mathrm {or} \quad u_{\beta }^{0}\\n_{\alpha }~M_{\alpha \beta ,\beta }&\quad \mathrm {or} \quad w^{0}\\n_{\beta }~M_{\alpha \beta }&\quad \mathrm {or} \quad w_{,\alpha }^{0}\end{aligned}}$

Обратите внимание, что количество $n_{\alpha }~M_{\alpha \beta ,\beta }$ – эффективная поперечная сила.

Отношения напряжение-деформация

Соотношения напряжения и деформации для линейно упругой пластины Кирхгофа имеют вид

${\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}$

С $\sigma _{\alpha 3}$ и $\sigma _{33}$ не появляются в уравнениях равновесия, неявно предполагается, что эти величины не оказывают никакого влияния на баланс импульсов и ими пренебрегают.

Удобнее работать с результирующими напряжения и момента, которые входят в уравнения равновесия. Они связаны с перемещениями

${\begin{bmatrix}N_{11}\\N_{22}\\N_{12}\end{bmatrix}}=\left\{\int _{-h}^{h}{\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}\end{bmatrix}}~dx_{3}\right\}{\begin{bmatrix}u_{1,1}^{0}\\u_{2,2}^{0}\\{\frac {1}{2}}~(u_{1,2}^{0}+u_{2,1}^{0})\end{bmatrix}}$

и

${\begin{bmatrix}M_{11}\\M_{22}\\M_{12}\end{bmatrix}}=-\left\{\int _{-h}^{h}x_{3}^{2}~{\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}\end{bmatrix}}~dx_{3}\right\}{\begin{bmatrix}w_{,11}^{0}\\w_{,22}^{0}\\w_{,12}^{0}\end{bmatrix}}\,.$

Жесткость растяжения - это величины

$A_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}C_{\alpha \beta }~dx_{3}$

Жесткости на изгиб (также называемые жесткостью на изгиб ) представляют собой величины

$D_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}x_{3}^{2}~C_{\alpha \beta }~dx_{3}$

Изотропная и однородная пластинка Кирхгофа.

Основная статья: Теория пластин Кирхгофа – Любви

Для изотропной и однородной пластины соотношения напряжение-деформация имеют вид

${\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}={\cfrac {E}{1-\nu ^{2}}}{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}\,.$

Моменты, соответствующие этим напряжениям, равны

${\begin{bmatrix}M_{11}\\M_{22}\\M_{12}\end{bmatrix}}=-{\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}~{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}w_{,11}^{0}\\w_{,22}^{0}\\w_{,12}^{0}\end{bmatrix}}$

Чистый изгиб

Смещения $u_{1}^{0}$ и $u_{2}^{0}$ равны нулю в условиях чистого изгиба . Для изотропной однородной пластины при чистом изгибе основное уравнение имеет вид

${\frac {\partial ^{4}w}{\partial x_{1}^{4}}}+2{\frac {\partial ^{4}w}{\partial x_{1}^{2}\partial x_{2}^{2}}}+{\frac {\partial ^{4}w}{\partial x_{2}^{4}}}=0\quad {\text{where}}\quad w:=w^{0}\,.$

В индексной записи

$w_{,1111}^{0}+2~w_{,1212}^{0}+w_{,2222}^{0}=0\,.$

В прямой тензорной записи основное уравнение имеет вид

$\nabla ^{2}\nabla ^{2}w=0\,.$

Поперечная нагрузка

Для поперечно нагруженной пластины без осевых деформаций основное уравнение имеет вид

${\frac {\partial ^{4}w}{\partial x_{1}^{4}}}+2{\frac {\partial ^{4}w}{\partial x_{1}^{2}\partial x_{2}^{2}}}+{\frac {\partial ^{4}w}{\partial x_{2}^{4}}}=-{\frac {q}{D}}$

где

$D:={\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}\,.$

для пластины толщиной $2h$.В индексной записи

$w_{,1111}^{0}+2\,w_{,1212}^{0}+w_{,2222}^{0}=-{\frac {q}{D}}$

и в прямых обозначениях

$\nabla ^{2}\nabla ^{2}w=-{\frac {q}{D}}\,.$

В цилиндрических координатах $(r,\theta ,z)$, основное уравнение

${\frac {1}{r}}{\cfrac {d}{dr}}\left[r{\cfrac {d}{dr}}\left\{{\frac {1}{r}}{\cfrac {d}{dr}}\left(r{\cfrac {dw}{dr}}\right)\right\}\right]=-{\frac {q}{D}}\,.$

Ортотропная и однородная пластинка Кирхгофа.

Для ортотропной пластины

${\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}\end{bmatrix}}={\cfrac {1}{1-\nu _{12}\nu _{21}}}{\begin{bmatrix}E_{1}&\nu _{12}E_{2}&0\\\nu _{21}E_{1}&E_{2}&0\\0&0&2G_{12}(1-\nu _{12}\nu _{21})\end{bmatrix}}\,.$

Поэтому,

${\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{21}&A_{22}&A_{23}\\A_{31}&A_{32}&A_{33}\end{bmatrix}}={\cfrac {2h}{1-\nu _{12}\nu _{21}}}{\begin{bmatrix}E_{1}&\nu _{12}E_{2}&0\\\nu _{21}E_{1}&E_{2}&0\\0&0&2G_{12}(1-\nu _{12}\nu _{21})\end{bmatrix}}$

и

${\begin{bmatrix}D_{11}&D_{12}&D_{13}\\D_{21}&D_{22}&D_{23}\\D_{31}&D_{32}&D_{33}\end{bmatrix}}={\cfrac {2h^{3}}{3(1-\nu _{12}\nu _{21})}}{\begin{bmatrix}E_{1}&\nu _{12}E_{2}&0\\\nu _{21}E_{1}&E_{2}&0\\0&0&2G_{12}(1-\nu _{12}\nu _{21})\end{bmatrix}}\,.$

Поперечная нагрузка

Основное уравнение ортотропной пластины Кирхгофа, нагруженной в поперечном направлении распределенной нагрузкой $q$ на единицу площади составляет

$D_{x}w_{,1111}^{0}+2D_{xy}w_{,1122}^{0}+D_{y}w_{,2222}^{0}=-q$

где

${\begin{aligned}D_{x}&=D_{11}={\frac {2h^{3}E_{1}}{3(1-\nu _{12}\nu _{21})}}\\D_{y}&=D_{22}={\frac {2h^{3}E_{2}}{3(1-\nu _{12}\nu _{21})}}\\D_{xy}&=D_{33}+{\tfrac {1}{2}}(\nu _{21}D_{11}+\nu _{12}D_{22})=D_{33}+\nu _{21}D_{11}={\frac {4h^{3}G_{12}}{3}}+{\frac {2h^{3}\nu _{21}E_{1}}{3(1-\nu _{12}\nu _{21})}}\,.\end{aligned}}$

Динамика тонких пластинок Кирхгофа

Основная статья: Теория пластин Кирхгофа – Любви

Динамическая теория пластин определяет распространение волн в пластинах, исследование стоячих волн и режимов колебаний.

Основные уравнения

Основные уравнения динамики пластины Кирхгофа – Лява:

${\begin{aligned}N_{\alpha \beta ,\beta }&=J_{1}~{\ddot {u}}_{\alpha }^{0}\\M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }-q(x,t)&=J_{1}~{\ddot {w}}^{0}-J_{3}~{\ddot {w}}_{,\alpha \alpha }^{0}\end{aligned}}$

где для пластины с плотностью $\rho =\rho (x)$,

$J_{1}:=\int _{-h}^{h}\rho ~dx_{3}=2~\rho ~h~;~~J_{3}:=\int _{-h}^{h}x_{3}^{2}~\rho ~dx_{3}={\frac {2}{3}}~\rho ~h^{3}$

и

${\dot {u}}_{i}={\frac {\partial u_{i}}{\partial t}}~;~~{\ddot {u}}_{i}={\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial t^{2}}}~;~~u_{i,\alpha }={\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{\alpha }}}~;~~u_{i,\alpha \beta }={\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial x_{\alpha }\partial x_{\beta }}}$

На рисунках ниже показаны некоторые формы колебаний круглой пластины.

• 
  режим к = 0, р = 1
• 
  режим к = 1, р = 2

Изотропные пластины

Основные уравнения значительно упрощаются для изотропных и однородных пластин, для которых плоскостными деформациями можно пренебречь, и имеют вид

$D\,\left({\frac {\partial ^{4}w^{0}}{\partial x_{1}^{4}}}+2{\frac {\partial ^{4}w^{0}}{\partial x_{1}^{2}\partial x_{2}^{2}}}+{\frac {\partial ^{4}w^{0}}{\partial x_{2}^{4}}}\right)=-q(x_{1},x_{2},t)-2\rho h\,{\frac {\partial ^{2}w^{0}}{\partial t^{2}}}\,.$

где $D$ – изгибная жесткость пластины. Для пластины одинаковой толщины $2h$,

$D:={\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}\,.$

В прямых обозначениях

$D\,\nabla ^{2}\nabla ^{2}w^{0}=-q(x,y,t)-2\rho h\,{\ddot {w}}^{0}\,.$

Теория Уфлянда-Миндлина для толстых пластин.

Основная статья: Теория пластин Миндлина – Рейсснера

Примечание. соглашение Эйнштейна о суммировании повторяющихся индексов. Ниже используется

В теории толстых пластин, или теория Якова С. Уфлянда (подробности см. . в справочнике Элишакова ), Рэймонд Миндлин и Эрик Рейсснер , нормаль к средней поверхности остается прямой, но не обязательно перпендикулярной средней поверхности. Если $\varphi _{1}$ и $\varphi _{2}$ Обозначьте углы, которые средняя поверхность образует с $x_{3}$ ось тогда

$\varphi _{1}\neq w_{,1}~;~~\varphi _{2}\neq w_{,2}$

Тогда из гипотезы Миндлина–Рейсснера следует, что

${\begin{aligned}u_{\alpha }(\mathbf {x} )&=u_{\alpha }^{0}(x_{1},x_{2})-x_{3}~\varphi _{\alpha }~;~~\alpha =1,2\\u_{3}(\mathbf {x} )&=w^{0}(x_{1},x_{2})\end{aligned}}$

Соотношения деформации-перемещения

В зависимости от величины поворота нормалей пластины на основе основных кинематических предположений можно получить два различных приближения для деформаций.

Для малых деформаций и малых вращений соотношения деформации-перемещения для пластин Миндлина – Рейсснера имеют вид

${\begin{aligned}\varepsilon _{\alpha \beta }&={\frac {1}{2}}(u_{\alpha ,\beta }^{0}+u_{\beta ,\alpha }^{0})-{\frac {x_{3}}{2}}~(\varphi _{\alpha ,\beta }+\varphi _{\beta ,\alpha })\\\varepsilon _{\alpha 3}&={\cfrac {1}{2}}\left(w_{,\alpha }^{0}-\varphi _{\alpha }\right)\\\varepsilon _{33}&=0\end{aligned}}$

В этой теории не пренебрегают деформацией сдвига и, следовательно, напряжением сдвига по толщине пластины. Однако деформация сдвига постоянна по всей толщине пластины. Это не может быть точным, поскольку известно, что напряжение сдвига имеет параболическую форму даже для пластин простой геометрии. Чтобы учесть неточность деформации сдвига, используется поправочный коэффициент сдвига ( $\kappa$) применяется так, чтобы теория предсказывала правильное количество внутренней энергии. Затем

$\varepsilon _{\alpha 3}={\cfrac {1}{2}}~\kappa ~\left(w_{,\alpha }^{0}-\varphi _{\alpha }\right)$

Уравнения равновесия

Уравнения равновесия имеют немного другую форму в зависимости от ожидаемой величины изгиба пластины. Для ситуации, когда деформации и повороты пластины малы, уравнения равновесия пластины Миндлина – Рейсснера имеют вид

${\begin{aligned}&N_{\alpha \beta ,\alpha }=0\\&M_{\alpha \beta ,\beta }-Q_{\alpha }=0\\&Q_{\alpha ,\alpha }+q=0\,.\end{aligned}}$

Результирующие поперечные силы в приведенных выше уравнениях определяются как

$Q_{\alpha }:=\kappa ~\int _{-h}^{h}\sigma _{\alpha 3}~dx_{3}\,.$

Граничные условия

Граничные условия обозначаются граничными членами в принципе виртуальной работы.

Если единственной внешней силой является вертикальная сила, действующая на верхнюю поверхность пластины, граничные условия будут следующими:

${\begin{aligned}n_{\alpha }~N_{\alpha \beta }&\quad \mathrm {or} \quad u_{\beta }^{0}\\n_{\alpha }~M_{\alpha \beta }&\quad \mathrm {or} \quad \varphi _{\alpha }\\n_{\alpha }~Q_{\alpha }&\quad \mathrm {or} \quad w^{0}\end{aligned}}$

Учредительные отношения

Соотношения напряжение-деформация для линейно упругой пластины Миндлина – Рейсснера имеют вид

${\begin{aligned}\sigma _{\alpha \beta }&=C_{\alpha \beta \gamma \theta }~\varepsilon _{\gamma \theta }\\\sigma _{\alpha 3}&=C_{\alpha 3\gamma \theta }~\varepsilon _{\gamma \theta }\\\sigma _{33}&=C_{33\gamma \theta }~\varepsilon _{\gamma \theta }\end{aligned}}$

С $\sigma _{33}$ не появляется в уравнениях равновесия, неявно предполагается, что он не оказывает никакого влияния на баланс импульсов, и им пренебрегают. Это предположение также называют предположением о плоском напряжении . Остальные соотношения напряжение-деформация для ортотропного материала в матричной форме можно записать как

${\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{23}\\\sigma _{31}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&0&0&0\\C_{12}&C_{22}&0&0&0\\0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&C_{55}&0\\0&0&0&0&C_{66}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{31}\\\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}$

Затем,

${\begin{bmatrix}N_{11}\\N_{22}\\N_{12}\end{bmatrix}}=\left\{\int _{-h}^{h}{\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&0\\C_{12}&C_{22}&0\\0&0&C_{66}\end{bmatrix}}~dx_{3}\right\}{\begin{bmatrix}u_{1,1}^{0}\\u_{2,2}^{0}\\{\frac {1}{2}}~(u_{1,2}^{0}+u_{2,1}^{0})\end{bmatrix}}$

и

${\begin{bmatrix}M_{11}\\M_{22}\\M_{12}\end{bmatrix}}=-\left\{\int _{-h}^{h}x_{3}^{2}~{\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&0\\C_{12}&C_{22}&0\\0&0&C_{66}\end{bmatrix}}~dx_{3}\right\}{\begin{bmatrix}\varphi _{1,1}\\\varphi _{2,2}\\{\frac {1}{2}}~(\varphi _{1,2}+\varphi _{2,1})\end{bmatrix}}$

Для условий сдвига

${\begin{bmatrix}Q_{1}\\Q_{2}\end{bmatrix}}={\cfrac {\kappa }{2}}\left\{\int _{-h}^{h}{\begin{bmatrix}C_{55}&0\\0&C_{44}\end{bmatrix}}~dx_{3}\right\}{\begin{bmatrix}w_{,1}^{0}-\varphi _{1}\\w_{,2}^{0}-\varphi _{2}\end{bmatrix}}$

Жесткость растяжения - это величины

$A_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}C_{\alpha \beta }~dx_{3}$

Жесткостью на изгиб являются величины

$D_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}x_{3}^{2}~C_{\alpha \beta }~dx_{3}$

Изотропные и однородные пластинки Уфлянда-Миндлина.

Основная статья: Теория пластин Миндлина – Рейсснера

Для однородно толстых, однородных и изотропных пластин зависимости напряжения от деформации в плоскости пластины имеют вид

${\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}={\cfrac {E}{1-\nu ^{2}}}{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}\,.$

где $E$ – модуль Юнга, $\nu$ - коэффициент Пуассона, а $\varepsilon _{\alpha \beta }$ являются плоскостными деформациями. Касательные напряжения и деформации по толщине связаны соотношением

$\sigma _{31}=2G\varepsilon _{31}\quad {\text{and}}\quad \sigma _{32}=2G\varepsilon _{32}$

где $G=E/(2(1+\nu ))$ – модуль сдвига .

Учредительные отношения

Соотношения между результирующими напряжениями и обобщенными смещениями для изотропной пластины Миндлина – Рейсснера таковы:

${\begin{bmatrix}N_{11}\\N_{22}\\N_{12}\end{bmatrix}}={\cfrac {2Eh}{1-\nu ^{2}}}{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{1,1}^{0}\\u_{2,2}^{0}\\{\frac {1}{2}}~(u_{1,2}^{0}+u_{2,1}^{0})\end{bmatrix}}\,,$

${\begin{bmatrix}M_{11}\\M_{22}\\M_{12}\end{bmatrix}}=-{\cfrac {2Eh^{3}}{3(1-\nu ^{2})}}{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varphi _{1,1}\\\varphi _{2,2}\\{\frac {1}{2}}(\varphi _{1,2}+\varphi _{2,1})\end{bmatrix}}\,,$

и

${\begin{bmatrix}Q_{1}\\Q_{2}\end{bmatrix}}=\kappa Gh{\begin{bmatrix}w_{,1}^{0}-\varphi _{1}\\w_{,2}^{0}-\varphi _{2}\end{bmatrix}}\,.$

Жесткость на изгиб определяется как величина

$D={\cfrac {2Eh^{3}}{3(1-\nu ^{2})}}\,.$

Для пластины толщиной $H$, изгибная жесткость имеет вид

$D={\cfrac {EH^{3}}{12(1-\nu ^{2})}}\,.$

где $h={\frac {H}{2}}$

Основные уравнения

Если мы пренебрегаем расширением пластины в плоскости, основные уравнения будут иметь вид

${\begin{aligned}M_{\alpha \beta ,\beta }-Q_{\alpha }&=0\\Q_{\alpha ,\alpha }+q&=0\,.\end{aligned}}$

В терминах обобщенных деформаций $w^{0},\varphi _{1},\varphi _{2}$, три основных уравнения:

${\begin{aligned}&\nabla ^{2}\left({\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial x_{2}}}\right)=-{\frac {q}{D}}\\&\nabla ^{2}w^{0}-{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{1}}}-{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial x_{2}}}=-{\frac {q}{\kappa Gh}}\\&\nabla ^{2}\left({\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{2}}}-{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial x_{1}}}\right)=-{\frac {2\kappa Gh}{D(1-\nu )}}\left({\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{2}}}-{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial x_{1}}}\right)\,.\end{aligned}}$

Граничные условия по краям прямоугольной пластины:

${\begin{aligned}{\text{simply supported}}\quad &\quad w^{0}=0,M_{11}=0~({\text{or}}~M_{22}=0),\varphi _{1}=0~({\text{or}}~\varphi _{2}=0)\\{\text{clamped}}\quad &\quad w^{0}=0,\varphi _{1}=0,\varphi _{2}=0\,.\end{aligned}}$

Статическая теория Рейсснера – Штейна для изотропных консольных пластин.

В общем, точные решения для консольных пластин с использованием теории пластин весьма сложны, и в литературе можно найти мало точных решений. Рейсснер и Штейн предоставить упрощенную теорию консольных пластин, которая является улучшением по сравнению со старыми теориями, такими как теория пластин Сен-Венана.

Теория Рейсснера-Штайна предполагает поле поперечных смещений вида

$w(x,y)=w_{x}(x)+y\,\theta _{x}(x)\,.$

Тогда основные уравнения для пластины сводятся к двум связанным обыкновенным дифференциальным уравнениям:

${\begin{aligned}&bD{\frac {\mathrm {d} ^{4}w_{x}}{\mathrm {d} x^{4}}}=q_{1}(x)-n_{1}(x){\cfrac {d^{2}w_{x}}{dx^{2}}}-{\cfrac {dn_{1}}{dx}}\,{\cfrac {dw_{x}}{dx}}-{\frac {1}{2}}{\cfrac {dn_{2}}{dx}}\,{\cfrac {d\theta _{x}}{dx}}-{\frac {n_{2}(x)}{2}}{\cfrac {d^{2}\theta _{x}}{dx^{2}}}\\&{\frac {b^{3}D}{12}}\,{\frac {\mathrm {d} ^{4}\theta _{x}}{\mathrm {d} x^{4}}}-2bD(1-\nu ){\cfrac {d^{2}\theta _{x}}{dx^{2}}}=q_{2}(x)-n_{3}(x){\cfrac {d^{2}\theta _{x}}{dx^{2}}}-{\cfrac {dn_{3}}{dx}}\,{\cfrac {d\theta _{x}}{dx}}-{\frac {n_{2}(x)}{2}}\,{\cfrac {d^{2}w_{x}}{dx^{2}}}-{\frac {1}{2}}{\cfrac {dn_{2}}{dx}}\,{\cfrac {dw_{x}}{dx}}\end{aligned}}$

где

${\begin{aligned}q_{1}(x)&=\int _{-b/2}^{b/2}q(x,y)\,{\text{d}}y~,~~q_{2}(x)=\int _{-b/2}^{b/2}y\,q(x,y)\,{\text{d}}y~,~~n_{1}(x)=\int _{-b/2}^{b/2}n_{x}(x,y)\,{\text{d}}y\\n_{2}(x)&=\int _{-b/2}^{b/2}y\,n_{x}(x,y)\,{\text{d}}y~,~~n_{3}(x)=\int _{-b/2}^{b/2}y^{2}\,n_{x}(x,y)\,{\text{d}}y\,.\end{aligned}}$

В $x=0$, поскольку балка зажата, граничные условия равны

$w(0,y)={\cfrac {dw}{dx}}{\Bigr |}_{x=0}=0\qquad \implies \qquad w_{x}(0)={\cfrac {dw_{x}}{dx}}{\Bigr |}_{x=0}=\theta _{x}(0)={\cfrac {d\theta _{x}}{dx}}{\Bigr |}_{x=0}=0\,.$

Граничные условия при $x=a$ являются

${\begin{aligned}&bD{\cfrac {d^{3}w_{x}}{dx^{3}}}+n_{1}(x){\cfrac {dw_{x}}{dx}}+n_{2}(x){\cfrac {d\theta _{x}}{dx}}+q_{x1}=0\\&{\frac {b^{3}D}{12}}{\cfrac {d^{3}\theta _{x}}{dx^{3}}}+\left[n_{3}(x)-2bD(1-\nu )\right]{\cfrac {d\theta _{x}}{dx}}+n_{2}(x){\cfrac {dw_{x}}{dx}}+t=0\\&bD{\cfrac {d^{2}w_{x}}{dx^{2}}}+m_{1}=0\quad ,\quad {\frac {b^{3}D}{12}}{\cfrac {d^{2}\theta _{x}}{dx^{2}}}+m_{2}=0\end{aligned}}$

где

${\begin{aligned}m_{1}&=\int _{-b/2}^{b/2}m_{x}(y)\,{\text{d}}y~,~~m_{2}=\int _{-b/2}^{b/2}y\,m_{x}(y)\,{\text{d}}y~,~~q_{x1}=\int _{-b/2}^{b/2}q_{x}(y)\,{\text{d}}y\\t&=q_{x2}+m_{3}=\int _{-b/2}^{b/2}y\,q_{x}(y)\,{\text{d}}y+\int _{-b/2}^{b/2}m_{xy}(y)\,{\text{d}}y\,.\end{aligned}}$

показывать Вывод уравнений консольной пластины Рейсснера – Штейна.

The strain energy of bending of a thin rectangular plate of uniform thickness $h$ is given by $U={\frac {1}{2}}\int _{0}^{a}\int _{-b/2}^{b/2}D\left\{\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}\right)^{2}+2(1-\nu )\left[\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x\partial y}}\right)^{2}-{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}\right]\right\}{\text{d}}x{\text{d}}y$ where $w$ is the transverse displacement, $a$ is the length, $b$ is the width, $\nu$ is the Poisson'sratio, $E$ is the Young's modulus, and $D={\frac {Eh^{3}}{12(1-\nu )}}.$ The potential energy of transverse loads $q(x,y)$ (per unit length) is $P_{q}=\int _{0}^{a}\int _{-b/2}^{b/2}q(x,y)\,w(x,y)\,{\text{d}}x{\text{d}}y\,.$ The potential energy of in-plane loads $n_{x}(x,y)$ (per unit width) is $P_{n}={\frac {1}{2}}\int _{0}^{a}\int _{-b/2}^{b/2}n_{x}(x,y)\,\left({\frac {\partial w}{\partial x}}\right)^{2}\,{\text{d}}x{\text{d}}y\,.$ The potential energy of tip forces $q_{x}(y)$ (per unit width), and bending moments $m_{x}(y)$ and $m_{xy}(y)$(per unit width) is $P_{t}=\int _{-b/2}^{b/2}\left(q_{x}(y)\,w(x,y)-m_{x}(y)\,{\frac {\partial w}{\partial x}}+m_{xy}(y)\,{\frac {\partial w}{\partial y}}\right){\text{d}}x{\text{d}}y\,.$ A balance of energy requires that the total energy is $W=U-(P_{q}+P_{n}+P_{t})\,.$ With the Reissener–Stein assumption for the displacement, we have $U=\int _{0}^{a}{\frac {bD}{24}}\left[12\left({\cfrac {d^{2}w_{x}}{dx^{2}}}\right)^{2}+b^{2}\left({\cfrac {d^{2}\theta _{x}}{dx^{2}}}\right)^{2}+24(1-\nu )\left({\cfrac {d\theta _{x}}{dx}}\right)^{2}\right]\,{\text{d}}x\,,$ $P_{q}=\int _{0}^{a}\left[\left(\int _{-b/2}^{b/2}q(x,y)\,{\text{d}}y\right)w_{x}+\left(\int _{-b/2}^{b/2}yq(x,y)\,{\text{d}}y\right)\theta _{x}\right]\,dx\,,$ ${\begin{aligned}P_{n}&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{a}\left[\left(\int _{-b/2}^{b/2}n_{x}(x,y)\,{\text{d}}y\right)\left({\cfrac {dw_{x}}{dx}}\right)^{2}+\left(\int _{-b/2}^{b/2}yn_{x}(x,y)\,{\text{d}}y\right){\cfrac {dw_{x}}{dx}}\,{\cfrac {d\theta _{x}}{dx}}\right.\\&\left.\qquad \qquad +\left(\int _{-b/2}^{b/2}y^{2}n_{x}(x,y)\,{\text{d}}y\right)\left({\cfrac {d\theta _{x}}{dx}}\right)^{2}\right]{\text{d}}x\,,\end{aligned}}$ and ${\begin{aligned}P_{t}&=\left(\int _{-b/2}^{b/2}q_{x}(y)\,{\text{d}}y\right)w_{x}-\left(\int _{-b/2}^{b/2}m_{x}(y)\,{\text{d}}y\right){\cfrac {dw_{x}}{dx}}+\left[\int _{-b/2}^{b/2}\left(yq_{x}(y)+m_{xy}(y)\right)\,{\text{d}}y\right]\theta _{x}\\&\qquad \qquad -\left(\int _{-b/2}^{b/2}ym_{x}(y)\,{\text{d}}y\right){\cfrac {d\theta _{x}}{dx}}\,.\end{aligned}}$ Taking the first variation of $W$ with respect to $(w_{x},\theta _{x},x)$ andsetting it to zero gives us the Euler equations ${\text{(1)}}\qquad bD{\frac {\mathrm {d} ^{4}w_{x}}{\mathrm {d} x^{4}}}=q_{1}(x)-n_{1}(x){\cfrac {d^{2}w_{x}}{dx^{2}}}-{\cfrac {dn_{1}}{dx}}\,{\cfrac {dw_{x}}{dx}}-{\frac {1}{2}}{\cfrac {dn_{2}}{dx}}\,{\cfrac {d\theta _{x}}{dx}}-{\frac {n_{2}(x)}{2}}{\cfrac {d^{2}\theta _{x}}{dx^{2}}}$ and ${\text{(2)}}\qquad {\frac {b^{3}D}{12}}\,{\frac {\mathrm {d} ^{4}\theta _{x}}{\mathrm {d} x^{4}}}-2bD(1-\nu ){\cfrac {d^{2}\theta _{x}}{dx^{2}}}=q_{2}(x)-n_{3}(x){\cfrac {d^{2}\theta _{x}}{dx^{2}}}-{\cfrac {dn_{3}}{dx}}\,{\cfrac {d\theta _{x}}{dx}}-{\frac {n_{2}(x)}{2}}\,{\cfrac {d^{2}w_{x}}{dx^{2}}}-{\frac {1}{2}}{\cfrac {dn_{2}}{dx}}\,{\cfrac {dw_{x}}{dx}}$ where ${\begin{aligned}q_{1}(x)&=\int _{-b/2}^{b/2}q(x,y)\,{\text{d}}y~,~~q_{2}(x)=\int _{-b/2}^{b/2}y\,q(x,y)\,{\text{d}}y~,~~n_{1}(x)=\int _{-b/2}^{b/2}n_{x}(x,y)\,{\text{d}}y\\n_{2}(x)&=\int _{-b/2}^{b/2}y\,n_{x}(x,y)\,{\text{d}}y~,~~n_{3}(x)=\int _{-b/2}^{b/2}y^{2}\,n_{x}(x,y)\,{\text{d}}y.\end{aligned}}$ Since the beam is clamped at $x=0$, we have $w(0,y)={\cfrac {dw}{dx}}{\Bigr |}_{x=0}=0\qquad \implies \qquad w_{x}(0)={\cfrac {dw_{x}}{dx}}{\Bigr |}_{x=0}=\theta _{x}(0)={\cfrac {d\theta _{x}}{dx}}{\Bigr |}_{x=0}=0\,.$ The boundary conditions at $x=a$ can be found by integration by parts: ${\begin{aligned}&bD{\cfrac {d^{3}w_{x}}{dx^{3}}}+n_{1}(x){\cfrac {dw_{x}}{dx}}+n_{2}(x){\cfrac {d\theta _{x}}{dx}}+q_{x1}=0\\&{\frac {b^{3}D}{12}}{\cfrac {d^{3}\theta _{x}}{dx^{3}}}+\left[n_{3}(x)-2bD(1-\nu )\right]{\cfrac {d\theta _{x}}{dx}}+n_{2}(x){\cfrac {dw_{x}}{dx}}+t=0\\&bD{\cfrac {d^{2}w_{x}}{dx^{2}}}+m_{1}=0\quad ,\quad {\frac {b^{3}D}{12}}{\cfrac {d^{2}\theta _{x}}{dx^{2}}}+m_{2}=0\end{aligned}}$ where ${\begin{aligned}m_{1}&=\int _{-b/2}^{b/2}m_{x}(y)\,{\text{d}}y~,~~m_{2}=\int _{-b/2}^{b/2}y\,m_{x}(y)\,{\text{d}}y~,~~q_{x1}=\int _{-b/2}^{b/2}q_{x}(y)\,{\text{d}}y\\t&=q_{x2}+m_{3}=\int _{-b/2}^{b/2}y\,q_{x}(y)\,{\text{d}}y+\int _{-b/2}^{b/2}m_{xy}(y)\,{\text{d}}y.\end{aligned}}$

См. также

• Гибка пластин
• Вибрация пластин
• Теория бесконечно малых деформаций
• Мембранная теория оболочек
• Теория конечной деформации
• Стресс (механика)
• Результирующий стресс
• Линейная эластичность
• Гибка
• Уравнения Фёппля – фон Кармана
• Уравнение пучка Эйлера – Бернулли
• Timoshenko beam theory