Теория пластин Рейсснера-Миндлина

Теория пластин Рейсснера -Миндлина является расширением теории пластин Кирхгофа-Лява , которая учитывает сдвиговые деформации по толщине пластины. Теория была предложена в 1951 году Раймондом Миндлином . ^{[ 1 ]} Похожая, но не идентичная теория в статических условиях была предложена ранее Эриком Рейсснером в 1945 году. ^{[ 2 ]} Обе теории предназначены для толстых пластин, в которых нормаль к средней поверхности остается прямой, но не обязательно перпендикулярной средней поверхности. Теория Рейсснера-Миндлина используется для расчета деформаций и напряжений в пластине, толщина которой составляет порядка одной десятой плоских размеров, а теория Кирхгофа-Лява применима к более тонким пластинам.

Наиболее часто используемая форма теории пластин Рейсснера-Миндлина на самом деле принадлежит Миндлину и правильнее называть ее теорией пластин Миндлина . ^{[ 3 ]} Теория Рейсснера немного отличается. Обе теории включают сдвиговые деформации в плоскости и обе являются расширением теории пластин Кирхгофа – Лява, включающей эффекты сдвига первого порядка.

Теория Миндлина предполагает, что существует линейное изменение смещения по толщине пластины, но толщина пластины не изменяется во время деформации. Дополнительное предположение состоит в том, что нормальное напряжение по толщине игнорируется; предположение, которое также называют состоянием плоского напряжения . С другой стороны, теория Рейсснера предполагает, что напряжение изгиба линейно, а напряжение сдвига квадратично по отношению к толщина пластины. Это приводит к ситуации, когда смещение по толщине не обязательно является линейным и толщина пластины может изменяться в процессе деформации. Следовательно, статическая теория Рейсснера не ссылается на состояние плоского напряжения.

Теорию Рейснера-Миндлина часто называют первого порядка теорией сдвиговой деформации пластин . Поскольку теория сдвиговой деформации первого порядка предполагает линейное изменение смещения по толщине, она несовместима с теорией пластин Рейсснера.

Теория Миндлина

Теория Миндлина первоначально была выведена для изотропных пластин с использованием соображений равновесия. Здесь обсуждается более общая версия теории, основанная на энергетических соображениях. ^{[ 4 ]}

Предполагаемое поле смещения

Гипотеза Миндлина предполагает, что смещения в пластине имеют вид

{\begin{aligned}u_{\alpha }(\mathbf {x} )&=u_{\alpha }^{0}(x_{1},x_{2})-x_{3}~\varphi _{\alpha }~;~~\alpha =1,2\\u_{3}(\mathbf {x} )&=w^{0}(x_{1},x_{2})\end{aligned}}

где $x_{1}$ и $x_{2}$ – декартовы координаты на срединной поверхности недеформированной пластины и $x_{3}$ – координата направления толщины, $u_{\alpha }^{0},~\alpha =1,2$ - перемещения средней поверхности в плоскости, $w^{0}$ - это смещение срединной поверхности в $x_{3}$ направление, $\varphi _{1}$ и $\varphi _{2}$ Обозначьте углы, которые образует нормаль к срединной поверхности с $x_{3}$ ось. В отличие от теории пластин Кирхгофа – Лява, где $\varphi _{\alpha }$ имеют непосредственное отношение к $w^{0}$ , теория Миндлина не требует этого $\varphi _{1}=w_{,1}^{0}$ и $\varphi _{2}=w_{,2}^{0}$ .

Соотношения деформации-перемещения

В зависимости от величины поворота нормалей пластины на основе основных кинематических предположений можно получить два различных приближения для деформаций.

Для малых деформаций и малых вращений соотношения деформация-перемещение для пластин Миндлина – Рейсснера имеют вид

{\begin{aligned}\varepsilon _{\alpha \beta }&={\frac {1}{2}}(u_{\alpha ,\beta }^{0}+u_{\beta ,\alpha }^{0})-{\frac {x_{3}}{2}}~(\varphi _{\alpha ,\beta }+\varphi _{\beta ,\alpha })\\\varepsilon _{\alpha 3}&={\cfrac {1}{2}}\left(w_{,\alpha }^{0}-\varphi _{\alpha }\right)\\\varepsilon _{33}&=0\end{aligned}}

В этой теории не пренебрегают сдвиговой деформацией и, следовательно, касательным напряжением по толщине пластины. Однако деформация сдвига постоянна по всей толщине пластины. Это не может быть точным, поскольку известно, что напряжение сдвига имеет параболическую форму даже для пластин простой геометрии. Чтобы учесть неточность деформации сдвига, используется поправочный коэффициент сдвига ( $\kappa$ ) применяется так, чтобы теория предсказывала правильное количество внутренней энергии. Затем

\varepsilon _{\alpha 3}={\cfrac {1}{2}}~\kappa ~\left(w_{,\alpha }^{0}-\varphi _{\alpha }\right)

Уравнения равновесия

Уравнения равновесия пластины Миндлина–Рейсснера при малых деформациях и малых поворотах имеют вид

{\begin{aligned}&N_{\alpha \beta ,\alpha }=0\\&M_{\alpha \beta ,\beta }-Q_{\alpha }=0\\&Q_{\alpha ,\alpha }+q=0\end{aligned}}

где $q$ — приложенная внеплоскостная нагрузка, результирующая плоскостного напряжения определяется как

N_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}\sigma _{\alpha \beta }~dx_{3}\,,

результирующие момента определяются как

M_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}x_{3}~\sigma _{\alpha \beta }~dx_{3}\,,

и результирующие сдвига определяются как

Q_{\alpha }:=\kappa ~\int _{-h}^{h}\sigma _{\alpha 3}~dx_{3}\,.

Вывод уравнений равновесия

For the situation where the strains and rotations of the plate are small the virtual internal energy is given by

{\begin{aligned}\delta U&=\int _{\Omega ^{0}}\int _{-h}^{h}{\boldsymbol {\sigma }}:\delta {\boldsymbol {\epsilon }}~dx_{3}~d\Omega =\int _{\Omega ^{0}}\int _{-h}^{h}\left[\sigma _{\alpha \beta }~\delta \varepsilon _{\alpha \beta }+2~\sigma _{\alpha 3}~\delta \varepsilon _{\alpha 3}\right]~dx_{3}~d\Omega \\&=\int _{\Omega ^{0}}\int _{-h}^{h}\left[{\frac {1}{2}}~\sigma _{\alpha \beta }~(\delta u_{\alpha ,\beta }^{0}+\delta u_{\beta ,\alpha }^{0})-{\frac {x_{3}}{2}}~\sigma _{\alpha \beta }~(\delta \varphi _{\alpha ,\beta }+\delta \varphi _{\beta ,\alpha })+\kappa ~\sigma _{\alpha 3}\left(\delta w_{,\alpha }^{0}-\delta \varphi _{\alpha }\right)\right]~dx_{3}~d\Omega \\&=\int _{\Omega ^{0}}\left[{\frac {1}{2}}~N_{\alpha \beta }~(\delta u_{\alpha ,\beta }^{0}+\delta u_{\beta ,\alpha }^{0})-{\frac {1}{2}}M_{\alpha \beta }~(\delta \varphi _{\alpha ,\beta }+\delta \varphi _{\beta ,\alpha })+Q_{\alpha }\left(\delta w_{,\alpha }^{0}-\delta \varphi _{\alpha }\right)\right]~d\Omega \end{aligned}}

where the stress resultants and stress moment resultants are defined in a way similar to that for Kirchhoff plates. The shear resultant is defined as

Q_{\alpha }:=\kappa ~\int _{-h}^{h}\sigma _{\alpha 3}~dx_{3}

Integration by parts gives

{\begin{aligned}\delta U&=\int _{\Omega ^{0}}\left[-{\frac {1}{2}}~(N_{\alpha \beta ,\beta }~\delta u_{\alpha }^{0}+N_{\alpha \beta ,\alpha }~\delta u_{\beta }^{0})+{\frac {1}{2}}(M_{\alpha \beta ,\beta }~\delta \varphi _{\alpha }+M_{\alpha \beta ,\alpha }\delta \varphi _{\beta })-Q_{\alpha ,\alpha }~\delta w^{0}-Q_{\alpha }~\delta \varphi _{\alpha }\right]~d\Omega \\&+\int _{\Gamma ^{0}}\left[{\frac {1}{2}}~(n_{\beta }~N_{\alpha \beta }~\delta u_{\alpha }^{0}+n_{\alpha }~N_{\alpha \beta }~\delta u_{\beta }^{0})-{\frac {1}{2}}(n_{\beta }~M_{\alpha \beta }~\delta \varphi _{\alpha }+n_{\alpha }M_{\alpha \beta }\delta \varphi _{\beta })+n_{\alpha }~Q_{\alpha }~\delta w^{0}\right]~d\Gamma \end{aligned}}

The symmetry of the stress tensor implies that $N_{\alpha \beta }=N_{\beta \alpha }$ and $M_{\alpha \beta }=M_{\beta \alpha }$ . Hence,

{\begin{aligned}\delta U&=\int _{\Omega ^{0}}\left[-N_{\alpha \beta ,\alpha }~\delta u_{\beta }^{0}+\left(M_{\alpha \beta ,\beta }-Q_{\alpha }\right)~\delta \varphi _{\alpha }-Q_{\alpha ,\alpha }~\delta w^{0}\right]~d\Omega \\&+\int _{\Gamma ^{0}}\left[n_{\alpha }~N_{\alpha \beta }~\delta u_{\beta }^{0}-n_{\beta }~M_{\alpha \beta }~\delta \varphi _{\alpha }+n_{\alpha }~Q_{\alpha }~\delta w^{0}\right]~d\Gamma \end{aligned}}

For the special case when the top surface of the plate is loaded by a force per unit area $q(\mathbf {x} ^{0})$ , the virtual work done by the external forces is

\delta V_{\mathrm {ext} }=\int _{\Omega ^{0}}q~\delta w^{0}~\mathrm {d} \Omega

Then, from the principle of virtual work,

{\begin{aligned}&\int _{\Omega ^{0}}\left[N_{\alpha \beta ,\alpha }~\delta u_{\beta }^{0}-\left(M_{\alpha \beta ,\beta }-Q_{\alpha }\right)~\delta \varphi _{\alpha }+\left(Q_{\alpha ,\alpha }+q\right)~\delta w^{0}\right]~d\Omega \\&\qquad \qquad =\int _{\Gamma ^{0}}\left[n_{\alpha }~N_{\alpha \beta }~\delta u_{\beta }^{0}-n_{\beta }~M_{\alpha \beta }~\delta \varphi _{\alpha }+n_{\alpha }~Q_{\alpha }~\delta w^{0}\right]~d\Gamma \end{aligned}}

Using standard arguments from the calculus of variations, the equilibrium equations for a Mindlin–Reissner plate are

{\begin{aligned}&N_{\alpha \beta ,\alpha }=0\\&M_{\alpha \beta ,\beta }-Q_{\alpha }=0\\&Q_{\alpha ,\alpha }+q=0\end{aligned}}

Граничные условия

Граничные условия обозначаются граничными членами в принципе виртуальной работы.

Если единственной внешней силой является вертикальная сила, действующая на верхнюю поверхность пластины, граничные условия будут следующими:

{\begin{aligned}n_{\alpha }~N_{\alpha \beta }&\quad \mathrm {or} \quad u_{\beta }^{0}\\n_{\alpha }~M_{\alpha \beta }&\quad \mathrm {or} \quad \varphi _{\alpha }\\n_{\alpha }~Q_{\alpha }&\quad \mathrm {or} \quad w^{0}\end{aligned}}

Отношения напряжение-деформация

Соотношения напряжение-деформация для линейно упругой пластины Миндлина – Рейсснера имеют вид

{\begin{aligned}\sigma _{\alpha \beta }&=C_{\alpha \beta \gamma \theta }~\varepsilon _{\gamma \theta }\\\sigma _{\alpha 3}&=C_{\alpha 3\gamma \theta }~\varepsilon _{\gamma \theta }\\\sigma _{33}&=C_{33\gamma \theta }~\varepsilon _{\gamma \theta }\end{aligned}}

С $\sigma _{33}$ не появляется в уравнениях равновесия, неявно предполагается, что он не оказывает никакого влияния на баланс импульсов, и им пренебрегают. Это предположение также называют предположением о плоском напряжении . Остальные соотношения напряжение-деформация для ортотропного материала в матричной форме можно записать как

{\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{23}\\\sigma _{31}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&0&0&0\\C_{12}&C_{22}&0&0&0\\0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&C_{55}&0\\0&0&0&0&C_{66}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{31}\\\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}

Затем

{\begin{aligned}{\begin{bmatrix}N_{11}\\N_{22}\\N_{12}\end{bmatrix}}&=\int _{-h}^{h}{\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&0\\C_{12}&C_{22}&0\\0&0&C_{66}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}dx_{3}\\[5pt]&=\left\{\int _{-h}^{h}{\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&0\\C_{12}&C_{22}&0\\0&0&C_{66}\end{bmatrix}}~dx_{3}\right\}{\begin{bmatrix}u_{1,1}^{0}\\u_{2,2}^{0}\\{\frac {1}{2}}~(u_{1,2}^{0}+u_{2,1}^{0})\end{bmatrix}}\end{aligned}}

и

{\begin{aligned}{\begin{bmatrix}M_{11}\\M_{22}\\M_{12}\end{bmatrix}}&=\int _{-h}^{h}x_{3}~{\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&0\\C_{12}&C_{22}&0\\0&0&C_{66}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}dx_{3}\\[5pt]&=-\left\{\int _{-h}^{h}x_{3}^{2}~{\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&0\\C_{12}&C_{22}&0\\0&0&C_{66}\end{bmatrix}}~dx_{3}\right\}{\begin{bmatrix}\varphi _{1,1}\\\varphi _{2,2}\\{\frac {1}{2}}(\varphi _{1,2}+\varphi _{2,1})\end{bmatrix}}\end{aligned}}

Для условий сдвига

{\begin{bmatrix}Q_{1}\\Q_{2}\end{bmatrix}}=\kappa ~\int _{-h}^{h}{\begin{bmatrix}C_{55}&0\\0&C_{44}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{31}\\\varepsilon _{32}\end{bmatrix}}dx_{3}={\cfrac {\kappa }{2}}\left\{\int _{-h}^{h}{\begin{bmatrix}C_{55}&0\\0&C_{44}\end{bmatrix}}~dx_{3}\right\}{\begin{bmatrix}w_{,1}^{0}-\varphi _{1}\\w_{,2}^{0}-\varphi _{2}\end{bmatrix}}

Жесткость растяжения - это величины

A_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}C_{\alpha \beta }~dx_{3}

Жесткостью изгиба являются величины

D_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}x_{3}^{2}~C_{\alpha \beta }~dx_{3}\,.

Теория Миндлина для изотропных пластин

Для однородно толстых, однородных и изотропных пластин зависимости напряжения от деформации в плоскости пластины находятся

{\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}={\cfrac {E}{1-\nu ^{2}}}{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&{\cfrac {1-\nu }{2}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}\,.

где $E$ – модуль Юнга, $\nu$ - коэффициент Пуассона, а $\varepsilon _{\alpha \beta }$ являются плоскостными деформациями. Сдвиг по толщине напряжения и деформации связаны между собой

\sigma _{31}=2G\varepsilon _{31}\quad {\text{and}}\quad \sigma _{32}=2G\varepsilon _{32}

где $G=E/(2(1+\nu ))$ – модуль сдвига .

Учредительные отношения

Соотношения между результирующими напряжениями и обобщенными деформациями таковы:

{\begin{aligned}{\begin{bmatrix}N_{11}\\N_{22}\\N_{12}\end{bmatrix}}&={\cfrac {2Eh}{1-\nu ^{2}}}{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{1,1}^{0}\\u_{2,2}^{0}\\{\frac {1}{2}}~(u_{1,2}^{0}+u_{2,1}^{0})\end{bmatrix}},\\[5pt]{\begin{bmatrix}M_{11}\\M_{22}\\M_{12}\end{bmatrix}}&=-{\cfrac {2Eh^{3}}{3(1-\nu ^{2})}}{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varphi _{1,1}\\\varphi _{2,2}\\{\frac {1}{2}}(\varphi _{1,2}+\varphi _{2,1})\end{bmatrix}},\end{aligned}}

и

{\begin{bmatrix}Q_{1}\\Q_{2}\end{bmatrix}}=\kappa G2h{\begin{bmatrix}w_{,1}^{0}-\varphi _{1}\\w_{,2}^{0}-\varphi _{2}\end{bmatrix}}\,.

В приведенном выше

D={\cfrac {2Eh^{3}}{3(1-\nu ^{2})}}\,.

называется изгибной жесткостью (или модулем изгиба).

Для пластины толщиной ${\tilde {h}}=2h$ , изгибная жесткость имеет вид

D={\cfrac {E{\tilde {h}}^{3}}{12(1-\nu ^{2})}}\,.

с этого момента во всех приведенных ниже уравнениях мы будем ссылаться на $h$ как общая толщина пластины, а не полутолщина (как в приведенных выше уравнениях).

Основные уравнения

Если мы пренебрегаем расширением пластины в плоскости, основные уравнения будут иметь вид

{\begin{aligned}M_{\alpha \beta ,\beta }-Q_{\alpha }&=0\\Q_{\alpha ,\alpha }+q&=0\,.\end{aligned}}

В терминах обобщенных деформаций эти уравнения можно записать в виде

{\begin{aligned}&\nabla ^{2}\left({\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial x_{2}}}\right)=-{\frac {q}{D}}\\&\nabla ^{2}w^{0}-{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{1}}}-{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial x_{2}}}=-{\frac {q}{\kappa Gh}}\\&\nabla ^{2}\left({\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{2}}}-{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial x_{1}}}\right)={\frac {2\kappa Gh}{D(1-\nu )}}\left({\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{2}}}-{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial x_{1}}}\right)\,.\end{aligned}}

Вывод уравнений равновесия в терминах деформаций

If we expand out the governing equations of a Mindlin plate, we have

{\begin{aligned}{\frac {\partial M_{11}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial M_{12}}{\partial x_{2}}}&=Q_{1}\quad \,,\quad {\frac {\partial M_{21}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial M_{22}}{\partial x_{2}}}=Q_{2}\\{\frac {\partial Q_{1}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial Q_{2}}{\partial x_{2}}}&=-q\,.\end{aligned}}

Recalling that

M_{11}=-D\left({\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{1}}}+\nu {\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial x_{2}}}\right)~,~~M_{22}=-D\left({\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial x_{2}}}+\nu {\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{1}}}\right)~,~~M_{12}=-{\frac {D(1-\nu )}{2}}\left({\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{2}}}+{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial x_{1}}}\right)

and combining the three governing equations, we have

{\frac {\partial ^{3}\varphi _{1}}{\partial x_{1}^{3}}}+{\frac {\partial ^{3}\varphi _{1}}{\partial x_{1}\,\partial x_{2}^{2}}}+{\frac {\partial ^{3}\varphi _{2}}{\partial x_{1}^{2}\,\partial x_{2}}}+{\frac {\partial ^{3}\varphi _{2}}{\partial x_{2}^{3}}}={\frac {q}{D}}\,.

If we define

{\mathcal {M}}:=D\left({\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial x_{2}}}\right)

we can write the above equation as

\nabla ^{2}{\mathcal {M}}=q\,.

Similarly, using the relationships between the shear force resultants and the deformations, and the equation for the balance of shear force resultants, we can show that

\kappa Gh\left(\nabla ^{2}w^{0}-{\frac {\mathcal {M}}{D}}\right)=-q\,.

Since there are three unknowns in the problem, $\varphi _{1}$ , $\varphi _{2}$ , and $w^{0}$ , we need a third equation which can be found by differentiating the expressions for the shear force resultants and the governing equations in terms of the moment resultants, and equating these. The resulting equation has the form

\nabla ^{2}\left({\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{2}}}-{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial x_{1}}}\right)={\frac {2\kappa Gh}{D(1-\nu )}}\left({\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{2}}}-{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial x_{1}}}\right)\,.

Therefore, the three governing equations in terms of the deformations are

{\begin{aligned}&\nabla ^{2}\left({\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial x_{2}}}\right)={\frac {q}{D}}\\&\nabla ^{2}w^{0}-{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{1}}}-{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial x_{2}}}=-{\frac {q}{\kappa Gh}}\\&\nabla ^{2}\left({\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{2}}}-{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial x_{1}}}\right)={\frac {2\kappa Gh}{D(1-\nu )}}\left({\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{2}}}-{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial x_{1}}}\right)\,.\end{aligned}}

Граничные условия по краям прямоугольной пластины:

{\begin{aligned}{\text{simply supported}}\quad &\quad w^{0}=0,M_{11}=0~({\text{or}}~M_{22}=0),\varphi _{1}=0~({\text{ or }}\varphi _{2}=0)\\{\text{clamped}}\quad &\quad w^{0}=0,\varphi _{1}=0,\varphi _{2}=0\,.\end{aligned}}

Связь с теорией Рейсснера

Канонические определяющие соотношения для теорий сдвиговой деформации изотропных пластины можно выразить как ^{[ 5 ]}^{[ 6 ]}

{\begin{aligned}M_{11}&=D\left[{\mathcal {A}}\left({\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{1}}}+\nu {\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial x_{2}}}\right)-(1-{\mathcal {A}})\left({\frac {\partial ^{2}w^{0}}{\partial x_{1}^{2}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}w^{0}}{\partial x_{2}^{2}}}\right)\right]+{\frac {q}{1-\nu }}\,{\mathcal {B}}\\[5pt]M_{22}&=D\left[{\mathcal {A}}\left({\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial x_{2}}}+\nu {\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{1}}}\right)-(1-{\mathcal {A}})\left({\frac {\partial ^{2}w^{0}}{\partial x_{2}^{2}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}w^{0}}{\partial x_{1}^{2}}}\right)\right]+{\frac {q}{1-\nu }}\,{\mathcal {B}}\\[5pt]M_{12}&={\frac {D(1-\nu )}{2}}\left[{\mathcal {A}}\left({\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{2}}}+{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial x_{1}}}\right)-2(1-{\mathcal {A}})\,{\frac {\partial ^{2}w^{0}}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}\right]\\Q_{1}&={\mathcal {A}}\kappa Gh\left(\varphi _{1}+{\frac {\partial w^{0}}{\partial x_{1}}}\right)\\[5pt]Q_{2}&={\mathcal {A}}\kappa Gh\left(\varphi _{2}+{\frac {\partial w^{0}}{\partial x_{2}}}\right)\,.\end{aligned}}

Обратите внимание, что толщина пластины $h$ (и не $2h$ ) в приведенных выше уравнениях и $D=Eh^{3}/[12(1-\nu ^{2})]$ . Если мы определим момент Маркуса ,

{\mathcal {M}}=D\left[{\mathcal {A}}\left({\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial x_{2}}}\right)-(1-{\mathcal {A}})\nabla ^{2}w^{0}\right]+{\frac {2q}{1-\nu ^{2}}}{\mathcal {B}}

мы можем выразить результирующие сдвига как

{\begin{aligned}Q_{1}&={\frac {\partial {\mathcal {M}}}{\partial x_{1}}}+{\frac {D(1-\nu )}{2}}\left[{\mathcal {A}}{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}\left({\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{2}}}-{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial x_{1}}}\right)\right]-{\frac {\mathcal {B}}{1+\nu }}{\frac {\partial q}{\partial x_{1}}}\\[5pt]Q_{2}&={\frac {\partial {\mathcal {M}}}{\partial x_{2}}}-{\frac {D(1-\nu )}{2}}\left[{\mathcal {A}}{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\left({\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{2}}}-{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial x_{1}}}\right)\right]-{\frac {\mathcal {B}}{1+\nu }}{\frac {\partial q}{\partial x_{2}}}\,.\end{aligned}}

Эти соотношения и основные уравнения равновесия в совокупности приводят к следуя каноническим уравнениям равновесия в терминах обобщенных перемещений.

{\begin{aligned}&\nabla ^{2}\left({\mathcal {M}}-{\frac {\mathcal {B}}{1+\nu }}\,q\right)=-q\\&\kappa Gh\left(\nabla ^{2}w^{0}+{\frac {\mathcal {M}}{D}}\right)=-\left(1-{\cfrac {{\mathcal {B}}c^{2}}{1+\nu }}\right)q\\&\nabla ^{2}\left({\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{2}}}-{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial x_{1}}}\right)=c^{2}\left({\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{2}}}-{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial x_{1}}}\right)\end{aligned}}

где

c^{2}={\frac {2\kappa Gh}{D(1-\nu )}}\,.

По теории Миндлина, $w^{0}$ поперечное смещение средней поверхности пластины и количества $\varphi _{1}$ и $\varphi _{2}$ являются поворотами нормали срединной поверхности о $x_{2}$ и $x_{1}$ -оси соответственно. Канонические параметры этой теории являются ${\mathcal {A}}=1$ и ${\mathcal {B}}=0$ . Поправочный коэффициент сдвига $\kappa$ обычно имеет ценить $5/6$ .

С другой стороны, в теории Рейсснера $w^{0}$ - средневзвешенное поперечное отклонение пока $\varphi _{1}$ и $\varphi _{2}$ являются эквивалентными вращениями, которые не идентичны те, что в теории Миндлина.

Связь с теорией Кирхгофа – Любви

Если мы определим сумму моментов для теории Кирхгофа – Лява как

{\mathcal {M}}^{K}:=-D\nabla ^{2}w^{K}

мы можем это показать ^{[ 5 ]}

{\mathcal {M}}={\mathcal {M}}^{K}+{\frac {\mathcal {B}}{1+\nu }}\,q+D\nabla ^{2}\Phi

где $\Phi$ является бигармонической функцией такой, что $\nabla ^{2}\nabla ^{2}\Phi =0$ . Мы также можем покажите, что если $w^{K}$ — смещение, предсказанное для пластины Кирхгофа – Лява,

w^{0}=w^{K}+{\frac {{\mathcal {M}}^{K}}{\kappa Gh}}\left(1-{\frac {{\mathcal {B}}c^{2}}{2}}\right)-\Phi +\Psi

где $\Psi$ — функция, удовлетворяющая уравнению Лапласа, $\nabla ^{2}\Psi =0$ . вращения нормали связаны со смещениями пластинки Кирхгофа – Лява соотношением

{\begin{aligned}\varphi _{1}=-{\frac {\partial w^{K}}{\partial x_{1}}}-{\frac {1}{\kappa Gh}}\left(1-{\frac {1}{\mathcal {A}}}-{\frac {{\mathcal {B}}c^{2}}{2}}\right)Q_{1}^{K}+{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\left({\frac {D}{\kappa Gh{\mathcal {A}}}}\nabla ^{2}\Phi +\Phi -\Psi \right)+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \Omega }{\partial x_{2}}}\\\varphi _{2}=-{\frac {\partial w^{K}}{\partial x_{2}}}-{\frac {1}{\kappa Gh}}\left(1-{\frac {1}{\mathcal {A}}}-{\frac {{\mathcal {B}}c^{2}}{2}}\right)Q_{2}^{K}+{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}\left({\frac {D}{\kappa Gh{\mathcal {A}}}}\nabla ^{2}\Phi +\Phi -\Psi \right)+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \Omega }{\partial x_{1}}}\end{aligned}}

где

Q_{1}^{K}=-D{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\left(\nabla ^{2}w^{K}\right)~,~~Q_{2}^{K}=-D{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}\left(\nabla ^{2}w^{K}\right)~,~~\Omega :={\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{2}}}-{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial x_{1}}}\,.

Ссылки

^ Р. Д. Миндлин, 1951, Влияние вращательной инерции и сдвига на изгибные движения изотропных упругих пластин , Журнал прикладной механики ASME, Vol. 18 стр. 31–38.
^ Э. Рейсснер, 1945, Влияние деформации поперечного сдвига на изгиб упругих пластин , Журнал прикладной механики ASME, Vol. 12, стр. А68–77.
^ Ван, К.М., Лим, Г.Т., Редди, Дж. Н., Ли, К. Х., 2001, Взаимосвязь между решениями по изгибу теорий пластин Рейсснера и Миндлина, Инженерные конструкции, том. 23, стр. 838–849.
^ Редди, Дж. Н., 1999, Теория и анализ упругих пластин , Тейлор и Фрэнсис, Филадельфия.
^ Jump up to: ^а ^б Лим, Г.Т. и Редди, Дж.Н., 2003, О канонических соотношениях изгиба пластин , Международный журнал твердых тел и конструкций, том. 40, стр. 3039–3067.
^ В этих уравнениях используется несколько иное соглашение о знаках, чем предыдущее обсуждение.

См. также

[1] Р. Д. Миндлин, 1951, Влияние вращательной инерции и сдвига на изгибные движения изотропных упругих пластин , Журнал прикладной механики ASME, Vol. 18 стр. 31–38.

[2] Э. Рейсснер, 1945, Влияние деформации поперечного сдвига на изгиб упругих пластин , Журнал прикладной механики ASME, Vol. 12, стр. А68–77.

[3] Ван, К.М., Лим, Г.Т., Редди, Дж. Н., Ли, К. Х., 2001, Взаимосвязь между решениями по изгибу теорий пластин Рейсснера и Миндлина, Инженерные конструкции, том. 23, стр. 838–849.

[4] Редди, Дж. Н., 1999, Теория и анализ упругих пластин , Тейлор и Фрэнсис, Филадельфия.

[lim03-5] Jump up to: ^а ^б Лим, Г.Т. и Редди, Дж.Н., 2003, О канонических соотношениях изгиба пластин , Международный журнал твердых тел и конструкций, том. 40, стр. 3039–3067.

[6] В этих уравнениях используется несколько иное соглашение о знаках, чем предыдущее обсуждение.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]