Теория бесконечно малых деформаций

В механике сплошной среды теория бесконечно малых деформаций представляет собой математический подход к описанию деформации твердого тела, в котором смещения материальных частиц считаются намного меньшими (действительно, бесконечно меньшими), чем любой соответствующий размер тела; так что можно предположить, что его геометрия и конститутивные свойства материала (такие как плотность и жесткость ) в каждой точке пространства не изменяются в результате деформации.

При таком предположении уравнения механики сплошной среды значительно упрощаются. Этот подход также можно назвать теорией малых деформаций , теорией малых смещений или теорией малого градиента смещений . Это контрастирует с теорией конечных деформаций , в которой делается противоположное предположение.

Теория бесконечно малых деформаций обычно применяется в гражданском и машиностроении для анализа напряжений конструкций, построенных из относительно жестких упругих материалов, таких как бетон и сталь , поскольку общей целью проектирования таких конструкций является минимизация их деформации при типичных нагрузках . Однако такое приближение требует осторожности в случае тонких гибких тел, таких как стержни, пластины и оболочки, которые подвержены значительным вращениям, что делает результаты ненадежными.

Тензор

Для бесконечно малых деформаций сплошного тела , у которых тензор градиента смещений (тензор 2-го порядка) мал по сравнению с единицей, т.е. $\|\nabla \mathbf {u} \|\ll 1$, можно выполнить геометрическую линеаризацию любого из тензоров конечных деформаций, используемых в теории конечных деформаций, например лагранжева тензора конечных деформаций. $\mathbf {E}$и эйлеров тензор конечной деформации $\mathbf {e}$. При такой линеаризации пренебрегают нелинейными членами или членами второго порядка тензора конечных деформаций. Таким образом, мы имеем

$$\mathbf {E} ={\frac {1}{2}}\left(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} +(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} )^{T}+(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} )^{T}\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} \right)\approx {\frac {1}{2}}\left(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} +(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} )^{T}\right)$$

или

$$E_{KL}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial U_{K}}{\partial X_{L}}}+{\frac {\partial U_{L}}{\partial X_{K}}}+{\frac {\partial U_{M}}{\partial X_{K}}}{\frac {\partial U_{M}}{\partial X_{L}}}\right)\approx {\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial U_{K}}{\partial X_{L}}}+{\frac {\partial U_{L}}{\partial X_{K}}}\right)$$

и

$$\mathbf {e} ={\frac {1}{2}}\left(\nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {u} +(\nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {u} )^{T}-\nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {u} (\nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {u} )^{T}\right)\approx {\frac {1}{2}}\left(\nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {u} +(\nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {u} )^{T}\right)$$

или

$$e_{rs}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{r}}{\partial x_{s}}}+{\frac {\partial u_{s}}{\partial x_{r}}}-{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{r}}}{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{s}}}\right)\approx {\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{r}}{\partial x_{s}}}+{\frac {\partial u_{s}}{\partial x_{r}}}\right)$$

Эта линеаризация подразумевает, что лагранжево описание и эйлерово описание примерно одинаковы, поскольку существует небольшая разница в материальных и пространственных координатах данной материальной точки в континууме. Следовательно, компоненты тензора градиента смещения материала и компоненты тензора градиента пространственного смещения примерно равны. Таким образом, мы имеем

$$\mathbf {E} \approx \mathbf {e} \approx {\boldsymbol {\varepsilon }}={\frac {1}{2}}\left((\nabla \mathbf {u} )^{T}+\nabla \mathbf {u} \right)$$

или

$$E_{KL}\approx e_{rs}\approx \varepsilon _{ij}={\frac {1}{2}}\left(u_{i,j}+u_{j,i}\right)$$

где $\varepsilon _{ij}$ являются компонентами тензора бесконечно малых деформаций ${\boldsymbol {\varepsilon }}$, также называемый тензором деформации Коши , тензором линейной деформации или тензором малой деформации .

$${\begin{aligned}\varepsilon _{ij}&={\frac {1}{2}}\left(u_{i,j}+u_{j,i}\right)\\&={\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}&\varepsilon _{13}\\\varepsilon _{21}&\varepsilon _{22}&\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{31}&\varepsilon _{32}&\varepsilon _{33}\\\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}{\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{1}}}&{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{2}}}+{\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{1}}}\right)&{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{3}}}+{\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{1}}}\right)\\{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{2}}}\right)&{\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{2}}}&{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{3}}}+{\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{2}}}\right)\\{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{3}}}\right)&{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{2}}}+{\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{3}}}\right)&{\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{3}}}\\\end{bmatrix}}\end{aligned}}$$

или используя другие обозначения:

$${\begin{bmatrix}\varepsilon _{xx}&\varepsilon _{xy}&\varepsilon _{xz}\\\varepsilon _{yx}&\varepsilon _{yy}&\varepsilon _{yz}\\\varepsilon _{zx}&\varepsilon _{zy}&\varepsilon _{zz}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}&{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}\right)&{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{x}}{\partial z}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial x}}\right)\\{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}\right)&{\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}&{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial z}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial y}}\right)\\{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{z}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial z}}\right)&{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{z}}{\partial y}}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial z}}\right)&{\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}\\\end{bmatrix}}$$

Кроме того, поскольку градиент деформации можно выразить как ${\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} +{\boldsymbol {I}}$ где ${\boldsymbol {I}}$ — тождественный тензор второго порядка, имеем

$${\boldsymbol {\varepsilon }}={\frac {1}{2}}\left({\boldsymbol {F}}^{T}+{\boldsymbol {F}}\right)-{\boldsymbol {I}}$$

Кроме того, из общего выражения для лагранжевых и эйлеровых тензоров конечной деформации имеем

$${\begin{aligned}\mathbf {E} _{(m)}&={\frac {1}{2m}}(\mathbf {U} ^{2m}-{\boldsymbol {I}})={\frac {1}{2m}}[({\boldsymbol {F}}^{T}{\boldsymbol {F}})^{m}-{\boldsymbol {I}}]\approx {\frac {1}{2m}}[\{{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} +({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} )^{T}+{\boldsymbol {I}}\}^{m}-{\boldsymbol {I}}]\approx {\boldsymbol {\varepsilon }}\\\mathbf {e} _{(m)}&={\frac {1}{2m}}(\mathbf {V} ^{2m}-{\boldsymbol {I}})={\frac {1}{2m}}[({\boldsymbol {F}}{\boldsymbol {F}}^{T})^{m}-{\boldsymbol {I}}]\approx {\boldsymbol {\varepsilon }}\end{aligned}}$$

Геометрический вывод

Рисунок 1. Двумерная геометрическая деформация бесконечно малого материального элемента.

Рассмотрим двумерную деформацию бесконечно малого прямоугольного материального элемента с размерами $dx$ к $dy$ (рис. 1), который после деформации принимает форму ромба. Из геометрии рисунка 1 имеем

$${\begin{aligned}{\overline {ab}}&={\sqrt {\left(dx+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}dx\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}dx\right)^{2}}}\\&=dx{\sqrt {1+2{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}+\left({\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}\right)^{2}}}\\\end{aligned}}$$

Для очень малых градиентов смещения, т.е. $\|\nabla \mathbf {u} \|\ll 1$, у нас есть

$${\overline {ab}}\approx dx+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}dx$$

Нормальное напряжение в $x$-направление прямоугольного элемента определяется формулой

$$\varepsilon _{x}={\frac {{\overline {ab}}-{\overline {AB}}}{\overline {AB}}}$$

и зная это ${\overline {AB}}=dx$, у нас есть

$$\varepsilon _{x}={\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}$$

Аналогично, нормальная деформация в $y$-направление и $z$-направление, становится

$$\varepsilon _{y}={\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}\quad ,\qquad \varepsilon _{z}={\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}$$

Инженерная деформация сдвига или изменение угла между двумя изначально ортогональными линиями материала, в данном случае линией ${\overline {AC}}$ и ${\overline {AB}}$, определяется как

$$\gamma _{xy}=\alpha +\beta$$

Из геометрии рисунка 1 имеем

$$\tan \alpha ={\frac {{\dfrac {\partial u_{y}}{\partial x}}dx}{dx+{\dfrac {\partial u_{x}}{\partial x}}dx}}={\frac {\dfrac {\partial u_{y}}{\partial x}}{1+{\dfrac {\partial u_{x}}{\partial x}}}}\quad ,\qquad \tan \beta ={\frac {{\dfrac {\partial u_{x}}{\partial y}}dy}{dy+{\dfrac {\partial u_{y}}{\partial y}}dy}}={\frac {\dfrac {\partial u_{x}}{\partial y}}{1+{\dfrac {\partial u_{y}}{\partial y}}}}$$

Для малых вращений, т.е. $\alpha$ и $\beta$ являются $\ll 1$ у нас есть

$$\tan \alpha \approx \alpha \quad ,\qquad \tan \beta \approx \beta$$

и снова для малых градиентов смещения имеем

$$\alpha ={\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}\quad ,\qquad \beta ={\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}$$

таким образом

$$\gamma _{xy}=\alpha +\beta ={\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}$$

Путем обмена $x$ и $y$ и $u_{x}$ и $u_{y}$, можно показать, что $\gamma _{xy}=\gamma _{yx}$.

Аналогично, для $y$- $z$ и $x$- $z$ самолеты, у нас есть

$$\gamma _{yz}=\gamma _{zy}={\frac {\partial u_{y}}{\partial z}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial y}}\quad ,\qquad \gamma _{zx}=\gamma _{xz}={\frac {\partial u_{z}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial z}}$$

Можно видеть, что компоненты тензорной деформации сдвига тензора бесконечно малых деформаций могут быть выражены с использованием определения инженерной деформации: $\gamma$, как

$${\begin{bmatrix}\varepsilon _{xx}&\varepsilon _{xy}&\varepsilon _{xz}\\\varepsilon _{yx}&\varepsilon _{yy}&\varepsilon _{yz}\\\varepsilon _{zx}&\varepsilon _{zy}&\varepsilon _{zz}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\varepsilon _{xx}&\gamma _{xy}/2&\gamma _{xz}/2\\\gamma _{yx}/2&\varepsilon _{yy}&\gamma _{yz}/2\\\gamma _{zx}/2&\gamma _{zy}/2&\varepsilon _{zz}\\\end{bmatrix}}$$

Физическая

Из теории конечных деформаций мы имеем

$$d\mathbf {x} ^{2}-d\mathbf {X} ^{2}=d\mathbf {X} \cdot 2\mathbf {E} \cdot d\mathbf {X} \quad {\text{or}}\quad (dx)^{2}-(dX)^{2}=2E_{KL}\,dX_{K}\,dX_{L}$$

Для бесконечно малых деформаций имеем

$$d\mathbf {x} ^{2}-d\mathbf {X} ^{2}=d\mathbf {X} \cdot 2\mathbf {\boldsymbol {\varepsilon }} \cdot d\mathbf {X} \quad {\text{or}}\quad (dx)^{2}-(dX)^{2}=2\varepsilon _{KL}\,dX_{K}\,dX_{L}$$

Деление на $(dX)^{2}$ у нас есть

$${\frac {dx-dX}{dX}}{\frac {dx+dX}{dX}}=2\varepsilon _{ij}{\frac {dX_{i}}{dX}}{\frac {dX_{j}}{dX}}$$

При малых деформациях будем считать, что $dx\approx dX$, таким образом, второй член левой части становится: ${\frac {dx+dX}{dX}}\approx 2$.

Тогда у нас есть

$${\frac {dx-dX}{dX}}=\varepsilon _{ij}N_{i}N_{j}=\mathbf {N} \cdot {\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot \mathbf {N}$$

где $N_{i}={\frac {dX_{i}}{dX}}$, — единичный вектор в направлении $d\mathbf {X}$, а выражение в левой части представляет собой нормальную деформацию $e_{(\mathbf {N} )}$ в направлении $\mathbf {N}$. Для частного случая $\mathbf {N}$ в $X_{1}$ направление, т.е. $\mathbf {N} =\mathbf {I} _{1}$, у нас есть

$$e_{(\mathbf {I} _{1})}=\mathbf {I} _{1}\cdot {\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot \mathbf {I} _{1}=\varepsilon _{11}.$$

Аналогично, для $\mathbf {N} =\mathbf {I} _{2}$ и $\mathbf {N} =\mathbf {I} _{3}$ мы можем найти нормальные штаммы $\varepsilon _{22}$ и $\varepsilon _{33}$, соответственно. Следовательно, диагональные элементы тензора бесконечно малых деформаций представляют собой нормальные деформации в координатных направлениях.

Правила преобразования деформации

Если мы выберем ортонормированную систему координат ( $\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}$) мы можем записать тензор в терминах компонентов относительно этих базовых векторов как

$${\boldsymbol {\varepsilon }}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\varepsilon _{ij}\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}$$

В матричной форме

$${\underline {\underline {\boldsymbol {\varepsilon }}}}={\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}&\varepsilon _{13}\\\varepsilon _{12}&\varepsilon _{22}&\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{13}&\varepsilon _{23}&\varepsilon _{33}\end{bmatrix}}$$

Мы можем легко выбрать другую ортонормированную систему координат ( ${\hat {\mathbf {e} }}_{1},{\hat {\mathbf {e} }}_{2},{\hat {\mathbf {e} }}_{3}$) вместо. В этом случае компоненты тензора различны, скажем

$${\boldsymbol {\varepsilon }}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}{\hat {\varepsilon }}_{ij}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\otimes {\hat {\mathbf {e} }}_{j}\quad \implies \quad {\underline {\underline {\hat {\boldsymbol {\varepsilon }}}}}={\begin{bmatrix}{\hat {\varepsilon }}_{11}&{\hat {\varepsilon }}_{12}&{\hat {\varepsilon }}_{13}\\{\hat {\varepsilon }}_{12}&{\hat {\varepsilon }}_{22}&{\hat {\varepsilon }}_{23}\\{\hat {\varepsilon }}_{13}&{\hat {\varepsilon }}_{23}&{\hat {\varepsilon }}_{33}\end{bmatrix}}$$

Компоненты деформации в двух системах координат связаны соотношением

$${\hat {\varepsilon }}_{ij}=\ell _{ip}~\ell _{jq}~\varepsilon _{pq}$$

где соглашение Эйнштейна о суммировании для повторяющихся индексов и использовалось $\ell _{ij}={\hat {\mathbf {e} }}_{i}\cdot {\mathbf {e} }_{j}$. В матричной форме

$${\underline {\underline {\hat {\boldsymbol {\varepsilon }}}}}={\underline {\underline {\mathbf {L} }}}~{\underline {\underline {\boldsymbol {\varepsilon }}}}~{\underline {\underline {\mathbf {L} }}}^{T}$$

или

$${\begin{bmatrix}{\hat {\varepsilon }}_{11}&{\hat {\varepsilon }}_{12}&{\hat {\varepsilon }}_{13}\\{\hat {\varepsilon }}_{21}&{\hat {\varepsilon }}_{22}&{\hat {\varepsilon }}_{23}\\{\hat {\varepsilon }}_{31}&{\hat {\varepsilon }}_{32}&{\hat {\varepsilon }}_{33}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\ell _{11}&\ell _{12}&\ell _{13}\\\ell _{21}&\ell _{22}&\ell _{23}\\\ell _{31}&\ell _{32}&\ell _{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}&\varepsilon _{13}\\\varepsilon _{21}&\varepsilon _{22}&\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{31}&\varepsilon _{32}&\varepsilon _{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\ell _{11}&\ell _{12}&\ell _{13}\\\ell _{21}&\ell _{22}&\ell _{23}\\\ell _{31}&\ell _{32}&\ell _{33}\end{bmatrix}}^{T}$$

Инварианты деформации

Некоторые операции с тензором деформации дают один и тот же результат независимо от того, какая ортонормированная система координат используется для представления компонентов деформации. Результаты этих операций называются инвариантами деформации . Наиболее часто используемые инварианты деформации:

$${\begin{aligned}I_{1}&=\mathrm {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})\\I_{2}&={\tfrac {1}{2}}\{[\mathrm {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})]^{2}-\mathrm {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }}^{2})\}\\I_{3}&=\det({\boldsymbol {\varepsilon }})\end{aligned}}$$

По компонентам

$${\begin{aligned}I_{1}&=\varepsilon _{11}+\varepsilon _{22}+\varepsilon _{33}\\I_{2}&=\varepsilon _{11}\varepsilon _{22}+\varepsilon _{22}\varepsilon _{33}+\varepsilon _{33}\varepsilon _{11}-\varepsilon _{12}^{2}-\varepsilon _{23}^{2}-\varepsilon _{31}^{2}\\I_{3}&=\varepsilon _{11}(\varepsilon _{22}\varepsilon _{33}-\varepsilon _{23}^{2})-\varepsilon _{12}(\varepsilon _{21}\varepsilon _{33}-\varepsilon _{23}\varepsilon _{31})+\varepsilon _{13}(\varepsilon _{21}\varepsilon _{32}-\varepsilon _{22}\varepsilon _{31})\end{aligned}}$$

Основные штаммы

Можно показать, что можно найти систему координат ( $\mathbf {n} _{1},\mathbf {n} _{2},\mathbf {n} _{3}$), в котором компоненты тензора деформаций равны

$${\underline {\underline {\boldsymbol {\varepsilon }}}}={\begin{bmatrix}\varepsilon _{1}&0&0\\0&\varepsilon _{2}&0\\0&0&\varepsilon _{3}\end{bmatrix}}\quad \implies \quad {\boldsymbol {\varepsilon }}=\varepsilon _{1}\mathbf {n} _{1}\otimes \mathbf {n} _{1}+\varepsilon _{2}\mathbf {n} _{2}\otimes \mathbf {n} _{2}+\varepsilon _{3}\mathbf {n} _{3}\otimes \mathbf {n} _{3}$$

Компоненты тензора деформаций в ( $\mathbf {n} _{1},\mathbf {n} _{2},\mathbf {n} _{3}$) системы координат называются главными деформациями , а направления $\mathbf {n} _{i}$ называются направлениями главных деформаций. Поскольку в этой системе координат нет компонентов сдвиговой деформации, основные деформации представляют собой максимальное и минимальное растяжения элементарного объема.

Если нам даны компоненты тензора деформаций в произвольной ортонормированной системе координат, мы можем найти главные деформации, используя разложение по собственным значениям , определяемое решением системы уравнений

$$({\underline {\underline {\boldsymbol {\varepsilon }}}}-\varepsilon _{i}~{\underline {\underline {\mathbf {I} }}})~\mathbf {n} _{i}={\underline {\mathbf {0} }}$$

Эта система уравнений эквивалентна нахождению вектора $\mathbf {n} _{i}$ вдоль которого тензор деформации становится чистым растяжением без компонента сдвига.

Объемная деформация

Объемная деформация , также называемая объемной деформацией , представляет собой относительное изменение объема, возникающее в результате расширения или сжатия ; это первый инвариант деформации или след тензора:

$$\delta ={\frac {\Delta V}{V_{0}}}=I_{1}=\varepsilon _{11}+\varepsilon _{22}+\varepsilon _{33}$$

Действительно, если рассматривать куб с длиной ребра a , то после деформации (изменение углов не меняет объема) это квазикуб с размерами $a\cdot (1+\varepsilon _{11})\times a\cdot (1+\varepsilon _{22})\times a\cdot (1+\varepsilon _{33})$ и V ₀ = а ³ , таким образом

$${\frac {\Delta V}{V_{0}}}={\frac {\left(1+\varepsilon _{11}+\varepsilon _{22}+\varepsilon _{33}+\varepsilon _{11}\cdot \varepsilon _{22}+\varepsilon _{11}\cdot \varepsilon _{33}+\varepsilon _{22}\cdot \varepsilon _{33}+\varepsilon _{11}\cdot \varepsilon _{22}\cdot \varepsilon _{33}\right)\cdot a^{3}-a^{3}}{a^{3}}}$$

поскольку мы рассматриваем малые деформации,

$$1\gg \varepsilon _{ii}\gg \varepsilon _{ii}\cdot \varepsilon _{jj}\gg \varepsilon _{11}\cdot \varepsilon _{22}\cdot \varepsilon _{33}$$

поэтому формула.

В случае чистого сдвига мы видим, что изменения объема нет.

девиатора

Тензор бесконечно малых деформаций $\varepsilon _{ij}$, аналогично тензору напряжений Коши , можно выразить как сумму двух других тензоров:

1. тензор средней деформации , или тензор объемной деформации , или тензор сферической деформации , $\varepsilon _{M}\delta _{ij}$, связанный с расширением или изменением объема; и
2. девиаторная составляющая, называемая тензором девиатора деформации , $\varepsilon '_{ij}$, связанный с искажениями.

$$\varepsilon _{ij}=\varepsilon '_{ij}+\varepsilon _{M}\delta _{ij}$$

где $\varepsilon _{M}$ средняя деформация, определяемая выражением

$$\varepsilon _{M}={\frac {\varepsilon _{kk}}{3}}={\frac {\varepsilon _{11}+\varepsilon _{22}+\varepsilon _{33}}{3}}={\tfrac {1}{3}}I_{1}^{e}$$

Тензор девиаторной деформации можно получить вычитанием тензора средней деформации из тензора бесконечно малых деформаций:

$${\begin{aligned}\ \varepsilon '_{ij}&=\varepsilon _{ij}-{\frac {\varepsilon _{kk}}{3}}\delta _{ij}\\{\begin{bmatrix}\varepsilon '_{11}&\varepsilon '_{12}&\varepsilon '_{13}\\\varepsilon '_{21}&\varepsilon '_{22}&\varepsilon '_{23}\\\varepsilon '_{31}&\varepsilon '_{32}&\varepsilon '_{33}\\\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}&\varepsilon _{13}\\\varepsilon _{21}&\varepsilon _{22}&\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{31}&\varepsilon _{32}&\varepsilon _{33}\\\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}\varepsilon _{M}&0&0\\0&\varepsilon _{M}&0\\0&0&\varepsilon _{M}\\\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}-\varepsilon _{M}&\varepsilon _{12}&\varepsilon _{13}\\\varepsilon _{21}&\varepsilon _{22}-\varepsilon _{M}&\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{31}&\varepsilon _{32}&\varepsilon _{33}-\varepsilon _{M}\\\end{bmatrix}}\\\end{aligned}}$$

Октаэдрические деформации

Позволять ( $\mathbf {n} _{1},\mathbf {n} _{2},\mathbf {n} _{3}$) — направления трех основных деформаций. Октаэдрическая плоскость — это плоскость, нормаль которой составляет равные углы с тремя главными направлениями. Инженерная деформация сдвига в октаэдрической плоскости называется октаэдрической деформацией сдвига и определяется выражением

$$\gamma _{\mathrm {oct} }={\tfrac {2}{3}}{\sqrt {(\varepsilon _{1}-\varepsilon _{2})^{2}+(\varepsilon _{2}-\varepsilon _{3})^{2}+(\varepsilon _{3}-\varepsilon _{1})^{2}}}$$

где $\varepsilon _{1},\varepsilon _{2},\varepsilon _{3}$ являются основными штаммами.

Нормальная деформация в октаэдрической плоскости определяется выражением

$$\varepsilon _{\mathrm {oct} }={\tfrac {1}{3}}(\varepsilon _{1}+\varepsilon _{2}+\varepsilon _{3})$$

Эквивалентная

Скалярная величина, называемая эквивалентной деформацией или эквивалентной деформацией фон Мизеса , часто используется для описания состояния деформации в твердых телах. В литературе можно найти несколько определений эквивалентного штамма. В литературе по пластичности обычно используется определение :

$$\varepsilon _{\mathrm {eq} }={\sqrt {{\tfrac {2}{3}}{\boldsymbol {\varepsilon }}^{\mathrm {dev} }:{\boldsymbol {\varepsilon }}^{\mathrm {dev} }}}={\sqrt {{\tfrac {2}{3}}\varepsilon _{ij}^{\mathrm {dev} }\varepsilon _{ij}^{\mathrm {dev} }}}~;~~{\boldsymbol {\varepsilon }}^{\mathrm {dev} }={\boldsymbol {\varepsilon }}-{\tfrac {1}{3}}\mathrm {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})~{\boldsymbol {I}}$$

Эта величина является работой, сопряженной с эквивалентным напряжением, определяемым как

$$\sigma _{\mathrm {eq} }={\sqrt {{\tfrac {3}{2}}{\boldsymbol {\sigma }}^{\mathrm {dev} }:{\boldsymbol {\sigma }}^{\mathrm {dev} }}}$$

Уравнения совместимости

Основная статья: Совместимость (механика)

Для заданных компонентов деформации $\varepsilon _{ij}$ уравнение тензора деформации $u_{i,j}+u_{j,i}=2\varepsilon _{ij}$ представляет собой систему шести дифференциальных уравнений для определения трех составляющих перемещений $u_{i}$, давая переопределенную систему. Таким образом, для произвольного выбора компонентов деформации решения, вообще говоря, не существует. Поэтому некоторые ограничения, называемые уравнениями совместимости на компоненты деформации накладываются . С добавлением трех уравнений совместимости количество независимых уравнений сокращается до трех, что соответствует количеству неизвестных компонентов смещения. Эти ограничения на тензор деформации были обнаружены Сен-Венаном и называются « уравнениями совместимости Сен-Венана ».

Функции совместимости служат для обеспечения однозначности функции непрерывного перемещения. $u_{i}$. Если представить упругую среду как набор бесконечно малых кубов в недеформированном состоянии, то после того, как среда деформирована, произвольный тензор деформаций не может привести к ситуации, в которой искаженные кубы все еще подходят друг к другу, не перекрываясь.

В индексной записи уравнения совместимости выражаются как

$$\varepsilon _{ij,km}+\varepsilon _{km,ij}-\varepsilon _{ik,jm}-\varepsilon _{jm,ik}=0$$

В инженерных обозначениях

• ${\frac {\partial ^{2}\epsilon _{x}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{y}}{\partial x^{2}}}=2{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{xy}}{\partial x\partial y}}$
• ${\frac {\partial ^{2}\epsilon _{y}}{\partial z^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{z}}{\partial y^{2}}}=2{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{yz}}{\partial y\partial z}}$
• ${\frac {\partial ^{2}\epsilon _{x}}{\partial z^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{z}}{\partial x^{2}}}=2{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{zx}}{\partial z\partial x}}$
• ${\frac {\partial ^{2}\epsilon _{x}}{\partial y\partial z}}={\frac {\partial }{\partial x}}\left(-{\frac {\partial \epsilon _{yz}}{\partial x}}+{\frac {\partial \epsilon _{zx}}{\partial y}}+{\frac {\partial \epsilon _{xy}}{\partial z}}\right)$
• ${\frac {\partial ^{2}\epsilon _{y}}{\partial z\partial x}}={\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial \epsilon _{yz}}{\partial x}}-{\frac {\partial \epsilon _{zx}}{\partial y}}+{\frac {\partial \epsilon _{xy}}{\partial z}}\right)$
• ${\frac {\partial ^{2}\epsilon _{z}}{\partial x\partial y}}={\frac {\partial }{\partial z}}\left({\frac {\partial \epsilon _{yz}}{\partial x}}+{\frac {\partial \epsilon _{zx}}{\partial y}}-{\frac {\partial \epsilon _{xy}}{\partial z}}\right)$

Особые случаи

Плоская деформация

Плоскодеформированное состояние в сплошной среде.

В реальных инженерных компонентах напряжение (и деформация) представляют собой трехмерные тензоры, но в призматических конструкциях, таких как длинная металлическая заготовка, длина конструкции намного больше, чем два других измерения. Деформации, связанные с длиной, т. е. нормальная деформация $\varepsilon _{33}$ и сдвиговые деформации $\varepsilon _{13}$ и $\varepsilon _{23}$ (если длина указана в трех направлениях) ограничены близлежащим материалом и малы по сравнению с деформациями поперечного сечения . Тогда плоская деформация является приемлемым приближением. Тензор деформации для плоской деформации записывается как:

$${\underline {\underline {\boldsymbol {\varepsilon }}}}={\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}&0\\\varepsilon _{21}&\varepsilon _{22}&0\\0&0&0\end{bmatrix}}$$

в котором двойное подчеркивание указывает на тензор второго порядка . Такое деформированное состояние называется плоской деформацией . Соответствующий тензор напряжений:

$${\underline {\underline {\boldsymbol {\sigma }}}}={\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&0\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&0\\0&0&\sigma _{33}\end{bmatrix}}$$

в котором ненулевое $\sigma _{33}$ необходимо для поддержания ограничения $\epsilon _{33}=0$. Этот член напряжения можно временно удалить из анализа, чтобы оставить только члены в плоскости, эффективно сводя трехмерную задачу к гораздо более простой двумерной задаче.

деформация

Основная статья: Противоплоскостной сдвиг

Антиплоская деформация — это еще одно особое состояние деформации, которое может возникнуть в теле, например, в области, близкой к винтовой дислокации . Тензор деформации для антиплоской деформации определяется выражением

$${\underline {\underline {\boldsymbol {\varepsilon }}}}={\begin{bmatrix}0&0&\varepsilon _{13}\\0&0&\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{13}&\varepsilon _{23}&0\end{bmatrix}}$$

Связь с тензором

Смотрите также: Тензор спина (механика)

Тензор бесконечно малых деформаций определяется как

$${\boldsymbol {\varepsilon }}={\frac {1}{2}}[{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} +({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} )^{T}]$$

Поэтому градиент смещения можно выразить как

$${\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} ={\boldsymbol {\varepsilon }}+{\boldsymbol {W}}$$

где

$${\boldsymbol {W}}:={\frac {1}{2}}[{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} -({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} )^{T}]$$

Количество ${\boldsymbol {W}}$ — тензор бесконечно малого вращения или тензор бесконечно малого углового смещения (связанный с матрицей бесконечно малого вращения ). Этот тензор кососимметричен . Для бесконечно малых деформаций скалярные компоненты ${\boldsymbol {W}}$ удовлетворить условие $|W_{ij}|\ll 1$. Обратите внимание, что градиент смещения мал только в том случае, если и тензор деформации, и тензор вращения бесконечно малы.

Осевой вектор

Кососимметричный тензор второго порядка имеет три независимые скалярные компоненты. Эти три компонента используются для определения аксиального вектора . $\mathbf {w}$, следующее

$$W_{ij}=-\epsilon _{ijk}~w_{k}~;~~w_{i}=-{\tfrac {1}{2}}~\epsilon _{ijk}~W_{jk}$$

где $\epsilon _{ijk}$ является символом перестановки . В матричной форме

$${\underline {\underline {\boldsymbol {W}}}}={\begin{bmatrix}0&-w_{3}&w_{2}\\w_{3}&0&-w_{1}\\-w_{2}&w_{1}&0\end{bmatrix}}~;~~{\underline {\mathbf {w} }}={\begin{bmatrix}w_{1}\\w_{2}\\w_{3}\end{bmatrix}}$$

Осевой вектор также называют вектором бесконечно малого вращения . Вектор вращения связан с градиентом смещения соотношением

$$\mathbf {w} ={\tfrac {1}{2}}~{\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {u}$$

В индексном обозначении

$$w_{i}={\tfrac {1}{2}}~\epsilon _{ijk}~u_{k,j}$$

Если $\lVert {\boldsymbol {W}}\rVert \ll 1$ и ${\boldsymbol {\varepsilon }}={\boldsymbol {0}}$ тогда материал подвергается приблизительному вращению твердого тела на величину $|\mathbf {w} |$ вокруг вектора $\mathbf {w}$.

Связь между тензором деформации

Учитывая непрерывное однозначное поле перемещений $\mathbf {u}$ и соответствующий тензор бесконечно малых деформаций ${\boldsymbol {\varepsilon }}$, имеем (см. Тензорная производная (механика сплошной среды) )

$${\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\varepsilon }}=e_{ijk}~\varepsilon _{lj,i}~\mathbf {e} _{k}\otimes \mathbf {e} _{l}={\tfrac {1}{2}}~e_{ijk}~[u_{l,ji}+u_{j,li}]~\mathbf {e} _{k}\otimes \mathbf {e} _{l}$$

Поскольку изменение порядка дифференцирования не меняет результата, $u_{l,ji}=u_{l,ij}$. Поэтому

$$e_{ijk}u_{l,ji}=(e_{12k}+e_{21k})u_{l,12}+(e_{13k}+e_{31k})u_{l,13}+(e_{23k}+e_{32k})u_{l,32}=0$$

Также

$${\tfrac {1}{2}}~e_{ijk}~u_{j,li}=\left({\tfrac {1}{2}}~e_{ijk}~u_{j,i}\right)_{,l}=\left({\tfrac {1}{2}}~e_{kij}~u_{j,i}\right)_{,l}=w_{k,l}$$

Следовательно

$${\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\varepsilon }}=w_{k,l}~\mathbf {e} _{k}\otimes \mathbf {e} _{l}={\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {w}$$

тензором вращения и

Из важного тождества относительно ротора тензора мы знаем, что для непрерывного однозначного поля смещений $\mathbf {u}$,

$${\boldsymbol {\nabla }}\times ({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} )={\boldsymbol {0}}.$$

С ${\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} ={\boldsymbol {\varepsilon }}+{\boldsymbol {W}}$ у нас есть

$${\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {W}}=-{\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\varepsilon }}=-{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {w} .$$

в недекартовых

деформаций в

В цилиндрических полярных координатах ( $r,\theta ,z$), вектор смещения можно записать как

$$\mathbf {u} =u_{r}~\mathbf {e} _{r}+u_{\theta }~\mathbf {e} _{\theta }+u_{z}~\mathbf {e} _{z}$$

Компоненты тензора деформаций в цилиндрической системе координат имеют вид:

$${\begin{aligned}\varepsilon _{rr}&={\cfrac {\partial u_{r}}{\partial r}}\\\varepsilon _{\theta \theta }&={\cfrac {1}{r}}\left({\cfrac {\partial u_{\theta }}{\partial \theta }}+u_{r}\right)\\\varepsilon _{zz}&={\cfrac {\partial u_{z}}{\partial z}}\\\varepsilon _{r\theta }&={\cfrac {1}{2}}\left({\cfrac {1}{r}}{\cfrac {\partial u_{r}}{\partial \theta }}+{\cfrac {\partial u_{\theta }}{\partial r}}-{\cfrac {u_{\theta }}{r}}\right)\\\varepsilon _{\theta z}&={\cfrac {1}{2}}\left({\cfrac {\partial u_{\theta }}{\partial z}}+{\cfrac {1}{r}}{\cfrac {\partial u_{z}}{\partial \theta }}\right)\\\varepsilon _{zr}&={\cfrac {1}{2}}\left({\cfrac {\partial u_{r}}{\partial z}}+{\cfrac {\partial u_{z}}{\partial r}}\right)\end{aligned}}$$

деформаций в

Сферические координаты ( r , θ , φ ), обычно используемые в физике : радиальное расстояние r , полярный угол θ ( тета ) и азимутальный угол φ ( фи ). Символ ρ ( rho ) часто используется вместо r .

В сферических координатах ( $r,\theta ,\phi$), вектор смещения можно записать как

$$\mathbf {u} =u_{r}~\mathbf {e} _{r}+u_{\theta }~\mathbf {e} _{\theta }+u_{\phi }~\mathbf {e} _{\phi }$$

Компоненты тензора деформаций в сферической системе координат имеют вид

$${\begin{aligned}\varepsilon _{rr}&={\cfrac {\partial u_{r}}{\partial r}}\\\varepsilon _{\theta \theta }&={\cfrac {1}{r}}\left({\cfrac {\partial u_{\theta }}{\partial \theta }}+u_{r}\right)\\\varepsilon _{\phi \phi }&={\cfrac {1}{r\sin \theta }}\left({\cfrac {\partial u_{\phi }}{\partial \phi }}+u_{r}\sin \theta +u_{\theta }\cos \theta \right)\\\varepsilon _{r\theta }&={\cfrac {1}{2}}\left({\cfrac {1}{r}}{\cfrac {\partial u_{r}}{\partial \theta }}+{\cfrac {\partial u_{\theta }}{\partial r}}-{\cfrac {u_{\theta }}{r}}\right)\\\varepsilon _{\theta \phi }&={\cfrac {1}{2r}}\left({\cfrac {1}{\sin \theta }}{\cfrac {\partial u_{\theta }}{\partial \phi }}+{\cfrac {\partial u_{\phi }}{\partial \theta }}-u_{\phi }\cot \theta \right)\\\varepsilon _{\phi r}&={\cfrac {1}{2}}\left({\cfrac {1}{r\sin \theta }}{\cfrac {\partial u_{r}}{\partial \phi }}+{\cfrac {\partial u_{\phi }}{\partial r}}-{\cfrac {u_{\phi }}{r}}\right)\end{aligned}}$$

См. также

• Деформация (механика)
• Совместимость (механика)
• Тензор напряжений
• Тензодатчик
• Тензор упругости
• Кривая напряжение-деформация
• Закон Гука
• коэффициент Пуассона
• Теория конечной деформации
• Скорость деформации
• Плоское напряжение
• Корреляция цифровых изображений