Штамм (механика)

Сдвиговая деформация
Сдвиговая деформация
Общие символы	γ или ε
И объединились	1 или радиан
Выводы из ; другие количества	с = т / г

Напряжение
Напряжение
Другие имена	Тензор деформации
И объединились	1
Другие подразделения	%
В базовых единицах СИ	м/м
Поведение под ; преобразование координат	тензор
Измерение

В механике деформация по определяется как относительная деформация сравнению с конфигурацией исходного положения . Для выражения поля деформаций можно сделать различный эквивалентный выбор в зависимости от того, определяется ли оно относительно начальной или конечной конфигурации тела и от того, ли метрический тензор рассматривается или его двойник.

Деформация имеет размерность отношения длин метр с базовой единицей СИ на метр (м/м). Следовательно, деформации безразмерны и обычно выражаются десятичной дробью или процентом . обозначение «части Также используется на миллион», например, «части на миллион» или « части на миллиард» (иногда называемые «микродеформациями» и «нанодеформациями» соответственно), что соответствует мкм /м и нм /м.

Деформацию можно сформулировать как производную смещения : пространственную

{\boldsymbol {\varepsilon }}\doteq {\cfrac {\partial }{\partial \mathbf {X} }}\left(\mathbf {x} -\mathbf {X} \right)={\boldsymbol {F}}'-{\boldsymbol {I}},

где

I

— тождественный тензор . Перемещение тела можно выразить в виде

x = F (X)

, где

X

— исходное положение материальных точек тела; перемещение имеет единицы длины и не различает движения твердого тела (переносы и вращения) и деформации (изменения формы и размеров) тела. Пространственная производная равномерного перемещения равна нулю, поэтому деформации измеряют, насколько данное смещение локально отличается от движения твердого тела. ^[1]

Деформация, вообще говоря, является тензорной величиной. Физическое понимание деформаций можно получить, наблюдая, что данную деформацию можно разложить на нормальную и сдвиговую компоненты. Величина растяжения или сжатия вдоль линейных элементов материала или волокон представляет собой нормальную деформацию , а величина искажения, связанная со скольжением плоских слоев друг по другу, представляет собой деформацию сдвига внутри деформируемого тела. ^[2] Это может быть применено путем удлинения, сокращения, изменения объема или углового искажения. ^[3]

Деформированное состояние в материальной точке сплошного тела определяется как совокупность всех изменений длины материальных линий или волокон, нормальная деформация , проходящая через эту точку, а также совокупность всех изменений угла между пары линий, первоначально перпендикулярных друг другу, — деформация сдвига , исходящая из этой точки. Однако достаточно знать нормальную и сдвиговую составляющие деформации на множестве трех взаимно перпендикулярных направлений.

Если длина материальной линии увеличивается, нормальная деформация называется деформацией растяжения ; в противном случае, если длина материальной линии уменьшается или сжимается, это называется деформацией сжатия .

Режимы деформации [ править ]

В зависимости от величины деформации или локальной деформации анализ деформации подразделяется на три теории деформации:

Теория конечных деформаций , также называемая теорией больших деформаций , теорией больших деформаций , имеет дело с деформациями, в которых как вращение, так и деформации сколь угодно велики. При этом недеформированная и деформированная конфигурации континуума существенно различаются и между ними необходимо проводить четкое различие. Обычно это происходит с эластомерами , пластически деформирующими материалами и другими жидкостями и биологическими мягкими тканями .
Теория бесконечно малых деформаций , также называемая теорией малых деформаций , теорией малых деформаций , теорией малых смещений или теорией малых градиентов смещений, где деформации и вращения малы. В этом случае недеформированную и деформированную конфигурации тела можно считать одинаковыми. Теория бесконечно малых деформаций используется при анализе деформаций материалов, проявляющих упругое поведение, таких как материалы, используемые в машиностроении и гражданском строительстве, например, бетон и сталь.
Теория большого смещения или большого вращения , которая предполагает небольшие деформации, но большие вращения и смещения.

Меры по напряжению [ править ]

В каждой из этих теорий деформация определяется по-разному. Инженерная деформация — наиболее распространенное определение, применяемое к материалам, используемым в машиностроении и строительстве, которые подвергаются очень небольшим деформациям. С другой стороны, для некоторых материалов, например эластомеров и полимеров, подвергающихся большим деформациям, инженерное определение деформации неприменимо, например, типичная инженерная деформация превышает 1%; ^[4] таким образом, требуются другие, более сложные определения деформации, такие как растяжение , логарифмическая деформация , деформация Грина и деформация Альманси .

Инженерное напряжение [ править ]

Инженерная деформация , также известная как деформация Коши , выражается как отношение общей деформации к начальному размеру материального тела, к которому приложены силы. В случае элемента материальной линии или волокна, нагруженного в осевом направлении, его удлинение вызывает инженерную нормальную деформацию или инженерную деформацию растяжения $e$ , которая равна относительному удлинению или изменению длины $Δ L$ на единицу исходной длины $L$ линии. элемент или волокна (в метрах на метр). Нормальная деформация положительна, если волокна материала растянуты, и отрицательна, если они сжаты. Таким образом, мы имеем

e={\frac {\Delta L}{L}}={\frac {l-L}{L}}

, где

e

— инженерная нормальная деформация ,

L

— исходная длина волокна, а

l

— конечная длина волокна.

Истинная деформация сдвига определяется как изменение угла (в радианах) между двумя элементами линии материала, первоначально перпендикулярными друг другу в недеформированной или исходной конфигурации. Инженерная деформация сдвига определяется как тангенс этого угла и равна максимальной длине деформации, деленной на длину перпендикуляра в плоскости приложения силы, что иногда облегчает расчет.

Коэффициент растяжения [ править ]

Коэффициент растяжения или коэффициент растяжения (символ λ) является альтернативной мерой, связанной с растяжением или нормальной деформацией элемента дифференциальной линии с осевой нагрузкой. Она определяется как отношение конечной длины $l$ к начальной длине $L$ материальной линии.

\lambda ={\frac {l}{L}}

Коэффициент растяжения λ связан с инженерной деформацией e соотношением

e=\lambda -1

Из этого уравнения следует, что когда нормальная деформация равна нулю и деформации нет, коэффициент растяжения равен единице.

Коэффициент растяжения используется при анализе материалов, которые демонстрируют большие деформации, таких как эластомеры , которые могут выдерживать коэффициент растяжения 3 или 4, прежде чем они выйдут из строя. С другой стороны, традиционные конструкционные материалы, такие как бетон или сталь, выходят из строя при гораздо более низких коэффициентах растяжения.

Логарифмическая деформация [ править ]

ε Логарифмическая деформация $,$ также называемая истинной деформацией или деформацией Хенки . ^[5] Учитывая возрастающую деформацию (Людвик)

\delta \varepsilon ={\frac {\delta l}{l}}

логарифмическая деформация получается путем интегрирования этой дополнительной деформации:

{\begin{aligned}\int \delta \varepsilon &=\int _{L}^{l}{\frac {\delta l}{l}}\\\varepsilon &=\ln \left({\frac {l}{L}}\right)=\ln(\lambda )\\&=\ln(1+e)\\&=e-{\frac {e^{2}}{2}}+{\frac {e^{3}}{3}}-\cdots \end{aligned}}

где

e

— инженерная деформация. Логарифмическая деформация обеспечивает правильную меру конечной деформации, когда деформация происходит в несколько приращений, принимая во внимание влияние траектории деформации. ^[2]

Зеленый штамм [ править ]

Штамм Грина определяется как:

\varepsilon _{G}={\tfrac {1}{2}}\left({\frac {l^{2}-L^{2}}{L^{2}}}\right)={\tfrac {1}{2}}(\lambda ^{2}-1)

Альманси [editШтамм

Штамм Эйлера-Альманси определяется как

\varepsilon _{E}={\tfrac {1}{2}}\left({\frac {l^{2}-L^{2}}{l^{2}}}\right)={\tfrac {1}{2}}\left(1-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right)

Тензор деформации [ править ]

Тензор (бесконечно малых) деформаций (символ ${\boldsymbol {\varepsilon }}$ ) определяется в Международной системе величин (ISQ), более конкретно в ISO 80000-4 (Механика), как «тензорная величина, представляющая деформацию материи, вызванную напряжением. Тензор деформации симметричен и имеет три линейных деформации и три сдвига. деформационные (декартовы) компоненты». ^[6] ISO 80000-4 далее определяет линейную деформацию как «коэффициент изменения длины объекта и его длины», а деформацию сдвига как «коэффициент параллельного смещения двух поверхностей слоя и толщины слоя». ^[6]Таким образом, деформации классифицируются как нормальные или сдвиговые . Нормальная деформация перпендикулярна грани элемента, а сдвиговая деформация параллельна ей. Эти определения согласуются с определениями нормального напряжения и напряжения сдвига .

Тогда тензор деформации можно выразить через нормальные и сдвиговые компоненты следующим образом:

{\underline {\underline {\boldsymbol {\varepsilon }}}}={\begin{bmatrix}\varepsilon _{xx}&\varepsilon _{xy}&\varepsilon _{xz}\\\varepsilon _{yx}&\varepsilon _{yy}&\varepsilon _{yz}\\\varepsilon _{zx}&\varepsilon _{zy}&\varepsilon _{zz}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\varepsilon _{xx}&{\tfrac {1}{2}}\gamma _{xy}&{\tfrac {1}{2}}\gamma _{xz}\\{\tfrac {1}{2}}\gamma _{yx}&\varepsilon _{yy}&{\tfrac {1}{2}}\gamma _{yz}\\{\tfrac {1}{2}}\gamma _{zx}&{\tfrac {1}{2}}\gamma _{zy}&\varepsilon _{zz}\\\end{bmatrix}}

Геометрическая настройка [ править ]

Рассмотрим двумерный бесконечно малый прямоугольный материальный элемент с размерами $dx \times dy$ , который после деформации принимает форму ромба . Деформация описывается полем перемещений $u$ . Из геометрии соседней фигуры имеем

\mathrm {length} (AB)=dx

и

{\begin{aligned}\mathrm {length} (ab)&={\sqrt {\left(dx+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}dx\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}dx\right)^{2}}}\\&={\sqrt {dx^{2}\left(1+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}\right)^{2}+dx^{2}\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}\right)^{2}}}\\&=dx~{\sqrt {\left(1+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}\right)^{2}}}\end{aligned}}

Для очень малых градиентов смещения квадраты производной

u_{y}

и

u_{x}

пренебрежимо малы, и мы имеем

\mathrm {length} (ab)\approx dx\left(1+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}\right)=dx+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}dx

Нормальная нагрузка [ править ]

Для изотропного материала, подчиняющегося закону Гука , нормальное напряжение вызывает нормальную деформацию. Нормальные штаммы вызывают расширения .

Нормальная деформация в $направлении x$ прямоугольного элемента определяется выражением

\varepsilon _{x}={\frac {\text{extension}}{\text{original length}}}={\frac {\mathrm {length} (ab)-\mathrm {length} (AB)}{\mathrm {length} (AB)}}={\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}

Аналогично, нормальная деформация в

направлениях y

и

z

становится

\varepsilon _{y}={\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}\quad ,\qquad \varepsilon _{z}={\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}

Сдвиговая деформация [ править ]

Инженерная деформация сдвига ( $γ xy$ ) определяется как изменение угла между линиями AC и AB . Поэтому,

\gamma _{xy}=\alpha +\beta

Из геометрии фигуры имеем

{\begin{aligned}\tan \alpha &={\frac {{\tfrac {\partial u_{y}}{\partial x}}dx}{dx+{\tfrac {\partial u_{x}}{\partial x}}dx}}={\frac {\tfrac {\partial u_{y}}{\partial x}}{1+{\tfrac {\partial u_{x}}{\partial x}}}}\\\tan \beta &={\frac {{\tfrac {\partial u_{x}}{\partial y}}dy}{dy+{\tfrac {\partial u_{y}}{\partial y}}dy}}={\frac {\tfrac {\partial u_{x}}{\partial y}}{1+{\tfrac {\partial u_{y}}{\partial y}}}}\end{aligned}}

Для малых градиентов смещения имеем

{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}\ll 1~;~~{\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}\ll 1

Для малых вращений, т. е.

α

и

β

≪ 1, мы имеем

tan α \approx α

,

tan β \approx β

. Поэтому,

\alpha \approx {\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}~;~~\beta \approx {\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}

таким образом

\gamma _{xy}=\alpha +\beta ={\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}

Поменяв местами

x

и

y

,

u x

и

u y

, можно показать, что

γ xy = γ yx

.

Аналогично для $плоскостей yz$ и $xz$ имеем

\gamma _{yz}=\gamma _{zy}={\frac {\partial u_{y}}{\partial z}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial y}}\quad ,\qquad \gamma _{zx}=\gamma _{xz}={\frac {\partial u_{z}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial z}}

Объемная нагрузка [ править ]

Объемная деформация, также называемая объемной деформацией, представляет собой относительное изменение объема, возникающее в результате расширения или сжатия ; это первый инвариант деформации или след тензора:

\delta ={\frac {\Delta V}{V_{0}}}=I_{1}=\varepsilon _{11}+\varepsilon _{22}+\varepsilon _{33}

Действительно, если рассматривать куб с длиной ребра a , то после деформации (изменение углов не меняет объема) это квазикуб с размерами

a\cdot (1+\varepsilon _{11})\times a\cdot (1+\varepsilon _{22})\times a\cdot (1+\varepsilon _{33})

и V ₀ = а ³, таким образом

{\frac {\Delta V}{V_{0}}}={\frac {\left(1+\varepsilon _{11}+\varepsilon _{22}+\varepsilon _{33}+\varepsilon _{11}\cdot \varepsilon _{22}+\varepsilon _{11}\cdot \varepsilon _{33}+\varepsilon _{22}\cdot \varepsilon _{33}+\varepsilon _{11}\cdot \varepsilon _{22}\cdot \varepsilon _{33}\right)\cdot a^{3}-a^{3}}{a^{3}}}

поскольку мы рассматриваем малые деформации,

1\gg \varepsilon _{ii}\gg \varepsilon _{ii}\cdot \varepsilon _{jj}\gg \varepsilon _{11}\cdot \varepsilon _{22}\cdot \varepsilon _{33}

поэтому формула.

В случае чистого сдвига мы видим, что изменения объема нет.

Метрический тензор [ править ]

Поле деформации, связанное со смещением, определяется в любой точке изменением длины касательных векторов , представляющих скорости произвольно параметризованных кривых, проходящих через эту точку. Основной геометрический результат, полученный Фреше , фон Нейманом и Джорданом , гласит, что если длины касательных векторов удовлетворяют аксиомам нормы и закону параллелограмма , то длина вектора равна квадратному корню из значения квадратичная форма , связанная формулой поляризации с положительно определенным билинейным отображением , называемым метрическим тензором .

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Люблинер, Джейкоб (2008). Теория пластичности (PDF) (пересмотренная ред.). Дуврские публикации. ISBN 978-0-486-46290-5 . Архивировано из оригинала (PDF) 31 марта 2010 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б Рис, Дэвид (2006). Базовая инженерная пластичность: введение в инженерные и производственные приложения . Баттерворт-Хайнеманн. ISBN 0-7506-8025-3 . Архивировано из оригинала 22 декабря 2017 г.
^ «Земля». Британская энциклопедия из Британской энциклопедии, DVD Ultimate Reference Suite 2006. [2009].
^ Рис, Дэвид (2006). Базовая инженерная пластичность: введение в инженерные и производственные приложения . Баттерворт-Хайнеманн. п. 41. ИСБН 0-7506-8025-3 . Архивировано из оригинала 22 декабря 2017 г.
^ Хенки, Х. (1928). «О форме закона упругости в идеально упругих материалах». Журнал инженерной физики . 9 : 215-220.
^ Перейти обратно: ^а ^б «ИСО 80000-4:2019» . ИСО . 20 августа 2013 г. Проверено 28 августа 2023 г.

[1] Люблинер, Джейкоб (2008). Теория пластичности (PDF) (пересмотренная ред.). Дуврские публикации. ISBN 978-0-486-46290-5 . Архивировано из оригинала (PDF) 31 марта 2010 г.

[rees-2] Перейти обратно: ^а ^б Рис, Дэвид (2006). Базовая инженерная пластичность: введение в инженерные и производственные приложения . Баттерворт-Хайнеманн. ISBN 0-7506-8025-3 . Архивировано из оригинала 22 декабря 2017 г.

[3] «Земля». Британская энциклопедия из Британской энциклопедии, DVD Ultimate Reference Suite 2006. [2009].

[4] Рис, Дэвид (2006). Базовая инженерная пластичность: введение в инженерные и производственные приложения . Баттерворт-Хайнеманн. п. 41. ИСБН 0-7506-8025-3 . Архивировано из оригинала 22 декабря 2017 г.

[5] Хенки, Х. (1928). «О форме закона упругости в идеально упругих материалах». Журнал инженерной физики . 9 : 215-220.

[iso-6] Перейти обратно: ^а ^б «ИСО 80000-4:2019» . ИСО . 20 августа 2013 г. Проверено 28 августа 2023 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

Сдвиговая деформация
Общие символы	$γ$ или $ε$
И объединились	1 или радиан
Выводы из другие количества	$с = .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}т / г$