Касательный вектор

Более общую, но более техническую трактовку касательных векторов см. в разделе Касательное пространство .

В математике касательный вектор это вектор , касающийся кривой или — поверхности в данной точке. Касательные векторы описываются в дифференциальной геометрии кривых в контексте кривых в R ^н . В более общем смысле, касательные векторы — это элементы касательного пространства многообразия дифференцируемого . Касательные векторы также можно описать в терминах ростков . Формально касательный вектор в точке $x$ является линейным дифференцированием алгебры, определяемой множеством ростков в точках $x$.

Мотивация

Прежде чем перейти к общему определению касательного вектора, мы обсудим его использование в исчислении и его тензорные свойства.

Исчисление

Позволять $\mathbf {r} (t)$ быть параметрической гладкой кривой . Касательный вектор определяется выражением $\mathbf {r} '(t)$ при условии, что оно существует и предоставлено $\mathbf {r} '(t)\neq \mathbf {0}$, где мы использовали штрих вместо обычной точки для обозначения дифференцирования по параметру t . Единичный касательный вектор определяется выражением

$$\mathbf {T} (t)={\frac {\mathbf {r} '(t)}{|\mathbf {r} '(t)|}}\,.$$

Пример

Учитывая кривую

$$\mathbf {r} (t)=\left\{\left(1+t^{2},e^{2t},\cos {t}\right)\mid t\in \mathbb {R} \right\}$$

в $\mathbb {R} ^{3}$, единичный касательный вектор в точке $t=0$ дается

$$\mathbf {T} (0)={\frac {\mathbf {r} '(0)}{\|\mathbf {r} '(0)\|}}=\left.{\frac {(2t,2e^{2t},-\sin {t})}{\sqrt {4t^{2}+4e^{4t}+\sin ^{2}{t}}}}\right|_{t=0}=(0,1,0)\,.$$

Контравариантность

Если $\mathbf {r} (t)$ задается параметрически в n -мерной системе координат x ^я (здесь мы использовали верхние индексы в качестве индекса вместо обычного нижнего индекса) на $\mathbf {r} (t)=(x^{1}(t),x^{2}(t),\ldots ,x^{n}(t))$ или

$$\mathbf {r} =x^{i}=x^{i}(t),\quad a\leq t\leq b\,,$$

тогда касательное векторное поле $\mathbf {T} =T^{i}$ дается

$$T^{i}={\frac {dx^{i}}{dt}}\,.$$

При смене координат

$$u^{i}=u^{i}(x^{1},x^{2},\ldots ,x^{n}),\quad 1\leq i\leq n$$

касательный вектор ${\bar {\mathbf {T} }}={\bar {T}}^{i}$ в тебе ^я -система координат определяется выражением

$${\bar {T}}^{i}={\frac {du^{i}}{dt}}={\frac {\partial u^{i}}{\partial x^{s}}}{\frac {dx^{s}}{dt}}=T^{s}{\frac {\partial u^{i}}{\partial x^{s}}}$$

где мы использовали соглашение Эйнштейна о суммировании . Следовательно, касательный вектор гладкой кривой при замене координат преобразуется в контравариантный тензор первого порядка.

Определение

Позволять $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ — дифференцируемая функция и пусть $\mathbf {v}$ быть вектором в $\mathbb {R} ^{n}$. Определим производную по направлению в $\mathbf {v}$ направление в точке $\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}$ к

$$\nabla _{\mathbf {v} }f(\mathbf {x} )=\left.{\frac {d}{dt}}f(\mathbf {x} +t\mathbf {v} )\right|_{t=0}=\sum _{i=1}^{n}v_{i}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(\mathbf {x} )\,.$$

Касательный вектор в точке $\mathbf {x}$ затем может быть определен как

$$\mathbf {v} (f(\mathbf {x} ))\equiv (\nabla _{\mathbf {v} }(f))(\mathbf {x} )\,.$$

Свойства

Позволять $f,g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ — дифференцируемые функции, пусть $\mathbf {v} ,\mathbf {w}$ быть касательными векторами в $\mathbb {R} ^{n}$ в $\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}$, и пусть $a,b\in \mathbb {R}$. Затем

1. $(a\mathbf {v} +b\mathbf {w} )(f)=a\mathbf {v} (f)+b\mathbf {w} (f)$
2. $\mathbf {v} (af+bg)=a\mathbf {v} (f)+b\mathbf {v} (g)$
3. $\mathbf {v} (fg)=f(\mathbf {x} )\mathbf {v} (g)+g(\mathbf {x} )\mathbf {v} (f)\,.$

Касательный вектор на многообразиях

Позволять $M$ — дифференцируемое многообразие и пусть $A(M)$ — алгебра вещественнозначных дифференцируемых функций на $M$. Тогда касательный вектор к $M$ в какой-то момент $x$ в многообразии дается выводом $D_{v}:A(M)\rightarrow \mathbb {R}$ которая должна быть линейной, т. е. для любого $f,g\in A(M)$ и $a,b\in \mathbb {R}$ у нас есть

$D_{v}(af+bg)=aD_{v}(f)+bD_{v}(g)\,.$

Обратите внимание, что вывод по определению будет обладать свойством Лейбница.

$D_{v}(f\cdot g)(x)=D_{v}(f)(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot D_{v}(g)(x)\,.$

См. также

• Дифференцируемая кривая § Касательный вектор
• Дифференцируемая поверхность § Касательная плоскость и вектор нормали

Библиография

• Грей, Альфред (1993), Современная дифференциальная геометрия кривых и поверхностей , Бока-Ратон: CRC Press .
• Стюарт, Джеймс (2001), Исчисление: концепции и контексты , Австралия: Томсон/Брукс/Коул .
• Кей, Дэвид (1988), Очерк теории и проблем тензорного исчисления Шаумса , Нью-Йорк: McGraw-Hill .