Вывод (дифференциальная алгебра)

В математике дифференцирование — это функция алгебры , которая обобщает некоторые особенности оператора производной . В частности, для данной алгебры A над кольцом или полем K - дифференцирование K представляет собой K - линейное отображение D : A → A , которое удовлетворяет закону Лейбница :

$D(ab)=aD(b)+D(a)b.$

В более общем смысле, если M является A - бимодулем , K -линейное отображение D : A → M , удовлетворяющее закону Лейбница, также называется дифференцированием. Совокупность всех K -дифференцирований A в себя обозначается Der _K ( A ). Совокупность K -дифференцирований A в A -модуль M обозначается Der _K ( A , M ) .

Выводы происходят во многих различных контекстах в различных областях математики. Частная производная по переменной является R -дифференцированием на алгебре вещественнозначных дифференцируемых функций на R. ^н . по Производная Ли векторному полю — это R -дифференцирование алгебры дифференцируемых функций на дифференцируемом многообразии ; в более общем смысле это вывод тензорной алгебры многообразия. Отсюда следует, что присоединенное представление алгебры Ли является дифференцированием на этой алгебре. Производная Пинчерле является примером вывода в абстрактной алгебре . Если алгебра A некоммутативна, то коммутатор относительно элемента алгебры A линейный эндоморфизм A K на себя, который является дифференцированием над определяет . То есть,

$[FG,N]=[F,N]G+F[G,N],$

где $[\cdot ,N]$ является коммутатором относительно $N$. Алгебра A, снабженная выделенным выводом d, образует дифференциальную алгебру и сама является важным объектом исследования в таких областях, как дифференциальная теория Галуа .

Свойства

Если A — K -алгебра, K — кольцо и D : A → A — K -дифференцирование, то

• Если A имеет единицу 1, то D (1) = D (1 ² ) = 2 D (1), так что D (1) = 0. Таким образом, в силу K -линейности D ( k ) = 0 для всех k ∈ K .
• Если A коммутативен, D ( x ² ) = xD ( x ) + D ( x ) x знак равно 2 xD ( x ) и D ( x ^н ) = nx ^{п -1} D ( x ) по правилу Лейбница.
• В более общем смысле, для любых x ₁ , x ₂ , …, x _n ∈ A следует, по индукции что

  $D(x_{1}x_{2}\cdots x_{n})=\sum _{i}x_{1}\cdots x_{i-1}D(x_{i})x_{i+1}\cdots x_{n}$

который ${\textstyle \sum _{i}D(x_{i})\prod _{j\neq i}x_{j}}$ если для i всех D ( xi _с ) коммутирует $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{i-1}$.

• При n > 1 D ^н не является выводом, а удовлетворяет правилу Лейбница более высокого порядка:

$D^{n}(uv)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\cdot D^{n-k}(u)\cdot D^{k}(v).$

Более того, если M — A -бимодуль, напишем

$\operatorname {Der} _{K}(A,M)$

для множества K -дифференцирований от A до M .

• Der _K ( A , M ) — модуль над K. ​
• Der _K ( A ) — алгебра Ли со скобкой Ли, определяемой коммутатором :

$[D_{1},D_{2}]=D_{1}\circ D_{2}-D_{2}\circ D_{1}.$

поскольку легко проверить, что коммутатор двух дифференцирований снова является дифференцированием.

• Существует A -модуль Ω _{A / K} (называемый дифференциалами Кэлера ) с K -дифференцированием d : A → Ω _{A / K} , через который действует любое D : A → M. дифференцирование То есть для любого вывода D существует отображение A -модуля φ с

$D:A{\stackrel {d}{\longrightarrow }}\Omega _{A/K}{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}M$

Переписка $D\leftrightarrow \varphi$ является изоморфизмом A -модулей:

$\operatorname {Der} _{K}(A,M)\simeq \operatorname {Hom} _{A}(\Omega _{A/K},M)$

• Если k ⊂ K — подкольцо , то A наследует структуру k -алгебры, поэтому существует включение

$\operatorname {Der} _{K}(A,M)\subset \operatorname {Der} _{k}(A,M),$

поскольку любое K является -дифференцирование заведомо k - дифференцированием.

Градуированные производные

Даны градуированная алгебра A и однородное линейное отображение D степени | Д | на A , D является однородным дифференцированием , если

${D(ab)=D(a)b+\varepsilon ^{|a||D|}aD(b)}$

для каждого однородного элемента a и каждого элемента b из A для коммутаторного фактора ε = ±1 . Градуированный вывод — это сумма однородных выводов с одинаковым ε .

Если ε = 1 , это определение сводится к обычному случаю. Однако если ε = −1 , то

${D(ab)=D(a)b+(-1)^{|a|}aD(b)}$

для нечетных | D |, а D называется антивыводом .

Примеры антидериваций включают внешнюю производную и внутреннее произведение, действующее на дифференциальные формы .

Градуированные дифференцирования супералгебр (т.е. Z ₂ -градуированные алгебры) часто называют супердифференцированиями .

Связанные понятия

Дифференцирования Хассе–Шмидта являются K гомоморфизмами -алгебр.

$A\to A[[t]].$

Дальнейшее составление с помощью карты, которая отправляет формальный степенной ряд. $\sum a_{n}t^{n}$ к коэффициенту $a_{1}$ дает вывод.

См. также

• В дифференциальной геометрии выводы представляют собой касательные векторы.
• Дифференциал Кэлера
• Производная Хассе
• р -вывод
• Производные Виртингера
• Производная экспоненциальной карты

Ссылки

• Бурбаки, Николя (1989), Алгебра I , Элементы математики, Springer-Verlag, ISBN  3-540-64243-9 .
• Эйзенбуд, Дэвид (1999), Коммутативная алгебра с точки зрения алгебраической геометрии (3-е изд.), Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-94269-8 .
• Мацумура, Хидеюки (1970), Коммутативная алгебра , серия лекций по математике, WA Бенджамин, ISBN  978-0-8053-7025-6 .
• Коларж, Иван; Словак, Ян; Михор, Питер В. (1993), Естественные операции в дифференциальной геометрии , Springer-Verlag .