р -вывод

В математике , точнее, в дифференциальной алгебре , p -дифференцирование (для p — простое число ) на кольце R — это отображение R в R , которое удовлетворяет определенным условиям, изложенным непосредственно ниже. Понятие p -дифференцирования связано с понятием дифференцирования в дифференциальной алгебре.

Определение

Пусть p — простое число. p или производное Buium на -производное кольце $R$ это карта $\delta :R\to R$ который удовлетворяет следующему « правилу продукта »:

$\delta _{p}(ab)=\delta _{p}(a)b^{p}+a^{p}\delta _{p}(b)+p\delta _{p}(a)\delta _{p}(b)$

и «правило сумм»:

$\delta _{p}(a+b)=\delta _{p}(a)+\delta _{p}(b)+{\frac {a^{p}+b^{p}-(a+b)^{p}}{p}},$

а также

$\delta _{p}(1)=0.$

Обратите внимание, что в «правиле сумм» мы на самом деле не делим на p , поскольку все соответствующие биномиальные коэффициенты в числителе делятся на p , поэтому это определение применимо в случае, когда $R$ имеет p - кручение .

с

Карта $\sigma :R\to R$ является лифтом эндоморфизма Фробениуса при условии, что $\sigma (x)=x^{p}{\pmod {pR}}$. Примером такого подъема может служить карта Артина .

Если $(R,\delta )$ является кольцом с p -дифференцированием, то отображение $\sigma (x):=x^{p}+p\delta (x)$ определяет кольцевой эндоморфизм , который является подъемом эндоморфизма Фробениуса. Когда кольцо R не содержит p -кручения , соответствие является биекцией .

Примеры

• Для $R=\mathbb {Z}$ уникальный p -вывод - это отображение

$\delta (x)={\frac {x-x^{p}}{p}}.$

Фактор четко определен благодаря малой теореме Ферма .

• Если R — любое кольцо без p -кручения и $\sigma :R\to R$ является лифтом эндоморфизма Фробениуса, то

$\delta (x)={\frac {\sigma (x)-x^{p}}{p}}$

определяет p -вывод.

См. также

• Вектор Витта
• Арифметическая производная
• Вывод
• Сколько остановок?

Ссылки

• Буйум, Алекс (1989), Арифметические дифференциальные уравнения , Математические обзоры и монографии, Springer-Verlag, ISBN  0-8218-3862-8 .

Внешние ссылки

• Проект Евклид