Сколько остановок?

В теории чисел целого частное Ферма числа a по нечетному простому числу p определяется как ^[1]^[2]^[3]^[4]

q_{p}(a)={\frac {a^{p-1}-1}{p}},

или

\delta _{p}(a)={\frac {a-a^{p}}{p}}

.

Эта статья о первом; для последнего см. p -вывод . Частное названо в честь Пьера де Ферма .

Если основание a взаимно просто с показателем p, то маленькая теорема Ферма гласит, что q _p ( a ) будет целым числом. основание a также является генератором мультипликативной группы целых чисел по модулю p , то qp _Если ( a ) будет циклическим числом , а p будет полным повторным простым числом .

Характеристики

Из определения очевидно, что

{\begin{aligned}q_{p}(1)&\equiv 0&&{\pmod {p}}\\q_{p}(-a)&\equiv q_{p}(a)&&{\pmod {p}}\quad ({\text{since }}2\mid p-1)\end{aligned}}

В 1850 году Готхольд Эйзенштейн доказал , что если a и b взаимно просты с p , то: ^[5]

{\begin{aligned}q_{p}(ab)&\equiv q_{p}(a)+q_{p}(b)&&{\pmod {p}}\\q_{p}(a^{r})&\equiv rq_{p}(a)&&{\pmod {p}}\\q_{p}(p\mp a)&\equiv q_{p}(a)\pm {\tfrac {1}{a}}&&{\pmod {p}}\\q_{p}(p\mp 1)&\equiv \pm 1&&{\pmod {p}}\end{aligned}}

Эйзенштейн сравнил первые два из этих сравнений со свойствами логарифмов . Эти свойства подразумевают

{\begin{aligned}q_{p}\!\left({\tfrac {1}{a}}\right)&\equiv -q_{p}(a)&&{\pmod {p}}\\q_{p}\!\left({\tfrac {a}{b}}\right)&\equiv q_{p}(a)-q_{p}(b)&&{\pmod {p}}\end{aligned}}

В 1895 году Дмитрий Мириманов отметил, что повторение правил Эйзенштейна дает следующее следствие : ^[6]

q_{p}(a+np)\equiv q_{p}(a)-n\cdot {\tfrac {1}{a}}{\pmod {p}}.

Отсюда следует, что: ^[7]

q_{p}(a+np^{2})\equiv q_{p}(a){\pmod {p}}.

Формула Лерха

М. Лерх доказал в 1905 г., что ^[8]^[9]^[10]

\sum _{j=1}^{p-1}q_{p}(j)\equiv W_{p}{\pmod {p}}.

Здесь $W_{p}$ – это коэффициент Вильсона .

Особые значения

Эйзенштейн обнаружил, что частное Ферма с основанием 2 может быть выражено через сумму обратных величин по модулю p чисел, лежащих в первой половине диапазона {1, ..., p - 1}:

-2q_{p}(2)\equiv \sum _{k=1}^{\frac {p-1}{2}}{\frac {1}{k}}{\pmod {p}}.

Более поздние авторы показали, что количество членов, необходимых в таком представлении, можно сократить с 1/2 до 1/4, 1/5 или даже 1/6:

-3q_{p}(2)\equiv \sum _{k=1}^{\lfloor {\frac {p}{4}}\rfloor }{\frac {1}{k}}{\pmod {p}}.

^[11]

4q_{p}(2)\equiv \sum _{k=\lfloor {\frac {p}{10}}\rfloor +1}^{\lfloor {\frac {2p}{10}}\rfloor }{\frac {1}{k}}+\sum _{k=\lfloor {\frac {3p}{10}}\rfloor +1}^{\lfloor {\frac {4p}{10}}\rfloor }{\frac {1}{k}}{\pmod {p}}.

^[12]

2q_{p}(2)\equiv \sum _{k=\lfloor {\frac {p}{6}}\rfloor +1}^{\lfloor {\frac {p}{3}}\rfloor }{\frac {1}{k}}{\pmod {p}}.

^[13]^[14]

Ряд Эйзенштейна также имеет все более сложную связь с факторами Ферма с другими основаниями, первые несколько примеров:

-3q_{p}(3)\equiv 2\sum _{k=1}^{\lfloor {\frac {p}{3}}\rfloor }{\frac {1}{k}}{\pmod {p}}.

^[15]

-5q_{p}(5)\equiv 4\sum _{k=1}^{\lfloor {\frac {p}{5}}\rfloor }{\frac {1}{k}}+2\sum _{k=\lfloor {\frac {p}{5}}\rfloor +1}^{\lfloor {\frac {2p}{5}}\rfloor }{\frac {1}{k}}{\pmod {p}}.

^[16]

Обобщенные простые числа Вифериха

Если qp _то ( a ) ≡ 0 (mod p ), a ^{р -1} ≡ 1 (против p ²). Простые числа, для которых это верно при a = 2, называются простыми числами Вифериха . Обычно их называют простыми числами Вифериха по основанию a. Известные решения q _p ( a ) ≡ 0 (mod p ) для малых значений a : ^[2]

а	п (проверено до 5×10 ¹³)	OEIS Последовательность
1	2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ... (все простые числа)	А000040
2	1093, 3511	А001220
3	11, 1006003	А014127
4	1093, 3511
5	2, 20771, 40487, 53471161, 1645333507, 6692367337, 188748146801	А123692
6	66161, 534851, 3152573	А212583
7	5, 491531	А123693
8	3, 1093, 3511
9	2, 11, 1006003
10	3, 487, 56598313	А045616
11	71
12	2693, 123653	А111027
13	2, 863, 1747591	А128667
14	29, 353, 7596952219	А234810
15	29131, 119327070011	А242741
16	1093, 3511
17	2, 3, 46021, 48947, 478225523351	А128668
18	5, 7, 37, 331, 33923, 1284043	А244260
19	3, 7, 13, 43, 137, 63061489	А090968
20	281, 46457, 9377747, 122959073	А242982
21	2
22	13, 673, 1595813, 492366587, 9809862296159	А298951
23	13, 2481757, 13703077, 15546404183, 2549536629329	А128669
24	5, 25633
25	2, 20771, 40487, 53471161, 1645333507, 6692367337, 188748146801
26	3, 5, 71, 486999673, 6695256707
27	11, 1006003
28	3, 19, 23
29	2
30	7, 160541, 94727075783

Для получения дополнительной информации см. ^[17]^[18]^[19] и. ^[20]

Наименьшие решения q _p ( a ) ≡ 0 (mod p ) с a = n :

2, 1093, 11, 1093, 2, 66161, 5, 3, 2, 3, 71, 2693, 2, 29, 29131, 1093, 2, 5, 3, 281, 2, 13, 13, 5, 2, 3, 11, 3, 2, 7, 7, 5, 2, 46145917691, 3, 66161, 2, 17, 8039, 11, 2, 23, 5, 3, 2, 3, ... (последовательность A039951 в ОЭИС )

Пара ( p , r ) простых чисел такая, что qp _{) ,} ( r ) ≡ 0 (mod p ) и qr ₍ ) p ≡ 0 (mod r называется парой Вифериха .

Ссылки

^ Вайсштейн, Эрик В. «Коэффициент Ферма» . Математический мир .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б «Основной глоссарий: коэффициент Ферма» . t5k.org . Проверено 16 марта 2024 г.
^ Пауло Рибенбойм , 13 лекций по Великой теореме Ферма (1979), особенно стр. 152, 159-161.
^ Пауло Рибенбойм , Мои числа, мои друзья: популярные лекции по теории чисел (2000), с. 216.
^ Готхольд Эйзенштейн , «Новый род теоретико-числовых функций, которые зависят от двух элементов и определяются некоторыми линейными функциональными уравнениями», отчет о переговорах Королевской конференции, пригодный для публикации. Пруссия. Академия наук в Берлине 1850, 36-42.
^ Дмитрий Мириманов , "Sur la congruence ( r ^{п - 1} − 1): p = q _r (mod p ), « Журнал чистой и прикладной математики 115 (1895): 295–300».
^ Пол Бахманн , Теория нижних чисел , 2 тома. (Лейпциг, 1902 г.), 1:159.
^ Лерх, Матиас (1905). «К теории фактора Ферма ${\frac {a^{p-1}-1}{p}}=q(a)$ ". Математические Анналы . 60 : 471–490. doi : 10.1007/bf01561092 . hdl : 10338.dmlcz/120531 . S2CID 123353041 .
^ Сондоу, Джонатан (2014). «Факторы Лерха, простые числа Лерха, коэффициенты Ферма-Вильсона и простые числа Вифериха-не-Вильсона 2, 3, 14771». arXiv : 1110.3113 [ math.NT ].
^ Сондоу, Джонатан; Макмиллан, Кирен (2011). «Сокращение уравнения Эрдеша-Мозера $1^{n}+2^{n}+\cdots +k^{n}=(k+1)^{n}$ модуль $k$ и $k^{2}$ " .arXiv : 1011.2154 [ math.NT ].
^ Джеймс Уитбред Ли Глейшер , «Об остатках г ^{п - 1} к модулю p ², п ³и т. д.», Ежеквартальный журнал чистой и прикладной математики 32 (1901): 1–27.
^ Ладислав Скула , «Заметка о некоторых отношениях между специальными суммами обратных величин по модулю p », Mathematica Slovaca 58 (2008): 5-10.
^ Эмма Лемер, «О сравнениях с участием чисел Бернулли и частных Ферма и Вильсона», Annals of Mathematics 39 (1938): 350–360, стр. 356 и далее.
^ Карл Дилчер и Ладислав Скула , «Новый критерий для первого случая Великой теоремы Ферма», Mathematics of Computing 64 (1995): 363-392.
^ Джеймс Уитбред Ли Глейшер , «Общая теорема сравнения, относящаяся к функции Бернулли», Труды Лондонского математического общества 33 (1900–1901): 27–56, стр. 49–50.
^ Матиас Лерх , «К теории фактора Ферма…», Mathematical Annals 60 (1905): 471-490.
^ Виферих простые числа по основаниям до 1052.
^ «Wieferich.txt преобразуется в основания до 10125» . Архивировано из оригинала 29 июля 2014 г. Проверено 22 июля 2014 г.
^ Простое число Вифериха в простых основаниях до 1000. Архивировано 9 августа 2014 г. в Wayback Machine.
^ Простые числа Вифериха с уровнем >= 3

Внешние ссылки

Готфрид Хелмс. Коэффициенты Ферма/Эйлера ( a ^{р -1} – 1)/ п ^к с произвольным k .
Ричард Фишер. Факторы Ферма B^(P-1) == 1 (mod P^2) .

[1] Вайсштейн, Эрик В. «Коэффициент Ферма» . Математический мир .

[pg-2] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б «Основной глоссарий: коэффициент Ферма» . t5k.org . Проверено 16 марта 2024 г.

[3] Пауло Рибенбойм , 13 лекций по Великой теореме Ферма (1979), особенно стр. 152, 159-161.

[4] Пауло Рибенбойм , Мои числа, мои друзья: популярные лекции по теории чисел (2000), с. 216.

[5] Готхольд Эйзенштейн , «Новый род теоретико-числовых функций, которые зависят от двух элементов и определяются некоторыми линейными функциональными уравнениями», отчет о переговорах Королевской конференции, пригодный для публикации. Пруссия. Академия наук в Берлине 1850, 36-42.

[6] Дмитрий Мириманов , "Sur la congruence ( r ^{п - 1} − 1): p = q _r (mod p ), « Журнал чистой и прикладной математики 115 (1895): 295–300».

[7] Пол Бахманн , Теория нижних чисел , 2 тома. (Лейпциг, 1902 г.), 1:159.

[Lerch-8] Лерх, Матиас (1905). «К теории фактора Ферма ${\frac {a^{p-1}-1}{p}}=q(a)$ ". Математические Анналы . 60 : 471–490. doi : 10.1007/bf01561092 . hdl : 10338.dmlcz/120531 . S2CID 123353041 .

[Sondow-9] Сондоу, Джонатан (2014). «Факторы Лерха, простые числа Лерха, коэффициенты Ферма-Вильсона и простые числа Вифериха-не-Вильсона 2, 3, 14771». arXiv : 1110.3113 [ math.NT ].

[SondowMacMillan-10] Сондоу, Джонатан; Макмиллан, Кирен (2011). «Сокращение уравнения Эрдеша-Мозера $1^{n}+2^{n}+\cdots +k^{n}=(k+1)^{n}$ модуль $k$ и $k^{2}$ " .arXiv : 1011.2154 [ math.NT ].

[11] Джеймс Уитбред Ли Глейшер , «Об остатках г ^{п - 1} к модулю p ², п ³и т. д.», Ежеквартальный журнал чистой и прикладной математики 32 (1901): 1–27.

[12] Ладислав Скула , «Заметка о некоторых отношениях между специальными суммами обратных величин по модулю p », Mathematica Slovaca 58 (2008): 5-10.

[13] Эмма Лемер, «О сравнениях с участием чисел Бернулли и частных Ферма и Вильсона», Annals of Mathematics 39 (1938): 350–360, стр. 356 и далее.

[14] Карл Дилчер и Ладислав Скула , «Новый критерий для первого случая Великой теоремы Ферма», Mathematics of Computing 64 (1995): 363-392.

[15] Джеймс Уитбред Ли Глейшер , «Общая теорема сравнения, относящаяся к функции Бернулли», Труды Лондонского математического общества 33 (1900–1901): 27–56, стр. 49–50.

[16] Матиас Лерх , «К теории фактора Ферма…», Mathematical Annals 60 (1905): 471-490.

[17] Виферих простые числа по основаниям до 1052.

[18] «Wieferich.txt преобразуется в основания до 10125» . Архивировано из оригинала 29 июля 2014 г. Проверено 22 июля 2014 г.

[19] Простое число Вифериха в простых основаниях до 1000. Архивировано 9 августа 2014 г. в Wayback Machine.

[20] Простые числа Вифериха с уровнем >= 3

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]