пара Виферих
В математике пара Вифериха — это пара простых чисел p и q, удовлетворяющих условиям
- п д - 1 ≡ 1 ( mod q 2 ) и q п - 1 ≡ 1 (против p 2 )
Пары Вифериха названы в честь немецкого математика Артура Вифериха .Пары Вифериха играют важную роль в Преды Михайлеску в 2002 году. доказательстве [1] теоремы Михайлеску (ранее известной как гипотеза Каталана). [2]
пары Известные Вифериха
Известно всего 7 пар Вифериха: [3] [4]
- (2, 1093), (3, 1006003), (5, 1645333507), (5, 188748146801), (83, 4871), (911, 318917) и (2903, 18787). (последовательность OEIS : A124121 и OEIS : A124122 в OEIS )
Тройка Вифериха [ править ]
Тройка Вифериха — это тройка простых чисел p , q и r, удовлетворяющих условиям
- п д - 1 ≡ 1 (против q 2 ), q р - 1 ≡ 1 (против r 2 ), и р п - 1 ≡ 1 (против p 2 ).
Известно 17 троек Вифериха:
- (2, 1093, 5), (2, 3511, 73), (3, 11, 71), (3, 1006003, 3188089), (5, 20771, 18043), (5, 20771, 950507), (5 , 53471161, 193), (5, 6692367337, 1601), (5, 6692367337, 1699), (5, 188748146801, 8807), (13, 863, 23), (17, 478225523351, 2311), (41, 138200401 , 2953), (83, 13691, 821), (199, 1843757, 2251), (431, 2393, 54787) и (1657, 2281, 1667). (последовательности OEIS : A253683 , OEIS : A253684 и OEIS : A253685 в OEIS )
Баркера Последовательность
Последовательность Баркера или Вифериха n -кортеж является обобщением пары Вифериха и тройки Вифериха. Это простые числа ( p 1 , p 2 , p 3 , ..., p n ) такие, что
- п 1 п 2 - 1 ≡ 1 (против p 2 2 ), п 2 р3 − 1 ≡ 1 (по модулю p 3 2 ), стр 3 п 4 - 1 ≡ 1 (по модулю p 4 2 ), ..., p n −1 п п - 1 ≡ 1 (mod p n 2 ), п н п 1 - 1 ≡ 1 (против p 1 2 ). [5]
Например, (3, 11, 71, 331, 359) представляет собой последовательность Баркера или пятикортеж Вифериха; (5, 188748146801, 453029, 53, 97, 76704103313, 4794006457, 12197, 3049, 41) представляет собой последовательность Баркера или 10-кортеж Вифериха.
Для наименьшего n -кортежа Вифериха см. OEIS : A271100 , для упорядоченного набора всех кортежей Вифериха см. OEIS : A317721 .
Последовательность Вифериха [ править ]
Последовательность Вифериха представляет собой особый тип последовательности Баркера. Каждому целому числу k >1 соответствует своя последовательность Вифериха. Чтобы составить последовательность Вифериха целого числа k > 1, начните с a(1)= k , a( n ) = наименьшее простое число p такое, что a( n -1) р -1 = 1 (mod p ), но a( n -1) ≠ 1 или -1 (mod p ). Это гипотеза о том, что каждое целое число k > 1 имеет периодическую последовательность Вифериха. Например, последовательность Вифериха 2:
- 2, 1093, 5, 20771, 18043, 5, 20771, 18043, 5, ..., получается цикл: {5, 20771, 18043}. (тройка Вифериха)
Последовательность Вифериха 83:
- 83, 4871, 83, 4871, 83, 4871, 83, ..., получается цикл: {83, 4871}. (пара Виферихов)
Последовательность Вифериха из 59: (для периодичности этой последовательности требуется больше членов)
- 59, 2777, 133287067, 13, 863, 7, 5, 20771, 18043, 5, ... тоже получается 5.
Однако существует множество значений a(1) с неизвестным статусом. Например, последовательность Вифериха из 3:
- 3, 11, 71, 47, ? (Простые числа Вифериха по основанию 47 неизвестны).
Последовательность Вифериха из 14:
- 14, 29, ? (Нет известных простых чисел Вифериха по основанию 29, кроме 2, но 2 2 = 4 делит 29 - 1 = 28)
Последовательность Вифериха из 39:
- 39, 8039, 617, 101, 1050139, 29, ? (Он также получает 29)
Неизвестно, существуют ли значения k такие, что последовательность Вифериха k не становится периодической. В конце концов, неизвестно, существуют ли значения k такие, что последовательность Вифериха k конечна.
Когда a( n - 1)= k , a( n ) будет (начиная с k = 2): 1093, 11, 1093, 20771, 66161, 5, 1093, 11, 487, 71, 2693, 863, 29, 29131, 1093, 46021, 5, 7, 281, ?, 13, 13, 25633, 20771, 71, 11, 19, ?, 7, 7, 5, 233, 46145917691, 1613, 66161, 77867, 17, 8039, 11, 29, 23, 5, 229, 1283, 829, ?, 257, 491531, ?, ... (Для k = 21, 29, 47, 50 даже следующее значение неизвестно)
См. также [ править ]
Ссылки [ править ]
- ^ Преда Михайлеску (2004). «Первичные циклотомные единицы и доказательство гипотезы Каталана». Дж. Рейн Анжью. Математика. 2004 (572): 167–195. дои : 10.1515/crll.2004.048 . МР 2076124 .
- ^ Жанин Даемс Циклотомное доказательство гипотезы Каталана .
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Двойная простая пара Вифериха» . Математический мир .
- ^ OEIS : A124121 . Например, в настоящее время известны две пары двойных простых чисел Вифериха (p, q) с q = 5: (1645333507, 5) и (188748146801, 5).
- ^ Список всех известных последовательностей Баркера
Дальнейшее чтение [ править ]
- Билу, Юрий Ф. (2004). «Гипотеза Каталонца (по Михайлеску)». Звездочка . 294 : VII, 1–26. Збл 1094.11014 .
- Эрнвалль, Рейхо; Мецянкюля, Тауно (1997). «О р -делимости частных Ферма» . Математика. Комп. 66 (219): 1353–1365. Бибкод : 1997MaCom..66.1353E . дои : 10.1090/S0025-5718-97-00843-0 . МР 1408373 . Збл 0903.11002 .
- Штайнер, Рэй (1998). «Границы числа классов и уравнение Каталана» . Математика. Комп . 67 (223): 1317–1322. Бибкод : 1998MaCom..67.1317S . дои : 10.1090/S0025-5718-98-00966-1 . МР 1468945 . Збл 0897.11009 .