Полный отчет премиум

В теории чисел , полное повторяющееся простое число полное повторяющееся простое число , правильное простое число. или длинное простое число по основанию b — это нечетное простое число p такое, что частное Ферма

$q_{p}(b)={\frac {b^{p-1}-1}{p}}$

(где p не делит b ) дает циклическое число . Следовательно, по основанию b разложение $1/p$ повторяет цифры соответствующего циклического числа бесконечно, как и $a/p$ с вращением цифр для любого a между 1 и p - 1. Циклическое число, соответствующее простому числу p, будет содержать p - 1 цифр тогда и только тогда, когда p является полным повторным простым числом. То есть мультипликативный порядок ord _p   b = p − 1, что эквивалентно тому, что b является примитивным корнем по модулю p .

Термин «длинное простое число» использовали Джон Конвей и Ричард Гай в своей «Книге чисел » . Как ни странно, Слоана OEIS . называет эти простые числа «циклическими числами»

База 10

Можно предположить, что основание 10, если основание не указано, и в этом случае расширение числа называется повторяющейся десятичной дробью . В системе счисления 10, если полное повторенное простое число заканчивается цифрой 1, то каждая цифра 0, 1, ..., 9 появляется в повторении такое же количество раз, как и каждая другая цифра. (О таких простых числах в базе 10 см. OEIS : A073761 .) Фактически, в базе b , если полное повторенное простое число заканчивается цифрой 1, то каждая цифра 0, 1, ..., b − 1 появляется в повторении. столько же раз, сколько и каждая другая цифра, но такого простого числа не существует, когда b = 12, поскольку каждое полное повторяющееся простое число в базе 12 заканчивается цифрой 5 или 7 в той же базе. Обычно такого простого числа не существует, если 0 или b конгруэнтно 1 по модулю 4.

Значения p, для которых эта формула выдает циклические числа в десятичном виде:

7 , 17 , 19 , 23 , 29 , 47 , 59 , 61 , 97 , 109 , 113 , 131 , 149 , 167 , 179 , 181 , 193 , 223 , 229 , 233 , 257 , 263 , 269 , 313 , 337, 367, 379, 383, 389, 419, 433, 461, 487, 491, 499, 503, 509, 541, 571, 577, 593, 619, 647, 659, 701, 709, 727, 743, 811, 1, 823, 857, 863, 887, 937, 941, 953, 971, 977, 983, 1019, 1021, 1033, 1051... (последовательность A001913 в OEIS )

Например, случай b = 10, p = 7 дает циклическое число 142857 ; таким образом, 7 — полное повторное простое число.

Случай b = 10, p = 17 дает циклическое число 0588235294117647 (16 цифр); таким образом, 17 — полное повторное простое число.

Случай b = 10, p = 19 дает циклическое число 052631578947368421 (18 цифр); таким образом, 19 — полное повторное простое число.

Не все значения p дадут циклическое число с использованием этой формулы; например, p = 13 дает 076923 076923, , а p = 31 дает 032258064516129 032258064516129. Подобные неудачные случаи всегда будут содержать повторение цифр (возможно, нескольких) на протяжении p - 1 цифр.

Известная закономерность этой последовательности исходит из теории алгебраических чисел , в частности, эта последовательность представляет собой набор простых чисел p таких, что 10 является примитивным корнем по модулю p . Гипотеза Артина о примитивных корнях состоит в том, что эта последовательность содержит 37,395...% простых чисел.

появления полных повторяющихся

Расширенная модульная арифметика может показать что любое простое число следующих форм:

1. 40 тыс. + 1
2. 40 тысяч + 3
3. 40 тысяч + 9
4. 40 тыс. + 13
5. 40 тыс. + 27
6. 40 тыс. + 31
7. 40 тыс. + 37
8. 40 тыс. + 39

может никогда не быть полным повторяющимся простым числом по основанию 10. Первые простые числа этих форм с их периодами:

40 тыс. + 1	40 тысяч + 3	40 тысяч + 9	40 тыс. + 13	40 тыс. + 27	40 тыс. + 31	40 тыс. + 37	40 тыс. + 39
41 период 5	3 период 1	89 период 44	13 период 6	67 период 33	31 период 15	37 период 3	79 период 13
241 период 30	43 период 21	409 период 204	53 период 13	107 период 53	71 период 35	157 период 78	199 период 99
281 период 28	83 период 41	449 период 32	173 период 43	227 период 113	151 период 75	197 период 98	239 период 7
401 период 200	163 период 81	569 период 284	293 период 146	307 период 153	191 период 95	277 период 69	359 период 179
521 период 52	283 период 141	769 период 192	373 период 186	347 период 173	271 период 5	317 период 79	439 период 219
601 период 300	443 период 221	809 период 202	613 период 51	467 период 233	311 период 155	397 период 99	479 период 239
641 период 32	523 период 261	929 период 464	653 период 326	547 период 91	431 период 215	557 период 278	599 период 299

Однако исследования показывают, что две трети простых чисел вида 40 k + n , где n ∈ {7, 11, 17, 19, 21, 23, 29, 33}, являются полными повторяющимися простыми числами. Для некоторых последовательностей преобладание полных повторяющихся простых чисел намного больше. Например, 285 из 295 простых чисел формы 120 k + 23 ниже 100 000 являются простыми числами с полным повторением, причем 20903 является первым простым числом, которое не является полным повторением.

Премии за полный бинарный отчет

В базе 2 полные повторяющиеся простые числа: (менее 1000)

3, 5, 11, 13, 19, 29, 37, 53, 59, 61, 67, 83, 101, 107, 131, 139, 149, 163, 173, 179, 181, 197, 211, 227, 269, 293, 317, 347, 349, 373, 379, 389, 419, 421, 443, 461, 467, 491, 509, 523, 541, 547, 557, 563, 587, 613, 619, 653, 659, 1, 677, 701, 709, 757, 773, 787, 797, 821, 827, 829, 853, 859, 877, 883, 907, 941, 947, ... (последовательность A001122 в OEIS )

Для этих простых чисел 2 является примитивным корнем по модулю p , поэтому 2 ^н по модулю p может быть любым натуральным числом от 1 до p - 1.

$a(i)=2^{i}{\bmod {p}}{\bmod {2}}.$

Эти последовательности периода p - 1 имеют автокорреляционную функцию с отрицательным пиком -1 для сдвига $(p-1)/2$. Случайность этих последовательностей была проверена с помощью жестких тестов .

Все они имеют вид 8k + 3 или 8k + 5, потому что если p = 8k + 1 или 8k + 7, то 2 — квадратичный вычет по модулю p , поэтому p делит $2^{(p-1)/2}-1$, и период $1/p$ по основанию 2 надо разделить $(p-1)/2$ и не могут быть p − 1, поэтому они не являются полными простыми числами по основанию 2.

Кроме того, все безопасные простые числа, конгруэнтные 3 по модулю 8, являются полными повторяющимися простыми числами по основанию 2. Например, 3, 11, 59, 83, 107, 179, 227, 347, 467, 563, 587, 1019, 1187, 1283, 1307. , 1523, 1619, 1907 и т. д. (менее 2000 г.).

Двоичные полные повторяющиеся простые последовательности (также называемые десятичными последовательностями максимальной длины) нашли применение в криптографии и кодировании с коррекцией ошибок . В этих приложениях обычно используются повторяющиеся десятичные дроби по основанию 2, что приводит к образованию двоичных последовательностей. Максимальная длина двоичной последовательности для $1/p$ (когда 2 является примитивным корнем p ) определяется как:

Ниже приводится список периодов (в двоичном формате) для простых чисел, соответствующих 1 или 7 (по модулю 8): (менее 1000).

8 тыс. + 1	17	41	73	89	97	113	137	193	233	241	257	281	313	337	353	401	409	433	449	457	521	569
период	8	20	9	11	48	28	68	96	29	24	16	70	156	21	88	200	204	72	224	76	260	284
8 тыс. + 1	577	593	601	617	641	673	761	769	809	857	881	929	937	953	977	1009	1033	1049	1097	1129	1153	1193
период	144	148	25	154	64	48	380	384	404	428	55	464	117	68	488	504	258	262	274	564	288	298
8 тыс. + 7	7	23	31	47	71	79	103	127	151	167	191	199	223	239	263	271	311	359	367	383	431	439
период	3	11	5	23	35	39	51	7	15	83	95	99	37	119	131	135	155	179	183	191	43	73
8 тыс. + 7	463	479	487	503	599	607	631	647	719	727	743	751	823	839	863	887	911	919	967	983	991	1031
период	231	239	243	251	299	303	45	323	359	121	371	375	411	419	431	443	91	153	483	491	495	515

Ни одно из них не является двоичным полным повторяющимся простым числом.

Двоичный период n -го простого числа равен

2, 4, 3, 10, 12, 8, 18, 11, 28, 5, 36, 20, 14, 23, 52, 58, 60, 66, 35, 9, 39, 82, 11, 48, 100, 51, 106, 36, 28, 7, 130, 68, 138, 148, 15, 52, 162, 83, 172, 178, 180, 95, 96, 196, 99, 210, 37, 226, 76, 29, 119, 24, 50, 16, 131, 268, 135, 92, 70, 94, 292, 102, 155, 156, 316, 30, 21, 346, 348, 88, 179, 183, 372, 378, 191, 388, 44, 200, 204... (эта последовательность начинается с n = 2 или простого числа = 3) (последовательность A014664 в OEIS )

Уровень двоичного периода n -го простого числа равен

1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 6, 1, 2, 3, 2, 1, 1, 1, 1, 2, 8, 2, 1, 8, 2, 1, 2, 1, 3, 4, 18, 1, 2, 1, 1, 10, 3, 1, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 6, 1, 3, 8, 2, 10, 5, 16, 2, 1, 2, 3, 4, 3, 1, 3, 2, 2, 1, 11, 16, 1, 1, 4, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 9, 2, 2, 1, 1, 10, 6, 6, 1, 2, 6, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 3, 2, 1, 2, 1, 1, .. .(последовательность A001917 в OEIS )

Однако исследования показывают, что три четверти простых чисел вида 8 k + n , где n ∈ {3, 5}, являются полными повторяющимися простыми числами по основанию 2 (например, существует 87 простых чисел ниже 1000, соответствующих 3 или 5 по модулю 8). , причем 67 из них являются полноправными по базе 2, всего 77%). Для некоторых последовательностей преобладание полных повторяющихся простых чисел намного больше. Например, 1078 из 1206 простых чисел формы 24 k + 5 ниже 100 000 являются полными повторяющимися простыми числами по основанию 2, причем 1013 является первым, которое не является полным повторением по основанию 2. Кроме того, все простые числа формы 4 p + 1 для p — простое число, являются простыми числами с полным повторением по основанию 2.

n -ый уровень reptend prime

Повторяющееся простое число n -го уровня — это простое число p, имеющее n различных циклов в разложениях ${\frac {k}{p}}$ ( k — целое число , 1 ≤ k ≤ p −1). В базе 10 наименьшее простое число повторений n -го уровня равно

7, 3, 103, 53, 11, 79, 211, 41, 73, 281, 353, 37, 2393, 449, 3061, 1889, 137, 2467, 16189, 641, 3109, 4973, 11087, 1321, 1 01, 7151,7669,757,38629,1231,49663,12289,859,239,27581,9613,18131,13757,33931,9161,118901,6763,18233,1409,8 8741, 4003, 5171, 19489, 86143, 23201, ... (последовательность A054471 в OEIS )

В базе 2 наименьшее простое число повторений n -го уровня равно

3, 7, 43, 113, 251, 31, 1163, 73, 397, 151, 331, 1753, 4421, 631, 3061, 257, 1429, 127, 6043, 3121, 29611, 1321, 18539, 60 1, 15451, 14327, 2971, 2857, 72269, 3391, 683, 2593, 17029, 2687, 42701, 11161, 13099, 1103, 71293, 13121, 17467, 2143, 83077, 25609 , 5581, 5153, 26227, 2113, 51941, 2351, ... (последовательность A101208 в OEIS )

н	Премии за возврат n -го уровня (в десятичном формате)	OEIS Последовательность
1	7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109, 113, 131, 149, 167, 179, 181, 193, 223, 229, 233, 257, 263, 269, 313, 337, 367, 379, 383, 389, 419, 433, 461, 487, 491, 499, 503, 509, 541, 571, 577, 593, ...	А001913 ( А006883 )
2	3, 13, 31, 43, 67, 71, 83, 89, 107, 151, 157, 163, 191, 197, 199, 227, 283, 293, 307, 311, 347, 359, 373, 401, 409, 431, 439, 443, 467, 479, 523, 557, 563, 569, 587, 599, ...	А097443
3	103, 127, 139, 331, 349, 421, 457, 463, 607, 661, 673, 691, 739, 829, 967, 1657, 1669, 1699, 1753, 1993, 2011, 2131, 2287, 2647, 2659, 2749, 2953, 3217, 3229, 3583, 3691, 3697, 3739, 3793, 3823, 3931, ...	А055628
4	53, 173, 277, 317, 397, 769, 773, 797, 809, 853, 1009, 1013, 1093, 1493, 1613, 1637, 1693, 1721, 2129, 2213, 2333, 2477, 2521, 2557, 2729, 2797, 2837, 3329, 3373, 3517, 3637, 3733, 3797, 3853, 3877, ...	А056157
5	11, 251, 1061, 1451, 1901, 1931, 2381, 3181, 3491, 3851, 4621, 4861, 5261, 6101, 6491, 6581, 6781, 7331, 8101, 9941, 10331, 10771, 11251, 11261, 11411, 12301, 14051, 14221, 14411, ...	А056210
6	79, 547, 643, 751, 907, 997, 1201, 1213, 1237, 1249, 1483, 1489, 1627, 1723, 1747, 1831, 1879, 1987, 2053, 2551, 2683, 3049, 3253, 3319, 3613, 3919, 4159, 4507, 4519, 4801, 4813, 4831, 4969, ...	А056211
7	211, 617, 1499, 2087, 2857, 6007, 6469, 7127, 7211, 7589, 9661, 10193, 13259, 13553, 14771, 18047, 18257, 19937, 20903, 21379, 23549, 26153, 27259, 27539, 32299, 33181, 33461, 34847, 35491, 35897, ...	А056212
8	41, 241, 1601, 1609, 2441, 2969, 3041, 3449, 3929, 4001, 4409, 5009, 6089, 6521, 6841, 8161, 8329, 8609, 9001, 9041, 9929, 13001, 13241, 14081, 14929, 16001, 16481, 17489, 17881, 18121, 19001, ...	А056213
9	73, 1423, 1459, 2377, 2503, 3457, 7741, 9433, 10891, 10909, 16057, 17299, 17623, 20269, 21313, 22699, 24103, 26263, 28621, 28927, 29629, 30817, 32257, 34273, 34327, ...	А056214
10	281, 521, 1031, 1951, 2281, 2311, 2591, 3671, 5471, 5711, 6791, 7481, 8111, 8681, 8761, 9281, 9551, 10601, 11321, 12401, 13151, 13591, 14831, 14951, 15671, 16111, 16361, 18671, ...	А056215
н	простые числа повторов n -го уровня (в двоичном формате)	OEIS Последовательность
1	3, 5, 11, 13, 19, 29, 37, 53, 59, 61, 67, 83, 101, 107, 131, 139, 149, 163, 173, 179, 181, 197, 211, 227, 269, 293, 317, 347, 349, 373, 379, 389, 419, 421, 443, 461, 467, 491, 509, 523, 541, 547, 557, 563, 587, ...	А001122
2	7, 17, 23, 41, 47, 71, 79, 97, 103, 137, 167, 191, 193, 199, 239, 263, 271, 311, 313, 359, 367, 383, 401, 409, 449, 463, 479, 487, 503, 521, 569, 599, 607, 647, 719, 743, 751, 761, 769, ...	А115591
3	43, 109, 157, 229, 277, 283, 307, 499, 643, 691, 733, 739, 811, 997, 1021, 1051, 1069, 1093, 1459, 1579, 1597, 1627, 1699, 1723, 1789, 1933, 2179, 2203, 2251, 2341, 2347, 2749, 2917, ...	А001133
4	113, 281, 353, 577, 593, 617, 1033, 1049, 1097, 1153, 1193, 1201, 1481, 1601, 1889, 2129, 2273, 2393, 2473, 3049, 3089, 3137, 3217, 3313, 3529, 3673, 3833, 4001, 4217, 4289, 4457, 4801, 4817, 4937, ...	А001134
5	251, 571, 971, 1181, 1811, 2011, 2381, 2411, 3221, 3251, 3301, 3821, 4211, 4861, 4931, 5021, 5381, 5861, 6221, 6571, 6581, 8461, 8501, 9091, 9461, 10061, 10211, 10781, 11251, 11701, 11941, 12541, ...	А001135
6	31, 223, 433, 439, 457, 727, 919, 1327, 1399, 1423, 1471, 1831, 1999, 2017, 2287, 2383, 2671, 2767, 2791, 2953, 3271, 3343, 3457, 3463, 3607, 3631, 3823, 3889, 4129, 4423, 4519, 4567, 4663, 4729, 4759, ...	А001136
7	1163, 1709, 2003, 3109, 3389, 3739, 5237, 5531, 5867, 7309, 9157, 9829, 10627, 10739, 11117, 11243, 11299, 11411, 11467, 13259, 18803, 20147, 20483, 21323, 21757, 27749, 27763, 29947, ...	А152307
8	73, 89, 233, 937, 1217, 1249, 1289, 1433, 1553, 1609, 1721, 1913, 2441, 2969, 3257, 3449, 4049, 4201, 4273, 4297, 4409, 4481, 4993, 5081, 5297, 5689, 6089, 6449, 6481, 6689, 6857, 7121, 7529, 7993, ...	А152308
9	397, 7867, 10243, 10333, 12853, 13789, 14149, 14293, 14563, 15643, 17659, 18379, 18541, 21277, 21997, 23059, 23203, 26731, 27739, 29179, 29683, 31771, 34147, 35461, 35803, 36541, 37747, 39979, ...	А152309
10	151, 241, 431, 641, 911, 3881, 4751, 4871, 5441, 5471, 5641, 5711, 6791, 6871, 8831, 9041, 9431, 10711, 12721, 13751, 14071, 14431, 14591, 15551, 16631, 16871, 17231, 17681, 17791, 18401, 19031, 19471, ...	А152310

Полные процентные премии в различных базах

Артин также предположил :

• существует бесконечно много полноценных простых чисел Во всех основаниях, кроме квадратных, .
• Полноправные простые числа по всем основаниям, кроме совершенных степеней и чисел, бесквадратная часть которых равна 1 по модулю 4, составляют 37,395...% всех простых чисел. (См. OEIS : A085397 )

База	Премиум отчет	OEIS Последовательность
−30	7, 41, 61, 83, 89, 107, 109, 127, 139, 173, 193, 197, 211, 227, 239, 281, 293, 311, 317, 331, 347, 349, 359, ...	А105902
−29	2, 17, 23, 41, 59, 71, 73, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 113, 137, 139, 167, 179, 199, 223, 227, 229, 239, 269, ...	А105901
−28	3, 5, 13, 17, 19, 31, 41, 47, 59, 73, 83, 89, 101, 103, 131, 139, 167, 173, 181, 227, 229, 251, 257, 269, 283, ...	А105900
−27	2, 5, 11, 17, 23, 29, 47, 53, 59, 71, 83, 89, 101, 107, 113, 131, 137, 149, 167, 173, 179, 191, 197, 227, 233, ...	А105875
−26	11, 23, 29, 41, 53, 59, 61, 67, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 127, 137, 157, 163, 173, 191, 193, 199, 227, 263, ...	А105898
−25	2, 3, 7, 11, 19, 23, 43, 47, 59, 79, 83, 103, 107, 131, 139, 151, 167, 179, 223, 227, 239, 263, 283, 307, 311, ...	А105897
−24	13, 17, 19, 37, 41, 43, 47, 71, 89, 109, 113, 137, 139, 157, 163, 167, 181, 191, 211, 229, 233, 257, 263, 277, ...	А105896
−23	2, 5, 7, 17, 19, 43, 67, 83, 89, 97, 107, 113, 137, 149, 181, 191, 199, 227, 229, 251, 263, 281, 283, 293, 337, ...	А105895
−22	3, 5, 17, 37, 41, 53, 59, 151, 167, 179, 193, 233, 251, 263, 269, 271, 281, 317, 337, 359, 379, 389, 397, 409, ...	А105894
−21	2, 29, 47, 53, 59, 67, 83, 97, 113, 127, 131, 137, 149, 151, 157, 167, 181, 197, 227, 233, 251, 281, 311, 313, ...	А105893
−20	11, 13, 17, 31, 37, 53, 59, 73, 79, 113, 131, 137, 139, 157, 173, 179, 191, 199, 211, 233, 239, 257, 271, 277, ...	А105892
−19	2, 3, 13, 29, 31, 37, 41, 53, 59, 67, 71, 79, 89, 103, 107, 113, 167, 173, 179, 193, 223, 227, 257, 269, 281, ...	А105891
−18	5, 7, 23, 29, 31, 37, 47, 53, 61, 71, 101, 103, 109, 127, 149, 151, 157, 167, 173, 181, 191, 197, 223, 239, ...	А105890
−17	2, 5, 19, 37, 41, 43, 47, 59, 61, 67, 83, 97, 103, 113, 127, 151, 173, 179, 191, 193, 197, 233, 239, 251, 263, ...	А105889
−16	3, 7, 11, 19, 23, 47, 59, 67, 71, 79, 83, 103, 107, 131, 139, 163, 167, 179, 191, 199, 211, 227, 239, 263, 271, ...	А105876
−15	2, 11, 13, 29, 37, 41, 43, 59, 71, 73, 89, 97, 101, 103, 127, 131, 149, 157, 163, 179, 191, 193, 239, 251, 269, ...	А105887
−14	11, 17, 29, 31, 43, 47, 53, 73, 89, 97, 107, 109, 149, 163, 167, 179, 199, 241, 257, 271, 277, 311, 313, 317, ...	А105886
−13	2, 3, 5, 23, 37, 41, 43, 73, 79, 89, 97, 107, 109, 127, 131, 137, 139, 149, 179, 191, 197, 199, 241, 251, 263, ...	А105885
−12	5, 17, 23, 41, 47, 53, 59, 71, 83, 101, 107, 113, 131, 137, 149, 167, 173, 179, 191, 197, 227, 239, 251, 257, ...	А105884
−11	2, 7, 13, 17, 29, 41, 73, 79, 83, 101, 107, 109, 127, 131, 139, 149, 151, 167, 173, 197, 227, 233, 239, 263, ...	А105883
−10	3, 17, 29, 31, 43, 61, 67, 71, 83, 97, 107, 109, 113, 149, 151, 163, 181, 191, 193, 199, 227, 229, 233, 257, ...	А007348
−9	2, 7, 11, 19, 23, 31, 43, 47, 59, 71, 79, 83, 107, 127, 131, 139, 163, 167, 179, 191, 199, 211, 223, 227, 239, ...	А105881
−8	5, 23, 29, 47, 53, 71, 101, 149, 167, 173, 191, 197, 239, 263, 269, 293, 311, 317, 359, 383, 389, 461, 479, ...	А105880
−7	2, 3, 5, 13, 17, 31, 41, 47, 59, 61, 83, 89, 97, 101, 103, 131, 139, 167, 173, 199, 227, 229, 241, 251, 257, ...	А105879
−6	13, 17, 19, 23, 41, 47, 61, 67, 71, 89, 109, 113, 137, 157, 167, 211, 229, 233, 257, 263, 277, 283, 331, 359, ...	А105878
−5	2, 11, 17, 19, 37, 53, 59, 73, 79, 97, 113, 131, 137, 139, 151, 157, 173, 179, 193, 197, 233, 239, 257, 277, ...	А105877
−4	3, 7, 11, 19, 23, 47, 59, 67, 71, 79, 83, 103, 107, 131, 139, 163, 167, 179, 191, 199, 211, 227, 239, 263, 271, ...	А105876
−3	2, 5, 11, 17, 23, 29, 47, 53, 59, 71, 83, 89, 101, 107, 113, 131, 137, 149, 167, 173, 179, 191, 197, 227, 233, ...	А105875
−2	5, 7, 13, 23, 29, 37, 47, 53, 61, 71, 79, 101, 103, 149, 167, 173, 181, 191, 197, 199, 239, 263, 269, 271, 293, ...	А105874
2	3, 5, 11, 13, 19, 29, 37, 53, 59, 61, 67, 83, 101, 107, 131, 139, 149, 163, 173, 179, 181, 197, 211, 227, 269, ...	А001122
3	2, 5, 7, 17, 19, 29, 31, 43, 53, 79, 89, 101, 113, 127, 137, 139, 149, 163, 173, 197, 199, 211, 223, 233, 257, ...	А019334
4	(никто)
5	2, 3, 7, 17, 23, 37, 43, 47, 53, 73, 83, 97, 103, 107, 113, 137, 157, 167, 173, 193, 197, 223, 227, 233, 257, ...	А019335
6	11, 13, 17, 41, 59, 61, 79, 83, 89, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 151, 157, 179, 199, 223, 227, 229, 233, ...	А019336
7	2, 5, 11, 13, 17, 23, 41, 61, 67, 71, 79, 89, 97, 101, 107, 127, 151, 163, 173, 179, 211, 229, 239, 241, 257, ...	А019337
8	3, 5, 11, 29, 53, 59, 83, 101, 107, 131, 149, 173, 179, 197, 227, 269, 293, 317, 347, 389, 419, 443, 461, 467, ...	А019338
9	2 (других нет)
10	7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109, 113, 131, 149, 167, 179, 181, 193, 223, 229, 233, 257, 263, 269, 313, ...	А001913
11	2, 3, 13, 17, 23, 29, 31, 41, 47, 59, 67, 71, 73, 101, 103, 109, 149, 163, 173, 179, 197, 223, 233, 251, 277, ...	А019339
12	5, 7, 17, 31, 41, 43, 53, 67, 101, 103, 113, 127, 137, 139, 149, 151, 163, 173, 197, 223, 257, 269, 281, 283, ...	А019340
13	2, 5, 11, 19, 31, 37, 41, 47, 59, 67, 71, 73, 83, 89, 97, 109, 137, 149, 151, 167, 197, 227, 239, 241, 281, 293, ...	А019341
14	3, 17, 19, 23, 29, 53, 59, 73, 83, 89, 97, 109, 127, 131, 149, 151, 227, 239, 241, 251, 257, 263, 277, 283, 307, ...	А019342
15	2, 13, 19, 23, 29, 37, 41, 47, 73, 83, 89, 97, 101, 107, 139, 149, 151, 157, 167, 193, 199, 227, 263, 269, 271, ...	А019343
16	(никто)
17	2, 3, 5, 7, 11, 23, 31, 37, 41, 61, 97, 107, 113, 131, 139, 167, 173, 193, 197, 211, 227, 233, 269, 277, 283, ...	А019344
18	5, 11, 29, 37, 43, 53, 59, 61, 67, 83, 101, 107, 109, 139, 149, 157, 163, 173, 179, 181, 197, 227, 251, 269, ...	А019345
19	2, 7, 11, 13, 23, 29, 37, 41, 43, 47, 53, 83, 89, 113, 139, 163, 173, 191, 193, 239, 251, 257, 263, 269, 281, ...	А019346
20	3, 13, 17, 23, 37, 43, 47, 53, 67, 73, 83, 103, 107, 113, 137, 157, 163, 167, 173, 223, 227, 233, 257, 263, 277, ...	А019347
21	2, 19, 23, 29, 31, 53, 71, 97, 103, 107, 113, 137, 139, 149, 157, 179, 181, 191, 197, 223, 233, 239, 263, 271, ...	А019348
22	5, 17, 19, 31, 37, 41, 47, 53, 71, 83, 107, 131, 139, 191, 193, 199, 211, 223, 227, 233, 269, 281, 283, 307, ...	А019349
23	2, 3, 5, 17, 47, 59, 89, 97, 113, 127, 131, 137, 149, 167, 179, 181, 223, 229, 281, 293, 307, 311, 337, 347, ...	А019350
24	7, 11, 13, 17, 31, 37, 41, 59, 83, 89, 107, 109, 113, 137, 157, 179, 181, 223, 227, 229, 233, 251, 257, 277, ...	А019351
25	2 (других нет)
26	3, 7, 29, 41, 43, 47, 53, 61, 73, 89, 97, 101, 107, 131, 137, 139, 157, 167, 173, 179, 193, 239, 251, 269, 271, ...	А019352
27	2, 5, 17, 29, 53, 89, 101, 113, 137, 149, 173, 197, 233, 257, 269, 281, 293, 317, 353, 389, 401, 449, 461, 509, ...	А019353
28	5, 11, 13, 17, 23, 41, 43, 67, 71, 73, 79, 89, 101, 107, 173, 179, 181, 191, 229, 257, 263, 269, 293, 313, 331, ...	А019354
29	2, 3, 11, 17, 19, 41, 43, 47, 73, 79, 89, 97, 101, 113, 127, 131, 137, 163, 191, 211, 229, 251, 263, 269, 293, ...	А019355
30	11, 23, 41, 43, 47, 59, 61, 79, 89, 109, 131, 151, 167, 173, 179, 193, 197, 199, 251, 263, 281, 293, 307, 317, ...	А019356

Наименьшие простые числа с полным рептендом по основанию n :

2, 3, 2, 0, 2, 11, 2, 3, 2, 7, 2, 5, 2, 3, 2, 0, 2, 5, 2, 3, 2, 5, 2, 7, 2, 3, 2, 5, 2, 11, 2, 3, 2, 19, 2, 0, 2, 3, 2, 7, 2, 5, 2, 3, 2, 11, 2, 5, 2, 3, 2, 5, 2, 7, 2, 3, 2, 5, 2, 19, 2, 3, 2, 0, 2, 7, 2, 3, 2, 19, 2, 5, 2, 3, 2, 13, 2, 5, 2, 3, 2, 5, 2, 11, 2, 3, 2, 5, 2, 11, 2, 3, 2, 7, 2, 7, 2, 3, 2, 0, ... (последовательность A056619 в OEIS )

См. также

• Повторяющаяся десятичная дробь

Ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Константа Артина» . Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. «Полный Рептенд Прайм» . Математический мир .
• Конвей, Дж. Х. и Гай, Р. К. Книга чисел. Нью-Йорк: Springer-Verlag, 1996.
• Фрэнсис, Ричард Л.; «Математические стога сена: еще один взгляд на числа повторения»; в журнале College Mathematics Journal , Vol. 19, № 3. (май 1988 г.), стр. 240–246.