Перестановочное простое число
| Предполагаемый нет. терминов | бесконечный |
|---|---|
| Первые сроки | 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 31, 37, 71, 73, 79, 97, 113, 131, 199 |
| Самый большой известный термин | (10 8177207 -1)/9 |
| ОЭИС Индекс |
|
, Перестановочное простое число также известное как анаграмматическое простое число , представляет собой простое число , которое в заданной базе может менять позиции своих цифр посредством любой перестановки и при этом оставаться простым числом. Х.Э. Ришерт , который предположительно первым изучил эти простые числа, назвал их перестановочными простыми числами, [1] но позже их стали называть также абсолютными простыми числами . [2]
База 2
В системе счисления 2 перестановочными простыми числами могут быть только повторные единицы, поскольку любой 0, переставленный на единицу, дает четное число. Следовательно, перестановочные простые числа по основанию 2 являются простыми числами Мерсенна . Можно смело сделать обобщение, что для любой позиционной системы счисления перестановочные простые числа с более чем одной цифрой могут иметь только цифры, которые взаимно просты с основанием системы счисления. Однозначные простые числа, то есть любое простое число ниже основания системы счисления, всегда тривиально перестановочны.
База 10
В системе счисления 10 известны все перестановочные простые числа с числом менее 49 081 цифры.
- 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 31 , 37 , 71 , 73 , 79 , 97 , 113 , 131 , 199 , 311, 337, 373, 733, 919, 991, R 19 (111111111 1111111111), R 23 , R 317 , R 1031 , R 49081 , ... (последовательность A003459 в OEIS )
Из вышеперечисленного существует 16 уникальных наборов перестановок с наименьшими элементами.
- 2, 3, 5, 7, R 2 , 13, 17, 37, 79, 113, 199, 337, R 19 , R 23 , R 317 , R 1031 , ... (последовательность A258706 в OEIS )
Примечание R n := — reunit — число, состоящее только из n единиц (по основанию 10 ). Любое простое число с повторением является перестановочным простым числом согласно приведенному выше определению, но для некоторых определений требуется как минимум две различные цифры. [3]
Все перестановочные простые числа, состоящие из двух или более цифр, состоят из цифр 1, 3, 7, 9, поскольку ни одно простое число, кроме 2, не является четным, и ни одно простое число, кроме 5, не делится на 5. Доказано. [4] что не существует перестановочного простого числа, которое содержит три разные из четырех цифр 1, 3, 7, 9, а также что не существует перестановочного простого числа, состоящего из двух или более каждых двух цифр, выбранных из 1, 3, 7, 9.
Не существует n -значного перестановочного простого числа для 3 < n < 6·10. 175 что не является повторением. [1] Предполагается , что не существует неповторяющихся перестановочных простых чисел, кроме восемнадцати, перечисленных выше. Их можно разделить на семь наборов перестановок:
- {13, 31}, {17, 71}, {37, 73}, {79, 97}, {113, 131, 311}, {199, 919, 991}, {337, 373, 733}.
База 12
В системе счисления 12 известны наименьшие элементы уникальных наборов перестановок перестановочных простых чисел с числом менее 9739 цифр (с использованием перевернутых двойки и тройки для десяти и одиннадцати соответственно).
- 2, 3, 5, 7, E, R 2 , 15, 57, 5E, R 3 , 117, 11E, 555E, R 5 , R 17 , R 81 , R 91 , R 225 , R 255 , R 4ᘔ5 , . ..
Не существует n -значного перестановочного простого числа по основанию 12 для 4 < n < 12. 144 что не является повторением. Предполагается, что не существует неповторяющихся перестановочных простых чисел по основанию 12, кроме перечисленных выше.
В системе счисления 10 и 12 каждое перестановочное простое число представляет собой повторную единицу или почти повторную цифру, то есть это перестановка целого числа. P ( b , n , x , y ) = xxxx ... xxxy b ( n цифр, в базе b )где x и y — цифры, взаимно простые с b . Кроме того, x и y также должны быть взаимно простыми (поскольку, если существует простое число p делит и x , и y , то p также делит число), поэтому, если x = y , то x = y = 1. (Это неверно в все базы, но исключения редки и могут быть конечными в любой данной базе (единственные исключения ниже 10); 9 по основаниям до 20: 139 11 , 36A 11 , 247 13 , 78A 13 , 29E 19 (М. Фиорентини, 2015).)
Произвольные базы
 |
Пусть P(b, n, x, y) — перестановочное простое число в базе b, и пусть p — такое простое число, что n ≥ p . Если b является примитивным корнем p и p или не делит x | x - y |, то n кратно p - 1. (Поскольку b является примитивным корнем по модулю p , а p не делит | x - y |, p нумерует xxxx ... xxxy , xxxx ... xxyx , xxxx ... xyxx , ..., xxxx ... xyxx ... xxxx (только b р -2 цифра — y , все остальные — x ), xxxx ... yxxx ... xxxx (только b р -1 цифра — y , все остальные — x ), xxxx … xxxx ( повторяющаяся цифра с n x s) mod p — все разные. То есть одно равно 0, другое 1, третье 2, ..., третье p − 1. Таким образом, поскольку все первые p − 1 чисел являются простыми, последнее число (повторяющаяся цифра с n x s) должно делиться на p . Поскольку p не делит x , p должен разделить reunit на n единиц. Поскольку b — примитивный корень mod p , мультипликативный порядок n mod p равен p − 1. Таким образом, n должно делиться на p − 1.)
Таким образом, если b = 10, цифры, взаимно простые с 10, равны {1, 3, 7, 9}. Поскольку 10 является первообразным корнем по модулю 7, то если n ≥ 7, то либо 7 делит x (в данном случае x = 7, поскольку x ∈ {1, 3, 7, 9}), либо | х - у | (в данном случае x = y = 1, поскольку x , y ∈ {1, 3, 7, 9}. То есть простое число является повторением) или n кратно 7 − 1 = 6. Аналогично, поскольку 10 является примитивным корнем по модулю 17, поэтому, если n ≥ 17, то либо 17 делит x (невозможно, поскольку x ∈ {1, 3, 7, 9}), либо | х - у | (в данном случае x = y = 1, поскольку x , y ∈ {1, 3, 7, 9}. То есть простое число является повторением) или n кратно 17 − 1 = 16. Кроме того, 10 также является примитивным корнем по модулю 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109, 113, 131, 149, 167, 179, 181, 193, ..., поэтому n ≥ 17 совершенно невозможно (поскольку для это простое число p , если n ≥ p , то n делится на p − 1), а если 7 ≤ n < 17, то x = 7 или n делится на 6 (единственное возможное n - 12). Если b = 12, цифры, взаимно простые с 12, равны {1, 5, 7, 11}. Поскольку 12 является примитивным корнем по модулю 5, то если n ≥ 5, то либо 5 делит x (в данном случае, x = 5, так как x ∈ {1, 5, 7, 11}) или | х - у | (в данном случае либо x = y = 1 (т.е. простое число является повторением), либо x = 1, y = 11, либо x = 11, y = 1, поскольку x , y ∈ {1, 5, 7, 11}.) или n кратно 5 − 1 = 4. Аналогично, поскольку 12 является примитивным корнем по модулю 7, то если n ≥ 7, то либо 7 делит x (в данном случае x = 7, поскольку x ∈ {1, 5, 7, 11}) или | х - у | (в данном случае x = y = 1, поскольку x , y ∈ {1, 5, 7, 11}. То есть простое число является повторением) или n кратно 7 − 1 = 6. Аналогично, поскольку 12 является примитивным корнем по модулю 17, поэтому, если n ≥ 17, то либо 17 делит x (невозможно, поскольку x ∈ {1, 5, 7, 11}), либо | х - у | (в данном случае x = y = 1, так как x , y ∈ {1, 5, 7, 11}. То есть простое число является повторением) или n кратно 17 − 1 = 16. Кроме того, 12 также является примитивным корнем mod 31, 41, 43, 53, 67, 101, 103, 113, 127, 137, 139, 149, 151, 163, 173, 197, ..., поэтому n ≥ 17 очень невозможно ( поскольку для этих простых чисел p , если n ≥ p , то n делится на p − 1), а если 7 ≤ n < 17, то x = 7 (в данном случае, поскольку 5 не делит x или x − y , поэтому n должно делиться на 4) или n делится на 6 (единственное возможное n — 12).
Ссылки
- ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б Рихерт, Ханс-Эгон (1951). «О перестановочных простых числах». Норвежский математический журнал . 33 : 50–54. Збл 0054.02305 .
- ^ Бхаргава, Теннесси; Дойл, PH (1974). «О существовании абсолютных простых чисел». Математика. Маг . 47 (4): 233. дои : 10.1080/0025570X.1974.11976408 . Збл 0293.10006 .
- ^ Крис Колдуэлл, The Prime Glossary: изменяемое простое число на The Prime Pages .
- ^ А. В. Джонсон, «Абсолютные простые числа», Mathematics Magazine 50 (1977), 100–103.