целое число Эйзенштейна

В математике ( целые числа Эйзенштейна названные в честь Готхольда Эйзенштейна ), иногда также известные ^[1] как эйлеровы целые числа (в честь Леонарда Эйлера ) — комплексные числа вида

z=a+b\omega ,

где $a$ и $b$ — целые числа , а

\omega ={\frac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}=e^{i2\pi /3}

является примитивным (следовательно, нереальным) кубическим корнем из единицы .

Целые числа Эйзенштейна образуют треугольную решетку в комплексной плоскости , в отличие от целых чисел Гаусса , которые образуют квадратную решетку в комплексной плоскости. Целые числа Эйзенштейна представляют собой счетное бесконечное множество .

Свойства [ править ]

Целые числа Эйзенштейна образуют коммутативное кольцо целых алгебраических чисел в поле алгебраических чисел $Q (ω)$ – третьем круговом поле . Чтобы увидеть, что целые числа Эйзенштейна являются целыми алгебраическими числами, обратите внимание, что каждый $z = a + bω$ является корнем монического многочлена.

z^{2}-(2a-b)\;\!z+\left(a^{2}-ab+b^{2}\right)~.

В частности, $ω$ удовлетворяет уравнению

\omega ^{2}+\omega +1=0~.

Произведение двух целых чисел Эйзенштейна $a + bω$ и $c + dω$ явно определяется выражением

(a+b\;\!\omega )\;\!(c+d\;\!\omega )=(ac-bd)+(bc+ad-bd)\;\!\omega ~.

2-норма целого числа Эйзенштейна — это просто его квадрат модуля и определяется выражением

{\left|a+b\;\!\omega \right|}^{2}\,=\,{(a-{\tfrac {1}{2}}b)}^{2}+{\tfrac {3}{4}}b^{2}\,=\,a^{2}-ab+b^{2}~,

которое, очевидно, является положительным обычным (рациональным) целым числом.

Кроме того, комплексно-сопряженное число ω $удовлетворяет$ условию

{\bar {\omega }}=\omega ^{2}~.

Группа единиц в этом кольце представляет собой циклическую группу, образованную корнями шестой степени из единицы в комплексной плоскости: ${\pm1, \pm ω, \pm ω 2}$ , целые числа Эйзенштейна нормы $1$ .

Евклидова область [ править ]

Кольцо целых чисел Эйзенштейна образует евклидову область , норма которой $N$ задается квадратным модулем, как указано выше:

N(a+b\,\omega )=a^{2}-ab+b^{2}.

Алгоритм деления , примененный к любому делимому $α$ и делителю $β \neq 0$ , дает частное $κ$ и остаток $ρ,$ меньший, чем делитель, удовлетворяя:

\alpha =\kappa \beta +\rho \ \ {\text{  with  }}\ \ N(\rho )<N(\beta ).

Здесь $α$ , $β$ , $κ$ , $ρ$ — целые числа Эйзенштейна. Этот алгоритм подразумевает алгоритм Евклида , который доказывает лемму Евклида и уникальную факторизацию целых чисел Эйзенштейна в простые числа Эйзенштейна.

Алгоритм одного деления следующий. Сначала выполните деление в области комплексных чисел и запишите частное через $ω$ :

{\frac {\alpha }{\beta }}\ =\ {\tfrac {1}{\ |\beta |^{2}}}\alpha {\overline {\beta }}\ =\ a+bi\ =\ a+{\tfrac {1}{\sqrt {3}}}b+{\tfrac {2}{\sqrt {3}}}b\omega ,

для $a, b \in Q.$ рациональных Затем получите целочисленное частное Эйзенштейна, округлив рациональные коэффициенты до ближайшего целого числа:

\kappa =\left\lfloor a+{\tfrac {1}{\sqrt {3}}}b\right\rceil +\left\lfloor {\tfrac {2}{\sqrt {3}}}b\right\rceil \omega \ \ {\text{ and }}\ \ \rho ={\alpha }-\kappa \beta .

Здесь $\lfloor x\rceil$ может обозначать любую из стандартных функций округления до целого числа.

Причина, по которой это удовлетворяет $N (ρ) < N (β)$ , в то время как аналогичная процедура не работает для большинства других квадратичных целочисленных колец, заключается в следующем. Фундаментальной областью идеала $Z [ω] β = Zβ вершинами + Zωβ ωβ$ ромб 60°–120° с $0$ , $β$ , $ωβ$ , $β +, действующего сдвигами на комплексной плоскости, является$ . Любое целое число Эйзенштейна $α$ лежит внутри одного из сдвигов этого параллелограмма, а частное $κ$ является одной из его вершин. Остаток — это квадрат расстояния от $α$ до этой вершины, но максимально возможное расстояние в нашем алгоритме составляет всего лишь ${\tfrac {\sqrt {3}}{2}}|\beta |$ , так $|\rho |\leq {\tfrac {\sqrt {3}}{2}}|\beta |<|\beta |$ . (Размер $ρ$ можно немного уменьшить, приняв $за κ$ ближайший угол.)

Простые числа Эйзенштейна [ править ]

Малые простые числа Эйзенштейна. Те, что на зеленой оси, связаны с натуральным простым числом формы $3 n + 2$ . Все остальные имеют абсолютное значение, равное 3 или квадратному корню из натурального простого числа вида $3 n + 1$ .

Если $x$ и $y$ — целые числа Эйзенштейна, мы говорим, что $x$ делит $y,$ если существует некоторое целое число Эйзенштейна $z$ такое, что $y = zx$ . Неединичное целое число Эйзенштейна $x$ называется простым числом Эйзенштейна, если его единственные неединичные делители имеют форму $ux$ , где $u$ — любая из шести единиц. Они соответствуют понятию гауссовых простых чисел в гауссовских целых числах.

Существует два типа простых чисел Эйзенштейна.

обычное простое число (или рациональное простое число ), соответствующее $2 по модулю 3,$ также является простым числом Эйзенштейна.
$3$ и каждое рациональное простое число, конгруэнтное $1 по модулю 3,$ равны норме $x 2 - ху + у 2$ целого числа Эйзентайна $x + ωy$ . Таким образом, такое простое число можно разложить на множители как $(x + ωy)(x + ω 2 y)$ , и эти множители являются простыми числами Эйзенштейна: это в точности целые числа Эйзенштейна, нормой которых является рациональное простое число.

Во втором типе коэффициенты $3$ , $1-\omega$ и $1-\omega ^{2}$ являются соратниками : $1-\omega =(-\omega )(1-\omega ^{2})$ , поэтому в некоторых книгах он рассматривается как особый тип. ^[2]^[3]

Первые несколько простых чисел Эйзенштейна формы $3 n - 1$ :

2 , 5 , 11 , 17 , 23 , 29 , 41 , 47 , 53 , 59 , 71 , 83 , 89 , 101 , ... (последовательность A003627 в OEIS ).

Натуральные простые числа, конгруэнтные $0$ или $1$ по модулю $3,$ являются не простыми числами Эйзенштейна: ^[4] они допускают нетривиальную факторизацию в $Z [ω]$ . Например:

3 = -(1 + 2 ω) 2

7 знак равно (3 + ω)(2 - ω)

.

В общем случае, если натуральное простое число $p$ равно $1$ по модулю $3$ и поэтому может быть записано как $p = a 2 - аб + б 2$ , то он факторизуется по $Z [ω]$ как

п знак равно (а + бω)((а - б) - бω)

.

Некоторые недействительные простые числа Эйзенштейна:

2 + ω

,

3 + ω

,

4 + ω

,

5 + 2 ω

,

6 + ω

,

7 + ω

,

7 + 3 ω

.

С точностью до сопряжения и единичных кратных перечисленные выше простые числа вместе с $2$ и $5$ представляют собой все простые числа Эйзенштейна, абсолютная величина которых не превышает $7$ .

По состоянию на октябрь 2023 г. ^[update], самое большое известное реальное простое число Эйзенштейна является десятым по величине известным простым числом $10223 \times 2. 31172165 + 1$ , обнаруженный Петером Сабольчем и PrimeGrid . ^[5] За одним исключением, ^{[ нужны разъяснения ]} все известные простые числа большего размера являются простыми числами Мерсенна , обнаруженными GIMPS . Настоящие простые числа Эйзенштейна конгруэнтны $2 по модулю 3$ , а все простые числа Мерсенна больше $3$ конгруэнтны $1 по модулю 3$ ; таким образом, ни одно простое число Мерсенна не является простым числом Эйзенштейна.

Серия Эйзенштейна [ править ]

Сумма обратных величин всех целых чисел Эйзенштейна, за исключением $0,$ возведенного в четвертую степень, равна $0$ : ^[6]

\sum _{z\in \mathbf {E} \setminus \{0\}}{\frac {1}{z^{4}}}=G_{4}\left(e^{\frac {2\pi i}{3}}\right)=0

так

e^{2\pi i/3}

является корнем j-инварианта .В общем

G_{k}\left(e^{\frac {2\pi i}{3}}\right)=0

тогда и только тогда, когда

k\not \equiv 0{\pmod {6}}

. ^[7]

Сумма обратных величин всех целых чисел Эйзенштейна, за исключением $0,$ возведенного в шестую степень, может быть выражена через гамма-функцию :

\sum _{z\in \mathbf {E} \setminus \{0\}}{\frac {1}{z^{6}}}=G_{6}\left(e^{\frac {2\pi i}{3}}\right)={\frac {\Gamma (1/3)^{18}}{8960\pi ^{6}}}

где

E

— целые числа Эйзенштейна, а

G 6

— ряд Эйзенштейна веса 6. ^[8]

Частное $C$ по целым числам Эйзенштейна [ править ]

Фактор по комплексной плоскости $C$ решетке , содержащей все целые числа Эйзенштейна, представляет собой комплексный тор вещественной размерности $2$ . Это один из двух торов с максимальной симметрией среди всех таких комплексных торов. ^{[ нужна ссылка ]} Этот тор можно получить, отождествив каждую из трех пар противоположных ребер правильного шестиугольника.

Другой максимально симметричный тор представляет собой фактор комплексной плоскости по аддитивной решетке гауссовых целых чисел и может быть получен путем идентификации каждой из двух пар противоположных сторон квадратной фундаментальной области, например $[0, 1] \times [0 , 1]$ .

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

^ Оба Сураньи, Ласло (1997). Алгебра . ТИПОТЕКС. п. 73. и Салай, Михай (1991). Теория чисел . Издательство учебников. п. 75. Назовите эти числа «целыми числами Эйлера», то есть целыми эйлеровыми числами. Последние утверждают, что Эйлер работал с ними над доказательством.
^ Вайсштейн, Эрик В. «Целое число Эйзенштейна» . Математический мир .
^ Кокс, Дэвид А. (8 мая 1997 г.). Простые числа формы x2 + ny2: Ферма, Теория полей классов и комплексное умножение (PDF) . п. 77. ИСБН 0-471-19079-9 .
^ " $X^{2}+X+1$ приводима в $\mathbb {F} _{p}[X]$ если только $p\equiv 1{\pmod {3}}$ " .
^ «Самые большие известные простые числа» . Главные страницы . Проверено 27 февраля 2023 г.
^ «Каковы нули j-функции?» .
^ «Покажи это $G_{4}(i)\neq 0$ , и $G_{6}(\rho )\neq 0$ , $\rho =e^{2\pi i/3}$ " .
^ «Запись 0fda1b - Фунгрим: Гримуар математических функций» . fungrim.org . Проверено 22 июня 2023 г.

Внешние ссылки [ править ]

Целое число Эйзенштейна — из MathWorld

[euler-name-1] Оба Сураньи, Ласло (1997). Алгебра . ТИПОТЕКС. п. 73. и Салай, Михай (1991). Теория чисел . Издательство учебников. п. 75. Назовите эти числа «целыми числами Эйлера», то есть целыми эйлеровыми числами. Последние утверждают, что Эйлер работал с ними над доказательством.

[2] Вайсштейн, Эрик В. «Целое число Эйзенштейна» . Математический мир .

[3] Кокс, Дэвид А. (8 мая 1997 г.). Простые числа формы x2 + ny2: Ферма, Теория полей классов и комплексное умножение (PDF) . п. 77. ИСБН 0-471-19079-9 .

[4] " $X^{2}+X+1$ приводима в $\mathbb {F} _{p}[X]$ если только $p\equiv 1{\pmod {3}}$ " .

[5] «Самые большие известные простые числа» . Главные страницы . Проверено 27 февраля 2023 г.

[6] «Каковы нули j-функции?» .

[7] «Покажи это $G_{4}(i)\neq 0$ , и $G_{6}(\rho )\neq 0$ , $\rho =e^{2\pi i/3}$ " .

[8] «Запись 0fda1b - Фунгрим: Гримуар математических функций» . fungrim.org . Проверено 22 июня 2023 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

v т и Систолическая геометрия
1-systoles of surfaces	Loewner's torus inequality Pu's inequality Filling area conjecture Bolza surface Systoles of surfaces Eisenstein integers
1-systoles of manifolds	Gromov's systolic inequality for essential manifolds Essential manifold Filling radius Hermite constant
Higher systoles	Gromov's inequality for complex projective space Systolic freedom Systolic category