11 (число)

← 10 11 12 →
← 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 → Список номеров ; Целые числа ; ← 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 →
Кардинал	одиннадцать
Порядковый номер	11-е место ; (одиннадцатый)
Система счисления	недесятичный
Факторизация	основной
Основной	5-е место
Делители	1, 11
Греческая цифра	ΙΑ´
Римская цифра	XI
Греческий префикс	хендека-
Латинский префикс	ундека-
Двоичный	1011 2
тройной	102 3
Сенарий	15 6
Восьмеричный	13 8
Двенадцатеричный	Б 12
Шестнадцатеричный	Б 16
Бангла	১১
Еврейская цифра	11
Цифры Деванагари	११
малаялам	൰൧
Тамильские цифры	Кака
телугу	౧౧
Вавилонская цифра	𒌋𒐕

11 ( одиннадцать ) — натуральное число , следующее за 10 и предшествующее 12 . Это первый повтор . В английском языке это наименьшее положительное целое число, имя которого состоит из трех слогов.

Имя [ править ]

«Одиннадцать» происходит от древнеанглийского ęndleofon , которое впервые упоминается в Беды конца 9-го века «Церковной истории английского народа» . ^[2]^[3] Он имеет родственные слова во всех германских языках (например, немецкий эльф ), чей протогерманский предок был реконструирован как * ainalifa- , ^[4] от приставки * айна- (прилагательное « один ») и суффикса * -лифа- , неопределенного значения. ^[3] Его иногда сравнивают с литовским vienúolika , хотя -lika используется как суффикс для всех чисел от 11 до 19 (аналогично «-teen»). ^[3]

Древнеанглийская , форма имеет более близкие родственники в старофризском , саксонском и норвежском языках чей предок был реконструирован как * ainlifun . Раньше считалось, что это слово произошло от протогерманского * tehun (« десять »); ^[3]^[5] теперь это иногда связано с * leikʷ- или * leip- («оставленный; оставшийся»), с неявным значением, что «один остался» после счета до десяти. ^[3]

На языках [ править ]

Хотя число 11 имеет собственное имя в германских языках, таких как английский, немецкий или шведский, а также в некоторых языках на основе латиницы, таких как испанский, португальский и французский, во многих других языках это первое составное число: китайский 十一 shí yī , Корейский 열하나 Ёль Хана или 십일 корабль иль .

По математике [ править ]

Одиннадцать — пятое простое число и первый двузначный числовой палиндром в десятичной системе счисления . Оно образует простое число-близнец с 13 , ^[6] и это первый член второй простой четверки (11, 13, 17, 19). ^[7] 11 — сексуальное простое число с 5 и 17. 11 — это первый показатель простой степени, который не дает простого числа Мерсенна , где $2^{11}-1=2047$ , который является составным . С другой стороны, одиннадцатое простое число 31 — это третье простое число Мерсенна, а тридцать первое простое число 127 — это не только простое число Мерсенна, но и второе двойное простое число Мерсенна . 11 также является пятым числом Хегнера , означающим, что целых чисел поля кольцо $\mathbb {Q} ({\sqrt {-11}})$ имеет свойство уникальной факторизации и номер класса 1 . 11 - первое простое повторение $R_{2}$ в десятичном формате (и просто, первое повторение ), ^[8] а также второе уникальное простое число по основанию десять. ^[9] Это первое сильное простое число , ^[10] второй хороший прайм , ^[11] третье суперпростое число , четвертое простое число Лукаса , ^[12] и пятое подряд суперсингулярное простое число . ^[13]

11 — первый четнозначный палиндром (целое число и его обратная сторона представляют собой половины другого целого числа) и единственный простой палиндром среди них; все такие палиндромы кратны 11. (По этой причине простые числа-палиндромы, превышающие трехзначные, переходят к пятизначным, затем к семизначным и до бесконечности.)

Ряды треугольника Паскаля можно рассматривать как представление степеней 11. ^[14]

11 из 35 гексомино могут складываться в сетку , образуя куб , а 11 из 66 октиамонов могут складываться в правильный октаэдр .

11-сторонний многоугольник называется десятиугольником или ундекагоном . Полный график $K_{11}$ имеет в общей сложности 55 ребер, которые в совокупности представляют диагонали и стороны девятиугольника.

Правильный пятиугольник невозможно построить только с помощью циркуля и линейки , поскольку 11 не является произведением различных простых чисел Ферма , а также это первый многоугольник, который нельзя построить с помощью трисектора угла . ^[15]

11 и некоторые из его кратных чисел появляются как числа однородных мозаик в различных измерениях и пространствах ; есть:

11 правильных и полуправильных выпуклых однородных мозаик на евклидовой плоскости , двойственных 11 мозаикам Лавеса . ^[16]

22 однородных мозаики от края до края с выпуклыми и звездчатыми многоугольниками и 33 однородных мозаики с зигзагообразными апейрогонами , чередующимися между двумя углами. ^[17]^[18]

11 правильных комплексных апейрогонов , представляющих собой мозаику с многоугольниками, имеющими счетное бесконечное число сторон. 8 решений вида _p {q} _r удовлетворяют δ ^{п , р}
₂ дюйма $\mathbb {C}$ где $q$ ограничено $q=2/(1-(p+r)/pr)$ , три из которых содержат аффинные узлы и включают бесконечные решения, два в $\mathbb {C}$ и один в $\mathbb {C} ^{2}$ . ^[19]

22 правильных комплексных апейроэдра вида _p {a} _q {b} _r , где 21 существует в

\mathbb {C} ^{2}

и 1 в

\mathbb {C} ^{3}

. ^[20]

11 правильных паракомпактных гиперболических сот с бесконечными гранями и фигурами вершин в третьем измерении. ^[21]

Всего 11 правильных гиперболических сот в четвертом измерении : 9 компактных решений генерируются из правильных 4-многогранников и правильных звездчатых 4-многогранников , а также 2 паракомпактных решения . ^[21]

55 однородных евклидовых 4-сот существуют в четвертом измерении, а 66 однородных евклидовых 5-сот существуют в пятом измерении.

— 11-клеточный это самодвойственный абстрактный 4-многогранник с 11 вершинами , 55 ребрами , 55 треугольными гранями и 11 полуикосаэдрическими ячейками . Он универсален в том смысле, что это единственный абстрактный многогранник с полуикосаэдрическими гранями и полудодекаэдрическими вершинными фигурами . 11-ячейка содержит то же количество вершин и ребер, что и полный граф. $K_{11}$ и 10-симплекс — правильный многогранник в 10 измерениях.

Существует 11 ортогональных криволинейных систем координат (с точностью до конформной симметрии), в которых уравнение Гельмгольца с тремя переменными можно решить с использованием метода разделения переменных .

Группа Матье $\mathrm {M} _{11}$ — наименьшая из двадцати шести спорадических групп , определяемая как резко 4-транзитивная группа перестановок на одиннадцати объектах . Там есть порядок $7920=2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 11=8\cdot 9\cdot 10\cdot 11$ , с 11 в качестве крупнейшего простого фактора и минимальным точным комплексным представлением в десяти измерениях. Его групповое действие является группой автоморфизмов системы Штейнера. $\operatorname {S} (4,5,11)$ , с индуцированным действием на неупорядоченные пары точек, дающим действие ранга 3 на 55 точках. Группа Матье $\mathrm {M} _{12}$ , с другой стороны, образуется из перестановок проективной специальной линейной группы $\operatorname {PSL_{2}} (1,1)$ с теми из $(2,10)(3,4)(5,9)(6,7)$ . Это вторая по величине спорадическая группа, в которую входят $\mathrm {M} _{11}$ как максимальная подгруппа и стабилизатор точки с порядком, равным $95040=2^{6}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 11=8\cdot 9\cdot 10\cdot 11\cdot 12$ , где 11 также является его наибольшим простым делителем, например $\mathrm {M} _{11}$ . $\mathrm {M} _{12}$ также централизует элемент 11-го порядка в дружественном гиганте $\mathrm {F} _{1}$ , крупнейшая спорадическая группа, и имеет неприводимое точное комплексное представление в одиннадцати измерениях.

Первые одиннадцать простых чисел (от 2 до 31 ) представляют собой последовательные суперсингулярные простые числа , которые делят порядок дружественного гиганта, а остальные четыре суперсингулярных простых числа (41, 47, 59 и 71) лежат между пятью несуперсингулярными простыми числами. ^[13] Только пять из двадцати шести спорадических групп не содержат 11 в качестве простого множителя, разделяющего их групповой порядок ( $\mathrm {J} _{2}$ , $\mathrm {J} _{3}$ , $\mathrm {Ru}$ , $\mathrm {He}$ , и $\mathrm {Th}$ ). 11 также не является простым фактором порядка группы Титса. $\mathrm {T}$ , которую иногда классифицируют как нестрогую группу лиева типа или спорадическую группу.

11 — второй член второй пары (5, 11) чисел Брауна . Всего три таких пары чисел $n$ и $m$ где $n!+1=m^{2}$ известны; самая большая пара (7, 71) удовлетворяет $5041=7!+1$ . В этой последней паре 5040 — это факториал 7 , который делится на все целые числа меньше 13, за исключением 11. Члены первой пары ( 4 , 5 ) умножаются на 20 — индекс простой 71 — это тоже одиннадцатое составное число . ^[22]

В пределах безопасных простых чисел и простых чисел Софи Жермен вида $2p+1$ , 11 — третье безопасное простое число из $p$ из 5 , ^[23] и четвертое простое число Софи Жермен , которое дает 23 . ^[24]

В десятичном формате [ править ]

11 — наименьшее двузначное простое число. На семисегментном дисплее калькулятора это одновременно и стробограмматическое простое число , и двугранное простое число . ^[25]

Однозначные числа, кратные 11, дают палиндромные числа с совпадающими двузначными числами: 00 , 11 , 22 , 33 , 44 и т. д.

Сумма первых 11 ненулевых положительных целых чисел , что эквивалентно 11-му треугольному числу , равна 66 . С другой стороны, сумма первых 11 целых чисел от нуля до десяти равна 55 .

Первые четыре степени числа 11 дают палиндромные числа: 11. ¹ = 11, 11 ² = 121, 11 ³ = 1331 и 11 ⁴ = 14641.

11 — 11-й индекс или член последовательности чисел-палиндромов, а 121 — равен $11\times 11$ , это 22-е число. ^[26]

Факториал 11 , $11!=39916800$ , имеет разницу примерно в 0,2% с круглым числом. $4\times 10^{7}$ или 40 миллионов. Среди первых 100 факториалов следующее наиболее близкое к круглому число — 96 ( $96!\approx 9.91678\times 10^{149}$ ), что примерно на 0,8% меньше, чем 10 ¹⁵⁰. ^[27]

Если число делится на 11, перестановка его цифр приведет к получению еще одного числа, кратного 11. Пока никакие две соседние цифры числа, сложенные вместе, не превышают 9, затем умножение числа на 11, перестановка цифр произведения и деление это новое число на 11 даст число, обратное исходному; как в:

142,312 × 11 = 1,565,432 → 2,345,651 ÷ 11 = 213,241.

Тесты на делимость [ править ]

Простой тест, позволяющий определить, делится ли целое число на 11, состоит в том, чтобы взять каждую цифру числа в нечетной позиции и сложить их, затем взять оставшиеся цифры и сложить их. Если разница между двумя суммами кратна 11, включая 0, то число делится на 11. ^[28] Например, с числом 65 637:

(6 + 6 + 7) – (5 + 3) = 19 – 8 = 11, поэтому 65 637 делится на 11.

Этот метод также работает с группами цифр, а не с отдельными цифрами, при условии, что количество цифр в каждой группе нечетное, хотя не все группы должны иметь одинаковое количество цифр. Если использовать по три цифры в каждой группе, получится расчет из 65 637,

(065) - 637 = -572, которое делится на 11.

Другой тест на делимость - разделить число на группы из двух последовательных цифр (добавив ведущий ноль, если цифр нечетное), а затем сложить образовавшиеся таким образом числа; если результат делится на 11, число делится на 11:

06+56+37=99, которое делится на 11.

Это также работает путем добавления завершающего нуля вместо начального и с более крупными группами цифр при условии, что каждая группа имеет четное количество цифр (не все группы должны иметь одинаковое количество цифр):

65+63+70=198, которое делится на 11.

Умножение 11 [ править ]

Простой способ умножить числа на 11 по основанию 10:

Если в номере есть:

1 цифра, повторите цифру: 2×11 станет 22.
2 цифры, сложите 2 цифры и поместите результат посередине: 47 × 11 станет 4 (11) 7 или 4 (10+1) 7 или (4+1) 1 7 или 517.
3 цифры, оставьте первую цифру на своем месте для первой цифры результата, сложите первую и вторую цифры, чтобы сформировать вторую цифру результата, добавьте вторую и третью цифры, чтобы сформировать третью цифру результата, и сохраните третью цифру как результат. четвертая цифра. Для любых полученных чисел больше 9 перенесите 1 влево.
123 × 11 становится 1 (1+2) (2+3) 3 или 1353.
481 × 11 становится 4 (4+8) (8+1) 1 или 4 (10+2) 9 1 или (4+1) 2 9 1 или 5291.
4 или более цифр, используйте ту же схему, что и для 3 цифр.

Список основных расчетов [ править ]

Умножение	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20		25	50	100	1000
11 × х	11	22	33	44	55	66	77	88	99	110	121	132	143	154	165	176	187	198	209	220		275	550	1100	11000

Разделение	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10		11	12	13	14	15
11 ÷ х	11	5.5	3. 6	2.75	2.2	1.8 3	1. 571428	1.375	1. 2	1.1		1	0.91 6	0. 846153	0.7 857142	0.7 3
х ÷ 11	0. 09	0. 18	0. 27	0. 36	0. 45	0. 54	0. 63	0. 72	0. 81	0. 90		1	1. 09	1. 18	1. 27	1. 36

Возведение в степень	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
11 ^х	11	121	1331	14641	161051	1771561	19487171	214358881	2357947691	25937424601	285311670611
х ¹¹	1	2048	177147	4194304	48828125	362797056	1977326743	8589934592	31381059609	100000000000	285311670611

В других базах [ править ]

В двенадцатиричной и более высокой системе счисления (например, шестнадцатеричной ) 11 представляется как B, E, Z или ↋ (el), где 10 — это A, T, W, X или ↊ (dek).

Радикс	1	5	10	15	20	25	30	40	50	60	70	80	90	100
Радикс	110	120	130	140	150	200	250	500	1000	10000	100000	1000000
х ₁₁	1	5	И ₁₁	14 ₁₁	19 ₁₁	23 ₁₁	28 ₁₁	37 ₁₁	46 ₁₁	55 ₁₁	64 ₁₁	73 ₁₁	82 ₁₁	91 ₁₁
х ₁₁	А0 ₁₁	АА ₁₁	109 ₁₁	118 ₁₁	127 ₁₁	172 ₁₁	208 ₁₁	415 ₁₁	82А ₁₁	7572 ₁₁	6914А ₁₁	623351 ₁₁

В науке [ править ]

В химии группа 11 Периодической таблицы элементов ( нумерация ИЮПАК ) состоит из трех металлов чеканки: меди , серебра и золота, известных с древности, а также рентгения , недавно синтезированного сверхтяжелого элемента.
Число пространства-времени измерений в М-теории .

Астрономия [ править ]

Аполлон-11 был первым пилотируемым космическим кораблем, совершившим посадку на Луну .
Периодичность цикла солнечных пятен составляет примерно 11 лет.

В музыке [ править ]

Интервал октавы плюс кварта составляет 11-ю. Полный 11-й аккорд содержит почти все ноты диатонической гаммы .
На фаготе 11 клавиш для большого пальца , не считая клавиши для шепота. (Некоторые фаготы имеют 12-ю клавишу для большого пальца.)

В мистике [ править ]

Число 11 (наряду с числами, кратными 22 и 33) является главным числом в нумерологии , особенно в Нью Эйдж . ^[29]

В Канаде [ править ]

Стилизованный кленовый лист на флаге Канады имеет 11 точек. Однодолларовый канадский доллар пятиугольника имеет форму 11-гранного , а часы, изображенные на канадской валюте , например, на канадской 50-долларовой банкноте , показывают 11:00.

В других областях [ править ]

Находясь за час до 12:00, одиннадцатый час означает последний возможный момент, чтобы о чем-то позаботиться, и часто подразумевает ситуацию срочной опасности или чрезвычайной ситуации (см. Часы Судного дня ).
В спорте 11 игроков входят в футбольную команду ассоциации , 11 игроков в команду по американскому футболу во время игры, 11 игроков в команду по крикету на поле и 11 игроков в команду по хоккею на траве .
В игре в блэкджек туз может засчитываться как за единицу, так и за 11, в зависимости от того, что более выгодно для игрока.

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Беда , Эккл. Хист. , Бк. В, Ч. XVIII.
^ В частности, в строке jjvjv ðæt рис hæfde endleofan wintra. ^[1]
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Оксфордский словарь английского языка , 1-е изд. «одиннадцать, прил. и н. » Oxford University Press (Оксфорд), 1891 г.
^ Кроонен, Гус (2013). Этимологический словарь прагерманского языка . Лейден: Брилл. п. 11ф. ISBN 978-90-04-18340-7 .
^ Данциг, Тобиас (1930), Номер: Язык науки .
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A001359 (Меньшее из простых чисел-близнецов.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 22 января 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A136162 (Список простых четверок {p, p+2, p+6, p+8}.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 02 марта 2023 г.
«{11, 13, 17, 19} — единственная простая четверка {p, p+2, p+6, p+8} формы {Q-4, Q-2, Q+2, Q+4} где Q — произведение пары простых чисел-близнецов {q, q+2} (для простого числа q = 3), поскольку числа Q-2 и Q+4 для q>3 являются составными числами вида 3*(12*k^ 2-1) и 3*(12*k^2+1) соответственно (k — целое число)».
^ «A004022 Слоана: простые числа формы (10^n - 1)/9» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 1 июня 2016 г.
^ «A040017 Слоана: уникальные простые числа периодов (ни одно другое простое число не имеет такого же периода, как 1/p) по порядку (периоды указаны в A051627)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 20 ноября 2018 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A051634 (Сильные простые числа: простое число (n) > (простое число (n-1) + простое число (n+1))/2)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 10 августа 2022 г.
^ «A028388 Слоана: Хорошие простые числа» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 1 июня 2016 г.
^ «А005479 Слоана: простые числа Лукаса» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 1 июня 2016 г.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A002267 (15 суперсингулярных простых чисел: простые числа, разделяющие порядок простой группы Monster.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 22 января 2023 г.
^ Мюллер, Фрэнсис Дж. (1965). «Подробнее о треугольнике Паскаля и степени 11». Учитель математики . 58 (5): 425–428. дои : 10.5951/MT.58.5.0425 . JSTOR 27957164 .
^ Глисон, Эндрю М. (1988). «Трисекция угла, семиугольник и трискадекагон» . Американский математический ежемесячник . 95 (3). Тейлор и Фрэнсис, ООО : 191–194. дои : 10.2307/2323624 . JSTOR 2323624 . МР 0935432 . S2CID 119831032 .
^ Грюнбаум, Бранко ; Шепард, Джеффри (ноябрь 1977 г.). «Замощения правильными многоугольниками» (PDF) . Журнал «Математика» . 50 (5). Taylor & Francisco, Ltd.: 233. doi : 10.2307/2689529 . JSTOR 2689529 . S2CID 123776612 . Збл 0385.51006 .
^ Грюнбаум, Бранко ; Шепард, GC (1987). «Раздел 2.5. Замощение с использованием звездчатых многоугольников». Плитки и узоры . Нью-Йорк: WH Freeman and Company. стр. 82–89. дои : 10.2307/2323457 . ISBN 0-7167-1193-1 . JSTOR 2323457 . OCLC 13092426 . S2CID 119730123 .
^ Грюнбаум, Бранко ; Миллер, JCP ; Шепард, GC (1981). «Равномерная черепица с полыми плитками». Геометрическая жилка: Фестиваль Коксетера . Нью-Йорк: Springer-Verlag . стр. 47–48. дои : 10.1007/978-1-4612-5648-9_3 . ISBN 978-1-4612-5650-2 . МР 0661769 . ОСЛК 7597141 .
^ Коксетер, HSM (1991). «11,6 Апейрогонов». Правильные комплексные многогранники (2-е изд.). Лондон: Издательство Кембриджского университета . стр. 111, 112. doi : 10.2307/3617711 . ISBN 978-0-521-39490-1 . JSTOR 3617711 . МР 1119304 . ОСЛК 21562167 . S2CID 116900933 .
^ Коксетер, HSM (1991). «12.8 Циклов сот». Правильные комплексные многогранники (2-е изд.). Лондон: Издательство Кембриджского университета . стр. 138–140. дои : 10.2307/3617711 . ISBN 978-0-521-39490-1 . JSTOR 3617711 . МР 1119304 . ОСЛК 21562167 . S2CID 116900933 .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Коксетер, HSM (1956). «Регулярные соты в гиперболическом пространстве» (PDF) . Труды Международного конгресса математиков (1954) . 3 . Амстердам: Издательство Северной Голландии: 167–168. МР 0087114 . S2CID 18079488 . Збл 0073.36603 . Архивировано из оригинала (PDF) 2 апреля 2015 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A002808 (Составные числа: числа n вида x*y для x > 1 и y > 1.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 10 сентября 2023 г.
^ «А005385 Слоана: Безопасные простые числа» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 1 июня 2016 г.
^ «A005384 Слоана: простые числа Софи Жермен» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 1 июня 2016 г.
^ «A134996 Слоана: Простые числа двугранного калькулятора: p, p перевернутый, p в зеркале, p перевернутый и в зеркале — все это простые числа» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 17 декабря 2020 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A002113 (Палиндромы по основанию 10.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 11 августа 2022 г.
^ «Список первых 100 чисел-факториалов» . Энциклопедия целочисленных последовательностей онлайн (OEIS) . Проверено 30 августа 2022 г.
^ Хиггинс, Питер (2008). История чисел: от счета к криптографии . Нью-Йорк: Коперник. п. 47. ИСБН 978-1-84800-000-1 .
^ Шарп, Дамиан (2001). Простая нумерология: книга «Простая мудрость» (серия «Книга простой мудрости») . Красное колесо. п. 7. ISBN 978-1-57324-560-9 .

Внешние ссылки [ править ]

Граймс, Джеймс. "Одиннадцать" . Числофил . Брэйди Харан . Архивировано из оригинала 15 октября 2017 г. Проверено 03 января 2016 г.

[1] Беда , Эккл. Хист. , Бк. В, Ч. XVIII.

[2] В частности, в строке jjvjv ðæt рис hæfde endleofan wintra. ^[1]

[oed-3] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Оксфордский словарь английского языка , 1-е изд. «одиннадцать, прил. и н. » Oxford University Press (Оксфорд), 1891 г.

[4] Кроонен, Гус (2013). Этимологический словарь прагерманского языка . Лейден: Брилл. п. 11ф. ISBN 978-90-04-18340-7 .

[5] Данциг, Тобиас (1930), Номер: Язык науки .

[6] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A001359 (Меньшее из простых чисел-близнецов.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 22 января 2023 г.

[7] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A136162 (Список простых четверок {p, p+2, p+6, p+8}.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 02 марта 2023 г.
«{11, 13, 17, 19} — единственная простая четверка {p, p+2, p+6, p+8} формы {Q-4, Q-2, Q+2, Q+4} где Q — произведение пары простых чисел-близнецов {q, q+2} (для простого числа q = 3), поскольку числа Q-2 и Q+4 для q>3 являются составными числами вида 3*(12*k^ 2-1) и 3*(12*k^2+1) соответственно (k — целое число)».

[8] «A004022 Слоана: простые числа формы (10^n - 1)/9» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 1 июня 2016 г.

[9] «A040017 Слоана: уникальные простые числа периодов (ни одно другое простое число не имеет такого же периода, как 1/p) по порядку (периоды указаны в A051627)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 20 ноября 2018 г.

[10] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A051634 (Сильные простые числа: простое число (n) > (простое число (n-1) + простое число (n+1))/2)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 10 августа 2022 г.

[11] «A028388 Слоана: Хорошие простые числа» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 1 июня 2016 г.

[12] «А005479 Слоана: простые числа Лукаса» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 1 июня 2016 г.

[supersingular-13] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A002267 (15 суперсингулярных простых чисел: простые числа, разделяющие порядок простой группы Monster.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 22 января 2023 г.

[14] Мюллер, Фрэнсис Дж. (1965). «Подробнее о треугольнике Паскаля и степени 11». Учитель математики . 58 (5): 425–428. дои : 10.5951/MT.58.5.0425 . JSTOR 27957164 .

[15] Глисон, Эндрю М. (1988). «Трисекция угла, семиугольник и трискадекагон» . Американский математический ежемесячник . 95 (3). Тейлор и Фрэнсис, ООО : 191–194. дои : 10.2307/2323624 . JSTOR 2323624 . МР 0935432 . S2CID 119831032 .

[16] Грюнбаум, Бранко ; Шепард, Джеффри (ноябрь 1977 г.). «Замощения правильными многоугольниками» (PDF) . Журнал «Математика» . 50 (5). Taylor & Francisco, Ltd.: 233. doi : 10.2307/2689529 . JSTOR 2689529 . S2CID 123776612 . Збл 0385.51006 .

[17] Грюнбаум, Бранко ; Шепард, GC (1987). «Раздел 2.5. Замощение с использованием звездчатых многоугольников». Плитки и узоры . Нью-Йорк: WH Freeman and Company. стр. 82–89. дои : 10.2307/2323457 . ISBN 0-7167-1193-1 . JSTOR 2323457 . OCLC 13092426 . S2CID 119730123 .

[18] Грюнбаум, Бранко ; Миллер, JCP ; Шепард, GC (1981). «Равномерная черепица с полыми плитками». Геометрическая жилка: Фестиваль Коксетера . Нью-Йорк: Springer-Verlag . стр. 47–48. дои : 10.1007/978-1-4612-5648-9_3 . ISBN 978-1-4612-5650-2 . МР 0661769 . ОСЛК 7597141 .

[19] Коксетер, HSM (1991). «11,6 Апейрогонов». Правильные комплексные многогранники (2-е изд.). Лондон: Издательство Кембриджского университета . стр. 111, 112. doi : 10.2307/3617711 . ISBN 978-0-521-39490-1 . JSTOR 3617711 . МР 1119304 . ОСЛК 21562167 . S2CID 116900933 .

[20] Коксетер, HSM (1991). «12.8 Циклов сот». Правильные комплексные многогранники (2-е изд.). Лондон: Издательство Кембриджского университета . стр. 138–140. дои : 10.2307/3617711 . ISBN 978-0-521-39490-1 . JSTOR 3617711 . МР 1119304 . ОСЛК 21562167 . S2CID 116900933 .

[Coxeter-21] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Коксетер, HSM (1956). «Регулярные соты в гиперболическом пространстве» (PDF) . Труды Международного конгресса математиков (1954) . 3 . Амстердам: Издательство Северной Голландии: 167–168. МР 0087114 . S2CID 18079488 . Збл 0073.36603 . Архивировано из оригинала (PDF) 2 апреля 2015 г.

[22] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A002808 (Составные числа: числа n вида x*y для x > 1 и y > 1.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 10 сентября 2023 г.

[23] «А005385 Слоана: Безопасные простые числа» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 1 июня 2016 г.

[24] «A005384 Слоана: простые числа Софи Жермен» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 1 июня 2016 г.

[25] «A134996 Слоана: Простые числа двугранного калькулятора: p, p перевернутый, p в зеркале, p перевернутый и в зеркале — все это простые числа» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 17 декабря 2020 г.

[26] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A002113 (Палиндромы по основанию 10.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 11 августа 2022 г.

[27] «Список первых 100 чисел-факториалов» . Энциклопедия целочисленных последовательностей онлайн (OEIS) . Проверено 30 августа 2022 г.

[28] Хиггинс, Питер (2008). История чисел: от счета к криптографии . Нью-Йорк: Коперник. п. 47. ИСБН 978-1-84800-000-1 .

[29] Шарп, Дамиан (2001). Простая нумерология: книга «Простая мудрость» (серия «Книга простой мудрости») . Красное колесо. п. 7. ISBN 978-1-57324-560-9 .

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[1]