Список евклидовых равномерных мозаик

Пример однородной плитки в Археологическом музее Севильи , Севилья, Испания : ромбитригексагональная плитка.

Регулярные мозаики и их двойники, нарисованные Максом Брюкнером в книге «Многоугольники и полиповерхности » (1900).

В этой таблице показаны 11 выпуклых однородных мозаик (правильных и полуправильных) евклидовой плоскости , а также их двойственные мозаики.

имеется три правильных и восемь полуправильных мозаик На плоскости . Полуправильные мозаики образуют новые мозаики из своих двойников, каждая из которых состоит из одного типа неправильных граней.

Джон Конвей назвал эти однородные двойственные элементы каталонскими мозаиками , параллельно каталонским сплошным многогранникам.

Однородные мозаики перечислены по конфигурации их вершин — последовательности граней, существующих в каждой вершине. Например, 4.8.8 означает один квадрат и два восьмиугольника в вершине.

Эти 11 однородных плиток имеют 32 различные однородные раскраски . Равномерная раскраска позволяет окрашивать односторонние многоугольники в вершинах по-разному, сохраняя при этом однородность вершин и трансформационное соответствие между вершинами. (Примечание. Некоторые изображения мозаики, показанные ниже, не имеют однородного цвета.)

Помимо 11 выпуклых однородных мозаик, существует также 14 известных невыпуклых мозаик , в которых используются звездчатые многоугольники и конфигурации вершин с обратной ориентацией. Еще 28 однородных мозаик известны с использованием апейрогонов . Если допускаются еще и зигзаги, то известно еще 23 однородных замощения и еще 10 известных семейств в зависимости от параметра: в 8 случаях параметр непрерывен, а в остальных 2 - дискретен. Известно, что набор не полный.

Сделано плитка

В книге 1987 года « Плитки и узоры » Бранко Грюнбаум называет вершинно-однородные мозаики архимедовыми , параллельными архимедовым телам . Их двойственные мозаики названы мозаиками Лавеса в честь кристаллографа Фрица Лавеса . They're also called Shubnikov–Laves tilings after Aleksei Shubnikov . Джон Конвей назвал равномерные двойственные каталонские мозаики параллельно каталонским сплошным многогранникам.

Мозаики Лавеса имеют вершины в центрах правильных многоугольников и ребра, соединяющие центры правильных многоугольников, имеющих общее ребро. Плитки мозаики Лавеса называются планигонами . Сюда входят 3 обычных плитки (треугольник, квадрат и шестиугольник) и 8 неправильных плиток. Каждая вершина имеет ребра, равномерно расположенные вокруг нее. Трехмерные аналоги планигонов называются стереоэдрами .

Эти двойные мозаики перечислены по конфигурации граней — количеству граней в каждой вершине грани. Например, V4.8.8 означает плитки равнобедренного треугольника с одним углом с четырьмя треугольниками и двумя углами, содержащими восемь треугольников. Ориентация планигонов вершин (до D ₁₂ ) соответствует диаграммам вершин в разделах ниже.

Одиннадцать растений

Треугольники				Четырехугольники			Пентагон			Шестиугольник
V6 3	Версия 4.8 2	Версия 4.6.12	Версия 3.12 2	V4 4	V(3.6) 2	Версия 3.4.6.4	V3 2 .4.3.4	V3 4 .6	V3 3 .4 2	V3 6

Выпуклые однородные мозаики евклидовой плоскости

Все отражательные формы могут быть созданы с помощью конструкций Витгофа , представленных символами Витгофа , или диаграмм Кокстера-Динкина , каждая из которых оперирует одним из трех треугольников Шварца (4,4,2), (6,3,2) или (3,3). ,3), с симметрией, представленной группами Кокстера : [4,4], [6,3] или [3 ^[3] ]. Альтернативные формы, такие как курносый, также могут быть представлены специальными разметками внутри каждой системы. Только одна однородная мозаика не может быть построена с помощью процесса Витгофа, но может быть получена путем удлинения треугольной мозаики. Также существует конструкция ортогонального зеркала [∞,2,∞], рассматриваемая как два набора параллельных зеркал, образующих прямоугольную фундаментальную область. Если область квадратная, эту симметрию можно удвоить с помощью диагонального зеркала в семейство [4,4].

Семьи:

• (4,4,2), ${\tilde {BC}}_{2}$, [4,4] – Симметрия правильного квадратного замощения
  • ${\tilde {I}}_{1}^{2}$, [∞,2,∞]
• (6,3,2), ${\tilde {G}}_{2}$, [6,3] – Симметрия правильной шестиугольной и треугольной мозаики .
  • (3,3,3), ${\tilde {A}}_{2}$, [3 ^[3] ]

Семейство групп [4,4]

Однородные мозаики (Платон и Архимед)	Вершинная фигура и двойное лицо Символ (ы) Витхоффа Группа симметрии Диаграмма (ы) Кокстера	Двойно -однородные мозаики (так называемые мозаики Лавеса или Каталана)
Квадратная мозаика (кадриль)	4.4.4.4 (или 4 4 ) 4 | 2 4 p4m , [4,4], (*442)	самодвойственный (кадриль)
Усеченная квадратная мозаика (усеченная кадриль)	4.8.8 2 | 4 4 4 4 2 | p4m , [4,4], (*442) или	Квадратная плитка Тетракиса (кискадрилья)
Курносая квадратная черепица (курносая кадриль)	3.3.4.3.4 | 4 4 2 p4g , [4 + ,4], (4*2) или	Каирская пятиугольная плитка (4-кратная пентилья)

Семейство групп [6,3]

Платоновы и архимедовы мозаики	Вершинная фигура и двойное лицо Символ (ы) Витхоффа Группа симметрии Диаграмма (ы) Кокстера	Двухслойная плитка
Шестиугольная черепица (гекстиль)	6.6.6 (или 6 3 ) 3 | 6 2 2 6 | 3 3 3 3 | p6m , [6,3], (*632)	Треугольная плитка (дельтиль)
Тригексагональная плитка (гексадельтиль)	(3.6) 2 2 | 6 3 3 3 | 3 p6m , [6,3], (*632) =	Укладка ромбовидной плитки (ромбилл)
Усеченная шестиугольная мозаика (усеченный гекстиль)	3.12.12 2 3 | 6 p6m , [6,3], (*632)	Треугольная плитка Триакиса (kisdeltille)
Треугольная плитка (дельтиль)	3.3.3.3.3.3 (или 3 6 ) 6 | 3 2 3 | 3 3 | 3 3 3 p6m , [6,3], (*632) =	Шестиугольная черепица (гекстиль)
Ромбитригексагональная плитка (ромбигексадельтиль)	3.4.6.4 3 | 6 2 p6m , [6,3], (*632)	Дельтоидная тригексагональная мозаика (тетрил)
Усеченная тригексагональная мозаика (усеченный гексадельтиль)	4.6.12 2 6 3 | p6m , [6,3], (*632)	Кисромбилльная мозаика (кисромбилле)
Курносая трехгексагональная черепица (взносый гекстиль)	3.3.3.3.6 | 6 3 2 р6 , [6,3] + , (632)	Пятиугольная плитка цветочка (6-кратная пентилья)

Не-витоффова равномерная мозаика

Платоновы и архимедовы мозаики	Вершинная фигура и двойное лицо Символ (ы) Витхоффа Группа симметрии Диаграмма Кокстера	Двухслойная плитка
Вытянутая треугольная черепица (изоснуб-кадриль)	3.3.3.4.4 2 | 2 (2 2) смм , [∞,2 + ,∞], (2*22)	Призматическая пятиугольная плитка (изо(4-)пентиль)

Равномерные раскраски

Всего существует 32 однородных раскраски 11 однородных плиток:

1. Треугольная мозаика - 9 однородных раскрасок, 4 витоффовых, 5 невитоффовых.
   •          
2. Квадратная мозаика — 9 раскрасок: 7 витоффовых, 2 невитоффовых.
   •          
3. Шестиугольная мозаика – 3 раскраски, все витоффовы.
   •    
4. Трехгексагональная мозаика - 2 раскраски, обе витоффовы.
   •   
5. Курносая квадратная плитка - 2 раскраски, обе чередуются по Витоффиану.
   •   
6. Усеченная квадратная плитка - 2 раскраски, обе витоффовы.
   •   
7. Усеченная шестиугольная мозаика – 1 раскраска, витоффиан
   •  
8. Ромбитригексагональная мозаика – 1 раскраска, витоффиан
   •  
9. Усеченная тригексагональная мозаика – 1 раскраска, витоффиан
   •  
10. Курносая шестиугольная плитка - 1 раскраска, чередующаяся витоффианом.
    •  
11. Вытянутая треугольная мозаика – 1 раскраска, нонвитоффова
    •  

См. также

• Выпуклые однородные соты - 28 однородных трехмерных мозаик, параллельная конструкция выпуклых однородных евклидовых плоских мозаик.
• Евклидово разбиение выпуклыми правильными многоугольниками
• Список тесселяций
• Порог перколяции
• Равномерные мозаики в гиперболической плоскости

Дальнейшее чтение

• Конвей, Джон Х .; Бургель, Хайди; Гудман-Штраус, Хаим (18 апреля 2008 г.). «Глава 19, Архимедовы разбиения , таблица 19.1». Симметрии вещей . АК Петерс / CRC Press . ISBN  978-1-56881-220-5 . Архивировано из оригинала 19 сентября 2010 года.
• Коксетер, HSM ; Лонге-Хиггинс, MS ; Миллер, JCP (1954). «Равномерные многогранники». Фил. Пер. 246 А: 401–450.
• Уильямс, Роберт (1979). Геометрическая основа естественной структуры: справочник по дизайну . Dover Publications, Inc. ISBN  0-486-23729-Х . (Раздел 2–3 Круговые упаковки, плоские мозаики и сети , стр. 34–40).
• Асаро, Лаура; Хайд, Джон; Дженсен, Мелани; Манн, Кейси; Шредер, Тайлер. «Равномерные ребра -c -раскраски архимедовых мозаик» (PDF) . Университет Вашингтона . ( Кейси Манн из Вашингтонского университета )
• Грюнбаум, Бранко ; Шепард, Джеффри (ноябрь 1977 г.). «Замощения правильными многоугольниками» (PDF) .
• Сеймур, Дейл; Бриттон, Джилл (1989). Введение в тесселяции . Публикации Дейла Сеймура. стр. 50–57, 71–74 . ISBN  978-0866514613 .

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Равномерная мозаика» . Математический мир .
• Равномерные мозаики на плоскости Евклида
• Мозаика плоскости
• Мир тесселяций Дэвида Бэйли
• k - однородные мозаики
• n -равномерные мозаики