Предел круга III

Предел круга III , 1959 год.

Circle Limit III — гравюра на дереве, сделанная в 1959 году голландским художником М. К. Эшером , на которой «вереницы рыб взлетают, как ракеты, из бесконечного далека», а затем «снова падают туда, откуда пришли». [1]

Это одна из серии из четырех гравюр Эшера, изображающих идеи гиперболической геометрии . Голландский физик и математик Бруно Эрнст назвал его «лучшим из четырех». [2]

Вдохновение [ править ]

Треугольная гиперболическая мозаика (6,4,2), вдохновившая Эшера

Эшер заинтересовался мозаикой самолета после посещения в 1936 году Альгамбры в Гранаде , Испания. [3] [4] и со времени своей работы «Метаморфоза I» 1937 года он начал включать в свои работы мозаичные фигуры людей и животных. [4]

В письме Эшера к Х.С.М. Кокстеру его вдохновила в 1958 году Эшер писал, что на создание серии «Предел круга» фигура из статьи Коксетера «Кристалл». Симметрия и ее обобщения». [2] [3] Фигура Коксетера изображает мозаику гиперболической плоскости прямоугольными треугольниками с углами 30°, 45° и 90°; треугольники с такими углами возможны в гиперболической геометрии, но не в евклидовой геометрии. Эту мозаику можно интерпретировать как изображение линий отражения и фундаментальных областей (6,4,2) группы треугольников . [5] Элементарный анализ фигуры Коксетера, как ее мог понять Эшер, дан Кассельманом (2010) . [6]

Геометрия [ править ]

Чередованная восьмиугольная мозаика , гиперболическая мозаика из квадратов и равносторонних треугольников, наложенная на изображение Эшера.

Эшер, по-видимому, полагал, что белые кривые на его гравюре на дереве, делящие рыбу пополам, представляют собой гиперболические линии в модели диска Пуанкаре на гиперболической плоскости, в которой вся гиперболическая плоскость моделируется как диск на евклидовой плоскости, а гиперболические линии моделируются как дуги окружностей, перпендикулярные границе диска. Действительно, Эшер писал, что рыбы движутся «перпендикулярно границе». [1] Однако, как продемонстрировал Коксетер, не существует гиперболического расположения линий , грани которых представляют собой попеременно квадраты и равносторонние треугольники, как показано на рисунке. Скорее, белые кривые представляют собой гиперциклы , которые пересекают граничную окружность под углами cos. −1 2 1/4 − 2 −1/4 / 2 , примерно 80°. [2]

Оси симметрии треугольников и квадратов, лежащих между белыми линиями, являются настоящими гиперболическими линиями. Квадраты и треугольники гравюры на дереве очень напоминают чередующуюся восьмиугольную мозаику гиперболической плоскости, в которой также присутствуют квадраты и треугольники, встречающиеся по одной и той же схеме падения.Однако точная геометрия этих фигур не одинакова. В чередующейся восьмиугольной мозаике стороны квадратов и треугольников представляют собой сегменты гиперболически прямых линий, которые не соединяются плавными кривыми; вместо этого они образуют многоугольные цепочки с углами. В гравюре Эшера стороны квадратов и треугольников образованы дугами гиперциклов, которые не являются прямыми в гиперболической геометрии, но плавно соединяются друг с другом без углов.

Точки в центрах квадратов, где четыре рыбы встречаются плавниками, образуют вершины треугольной мозаики восьмого порядка , а точки, где встречаются три рыбьих плавника, и точки, где три белые линии пересекаются, образуют вершины ее двойной , восьмиугольная черепица . [2] Аналогичные мозаики линиями рыб могут быть построены для других гиперболических мозаик, образованных многоугольниками, отличными от треугольников и квадратов, или с более чем тремя белыми кривыми на каждом пересечении. [7]

Евклидовы координаты кругов, содержащих три наиболее заметные белые кривые на гравюре на дереве, можно получить путем вычислений в поле рациональных чисел, расширенном квадратными корнями из двух и трех. [8]

Симметрия [ править ]

Если рассматривать гравюру на дереве как узор, игнорируя цвета рыб, в гиперболической плоскости, она имеет трехкратную и четырехкратную вращательную симметрию в центрах треугольников и квадратов соответственно, а также двугранную симметрию третьего порядка (симметрия равносторонний треугольник) в точках пересечения белых кривых. В Джона Конвея этот орбифолдной нотации набор симметрий обозначается числом 433. Каждая рыба представляет собой фундаментальную область для этой группы симметрии. Вопреки внешнему виду, рыбы не обладают двусторонней симметрией : белые кривые на рисунке не являются осями зеркальной симметрии. [9] [10] Например, угол в задней части правого плавника составляет 90° (где сходятся четыре плавника), но в задней части гораздо меньшего левого плавника он составляет 120° (где сходятся три плавника).

Подробности печати [ править ]

Рыбы в Circle Limit III изображены в четырех цветах, что позволяет каждой цепочке рыб иметь один цвет, а каждые две соседние рыбы - разные цвета. Вместе с черными чернилами, которыми обведена рыба, общая гравюра на дереве имеет пять цветов. Он напечатан из пяти деревянных блоков, каждый из которых обеспечивает один из цветов в пределах четверти диска, всего 20 оттисков. Диаметр внешнего круга, как напечатано, равен 41,5 см ( + 3/8 дюйма ) 16 . [11]

Экспонаты [ править ]

не только включены в коллекцию Музея Эшера в Гааге Копии Circle Limit III , но и включены в коллекции Национальной галереи искусств. [12] и Национальная галерея Канады . [13]

Ссылки [ править ]

  1. ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б Эшер, цитирует Коксетера (1979) .
  2. ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б с д Коксетер, HSM (1979), «Неевклидова симметрия картины Эшера «Предел круга III» », Леонардо , 12 : 19–25, JSTOR   1574078 .
  3. ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б Эммер, Мишель (2006), «Эшер, Коксетер и симметрия», Международный журнал геометрических методов в современной физике , 3 (5–6): 869–879, doi : 10.1142/S0219887806001594 , MR   2264394 .
  4. ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б Шатшнайдер, Дорис (2010), «Математическая сторона MC Эшера» (PDF) , Уведомления AMS , 57 (6): 706–718 .
  5. ^ Коксетер подробно остановился на математике мозаики групп треугольников, включая эту в Коксетер, HSM (1997), «Тригонометрия гиперболических мозаик», Canadian Mathematical Bulletin , 40 (2): 158–168, doi : 10.4153/CMB-1997-019-0 , MR   1451269 .
  6. ^ Кассельман, Билл (июнь 2010 г.), Как Эшеру это удалось? , Столбец функций AMS .
  7. ^ Данэм, Дуглас, «Больше паттернов «Ограничение круга III», Конференция Бриджеса: математические связи в искусстве, музыке и науке, Лондон, 2006 (PDF) .
  8. ^ Коксетер, HSM (2003), «Тригонометрия гравюры Эшера на дереве «Ограничение круга III », MC Escher's Legacy: A Centennial Celebration , Springer, стр. 297–304, doi : 10.1007/3-540-28849-X_29 .
  9. ^ Конвей, Дж. Х. (1992), «Орбифолдное обозначение для поверхностных групп», Группы, комбинаторика и геометрия (Дарем, 1990) , London Math. Соц. Лекционная конспект. Сер., т. 1, с. 165, Кембридж: Кембриджский университет. Press, стр. 438–447, doi : 10.1017/CBO9780511629259.038 , MR   1200280 . Конвей писал, что «Работа Circle Limit III одинаково интригует» (по сравнению с Circle Limit IV , которая имеет другую группу симметрии), и использует ее в качестве примера этой группы симметрии.
  10. ^ Херфорд, Питер (1999), «Геометрия круга М. К. Эшера-предел-гравюры на дереве», Zentralblatt für Didaktik der Mathematik , 31 (5): 144–148, doi : 10.1007/BF02659805 . Доклад, представленный на 8-й Международной конференции по геометрии, Нахшолим (Израиль), 7–14 марта 1999 г.
  11. ^ Эшер, MC (2001), MC Эшер: Графическая работа , Ташен , с. 10 .
  12. ↑ Circle Limit III , Национальная галерея искусств , получено 2 сентября 2023 г.
  13. ↑ Circle Limit III , Национальная галерея Канады , получено 2 сентября 2023 г.

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы по теме Circle Limit III .
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Circle_Limit_III&oldid=1173501270"