Пифагорейская плитка
Мозаика Пифагора или мозаика из двух квадратов это мозаика евклидовой — плоскости квадратами двух разных размеров, при которой каждый квадрат соприкасается с четырьмя квадратами другого размера на своих четырех сторонах. многие доказательства теоремы Пифагора . На нем основаны [2] объясняя его название. [1] Его обычно используют в качестве рисунка для напольной плитки . Когда он используется для этого, он также известен как узор в классиках. [3] или узор «вертушка» , [4] но его не следует путать с математической мозаикой-вертушкой , несвязанной закономерностью. [5]
Эта мозаика имеет четырехстороннюю вращательную симметрию вокруг каждого квадрата. Когда отношение длин сторон двух квадратов является иррациональным числом, таким как золотое сечение , его сечения образуют апериодические последовательности с рекурсивной структурой, аналогичной слову Фибоначчи . Также изучались обобщения этого разбиения на три измерения.
Топология и симметрия
[ редактировать ]Плитка Пифагора — это уникальная мозаика, состоящая из квадратов двух разных размеров, которая одновременно является односторонней (ни один квадрат не имеет общей стороны) и равнопереходной (каждые два квадрата одинакового размера могут быть отображены друг в друга за счет симметрии мозаики). [6]
Топологически замощение Пифагора имеет ту же структуру, что и замощение усеченных квадратов квадратами и правильными восьмиугольниками . [7] Меньшие квадраты в мозаике Пифагора соседствуют с четырьмя большими плитками, как и квадраты в мозаике усеченных квадратов, тогда как большие квадраты в мозаике Пифагора соседствуют с восемью соседями, которые чередуются между большими и маленькими, точно так же, как восьмиугольники в мозаике Пифагора. усеченная квадратная плитка. Однако эти две мозаики имеют разные наборы симметрий, поскольку усеченная квадратная мозаика симметрична при зеркальных отражениях, а мозаика Пифагора — нет. Математически это можно объяснить, сказав, что усеченная квадратная плитка имеет двугранную симметрию вокруг центра каждой плитки, в то время как плитка Пифагора имеет меньший циклический набор симметрий вокруг соответствующих точек, что придает ей симметрию p4 . [8] Это киральный паттерн, а это означает, что его невозможно наложить поверх зеркального изображения, используя только сдвиги и вращения.
Равномерное замощение — это замощение, в котором каждая плитка представляет собой правильный многоугольник и в котором каждая вершина может быть отображена в любую другую вершину за счет симметрии замощения. Обычно однородные плитки дополнительно должны иметь плитки, соответствующие от края до края, но если это требование смягчить, то появится восемь дополнительных однородных плиток. Четыре образованы из бесконечных полосок квадратов или равносторонних треугольников, а три — из равносторонних треугольников и правильных шестиугольников. Оставшаяся часть — это мозаика Пифагора. [9]
Теорема Пифагора и разрезы
[ редактировать ]
Эта мозаика называется мозаикой Пифагора, потому что она использовалась в качестве основы доказательства теоремы Пифагора исламскими математиками девятого века Аль-Найризи и Сабитом ибн Куррой , а также британским математиком-любителем XIX века Генри Перигалом . [1] [10] [11] [12] Если сторонами двух квадратов, образующих мозаику, являются числа a и b , то ближайшее расстояние между соответствующими точками на конгруэнтных квадратах равно c , где c — длина гипотенузы прямоугольного треугольника , имеющего стороны a и b . [13] Например, на рисунке слева два квадрата в мозаике Пифагора имеют длину сторон 5 и 12 единиц, а длина стороны плиток в перекрывающейся квадратной мозаике равна 13, исходя из тройки Пифагора (5,12 ,13).
Накладывая квадратную сетку со стороной c на плитку Пифагора, ее можно использовать для создания пятичастного разреза двух неравных квадратов со сторонами a и b в один квадрат со стороной c , показывая, что два меньших квадрата имеют той же площади, что и больший. Аналогично, наложение двух плиток Пифагора можно использовать для создания разделения двух неравных квадратов на шесть частей на два разных неравных квадрата. [10]
Апериодические сечения
[ редактировать ]
Хотя мозаика Пифагора сама по себе является периодической (она имеет квадратную решетку трансляционной симметрии), ее сечения можно использовать для генерации одномерных апериодических последовательностей. [14]
В «конструкции Клотца» для апериодических последовательностей (Klotz — немецкое слово, обозначающее блок) формируется мозаика Пифагора из двух квадратов, размеры которых выбраны так, чтобы соотношение длин двух сторон было иррациональным числом x . Затем выбирается линия, параллельная сторонам квадратов, и формируется последовательность двоичных значений из размеров квадратов, пересекаемых линией: 0 соответствует пересечению большого квадрата, а 1 соответствует пересечению большого квадрата. небольшой квадрат. В этой последовательности относительная пропорция нулей и единиц будет находиться в соотношении x :1. Этой пропорции нельзя достичь с помощью периодической последовательности нулей и единиц, поскольку она иррациональна, поэтому последовательность апериодична. [14]
Если х выбрано в качестве золотого сечения , то последовательность нулей и единиц, сгенерированная таким образом, имеет ту же рекурсивную структуру, что и слово Фибоначчи : ее можно разбить на подстроки вида «01» и «0» (то есть не являются двумя последовательными), и если эти две подстроки последовательно заменить более короткими строками «0» и «1», то получится другая строка с той же структурой. [14]
Связанные результаты
[ редактировать ]Согласно гипотезе Келлера , любое замощение плоскости конгруэнтными квадратами должно включать два квадрата, соприкасающихся ребром с ребром. [15] Ни один из квадратов в мозаике Пифагора не пересекается от края до края. [6] но этот факт не противоречит гипотезе Келлера, поскольку плитки имеют разные размеры, поэтому не все они конгруэнтны друг другу.
Разбиение Пифагора можно обобщить до трехмерного разбиения евклидова пространства кубами двух разных размеров, которое также является односторонним и равнопереходным. Аттила Бёльцкей называет это трехмерное замощение заполнением Роджерса . Он предполагает, что в любом измерении больше трех снова существует уникальный односторонний и равнотранзитивный способ разбиения пространства на гиперкубы двух разных размеров. [16]
Бёрнс и Ригби нашли несколько прототипов , в том числе снежинку Коха , которые можно использовать для мозаики плоскости, только используя копии прототипа в двух или более разных размерах. [17] В более ранней статье Данцера, Грюнбаума и Шепарда приведен еще один пример: выпуклый пятиугольник, который замостит плоскость только при объединении двух размеров. [18] Хотя в мозаике Пифагора используются квадраты двух разных размеров, квадрат не обладает тем же свойством, что и эти прототипы, состоящие только в мозаике по сходству, потому что также можно замостить плоскость, используя только квадраты одного размера.
Приложение
[ редактировать ]Раннее структурное применение пифагорейской плитки появляется в работах Леонардо да Винчи , который рассматривал ее среди нескольких других потенциальных образцов для балок пола . [19] Эта плитка также долгое время использовалась в декоративных целях для изготовления напольной плитки или других подобных узоров, как это можно увидеть, например, на Якоба Охтервельта картине «Уличные музыканты у дверей » (1665). [1] Было высказано предположение, что вид подобной плитки во дворце Поликрата , возможно, послужил Пифагора для его теоремы. источником вдохновения для [13]
Ссылки
[ редактировать ]
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б с д Нельсен, Роджер Б. (ноябрь 2003 г.), «Картины, плоские мозаики и доказательства» (PDF) , Math Horizons , 11 (2): 5–8, doi : 10.1080/10724117.2003.12021741 , S2CID 126000048 . Перепечатано в Хаунспергер, Дина; Кеннеди, Стивен (2007), Край Вселенной: празднование десяти лет математических горизонтов , Серия Spectrum, Математическая ассоциация Америки, стр. 295–298, ISBN 978-0-88385-555-3 . См. также Альсина, Клауди; Нельсен, Роджер Б. (2010), Очаровательные доказательства: путешествие в изящную математику , Математические пояснения Дольчиани, том. 42, Математическая ассоциация Америки, стр. 168–169, ISBN. 978-0-88385-348-1 .
- ^ Уэллс, Дэвид (1991), «Мозаика из двух квадратов», Словарь любопытной и интересной геометрии Penguin , Нью-Йорк: Penguin Books, стр. 260–261 , ISBN 0-14-011813-6 .
- ^ «Как укладывать плитку с узором в стиле классики» , Home Guides, San Francisco Chronicle , получено 12 декабря 2016 г.
- ^ Редакторы Fine Homebuilding (2013), «Ремоделирование ванной комнаты» , Taunton Press, стр. 45, ISBN 978-1-62710-078-6 . Схематическая диаграмма, иллюстрирующая этот рисунок напольной плитки, приведена ранее, на стр. 42.
- ^ Радин, К. (1994), «Вертушка плоскости», Annals of Mathematics , 139 (3): 661–702, doi : 10.2307/2118575 , JSTOR 2118575
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Мартини, Хорст; Макай, Эндре; Солтан, Валериу (1998), «Односторонние мозаики плоскости квадратами трех размеров» , Вклад в алгебру и геометрию , 39 (2): 481–495, MR 1642720 .
- ^ Грюнбаум, Бранко ; Шепард, GC (1987), Мозаика и шаблоны , WH Freeman, p. 171 .
- ^ Грюнбаум и Шепард (1987) , с. 42.
- ^ Грюнбаум и Шепард (1987) , стр. 73–74.
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Фредериксон, Грег Н. (1997), Dissections: Plane & Fancy , Cambridge University Press, стр. 30–31 .
- ^ Агило, Франческ; Фиол, Майкл Ангел; Фиол, Мария Луиса (2000), «Периодические мозаики как метод рассечения», American Mathematical Monthly , 107 (4): 341–352, doi : 10.2307/2589179 , JSTOR 2589179 , MR 1763064 .
- ^ Грюнбаум и Шепард (1987) , с. 94.
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Остерманн, Александр; Ваннер, Герхард (2012), «Фалес и Пифагор», Геометрия в ее истории , Тексты для студентов по математике, Springer, стр. 3–26, doi : 10.1007/978-3-642-29163-0_1 . См., в частности, стр. 15–16 .
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б с Штойрер, Вальтер; Делуди, София (2009), «3.5.3.7 Конструкция Клотца», Кристаллография квазикристаллов: концепции, методы и структуры , серия Springer в материаловедении, том. 126, Springer, стр. 91–92, номер документа : 10.1007/978-3-642-01899-2 , ISBN. 978-3-642-01898-5 .
- ↑ Истинность его гипотезы для двумерных мозаик уже была известна Келлеру, но с тех пор она оказалась неверной для измерений восемь и выше. Недавний обзор результатов, связанных с этой гипотезой, см. Цзун, Чуанмин (2005), «Что известно о единичных кубах», Бюллетень Американского математического общества , Новая серия, 42 (2): 181–211, doi : 10.1090/S0273-0979-05-01050-5 , MR 2133310 .
- ^ Бёльцкей, Аттила (2001), «Заполнение пространства кубами двух размеров», Publicationes Mathematicae Debrecen , 59 (3–4): 317–326, doi : 10.5486/PMD.2001.2480 , MR 1874434 , S2CID 226270246 . См. также Доусон (1984) , который включает иллюстрацию трехмерной мозаики, приписываемую «Роджерсу», но цитируемую в статье Ричарда К. Гая 1960 года : Доусон, Р.Дж.М. (1984), «О заполнении пространства различными целочисленными кубами», Журнал комбинаторной теории , серия A, 36 (2): 221–229, doi : 10.1016/0097-3165(84)90007-4 , MR 0734979 .
- ^ Бернс, Эйдан (1994), «78.13 Фрактальные мозаики», Mathematical Gazette , 78 (482): 193–196, doi : 10.2307/3618577 , JSTOR 3618577 , S2CID 126185324 . Ригби, Джон (1995), «79.51 Замощение плоскости подобными многоугольниками двух размеров», Mathematical Gazette , 79 (486): 560–561, doi : 10.2307/3618091 , JSTOR 3618091 , S2CID 125458495 .
- ^ Рисунок 3 Данцер, Людвиг; Грюнбаум, Бранко ; Шепард, GC (1982), «Нерешенные проблемы: могут ли все плитки иметь пятикратную симметрию?», The American Mathematical Monthly , 89 (8): 568–570+583–585, doi : 10.2307/2320829 , JSTOR 2320829 , МР 1540019 .
- ^ Санчес, Хосе; Эскриг, Феликс (декабрь 2011 г.), «Рамы, спроектированные Леонардо с короткими деталями: аналитический подход», International Journal of Space Structures , 26 (4): 289–302, doi : 10.1260/0266-3511.26.4.289 , S2CID 108639647 .
