Конфигурация вершин
 Икосододекаэдр |  Фигура вершины представлена как 3.5.3.5 или (3.5) 2 |
В геометрии конфигурация вершин [1] [2] [3] [4] это сокращенное обозначение для представления вершинной фигуры многогранника — или мозаики в виде последовательности граней вокруг вершины . Для однородных многогранников существует только один тип вершин, поэтому конфигурация вершин полностью определяет многогранник. ( Киральные многогранники существуют в зеркальных парах с одинаковой конфигурацией вершин.)
Конфигурация вершины задается как последовательность чисел, представляющая количество сторон граней, огибающих вершину. Обозначение « abc » описывает вершину, вокруг которой есть 3 грани, грани со a , b и c сторонами .
Например, « 3.5.3.5 » обозначает вершину, принадлежащую 4 граням, чередующимся треугольникам и пятиугольникам . Эта конфигурация вершин определяет вершинно-транзитивный икосододекаэдр . Обозначение циклическое и поэтому эквивалентно различным начальным точкам, поэтому 3.5.3.5 совпадает с 5.3.5.3. Порядок важен, поэтому 3.3.5.5 отличается от 3.5.3.5 (первый состоит из двух треугольников, за которыми следуют два пятиугольника). Повторяющиеся элементы можно собирать в виде показателей, поэтому этот пример также представлен как (3.5) 2 .
Его по-разному называли описанием вершины . [5] [6] [7] тип вершины , [8] [9] символ вершины , [10] [11] расположение вершин , [12] узор вершин , [13] лицо-вектор . [14] Его также называют символом Канди и Роллетта из-за его использования для обозначения архимедовых тел в их книге «Математические модели» 1952 года . [15] [16] [17]
Фигуры вершин [ править ]
Конфигурацию вершин также можно представить в виде многоугольной фигуры вершины, показывающей грани вокруг вершины. Эта фигура вершин имеет трехмерную структуру, поскольку грани многогранников не находятся в одной плоскости, но для многогранников, однородных по вершинам, все соседние вершины находятся в одной плоскости, и поэтому эту плоскую проекцию можно использовать для визуального представления конфигурации вершин. .
Вариации и использование [ править ]
 {3,3} = 3 3 Дефект 180° |  {3,4} = 3 4 Дефект 120° |  {3,5} = 3 5 Дефект 60° |  {3,6} = 3 6 |
 {4,3} Дефект 90° |  {4,4} = 4 4 |  {5,3} = 5 3 Дефект 36° |  {6,3} = 6 3 |
| Для вершины необходимо как минимум 3 грани и дефект угла . Дефект угла 0° заполнит евклидову плоскость правильной мозаикой. По теореме Декарта число вершин равно 720°/ дефект (4π радиан/ дефект ). | |||
Используются разные обозначения, иногда с разделителем-запятой (,), а иногда и точкой (.). Оператор периода полезен, поскольку он выглядит как произведение и можно использовать обозначение экспоненты. Например, 3.5.3.5 иногда записывается как (3.5) 2 .
Обозначение также можно рассматривать как расширенную форму простого символа Шлефли для правильных многогранников . Обозначение Шлефли { p , q } означает q p -угольников вокруг каждой вершины. Итак, { p , q } можно записать как ppp.. ( q раз) или p д . Например, икосаэдр равен {3,5} = 3.3.3.3.3 или 3. 5 .
Это обозначение применимо как к многоугольным мозаикам, так и к многогранникам. Плоская конфигурация вершин обозначает равномерную мозаику точно так же, как неплоская конфигурация вершин обозначает однородный многогранник.
Обозначения неоднозначны для киральных форм. Например, курносый куб имеет формы, направленные по часовой стрелке и против часовой стрелки, которые идентичны в зеркальных изображениях. Оба имеют конфигурацию вершин 3.3.3.3.4.
Звездчатые многоугольники [ править ]
Обозначения также применимы для невыпуклых правильных граней, звездчатых многоугольников . Например, пентаграмма имеет символ {5/2}, что означает, что у нее 5 сторон, дважды огибающих центр.
Например, есть 4 правильных звездчатых многогранника с фигурами вершин правильного многоугольника или звездчатого многоугольника. Маленький звездчатый додекаэдр имеет символ Шлефли {5/2,5}, который расширяется до явной конфигурации вершин 5/2,5/2,5/2,5/2,5/2 или в сочетании с (5/2). 5 . Большой звездчатый додекаэдр {5/2,3} имеет треугольную фигуру вершины и конфигурацию (5/2,5/2,5/2) или (5/2). 3 . Большой додекаэдр {5,5/2} имеет пентаграммную фигуру вершины с конфигурацией вершин (5.5.5.5.5)/2 или (5 5 )/2. Большой икосаэдр {3,5/2} также имеет пентаграммную фигуру вершины с конфигурацией вершин (3.3.3.3.3)/2 или (3 5 )/2.
 |  |  |  |  |
| {5/2,5} = (5/2) 5 | {5/2,3} = (5/2) 3 | 3 4 .5/2 | 3 4 .5/3 | (3 4 .5/2)/2 |
|---|---|---|---|---|
 |  |  |  |  |
| {5,5/2} = (5 5 )/2 | {3,5/2} = (3 5 )/2 | V.3 4 .5/2 | V3 4 .5/3 | V(3 4 .5/2)/2 |
Перевернутые многоугольники [ править ]
Считается, что грани на вершинной фигуре развиваются в одном направлении. Некоторые однородные многогранники имеют фигуры вершин с инверсией, где грани двигаются ретроградно. Фигура вершин представляет это в виде звездчатого многоугольника со сторонами p/q, так что p <2 q , где p — количество сторон, а q — количество витков вокруг круга. Например, «3/2» означает треугольник, вершины которого оборачиваются дважды, что то же самое, что и один раз назад. Точно так же «5/3» — это перевернутая пентаграмма 5/2.
Все однородные конфигурации вершин правильных выпуклых многоугольников [ править ]
Полуправильные многогранники имеют конфигурации вершин с дефектом положительного угла .
ПРИМЕЧАНИЕ. Фигура вершины может представлять собой правильную или полуправильную мозаику на плоскости, если ее дефект равен нулю. Он может представлять собой мозаику гиперболической плоскости, если его дефект отрицателен.
Для однородных многогранников дефект угла можно использовать для вычисления количества вершин. Теорема Декарта утверждает, что сумма всех угловых дефектов в топологической сфере должна составлять 4 π радиан или720 градусов.
Поскольку у однородных многогранников все вершины одинаковы, это соотношение позволяет вычислить количество вершин, которое равно 4 π / дефект или720/ дефект .
Пример: Усеченный куб 3.8.8 имеет дефект угла 30 градусов. Следовательно, он имеет 720/30 = 24 вершины.
В частности, отсюда следует, что { a , b } имеет 4/(2 - b (1 - 2/ a )) вершин.
Каждая перечислимая конфигурация вершин потенциально однозначно определяет полуправильный многогранник. Однако не все конфигурации возможны.
Топологические требования ограничивают существование. В частности, pqr подразумевает, что p -угольник окружен чередующимися q -угольниками и r -угольниками, поэтому либо p четно, либо q равно r . Аналогично q четно или p равно r , а r четно или p равно q . Следовательно, потенциально возможные тройки — это 3.3.3, 3.4.4, 3.6.6, 3.8.8, 3.10.10, 3.12.12, 4.4. n (для любого n >2), 4.6.6, 4.6.8, 4.6.10, 4.6.12, 4.8.8, 5.5.5, 5.6.6, 6.6.6. На самом деле все эти конфигурации с тремя гранями, встречающимися в каждой вершине, оказываются существующими.
Число в скобках — количество вершин, определяемое дефектом угла.
- тройки
- Платоновые тела 3.3.3 (4), 4.4.4 (8), 5.5.5 (20)
- призмы 3.4.4(6), 4.4.4(8; также указаны выше), 4.4. п (2 н )
- Архимедовы тела 3.6.6 (12), 3.8.8 (24), 3.10.10 (60), 4.6.6 (24), 4.6.8 (48), 4.6.10 (120), 5.6.6 (60) .
- обычная мозаика 6.6.6
- полуправильные мозаики 3.12.12 , 4.6.12 , 4.8.8
- четверняшки
- Платоново тело 3.3.3.3 (6)
- антипризмы 3.3.3.3 (6; также перечислены выше), 3.3.3. п (2 н )
- Архимедовы тела 3.4.3.4 (12), 3.5.3.5 (30), 3.4.4.4 (24), 3.4.5.4 (60)
- обычная мозаика 4.4.4.4
- полуправильные мозаики 3.6.3.6 , 3.4.6.4
- Пятерки
- Платоново тело 3.3.3.3.3 (12)
- Архимедовы тела 3.3.3.3.4 (24), 3.3.3.3.5 (60) (оба хиральные )
- полуправильные мозаики 3.3.3.3.6 (хиральные), 3.3.3.4.4 , 3.3.4.3.4 (обратите внимание, что два разных порядка одних и тех же чисел дают два разных шаблона)
- Шестерняшки
- обычная мозаика 3.3.3.3.3.3
Конфигурация лица [ править ]
Однородные двойственные или каталонские тела , включая бипирамиды и трапецииэдры , являются вертикально правильными ( транзитивными по граням ), и поэтому их можно идентифицировать с помощью аналогичных обозначений, которые иногда называют конфигурацией граней . [3] двойными символами префикс V. Канди и Роллетт поставили перед этими Напротив, в разделе «Плитки и шаблоны» символы изоэдральных мозаик заключаются в квадратные скобки.
Это обозначение представляет собой последовательный подсчет количества граней, существующих в каждой вершине вокруг грани . [18] Например, V3.4.3.4 или V(3.4). 2 представляет ромбический додекаэдр , который является транзитивным по граням: каждая грань является ромбом , а чередующиеся вершины ромба содержат по 3 или 4 грани каждая.
Примечания [ править ]
- ^ Единое решение для однородных многогранников. Архивировано 27 ноября 2015 г. в Wayback Machine (1993).
- ^ Равномерные многогранники Роман Э. Медер (1995)
- ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б Кристаллография квазикристаллов: концепции, методы и структуры , Уолтер Стирер, София Делуди, (2009), стр. 18–20 и 51–53.
- ^ Физическая металлургия: набор из 3 томов, том 1 под редакцией Дэвида Э. Лафлина, (2014), стр. 16–20.
- ^ Архимедовы многогранники. Архивировано 5 июля 2017 г. в Wayback Machine, Стивен Датч.
- ^ Равномерные многогранники Джим Макнил
- ^ Однородные многогранники и их двойники Роберт Уэбб
- ^ Графики симметрического типа платоновых и архимедовых тел , Юрий Кович, (2011)
- ^ 3. Общие теоремы: регулярные и полуправильные мозаики Кевин Митчелл, 1995
- ^ Ресурсы для преподавания дискретной математики: классные проекты, история, модули и статьи под редакцией Брайана Хопкинса.
- ^ Символ вершины Роберт Уиттакер
- ^ Структура и форма в дизайне: критические идеи для творческой практики Майкл Ханн
- ^ Графики типа симметрии платоновых и архимедовых тел Юрий Кович
- ^ Деза, Мишель; Штогрин, Михаил (2000), «Равномерные разбиения трехмерного пространства, их родственники и вложение», European Journal of Combinatorics , 21 (6): 807–814, arXiv : math/9906034 , doi : 10.1006/eujc.1999.0385 , MR 1791208
- ^ Вайсштейн, Эрик В. , «Архимедово тело» , MathWorld
- ^ Разделенные сферы: геодезика и упорядоченное деление сферы 6.4.1 Символ Канди-Роллетта, стр. 6.4.1. 164
- ^ Лафлин (2014), с. 16
- ^ Канди и Роллетт (1952)
Ссылки [ править ]
- Канди, Х. и Роллетт, А., Математические модели (1952), (3-е издание, 1989, Стрэдброк, Англия: Tarquin Pub.), 3.7 Архимедовы многогранники . Стр. 101–115, стр. 118–119 Таблица I, Сети архимедовых дуалов, В. а . б . c ... как вертикально-правильные символы.
- Питер Кромвель, Многогранники , Издательство Кембриджского университета (1977) Архимедовы тела. Стр. 156–167.
- Уильямс, Роберт (1979). Геометрическая основа естественной структуры: справочник по дизайну . Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-23729-Х . Использует символ Канди-Роллетта.
- Грюнбаум, Бранко ; Шепард, GC (1987). Плитки и узоры . WH Фриман и компания. ISBN 0-7167-1193-1 . Стр. 58–64, Замощения правильных многоугольников abc ... (Замощения правильными многоугольниками и звездчатыми многоугольниками) стр. 95–97, 176, 283, 614–620, Символ моноэдрального замощения [v 1 .v 2 . ... .в р ]. стр. 632–642. Полые плитки.
- Симметрии вещей 2008, Джон Х. Конвей, Хайди Бургель, Хаим Гудман-Штраус, ISBN 978-1-56881-220-5 (стр. 289 Фигуры вершин, разделитель-запятая, для архимедовых тел и мозаик).