Икосододекаэдр
| Икосододекаэдр | |
|---|---|
 (Нажмите здесь, чтобы увидеть вращающуюся модель) | |
| Тип | Архимедово тело Однородный многогранник |
| Элементы | F = 32, E = 60, V = 30 (χ = 2) |
| Лица по сторонам | 20{3}+12{5} |
| Обозначение Конвея | объявление |
| Символы Шлефли | г{5,3} |
| т 1 {5,3} | |
| Символ Витхоффа | 2 | 3 5 |
| Диаграмма Кокстера |     |
| Группа симметрии | I h , H 3 , [5,3], (*532), порядок 120 |
| Группа ротации | Я , [5,3] + , (532), порядок 60 |
| Двугранный угол | |
| Ссылки | Ю 24 , С 28 , Ж 12 |
| Характеристики | Полуправильный выпуклый квазиправильный |
 Цветные лица |  3.5.3.5 ( фигура вершины ) |
 Ромбический триаконтаэдр ( двойной многогранник ) |  Сеть |
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\cos ^{-1}\left(-{\sqrt {\frac {5+2{\sqrt {5}}}{15}}}\right)\\[ 2pt]&\approx 142,62^{\circ }\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09e79aad1401f46d84102bb477c0240111bc8c4f)
В геометрии икосододекаэдр гранями — это многогранник с двадцатью ( икоси ) треугольными и двенадцатью ( додека ) пятиугольными гранями. Икосододекаэдр имеет 30 одинаковых вершин , в каждой из которых сходятся два треугольника и два пятиугольника, и 60 одинаковых ребер, каждое из которых отделяет треугольник от пятиугольника. По существу, это одно из архимедовых тел , а точнее, квазиправильный многогранник .
Геометрия [ править ]
Икосододекаэдр имеет икосаэдрическую симметрию, и его первая звездчатая форма представляет собой и его соединение додекаэдра двойственного икосаэдра , причем вершины икосододекаэдра расположены в середине ребер каждого из них.
Его двойственный многогранник — ромбический триаконтаэдр . Икосододекаэдр можно разбить по любой из шести плоскостей, чтобы сформировать пару пятиугольных ротонд , принадлежащих к телам Джонсона .
Икосододекаэдр можно рассматривать как пятиугольную гиробиротонду , как комбинацию двух ротонд (сравните пятиугольную ортобиротонду , одно из тел Джонсона ). В этой форме его симметрия равна D 5d , [10,2 + ], (2*5), порядок 20.
Каркасная фигура икосододекаэдра состоит из шести плоских правильных десятиугольников , попарно сходящихся в каждой из 30 вершин.
Икосододекаэдр имеет 6 центральных десятиугольников . Проецированные в сферу, они образуют шесть больших кругов . Бакминстер Фуллер использовал эти 6 больших кругов, а также 15 и 10 других в двух других многогранниках, чтобы определить свой 31 большой круг сферического икосаэдра .
Декартовы координаты [ править ]
Удобные декартовы координаты вершин икосододекаэдра с единичными ребрами задаются четными перестановками : [1]
- (0, 0, ± φ )
- (± 1 / 2 , ± φ / 2 , ± ж 2 / 2 )
где φ — золотое сечение , 1 + √ 5 / 2 .
Длинный радиус (от центра до вершины) икосододекаэдра находится в золотом пропорции к длине его ребра; таким образом, его радиус равен φ, если длина его ребра равна 1, а длина ребра равна 1 / φ, если его радиус равен 1. Только несколько однородных многогранников обладают этим свойством, включая четырехмерный 600-ячеечный , трехмерный икосододекаэдр и двумерный декагон . (Икосододекаэдр — это экваториальное сечение икосододекаэдра, а декагон — это экваториальное сечение икосододекаэдра.) Эти радиально-золотые многогранники с их радиусами могут быть построены из золотых треугольников , которые встречаются в центре, каждый из которых вносит свой вклад. два радиуса и ребро.
Ортогональные проекции [ править ]
Икосододекаэдр имеет четыре специальные ортогональные проекции с центрами на вершине, ребре, треугольной грани и пятиугольной грани. Последние два соответствуют A 2 и H 2 плоскостям Кокстера .
| В центре | Вертекс | Край | Лицо Треугольник | Лицо Пентагон |
|---|---|---|---|---|
| Твердый |  |  |  | |
| Каркас |  |  |  |  |
| Проективный симметрия | [2] | [2] | [6] | [10] |
| Двойной |  |  |  |  |
Площадь поверхности и объём [ править ]
Площадь поверхности A и объем V икосододекаэдра с длиной ребра a равны:
Сферическая черепица [ править ]
Икосододекаэдр также можно представить в виде сферической мозаики и спроецировать на плоскость с помощью стереографической проекции . Эта проекция является равноугольной , сохраняющей углы, но не площади или длины. Прямые линии на сфере проецируются на плоскость в виде дуг окружностей.
 |  Пятиугольник в центре |  Треугольник -центрированный |
| Ортографическая проекция | Стереографические проекции | |
|---|---|---|
| Орфографические проекции |
|---|
Связанные многогранники [ править ]
Икосододекаэдр — это выпрямленный додекаэдр , а также выпрямленный икосаэдр , существующий как усечение по всему краю между этими правильными телами.
Икосододекаэдр содержит 12 пятиугольников додекаэдра и 20 треугольников икосаэдра :
| Семейство однородных икосаэдрических многогранников. |
|---|
Икосододекаэдр существует в последовательности симметрий квазиправильных многогранников и мозаик с конфигурациями вершин (3. n ) 2 , переходя от мозаик сферы к евклидовой плоскости и к гиперболической плоскости. При симметрии орбифолдной записи * n 32 все эти мозаики не строятся внутри фундаментальной области симметрии с образующими точками в прямоугольном углу области. [2] [3]
| * n 32 орбифолдных симметрии квазирегулярных мозаик : (3. n ) 2 |
|---|
| *5 n 2 мутации симметрии квазирегулярных мозаик: (5.n) 2 |
|---|
Рассечение [ править ]
Икосододекаэдр связан с телом Джонсона, называемым пятиугольной ортобиротондой, созданным двумя пятиугольными ротондами, соединенными как зеркальные изображения. можно Таким образом , икосододекаэдр назвать пятиугольной гиробиротундой с вращением между верхней и нижней половинками.
 (Диссекция) |
|
Связанные многогранники [ править ]
Усеченный куб можно превратить в икосододекаэдр, разделив восьмиугольники на два пятиугольника и два треугольника. Имеет пиритоэдрическую симметрию .
Восемь однородных звездчатых многогранников имеют одинаковое расположение вершин . Из них два также имеют одинаковое расположение ребер : маленький икосихемидодекаэдр (имеющий общие треугольные грани) и маленький додекахемидодекаэдр (имеющий общие пятиугольные грани). Расположение вершин также общее с соединениями пяти октаэдров и пяти тетрагемигексаэдров .
Родственная полихора [ править ]
В четырехмерной геометрии икосододекаэдр появляется в регулярной 600-ячейке как экваториальный срез, который принадлежит первому вершинному прохождению 600-ячейки через трехмерное пространство. Другими словами: 30 вершин 600-ячейки, лежащие на описанной ею гиперсфере на расстоянии 90 градусов от пары противоположных вершин, являются вершинами икосододекаэдра. Проволочная каркасная фигура из 600 ячеек состоит из 72 плоских правильных десятиугольников. Шесть из них представляют собой экваториальные декагоны, ведущие к паре противоположных вершин. Это именно те шесть десятиугольников, которые образуют проволочную фигуру икосододекаэдра.
Если 600-ячеечная в стереографически проецируется трехмерное пространство вокруг любой вершины и все точки нормализованы, геодезические, икосододекаэдра на которые падают ребра, составляют барицентрическое подразделение .
Икосододекаэдрический граф [ править ]
| Икосододекаэдрический граф | |
|---|---|
 5-кратной симметрии Диаграмма Шлегеля | |
| Вершины | 30 |
| Края | 60 |
| Автоморфизмы | 120 |
| Характеристики | Граф четвертой степени , гамильтониан , регулярный |
| Таблица графиков и параметров | |
В математической области теории графов икосододекаэдрический граф — это график вершин и ребер икосододекаэдра, одного из архимедовых тел . Он имеет 30 вершин и 60 ребер и является четвертой степени архимедовым графом . [4]
Икосододекаэдры в природе [ править ]
Сфера Хобермана представляет собой икосододекаэдр.
Икосидодекаэдры можно обнаружить во всех эукариотических клетках, включая клетки человека, в виде Sec13/31 COPII . белковых образований оболочки [5]
Общая информация [ править ]
Во вселенной «Звездного пути» вулканская логическая игра Кал-То преследует цель создать форму с двумя вложенными голографическими икосододекаэдрами, соединенными в середине своих сегментов.
См. также [ править ]
Примечания [ править ]
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Группа икосаэдра» . Математический мир .
- ^ Коксетера Регулярные многогранники , Третье издание, (1973), Дуврское издание, ISBN 0-486-61480-8 (Глава V: Калейдоскоп, раздел: 5.7 Конструкция Витхоффа)
- ^ Мутации двумерной симметрии Дэниела Хьюсона
- ^ Читай, RC; Уилсон, Р.Дж. (1998), Атлас графиков , Oxford University Press , стр. 269
- ^ Рассел, Кристофер; Стэгг, Скотт (11 февраля 2010 г.). «Новый взгляд на структурные механизмы пальто COPII» . Трафик . 11 (3): 303–310. дои : 10.1111/j.1600-0854.2009.01026.x . ПМИД 20070605 .
Ссылки [ править ]
- Уильямс, Роберт (1979). Геометрическая основа естественной структуры: справочник по дизайну . Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-23729-Х . (Раздел 3-9)
- Кромвель, П. (1997). Многогранники . Великобритания: Кембридж. С. 79–86 Архимедовы тела . ISBN 0-521-55432-2 .
Внешние ссылки [ править ]
- Вайсштейн, Эрик В. , « Икосододекаэдр » (« Архимедово тело ») в MathWorld .
- Клитцинг, Ричард. «3D выпуклые однородные многогранники o3x5o — id» .
- Редактируемая для печати сетка икосододекаэдра с интерактивным 3D-просмотром
- Однородные многогранники
- Многогранники виртуальной реальности Энциклопедия многогранников
