Кубооктаэдр

Кубооктаэдр
(Нажмите здесь, чтобы увидеть вращающуюся модель)
Тип	Архимедово тело Однородный многогранник
Элементы	F = 14, E = 24, V = 12 (χ = 2)
Лица по сторонам	8{3}+6{4}
Обозначение Конвея	до нашей эры ааТ
Символы Шлефли	г{4,3} или ${\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmatrix}}$ rr{3,3} или $r{\begin{Bmatrix}3\\3\end{Bmatrix}}$
	т 1 {4,3} или т 0,2 {3,3}
Символ Витхоффа	2 | 3 4 3 3 | 2
Диаграмма Кокстера	или или
Группа симметрии	О h , B 3 , [4,3], (*432), порядок 48 T d , [3,3], (*332), порядок 24
Группа ротации	О , [4,3] + , (432), порядок 24
Двугранный угол	$\operatorname {arcsec} \left(-{\sqrt {3}}\right)\approx 125.26^{\circ }$
Ссылки	У 07 , С 19 , Ж 11
Характеристики	Полуправильный выпуклый квазиправильный
Цветные лица	3.4.3.4 ( фигура вершины )
Ромбический додекаэдр ( двойной многогранник )	Сеть

Кубооктаэдр – это многогранник с 8 треугольными гранями и 6 квадратными гранями. Кубооктаэдр имеет 12 одинаковых вершин , в каждой из которых сходятся по 2 треугольника и 2 квадрата, и 24 одинаковых ребра , каждое из которых отделяет треугольник от квадрата. По сути, это квазиправильный многогранник , то есть архимедово тело , которое не только транзитивно по вершинам, но и по ребрам . Он радиально равносторонний .

Его двойственный многогранник — ромбдодекаэдр .

Кубооктаэдр, вероятно, был известен Платону : Герона » «Определения цитируют слова Архимеда о том, что Платон знал твердое тело, состоящее из 8 треугольников и 6 квадратов.

Синонимы

• Векторное равновесие ( Бакминстер Фуллер ), потому что его радиус от центра до вершины равен длине ребра (оно имеет радиальную равностороннюю симметрию ). Фуллер также назвал кубооктаэдр, построенный из жестких стоек и гибких вершин, джиттербагом ; этот объект можно постепенно преобразовать в икосаэдр , октаэдр и тетраэдр , сложив по диагоналям его квадратные стороны.
• С симметрией Oh _, порядка 48, это выпрямленный куб или выпрямленный октаэдр ( Норман Джонсон ).
• При симметрии T _d порядка 24 это кантеллированный тетраэдр или ромбитетратраэдр.
• При симметрии D _3d 12-го порядка это треугольный гиробикупола .

Ортогональные проекции

Кубооктаэдр . имеет четыре специальные ортогональные проекции с центрами на вершине, ребре и двух типах граней: треугольную и квадратную Последние два соответствуют _{B 2} и A ₂ плоскостям Кокстера . На косых проекциях показаны квадрат и шестиугольник, проходящие через центр кубооктаэдра.

Кубооктаэдр (ортогональные проекции)

Квадрат Лицо	Треугольный Лицо	Вертекс	Край	Перекос
[4]	[6]	[2]	[2]
Ромбдодекаэдр (Двойной многогранник)

Сферическая черепица

Сферический кубооктаэдр образован четырьмя большими кругами .

Кубооктаэдр также можно представить в виде сферической мозаики и спроецировать на плоскость с помощью стереографической проекции . Эта проекция является равноугольной , сохраняющей углы, но не площади или длины. Прямые линии на сфере проецируются на плоскость в виде дуг окружностей.

ортографическая проекция	квадратно -центрированный	треугольник с центром	Центрировано по вершинам
	Стереографическая проекция

Структура

Декартовы координаты вершин кубооктаэдра (с длиной ребра ${\sqrt {2}}$) с центром в начале координат являются:

(±1,±1,0)

(±1,0,±1)

(0,±1,±1)

Альтернативный набор координат может быть создан в 4-мерном пространстве как 12 перестановок:

(0,1,1,2)

Эта конструкция существует как одна из 16 ортантных граней структуры кантеллированной 16-клеточной .

Корневые векторы

12 вершин кубооктаэдра могут представлять корневые векторы простой группы Ли A ₃ . С добавлением 6 вершин октаэдра эти вершины представляют собой 18 корневых векторов простой группы Ли B ₃ .

Свойства метрики

Площадь A и объем V кубооктаэдра с длиной ребра a равны:

${\begin{aligned}A&=\left(6+2{\sqrt {3}}\right)a^{2}&&\approx 9.464\,1016a^{2}\\V&={\tfrac {5}{3}}{\sqrt {2}}a^{3}&&\approx 2.357\,0226a^{3}.\end{aligned}}$

Рассечение

Тетраэдры и Октаэдры

Кубооктаэдр можно разрезать на 6 квадратных пирамид и 8 тетраэдров, сходящихся в центральной точке. Это расчленение выражается в тетраэдро-октаэдрических сотах , где пары квадратных пирамид объединяются в октаэдры .

Неправильные многогранники

Кубооктаэдр можно разрезать на два треугольных купола общим шестиугольником, проходящим через центр кубооктаэдра. Если эти два треугольных купола скручены так, что треугольники и квадраты совпадают, тело Джонсона J ₂₇ , треугольный ортобикупол образуется .

Геометрические отношения

Прогрессия между тетраэдром , расширенным в кубооктаэдр, и обратным расширением в двойной тетраэдр.

Радиальная

В кубооктаэдре длинный радиус (от центра до вершины) равен длине ребра; таким образом, его длинный диаметр (от вершины до противоположной вершины) равен двум длинам ребра. Его центр подобен вершине канонической пирамиды: на расстоянии одного ребра от всех остальных вершин. (В случае кубооктаэдра центр на самом деле является вершиной 6 квадратных и 8 треугольных пирамид). Эта радиальная равносторонняя симметрия является свойством лишь нескольких однородных многогранников , включая двумерный шестиугольник , трехмерный кубооктаэдр и четырехмерный 24- и 8-ячеечный (тессеракт) . Радиально равносторонние многогранники - это те, которые с их длинными радиусами могут быть построены из равносторонних треугольников, которые пересекаются в центре многогранника, каждый из которых дает два радиуса и ребро. Следовательно, все внутренние элементы, которые встречаются в центре этих многогранников, имеют внутренние грани равностороннего треугольника, как при разрезе кубооктаэдра на 6 квадратных пирамид и 8 тетраэдров.

Каждый из этих радиально равносторонних многогранников также встречается как ячейки характерной мозаики, заполняющей пространство : мозаика из правильных шестиугольников, выпрямленные кубические соты (чередующиеся кубооктаэдры и октаэдры), соты из 24 ячеек и тессерактические соты соответственно. Каждая тесселяция имеет двойную тесселяцию ; центры ячеек в мозаике являются вершинами ячеек в двойной мозаике. Самая плотная известная регулярная упаковка сфер в двух, трех и четырех измерениях использует центры ячеек одной из этих мозаик в качестве центров сфер.

Кубооктаэдр обладает октаэдрической симметрией . Его первая звездчатая структура представляет собой и его соединение куба двойного октаэдра , вершины которого расположены в середине ребер каждого из них.

Конструкции

Кубооктаэдр можно получить, взяв экваториальное сечение четырехмерного 24- или 16-ячеечного . Шестиугольник или квадрат можно получить, взяв экваториальное сечение кубооктаэдра.

Кубооктаэдр — это выпрямленный куб , а также выпрямленный октаэдр .

Это также согнутый тетраэдр . Благодаря этой конструкции ему дается символ Витхоффа : 3 3 | 2 .

Косое сгибание тетраэдра дает твердое тело с гранями, параллельными граням кубооктаэдра, а именно восемь треугольников двух размеров и шесть прямоугольников. Хотя его ребра неравны, это тело остается вершинно-однородным : тело имеет полную тетраэдрическую группу симметрии , и его вершины эквивалентны относительно этой группы.

Ребра кубооктаэдра образуют четыре правильных шестиугольника . Если кубооктаэдр разрезать в плоскости одного из этих шестиугольников, каждая половина представляет собой треугольный купол , одно из тел Джонсона ; Таким образом, сам кубооктаэдр также можно назвать треугольным гиробикуполом , самым простым из серии (кроме гиробифастигия или «дигонального гиробикупола»). Если половинки соединить вместе, повернув так, что треугольники встречаются с треугольниками, а квадраты с квадратами, в результате получится еще одно тело Джонсона, треугольный ортобикупол , также называемый антикубооктаэдром.

Оба треугольных бикупола играют важную роль в упаковке сфер . Расстояние от центра тела до его вершин равно длине его ребра. Каждая центральная сфера может иметь до двенадцати соседей, и в гранецентрированной кубической решетке они занимают позиции вершин кубооктаэдра. В гексагональной плотноупакованной решетке они соответствуют углам треугольного ортобикупола. В обоих случаях центральная сфера занимает положение центра твердого тела.

Кубооктаэдры появляются в виде ячеек в трёх выпуклых однородных сотах и ​​в девяти выпуклых однородных четырёхмерных многогранниках .

Объем кубооктаэдра равен 5/6 от площади окружающего куба и 5/8 октаэдра . от площади окружающего

Расположение вершин

Поскольку он радиально равносторонний, центр кубооктаэдра находится на расстоянии одного ребра от 12 вершин.

Кубооктаэдр разделяет свои ребра и расположение вершин с двумя невыпуклыми однородными многогранниками : кубогемиоктаэдром (имеющим общие квадратные грани) и октагемиоктаэдром (имеющим общие треугольные грани), оба имеют четыре шестиугольника. Он также служит в качестве согнутого тетраэдра , будучи выпрямленным тетраэдром .

Кубооктаэдр

его экватор

Кубогемиоктаэдр

Октагемиоктаэдр

Кубооктаэдр 2- тетраполушестигексаэдр накрывает , который соответственно имеет одну и ту же абстрактную фигуру вершины (два треугольника и два квадрата: 3.4.3.4) и половину вершин, ребер и граней. (Фактическая фигура вершины тетрагемишестиэдра равна 3,4. 3/2 , .4 с коэффициент а / 2 из-за креста.)

Кубооктаэдр

Тетрагемишестиэдр

Кинематика

Основная статья: Кинематика кубооктаэдра

Прогрессии между октаэдром , псевдоикосаэдром и кубооктаэдром. Кубооктаэдр может изгибаться таким образом, даже если его края (но не грани) жесткие.

Если интерпретировать кубооктаэдр как каркас из жестких плоских граней, соединенных по краям шарнирами, кубооктаэдр представляет собой жесткую структуру, как и все выпуклые многогранники, по теореме Коши . Однако, когда грани удаляются, оставляя только жесткие ребра, соединенные гибкими соединениями в вершинах, в результате получается не жесткая система. (в отличие от многогранников, все грани которых представляют собой треугольники, к которым применима теорема Коши, несмотря на отсутствие граней).

Добавление центральной вершины, соединенной жесткими ребрами со всеми остальными вершинами, подразделяет кубооктаэдр на квадратные пирамиды и тетраэдры, соединяющиеся в центральной вершине. В отличие от самого кубооктаэдра, полученная система ребер и соединений является жесткой и является частью ферменной структуры бесконечного октета .

Связанные многогранники

Правильные многогранники

Кубооктаэдр — один из семейства однородных многогранников, родственных кубу и правильному октаэдру.

showОднородные октаэдрические многогранники
Symmetry: [4,3], (*432)							[4,3]+ (432)	[1+,4,3] = [3,3] (*332)		[3+,4] (3*2)
{4,3}	t{4,3}	r{4,3} r{31,1}	t{3,4} t{31,1}	{3,4} {31,1}	rr{4,3} s2{3,4}	tr{4,3}	sr{4,3}	h{4,3} {3,3}	h2{4,3} t{3,3}	s{3,4} s{31,1}
		=	=	=				= or	= or	=
Duals to uniform polyhedra
V43	V3.82	V(3.4)2	V4.62	V34	V3.43	V4.6.8	V34.4	V33	V3.62	V35

Кубооктаэдр также имеет тетраэдрическую симметрию с двумя цветами треугольников.

Квазиправильные многогранники и мозаики

Кубооктаэдр существует в последовательности симметрий квазиправильных многогранников и мозаик с конфигурациями вершин (3. n ) ² , переходя от мозаик сферы к евклидовой плоскости и к гиперболической плоскости. При симметрии орбифолдной записи * n 32 все эти мозаики не строятся внутри фундаментальной области симметрии с образующими точками в прямоугольном углу области.

show* n 32 орбифолдных симметрии квазирегулярных мозаик : (3. n ) 2
Construction	Spherical			Euclidean	Hyperbolic
	*332	*432	*532	*632	*732	*832...	*∞32
Quasiregular figures
Vertex	(3.3)2	(3.4)2	(3.5)2	(3.6)2	(3.7)2	(3.8)2	(3.∞)2

show* n 42 мутации симметрии квазирегулярных мозаик: (4. n ) 2
Symmetry *4n2 [n,4]	Spherical	Euclidean	Compact hyperbolic				Paracompact	Noncompact
	*342 [3,4]	*442 [4,4]	*542 [5,4]	*642 [6,4]	*742 [7,4]	*842 [8,4]...	*∞42 [∞,4]	[ni,4]
Figures
Config.	(4.3)2	(4.4)2	(4.5)2	(4.6)2	(4.7)2	(4.8)2	(4.∞)2	(4.ni)2

Этот многогранник топологически связан как часть последовательности сочлененных многогранников с фигурой вершины (3.4.n.4 ) и продолжается как мозаика гиперболической плоскости . Эти вершинно-транзитивные фигуры обладают (* n 32) отражательной симметрией .

show* n 32 мутация симметрии развернутых мозаик: 3.4. № .4
Symmetry *n32 [n,3]	Spherical				Euclid.	Compact hyperb.		Paracomp.
	*232 [2,3]	*332 [3,3]	*432 [4,3]	*532 [5,3]	*632 [6,3]	*732 [7,3]	*832 [8,3]...	*∞32 [∞,3]
Figure
Config.	3.4.2.4	3.4.3.4	3.4.4.4	3.4.5.4	3.4.6.4	3.4.7.4	3.4.8.4	3.4.∞.4

4-мерные многогранники

Ортогональные проекции 24-клеток

Кубооктаэдр можно разложить на правильный октаэдр и восемь неправильных, но равных октаэдров в форме выпуклой оболочки куба с удаленными двумя противоположными вершинами. Это разложение кубооктаэдра соответствует параллельной проекции 24-х ячеек в три измерения. В рамках этой проекции кубооктаэдр образует оболочку проекции, которую можно разложить на шесть квадратных граней, правильный октаэдр и восемь неправильных октаэдров. Эти элементы соответствуют изображениям шести октаэдрических ячеек в 24-ячейке, ближайшей и самой дальней ячеек с точки зрения 4D и оставшихся восьми пар ячеек соответственно.

Кубооктаэдрический граф

Кубооктаэдрический граф
4-кратная симметрия
Вершины	12
Края	24
Автоморфизмы	48
Характеристики	Квартик гамильтониан обычный локально линейный
Таблица графиков и параметров

В математической области теории графов кубооктаэдрический граф — это граф вершин и ребер кубооктаэдра, одного из архимедовых тел . Его также можно построить как линейный график куба. Он имеет 12 вершин и 24 ребра, локально линеен и является четвертой степени архимедовым графом .

ортогональная проекция

6-кратная симметрия

См. также

• Икосододекаэдр
• Псевдокубооктаэдр
• Ромбокубооктаэдр
• Усеченный кубооктаэдр
• Тетрадекаэдр
• Курносый куб

Библиография

• Коксетер, HSM (1973) [1948]. Правильные многогранники (3-е изд.). Нью-Йорк: Дувр.
• Гика, Матила (1977). Геометрия искусства и жизни ([Начдр.] ред.). Нью-Йорк: Dover Publications . стр. 51–56, 81–84 . ISBN  9780486235424 .
• Вайсштейн, Эрик В. (2002). «Кубооктаэдр». CRC Краткая математическая энциклопедия (2-е изд.). Хобокен: CRC Press . стр. 620–621. ISBN  9781420035223 .
• Уильямс, Роберт (1979). Геометрическая основа естественной структуры: справочник по дизайну . Dover Publications, Inc. ISBN  0-486-23729-Х . (Раздел 3-9)
• Кромвель, П. Многогранники , CUP hbk (1997), pbk. (1999). Гл.2 стр. 79-86 Архимедовы тела

Внешние ссылки

• Однородные многогранники
• Многогранники виртуальной реальности Энциклопедия многогранников
• Вайсштейн, Эрик В. , « Кубооктаэдр » (« Архимедово тело ») в MathWorld .
• Кубооктаэдр на Hexnet, веб-сайте, посвященном математике шестиугольников.
• Клитцинг, Ричард. «3D выпуклые однородные многогранники o3x4o - co» .
• Редактируемая сетка кубооктаэдра для печати с интерактивным 3D-просмотром