Октаэдр

Чтобы узнать об альбоме, см. Октаэдр (альбом) .

В геометрии октаэдр . ( мн.: октаэдры или октаэдры ) — многогранник с восемью гранями Октаэдр можно рассматривать как квадратную бипирамиду. Когда все ребра квадратной бипирамиды имеют одинаковую длину, получается правильный октаэдр — платоново тело , состоящее из восьми равносторонних треугольников , четыре из которых сходятся в каждой вершине. Это также пример дельтаэдра . Октаэдр — это трехмерный случай более общего понятия перекрестного многогранника .

В виде квадратной бипирамиды

Октаэдр можно рассматривать как квадратную бипирамиду. Если ребра квадратной бипирамиды равны по длине, полученный многогранник является правильным октаэдром. Правильный октаэдр является двойником куба.

Октаэдр можно рассматривать как квадратную бипирамиду . Квадратная бипирамида — это бипирамида, построенная путем соединения оснований двух прямоугольных квадратных пирамид. Эти пирамиды закрывают свои квадратные основания, поэтому образующийся многогранник имеет восемь треугольных граней.

Правильный октаэдр

Если все ребра квадратной бипирамиды равны по длине, то квадратная бипирамида является правильным октаэдром . Это один из восьми выпуклых дельтаэдров , поскольку все грани представляют собой равносторонние треугольники . Его можно построить аналогично, соединив две равносторонние квадратные пирамиды . Его двойственный многогранник — куб , и у них одинаковые трёхмерные группы симметрии — октаэдрическая симметрия. $\mathrm {O} _{\mathrm {h} }$.

Метрические свойства и декартовы координаты

3D модель правильного октаэдра

Площадь поверхности $A$ правильного октаэдра можно определить, суммируя все его восемь равносторонних треугольников, тогда как его объем $V$ в два раза больше объёма квадратной пирамиды; если длина ребра $a$, $${\begin{aligned}A&=2{\sqrt {3}}a^{2}\approx 3.464a^{2},\\V&={\frac {1}{3}}{\sqrt {2}}a^{3}\approx 0.471a^{3}.\end{aligned}}$$Радиус описанной сферы $r_{u}$ (тот, который касается октаэдра всеми вершинами), радиус вписанной сферы $r_{i}$ (тот, который касается каждой из граней октаэдра) и радиус средней сферы $r_{m}$ (тот, который касается середины каждого края), являются: $${\begin{aligned}r_{u}&={\frac {a}{\sqrt {2}}}\approx 0.707\cdot a,\\r_{i}&={\frac {a}{\sqrt {6}}}\approx 0.408\cdot a,\\r_{m}&={\frac {1}{2}}a=0.5\cdot a.\end{aligned}}$$

Двугранный угол правильного октаэдра между двумя соседними треугольными гранями равен 109,47°. Это можно получить из двугранного угла равносторонней квадратной пирамиды: ее двугранный угол между двумя соседними треугольными гранями равен двугранному углу равносторонней квадратной пирамиды между двумя соседними треугольными гранями, а ее двугранный угол между двумя соседними треугольными гранями на ребре в к которому соединены две равносторонние квадратные пирамиды, в два раза больше двугранного угла равносторонней квадратной пирамиды между ее треугольной гранью и квадратным основанием.

Октаэдр с длиной ребра ${\sqrt {2}}$ может быть размещен с центром в начале координат, а вершинами на осях координат; вершин декартовы координаты : $$(\pm 1,0,0),\qquad (0,\pm 1,0),\qquad (0,0,\pm 1).$$В трехмерном пространстве октаэдр с координатами центра $(a,b,c)$ и радиус $r$ это совокупность всех точек $(x,y,z)$ такой, что $$\left|x-a\right|+\left|y-b\right|+\left|z-c\right|=r.$$.

Как платоново тело

Эскиз правильного октаэдра Иоганна Кеплера

Кеплера . Платоническая твердотельная модель Солнечной системы

Правильный октаэдр — одно из Платоновых тел , набор многогранников, грани которых представляют собой конгруэнтные правильные многоугольники , и в каждой вершине сходится одинаковое количество граней. Этот древний набор многогранников был назван в честь Платона , который в своем диалоге «Тимей» связал эти твердые тела с природой. из них, правильный октаэдр, олицетворял классический элемент ветра . Один

После того, как Платон приписал его природе, Иоганн Кеплер в своих «Гармониях мира» нарисовал каждое из платоновых тел. В своей «Mysterium Cosmographicum » Кеплер также предложил Солнечную систему , используя Платоновы тела, входящие в одно другое, и разделяя их шестью сферами, напоминающими шесть планет. Упорядоченные тела начинались от самого внутреннего к самому внешнему: правильный октаэдр, правильный икосаэдр , правильный додекаэдр , правильный тетраэдр и куб .

График

График правильного октаэдра

Скелет 3 правильного октаэдра можно представить в виде графа по теореме Стейница при условии, что граф плоский — его ребра графа соединены с каждой вершиной, не пересекая другие ребра, — и -связный граф — его ребра остаются соединенными всякий раз, когда два более трёх вершин графа удаляются. Его график называется октаэдрическим графом , платоническим графом .

Октаэдрический граф можно рассматривать как полный трехдольный граф. $K_{2,2,2}$, граф, разбитый на три независимых множества, каждое из которых состоит из двух противоположных вершин. В более общем смысле это граф Турана . $T_{6,3}$.

Октаэдрический граф является 4-связным , то есть для отключения оставшихся вершин требуется удаление четырех вершин. Это один из четырех 4-связных симплициальных хорошо покрытых многогранников, а это означает, что все максимальные независимые множества его вершин имеют одинаковый размер. Остальные три многогранника с этим свойством — пятиугольная дипирамида , курносый дисфеноид и неправильный многогранник с 12 вершинами и 20 треугольными гранями.

Связанный рисунок

Октаэдр представляет собой центральное пересечение двух тетраэдров.

Внутренняя часть соединения двух двойственных тетраэдров представляет собой октаэдр, и это соединение, называемое звездочкой-октангулой , является его первой и единственной звездчатостью . Соответственно, правильный октаэдр — это результат отсечения от правильного тетраэдра четырех правильных тетраэдров вдвое меньшего линейного размера (т.е. спрямления тетраэдра). Вершины октаэдра лежат в середине ребер тетраэдра, и в этом смысле он относится к тетраэдру так же, как кубооктаэдр и икосододекаэдр относятся к другим платоновым телам.

Можно также разделить ребра октаэдра в соотношении золотой середины , чтобы определить вершины правильного икосаэдра . Это делается путем сначала размещения векторов вдоль ребер октаэдра так, чтобы каждая грань была ограничена циклом, а затем аналогичным образом разделяем каждое ребро на золотую середину вдоль направления его вектора. Таким образом, пять октаэдров определяют любой данный икосаэдр, и вместе они определяют правильное соединение . Полученный таким образом правильный икосаэдр называется курносым октаэдром.

Правильный октаэдр можно рассматривать как антипризму , многогранник , похожий на призму, в котором боковые грани заменены чередующимися равносторонними треугольниками. Ее еще называют тригональной антипризмой . Следовательно, он обладает свойством квазиправильного многогранника, в котором две разные многоугольные грани чередуются и встречаются в вершине.

Октаэдры и тетраэдры могут чередоваться, образуя вершину, ребро и однородную по граням мозаику пространства . Это и регулярная мозаика кубов — единственные такие однородные соты в трехмерном пространстве.

Однородный тетрагемигексаэдр представляет собой тетраэдрическую симметричную огранку правильного октаэдра, имеющую общее расположение ребер и вершин . У него четыре треугольные грани и три центральных квадрата.

Правильный октаэдр — это 3-шар в манхэттенской ( ℓ ₁ ) метрике .

Характеристическая ортосхема

Как и все правильные выпуклые многогранники, октаэдр можно разбить на целое число непересекающихся ортосхем , имеющих одну и ту же форму, характерную для многогранника. многогранника Характеристическая ортосхема является фундаментальным свойством, поскольку многогранник порождается отражениями в гранях его ортосхемы. Ортосхема встречается в двух хиральных формах, которые являются зеркальными отражениями друг друга. Характеристической ортосхемой правильного многогранника является четырехпрямоугольный неправильный тетраэдр .

октаэдра Грани характеристического тетраэдра октаэдра лежат в зеркальных плоскостях симметрии . Октаэдр уникален среди платоновых тел тем, что в каждой вершине сходится четное количество граней. Следовательно, это единственный член этой группы, среди зеркальных плоскостей которого есть те, которые не проходят ни через одну из его граней. октаэдра Группа симметрии обозначается B ₃ . Октаэдр и его двойственный многогранник куб имеют одну и ту же группу симметрии , но разные характеристики тетраэдров.

Характеристический тетраэдр правильного октаэдра можно найти каноническим разрезом. правильного октаэдра который подразделяет его на 48 характерных ортосхем. вокруг центра октаэдра. Три левосторонние ортосхемы и три правосторонние ортосхемы встречаются на каждой из восьми граней октаэдра, шесть ортосхем вместе образуют трехпрямоугольный тетраэдр : треугольную пирамиду с гранью октаэдра в качестве равностороннего основания и вершиной с кубическими углами в центре. октаэдра.

Характеристики правильного октаэдра
	край	дуга		двугранный
𝒍	$2$	90°	${\tfrac {\pi }{2}}$	109°28′	$\pi -2{\text{𝟁}}$
𝟀	${\sqrt {\tfrac {4}{3}}}\approx 1.155$	54°44′8″	${\tfrac {\pi }{2}}-{\text{𝜿}}$	90°	${\tfrac {\pi }{2}}$
𝝉	$1$	45°	${\tfrac {\pi }{4}}$	60°	${\tfrac {\pi }{3}}$
𝟁	${\sqrt {\tfrac {1}{3}}}\approx 0.577$	35°15′52″	${\text{𝜿}}$	45°	${\tfrac {\pi }{4}}$
$_{0}R/l$	${\sqrt {2}}\approx 1.414$
$_{1}R/l$	$1$
$_{2}R/l$	${\sqrt {\tfrac {2}{3}}}\approx 0.816$
${\text{𝜿}}$		35°15′52″	${\tfrac {{\text{arc sec }}3}{2}}$

Если длина ребра октаэдра 𝒍 = 2, шесть ребер его характерного тетраэдра имеют длину ${\sqrt {\tfrac {4}{3}}}$, $1$, ${\sqrt {\tfrac {1}{3}}}$ вокруг его внешней грани прямоугольного треугольника (ребра, противоположные характерным углам 𝟀, 𝝉, 𝟁), плюс ${\sqrt {2}}$, $1$, ${\sqrt {\tfrac {2}{3}}}$ (ребра, являющиеся характерными радиусами октаэдра). Путь с тремя ребрами вдоль ортогональных ребер ортосхемы равен $1$, ${\sqrt {\tfrac {1}{3}}}$, ${\sqrt {\tfrac {2}{3}}}$, сначала от вершины октаэдра к центру ребра октаэдра, затем поворот на 90 ° к центру грани октаэдра, затем поворот на 90 ° к центру октаэдра. Ортосхема имеет четыре разные грани прямоугольного треугольника. Внешняя грань представляет собой треугольник 90-60-30, который составляет одну шестую грани октаэдра. Три грани внутри октаэдра: треугольник 45-90-45 с краями. $1$, ${\sqrt {2}}$, $1$, прямоугольный треугольник с ребрами ${\sqrt {\tfrac {1}{3}}}$, $1$, ${\sqrt {\tfrac {2}{3}}}$, и прямоугольный треугольник с ребрами ${\sqrt {\tfrac {4}{3}}}$, ${\sqrt {2}}$, ${\sqrt {\tfrac {2}{3}}}$.

Равномерные раскраски и симметрия

Есть три однородные раскраски октаэдра, названные по цветам треугольных граней, окружающих каждую вершину: 1212, 1112, 1111.

октаэдра Группа симметрии — Oh _, порядка 48, трёхмерная гипероктаэдрическая группа . этой группы Подгруппы включают D _3d (порядок 12), группу симметрии треугольной антипризмы ; D _4h (порядок 16) — группа симметрии квадратной бипирамиды ; и T _d (порядок 24) — группа симметрии выпрямленного тетраэдра . Эту симметрию можно подчеркнуть разной раскраской лиц.

Имя	Октаэдр	Выпрямленный тетраэдр (Тетратетраэдр)	Треугольная антипризма	Квадратная бипирамида	Ромбическая винтовка
Изображение (Раскраска лица)	(1111)	(1212)	(1112)	(1111)	(1111)
Диаграмма Кокстера		=
Символ Шлефли	{3,4}	г{3,3}	с{2,6} ср{2,3}	фут{2,4} { } + {4}	фут{2,2} { } + { } + { }
Символ Витхоффа	4 | 3 2	2 | 4 3	2 | 6 2 | 2 3 2
Симметрия	О ч , [4,3], (*432)	Т д , [3,3], (*332)	Д 3д , [2 + ,6], (2*3) Д 3 , [2,3] + , (322)	Д 4ч , [2,4], (*422)	Д 2h , [2,2], (*222)
Заказ	48	24	12 6	16	8

Другие типы октаэдров

Выпуклый многогранник с правильными гранями — гиробифастигий .

Октаэдром может быть любой многогранник с восемью гранями. В предыдущем примере правильный октаэдр имеет 6 вершин и 12 ребер — минимум для октаэдра; неправильные октаэдры могут иметь до 12 вершин и 18 ребер. Существует 257 топологически различных выпуклых октаэдров, не считая зеркальных изображений. Точнее, для октаэдров с числом вершин от 6 до 12 соответственно есть 2, 11, 42, 74, 76, 38, 14. (Два многогранника «топологически различны», если они имеют существенно различное расположение граней и вершин, так что невозможно исказить один в другой, просто изменяя длины ребер или углы между ребрами или гранями.) Некоторые многогранники имеют восемь граней, не считая квадратных бипирамид в следующих случаях:

• Шестиугольная призма : две грани представляют собой параллельные правильные шестиугольники; шесть квадратов соединяют соответствующие пары ребер шестиугольника.
• Семиугольная пирамида : одна грань представляет собой семиугольник (обычно правильный), а остальные семь граней представляют собой треугольники (обычно равнобедренные). Все треугольные грани не могут быть равносторонними.
• Усеченный тетраэдр : четыре грани тетраэдра усекаются, образуя правильные шестиугольники, и есть еще четыре равносторонних треугольных грани, где каждая вершина тетраэдра была усечена.
• Тетрагональный трапецоэдр : восемь граней представляют собой конгруэнтные воздушные змеи .
• Гиробифастигиум : две однородные треугольные призмы, склеенные по одной из своих квадратных сторон так, что ни один треугольник не имеет общего края с другим треугольником (твердое тело Джонсона 26).
• Восьмиугольный осоэдр : вырожден в евклидовом пространстве, но может быть реализован сферически.

Октаэдр Брикара с антипараллелограммом в качестве экватора. Ось симметрии проходит через плоскость антипараллелограмма.

Ниже приведены другие многогранники, комбинаторно эквивалентные правильному октаэдру. Все они имеют шесть вершин, восемь треугольных граней и двенадцать ребер, которые один к одному соответствуют его особенностям:

• Треугольные антипризмы : две грани равносторонние, лежат в параллельных плоскостях и имеют общую ось симметрии. Остальные шесть треугольников равнобедренные. Правильный октаэдр — это особый случай, в котором шесть боковых треугольников также равносторонние.
• Четырехугольные бипирамиды , в которых хотя бы один из экваториальных четырехугольников лежит на плоскости. Правильный октаэдр — это частный случай, в котором все три четырехугольника являются плоскими квадратами.
• Многогранник Шенхардта — невыпуклый многогранник, который нельзя разбить на тетраэдры без введения новых вершин.
• Октаэдр Брикара — невыпуклый самопересекающийся гибкий многогранник.

Октаэдры в физическом мире

Октаэдры в природе

Флюоритовый октаэдр.

• Природные кристаллы алмаза , квасцов или флюорита обычно имеют октаэдрическую форму, представляющую собой заполняющие пространство тетраэдрически-октаэдрические соты .
• Пластины камаситового сплава в октаэдровых метеоритах расположены параллельно восьми граням октаэдра.
• Многие ионы металлов координируют шесть лигандов в октаэдрической или искаженной октаэдрической конфигурации.
• Видманштеттеновые узоры в никеля и железа кристаллах

Октаэдры в искусстве и культуре

одинаковой формы Две змейки Рубика могут приближаться к октаэдру.

• Особенно в ролевых играх это тело известно как «d8», один из наиболее распространенных многогранных кубиков .
• Если каждое ребро октаэдра заменить резистором сопротивлением 1 , Ом сопротивление между противоположными вершинами составит ⁠ 1/2 ⁠ ом , а между соседними вершинами ⁠ 5/12 ​ ⁠ Ом .
• Шесть музыкальных нот можно расположить по вершинам октаэдра таким образом, что каждое ребро представляет собой двойку согласных, а каждая грань представляет собой триаду согласных; см . гексани .

Ферма тетраэдрического октета

Пространственная структура из чередующихся тетраэдров и полуоктаэдров, полученная из тетраэдрально-октаэдрических сот, была изобретена Бакминстером Фуллером в 1950-х годах. Его обычно считают самой прочной строительной конструкцией, способной противостоять консольным нагрузкам.

Связанные многогранники

Правильный октаэдр можно превратить в тетраэдр, добавив четыре тетраэдра на чередующихся гранях. Добавление тетраэдров ко всем 8 граням создает звездчатый октаэдр .

тетраэдр	звездчатый октаэдр

Октаэдр — один из семейства однородных многогранников, родственных кубу.

показывать Однородные октаэдрические многогранники
Symmetry: [4,3], (*432)							[4,3]+ (432)	[1+,4,3] = [3,3] (*332)		[3+,4] (3*2)
{4,3}	t{4,3}	r{4,3} r{31,1}	t{3,4} t{31,1}	{3,4} {31,1}	rr{4,3} s2{3,4}	tr{4,3}	sr{4,3}	h{4,3} {3,3}	h2{4,3} t{3,3}	s{3,4} s{31,1}
		=	=	=				= or	= or	=
Duals to uniform polyhedra
V43	V3.82	V(3.4)2	V4.62	V34	V3.43	V4.6.8	V34.4	V33	V3.62	V35

Это также один из простейших примеров гиперсимплекса , многогранника, образованного определенными пересечениями гиперкуба с гиперплоскостью .

Октаэдр топологически связан как часть последовательности правильных многогранников с символами Шлефли {3, n }, продолжающейся в гиперболическую плоскость .

показывать * n 32 мутация симметрии правильных мозаик: {3, n }
Spherical				Euclid.	Compact hyper.		Paraco.	Noncompact hyperbolic
3.3	33	34	35	36	37	38	3∞	312i	39i	36i	33i

Тетратетраэдр

Правильный октаэдр также можно считать выпрямленным тетраэдром – и его можно назвать тетратетраэдром . Это можно показать с помощью двухцветной модели лица. При такой раскраске октаэдр имеет тетраэдрическую симметрию .

Сравните эту последовательность усечения тетраэдра и его двойника:

Вышеупомянутые формы также могут быть реализованы как срезы, ортогональные длинной диагонали тессеракта . Если эта диагональ ориентирована вертикально с высотой 1, то первые пять срезов выше расположены на высотах r , ⁠ 3 / 8 ⁠ , ⁠ 1 / 2 ⁠ , ⁠ 5/8 < ⁠ и , s где r — любое число в диапазоне 0 r ≤ ⁠ 1/4 — ⁠ , а s любое число в диапазоне ⁠ 3 / 4 ⁠ ≤ s < 1 .

Октаэдр как тетратетраэдр существует в последовательности симметрий квазиправильных многогранников и мозаик с конфигурациями вершин (3. n ) ² , переходя от мозаик сферы к евклидовой плоскости и к гиперболической плоскости. При симметрии орбифолдной записи * n 32 все эти мозаики представляют собой конструкции Витхоффа в фундаментальной области симметрии с образующими точками в прямоугольном углу области.

показывать * n 32 орбифолдных симметрии квазирегулярных мозаик : (3. n ) 2
Construction	Spherical			Euclidean	Hyperbolic
	*332	*432	*532	*632	*732	*832...	*∞32
Quasiregular figures
Vertex	(3.3)2	(3.4)2	(3.5)2	(3.6)2	(3.7)2	(3.8)2	(3.∞)2

Тригональная антипризма

Как тригональная антипризма , октаэдр относится к семейству гексагонально-диэдральной симметрии.

показывать Однородные шестиугольные двугранные сферические многогранники
Symmetry: [6,2], (*622)							[6,2]+, (622)	[6,2+], (2*3)
{6,2}	t{6,2}	r{6,2}	t{2,6}	{2,6}	rr{6,2}	tr{6,2}	sr{6,2}	s{2,6}
Duals to uniforms
V62	V122	V62	V4.4.6	V26	V4.4.6	V4.4.12	V3.3.3.6	V3.3.3.3

Семейство однородных n -угольных антипризм скрывать

Название антипризмы	Дигональная антипризма	(Треугольный) Треугольная антипризма	(Тетрагональный) Квадратная антипризма	Пятиугольная антипризма	Шестиугольная антипризма	Семиугольная антипризма	...	Апейрогональная антипризма
Изображение многогранника							...
Сферическое мозаичное изображение							Плоское мозаичное изображение
Конфигурация вершины.	2.3.3.3	3.3.3.3	4.3.3.3	5.3.3.3	6.3.3.3	7.3.3.3	...	∞.3.3.3

Другие связанные многогранники

Усечение двух противоположных вершин приводит к образованию квадрата-бифрустума .

Октаэдр может быть сгенерирован как трехмерный суперэллипсоид со всеми значениями экспоненты, установленными на 1.

См. также

• Октаэдрическое число
• Центрированное октаэдрическое число
• Вращающийся октаэдр
• Стелла восьмиугольная
• Октаэдр Триакиса
• Шестигранный октаэдр
• Усеченный октаэдр
• Октаэдрическая молекулярная геометрия
• Октаэдрическая симметрия
• Октаэдрический граф
• Октаэдрическая сфера

Внешние ссылки

• «Октаэдр» . Британская энциклопедия . Том. 19 (11-е изд.). 1911.
• Вайсштейн, Эрик В. «Октаэдр» . Математический мир .
• Клитцинг, Ричард. «3D выпуклые однородные многогранники x3o4o – окт» .
• Редактируемая для печати сетка октаэдра с интерактивным 3D-просмотром
• Бумажная модель октаэдра
• К.Дж.М. Маклин, Геометрический анализ пяти платоновых тел и других полуправильных многогранников
• Однородные многогранники
• Многогранники виртуальной реальности – Энциклопедия многогранников
  • Обозначение Конвея для многогранников . Попробуйте: dP4.