Вращающийся ромбокосододекаэдр

Вращающийся ромбокосододекаэдр
Тип	Канонический многогранник Джонсон Я 71 – Я 72 – Я 73
Лица	20 треугольников 30 квадратов 12 пятиугольников
Края	120
Вершины	60
Конфигурация вершин	${\begin{aligned}&10\times (3\times 4^{2}\times 5)+\\&4\times 5+3\times 10\times (3\times 4\times 5\times 4)\end{aligned}}$
Группа симметрии	$C_{5v}$
Характеристики	выпуклый
Сеть

В геометрии вращающийся ромбикосидодекаэдр является одним из тел Джонсона ( J ₇₂ ). Это также канонический многогранник .

Тело Джонсона — это один из 92 строго выпуклых многогранников , которые состоят из правильных многоугольных граней, но не являются однородными многогранниками (то есть не являются платоновыми телами , архимедовыми телами , призмами или антипризмами ). Их назвал Норман Джонсон , который впервые перечислил эти многогранники в 1966 году.

Строительство

Вращающийся ромбикосододекаэдр можно построить так же, как ромбикосидодекаэдр : он состоит из парабидиуменьшенного ромбикосододекаэдра путем прикрепления граням двух правильных пятиугольных куполов к его десятиугольным . В результате эти пятиугольные купола закрывают его двенадцатиугольные грани, поэтому полученный многогранник имеет 20 равносторонних треугольников , 30 квадратов и 10 правильных пятиугольников в качестве граней . Разница между этими двумя многогранниками состоит в том, что один из двух пятиугольных куполов вращающегося ромбокосододекаэдра повёрнут на 36°. Выпуклый многогранник , в котором все грани являются правильными многоугольниками, называется телом Джонсона , и в их число входит вращающийся ромбикосододекаэдр, обозначаемый как 72-е тело Джонсона. $J_{72}$.

Разница между ромбикосододекаэдром (слева) и вращающимся ромбикосидодекаэдром (справа) по их конструкции

Характеристики

Поскольку два вышеупомянутых многогранника имеют схожую конструкцию, они имеют одинаковую площадь поверхности и объем. Вращающийся ромбокосододекаэдр с длиной ребра имеет площадь поверхности путем сложения всех площадей его граней: $$\left(30+5{\sqrt {3}}+3{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\right)a^{2}\approx 59.306a^{2}.$$Его объем можно вычислить, разрезав его на два правильных пятиугольных купола и один парабигиратный ромбикосододекаэдр и сложив их объемы: $${\frac {60+29{\sqrt {5}}}{3}}a^{3}\approx 41.615a^{3}.$$

Вращающийся ромбикосидодекаэдр — одно из пяти тел Джонсона, не обладающих свойством Руперта , то есть многогранником того же или большего размера и той же формы, поскольку он не может пройти через отверстие в нем. Другими твердыми телами Джонсона, не обладающими таким свойством, являются парабигратный ромбикосидодекаэдр , метабигратный ромбикосидодекаэдр , тригиратный ромбикосидодекаэдр и парагиратный уменьшенный ромбикосидодекаэдр .

См. также

Альтернативные тела Джонсона, построенные путем вращения различных куполов ромбокосододекаэдра:

• Парабигратный ромбикосидодекаэдр. $J_{73}$ где вращаются два противоположных купола;
• Метабигиратный ромбикосидодекаэдр. $J_{74}$ где вращаются два непротивостоящих купола;
• И тригиратный ромбикосидодекаэдр $J_{75}$ где вращаются три купола.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. , « Вращающийся ромбикосидодекаэдр » (« тело Джонсона ») в MathWorld .