Дополненная шестиугольная призма

Дополненная шестиугольная призма
Дополненная шестиугольная призма
Тип	Джонсон ; Я 53 – Я 54 – Я 55
Лица	4 треугольника ; 5 квадратов ; 2 шестиугольника
Края	22
Вершины	13
Конфигурация вершин	2x4(4 2 .6) ; 1(3 4 ) ; 4(3 2 .4.6)
Группа симметрии	С 2 в
Двойной многогранник	монолатероусеченная шестиугольная бипирамида
Характеристики	выпуклый
Сеть

В геометрии расширенная шестиугольная призма является одним из тел Джонсона ( $J 54$ ). Как следует из названия, ее можно построить, дополнив шестиугольную призму , прикрепив квадратную пирамиду ( $J 1$ ) к одной из ее экваториальных граней. Когда соединяются две или три такие пирамиды, в результате может получиться парабиаугментированная шестиугольная призма ( $J 55$ ), метабиаугментированная шестиугольная призма ( $J 56$ ) или триаугментированная шестиугольная призма ( $J 57$ ).

Строительство

Увеличенная шестиугольная призма создается путем присоединения одной равносторонней квадратной пирамиды к квадратной грани шестиугольной призмы . Этот процесс известен как увеличение . ^[1] Эта конструкция предполагает удаление квадратной грани призмы и замену ее квадратной пирамидой, так что получается одиннадцать граней: четыре равносторонних треугольника , пять квадратов и два правильных шестиугольника . ^[2] Выпуклый многогранник, у которого все грани правильные, является телом Джонсона, среди них и расширенная шестиугольная призма, обозначаемая как $J_{54}$ . ^[3] Соответственно, две или три равносторонние квадратные пирамиды, прикрепленные к более квадратным граням призмы, дают больше разных тел Джонсона; это парабиаугментированная шестиугольная призма $J_{55}$ , метаувеличенная шестиугольная призма $J_{56}$ , и триаугментированная шестиугольная призма $J_{57}$ . ^[1]

Характеристики

Увеличенная шестиугольная призма с длиной ребра. $a$ имеет площадь поверхности ^[2] $\left(5+4{\sqrt {3}}\right)a^{2}\approx 11.928a^{2},$ сумма двух шестиугольников, четырех равносторонних треугольников и пяти квадратов. Его объем ^[2] ${\frac {{\sqrt {2}}+9{\sqrt {3}}}{2}}a^{3}\approx 2.834a^{3},$ можно получить, разрезав на одну равностороннюю квадратную пирамиду и одну шестиугольную призму и сложив их объёмы. ^[2]

Он имеет ось симметрии, проходящую через вершину квадратной пирамиды и центр тяжести квадратной грани призмы, повернутой на половину и полный угол. Его двугранный угол можно получить, рассчитав угол квадратной пирамиды и шестиугольной призмы следующим образом: ^[4]

Двугранный угол увеличенной шестиугольной призмы между двумя соседними треугольниками является двугранным углом равносторонней квадратной пирамиды. $\arccos \left(-1/3\right)\approx 109.5^{\circ }$
Двугранный угол увеличенной шестиугольной призмы между двумя соседними квадратами является внутренней частью правильного шестиугольника. $2\pi /3=120^{\circ }$
Двугранный угол увеличенной шестиугольной призмы между квадратом и шестиугольником - это двугранный угол шестиугольной призмы между ее основанием и боковой гранью, $\pi /2$
Двугранный угол квадратной пирамиды между треугольником (его боковой стороной) и квадратом (его основанием) равен $\arctan \left({\sqrt {2}}\right)\approx 54.75^{\circ }$ . Следовательно, двугранный угол увеличенной шестиугольной призмы между квадратом и треугольником и между треугольником и шестиугольником, на ребре, к которому прикреплены квадратная пирамида и шестиугольная призма, равен ${\begin{aligned}\arctan \left({\sqrt {2}}\right)+{\frac {2\pi }{3}}\approx 174.75^{\circ },\\\arctan \left({\sqrt {2}}\right)+{\frac {\pi }{2}}\approx 144.75^{\circ }.\end{aligned}}$ .

Ссылки

^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Раджваде, Арканзас (2001). Выпуклые многогранники с условиями регулярности и третья проблема Гильберта . Тексты и чтения по математике. Книжное агентство Индостан. п. 84–89. дои : 10.1007/978-93-86279-06-4 . ISBN 978-93-86279-06-4 .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Берман, Мартин (1971). «Выпуклые многогранники с правильными гранями». Журнал Института Франклина . 291 (5): 329–352. дои : 10.1016/0016-0032(71)90071-8 . МР 0290245 .
^ Фрэнсис, Дэррил (август 2013 г.). «Твердые тела Джонсона и их сокращения» . Словесные пути . 46 (3): 177.
^ Джонсон, Норман В. (1966). «Выпуклые многогранники с правильными гранями» . Канадский математический журнал . 18 : 169–200. дои : 10.4153/cjm-1966-021-8 . МР 0185507 . S2CID 122006114 . Збл 0132.14603 .

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. , « Расширенная шестиугольная призма » (« Твердое тело Джонсона ») в MathWorld .

Эта многогранникам, статья, посвященная незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .

[rajwade-1] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Раджваде, Арканзас (2001). Выпуклые многогранники с условиями регулярности и третья проблема Гильберта . Тексты и чтения по математике. Книжное агентство Индостан. п. 84–89. дои : 10.1007/978-93-86279-06-4 . ISBN 978-93-86279-06-4 .

[berman-2] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Берман, Мартин (1971). «Выпуклые многогранники с правильными гранями». Журнал Института Франклина . 291 (5): 329–352. дои : 10.1016/0016-0032(71)90071-8 . МР 0290245 .

[francis-3] Фрэнсис, Дэррил (август 2013 г.). «Твердые тела Джонсона и их сокращения» . Словесные пути . 46 (3): 177.

[johnson-4] Джонсон, Норман В. (1966). «Выпуклые многогранники с правильными гранями» . Канадский математический журнал . 18 : 169–200. дои : 10.4153/cjm-1966-021-8 . МР 0185507 . S2CID 122006114 . Збл 0132.14603 .

[1]

[2]

[3]

[4]

v т и Твердые вещества Джонсона
Пирамиды , купола и круги	квадратная пирамида пятиугольная пирамида треугольный купол квадратный купол пятиугольный купол пятиугольная ротонда
Модифицированные пирамиды	вытянутая треугольная пирамида вытянутая квадратная пирамида вытянутая пятиугольная пирамида Гироудлиненная квадратная пирамида гироудлиненная пятиугольная пирамида треугольная бипирамида пятиугольная бипирамида вытянутая треугольная бипирамида вытянутая квадратная бипирамида вытянутая пятиугольная бипирамида гироудлиненная квадратная бипирамида
Модифицированные купола и раунды	удлиненный треугольный купол вытянутый квадратный купол удлиненный пятиугольный купол вытянутая пятиугольная ротонда Гироудлиненный треугольный купол гироудлиненный квадратный купол гироудлиненный пятиугольный купол гироудлиненная пятиугольная ротонда гиробифастигий треугольный ортобикупол квадратный ортобикупол квадратный гиробикупол пятиугольный ортобикупол пятиугольный гирокупол пятиугольная ортокуполаротонда пятиугольная гирокуполаротонда пятиугольная ортобиротонда удлиненный треугольный ортобикупол удлиненный треугольный гиробикупол вытянутый квадратный гиробикупол удлиненный пятиугольный ортобикупол удлиненный пятиугольный гиробикупол вытянутая пятиугольная ортокуполаротонда вытянутая пятиугольная гирокуполаротонда вытянутая пятиугольная ортобиротонда вытянутая пятиугольная гиробиротунда гироудлиненный треугольный двуглавый купол гироудлиненный квадратный двуглавый купол гироудлиненный пятиугольный двуглавый купол гироудлиненный пятиугольный купол-ротонда гироудлиненная пятиугольная биротонда
Дополненные призмы	увеличенная треугольная призма смещенная треугольная призма триаугментированная треугольная призма увеличенная пятиугольная призма увеличенная пятиугольная призма дополненная шестиугольная призма парабиоувеличенная шестиугольная призма метаувеличенная шестиугольная призма трехугольная шестиугольная призма
Модифицированные платоновые тела	дополненный додекаэдр парабиоувеличенный додекаэдр метаувеличенный додекаэдр триаугментированный додекаэдр метабидиминированный икосаэдр трехмерный икосаэдр увеличенный трехмерный икосаэдр
Модифицированные архимедовы тела	расширенный усеченный тетраэдр дополненный усеченный куб увеличенный усеченный куб дополненный усеченный додекаэдр парабиоувеличенный усеченный додекаэдр метаувеличенный усеченный додекаэдр триаугментированный усеченный додекаэдр вращающийся ромбокосододекаэдр парабигиратный ромбикосидодекаэдр метабивративный ромбокосододекаэдр тригиратный ромбикосидодекаэдр уменьшенный ромбокосододекаэдр парагиратный уменьшенный ромбокосододекаэдр метавращающийся уменьшенный ромбокосододекаэдр большой, уменьшенный ромбокосододекаэдр парабидиуменьшенный ромбокосододекаэдр метабидиминированный ромбикосододекаэдр вращающийся двууменьшенный ромбокосододекаэдр трехмерный ромбикосидодекаэдр
Элементарные твердые тела	курносый дисфеноид курносая квадратная антипризма сфенокорона расширенная сфенокорона сфеномегакорона Гебесфеномегакорона дисфеномен коды неисправностей треугольная гебесфеноротонда
(См. также Список твердых тел Джонсона , сортируемую таблицу)