Квадратный купол

Квадратный купол
Тип	Джонсон В 3 – В 4 – В 5
Лица	4 треугольника 5 квадратов 1 восьмиугольник
Края	20
Вершины	12
Конфигурация вершин	$8\times (3\times 4\times 8)+4\times (3\times 4^{3})$
Группа симметрии	$C_{4v}$
Характеристики	выпуклый
Сеть

В геометрии квадратный купол (иногда называемый малым куполом ) — купол с восьмиугольным основанием. В случае, когда ребра равны по длине, это тело Джонсона , выпуклый многогранник с правильными гранями .Его можно использовать для построения многих многогранников, особенно в других телах Джонсона.

Характеристики

Квадратный купол имеет грани 4 треугольников, 5 квадратов и 1 восьмиугольника; восьмиугольник — основание, а один из квадратов — вершина. Если ребра равны по длине, треугольники и восьмиугольник становятся правильными , а длина ребра восьмиугольника равна длине ребра как треугольников, так и квадратов. Двугранный угол между квадратом и треугольником примерно равен $144.7^{\circ }$, что между треугольником и восьмиугольником есть $54.7^{\circ }$, что между квадратом и восьмиугольником именно $45^{\circ }$, а между двумя соседними квадратами $135^{\circ }$. многогранник Выпуклый , у которого все грани правильные, является телом Джонсона , а квадратный купол нумеруется как $J_{4}$, четвертый твердый Джонсон.

Учитывая, что длина ребра $a$, площадь поверхности квадратного купола $A$ можно вычислить, сложив площади всех граней: $$A=\left(7+2{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}\right)a^{2}\approx 11.560a^{2}.$$Его высота $h$, радиус $C$и объем $V$ являются: $${\begin{aligned}h&={\frac {\sqrt {2}}{2}}a\approx 0.707a,\\C&=\left({\frac {1}{2}}{\sqrt {5+2{\sqrt {2}}}}\right)a\approx 1.399a,\\V&=\left(1+{\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}\right)a^{3}\approx 1.943a^{3}.\end{aligned}}$$

3D модель квадратного купола

У него есть ось симметрии, проходящая через центр его верха и основания, которая симметрична, вращаясь вокруг него на одну, две и три четверти угла полного поворота. Он также зеркально симметричен относительно любой перпендикулярной плоскости, проходящей через биссектрису основания. Следовательно, он обладает пирамидальной симметрией , циклическая группа $C_{4v}$ порядка 8.

Связанные многогранники и соты

Двойник квадратного купола

Двойной многогранник квадратного купола – это многогранник, у которого гранями являются 8 треугольников и 4 змея.

Квадратный купол можно встретить во многих конструкциях из многогранников. Примером может служить ромбокубооктаэдр , который можно рассматривать как восемь перекрывающихся куполов.Конструкция, предполагающая присоединение своего основания к другому многограннику, известна как приращение ; прикрепление его к призмам или антипризмам известно как элонгация или гироэлонгация . Некоторые другие твердые тела Джонсона представляют собой удлиненный квадратный купол. $J_{19}$, гироудлиненный квадратный купол $J_{23}$, квадратный ортобикупол $J_{28}$, квадратный гирокупола $J_{29}$, вытянутый квадратный гиробикупол $J_{37}$, и гироудлиненный квадратный двуглавый купол $J_{45}$.

3D модель скрещенного квадратного купола

Скрещенный квадратный купол является одной из невыпуклых изоморф твердого тела Джонсона и топологически идентичен выпуклому квадратному куполу. Его можно получить как срез невыпуклого большого ромбокубооктаэдра или квазиромбокубооктаэдра, аналогично тому, как квадратный купол можно получить как срез ромбокубооктаэдра. Как и во всех куполах , базовый многоугольник имеет в два раза больше ребер и вершин , чем верхний; в данном случае базовым многоугольником является октаграмма . Его можно рассматривать как купол с ретроградным квадратным основанием, так что квадраты и треугольники соединяются через основания противоположно квадратному куполу, следовательно, пересекая друг друга.

Квадратный купол является составной частью нескольких неоднородных решеток, заполняющих пространство:

• с тетраэдрами ;
• с кубами и кубооктаэдрами ; и
• с тетраэдрами, квадратными пирамидами и различными комбинациями кубов, вытянутыми квадратными пирамидами и вытянутыми квадратными бипирамидами .

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. , « Квадратный купол » (« Твердое тело Джонсона ») в MathWorld .