Вытянутая треугольная пирамида

Вытянутая треугольная пирамида
Вытянутая треугольная пирамида
Тип	Джонсон ; В 6 – В 7 – В 8
Лица	4 треугольника ; 3 квадрата
Края	12
Вершины	7
Конфигурация вершин	1(3 3 ) ; 3(3.4 2 ) ; 3(3 2 .4 2 )
Группа симметрии	С 3в , [3], (*33)
Группа вращения	С 3 , [3] + , (33)
Двойной многогранник	себя
Характеристики	выпуклый
Сеть

В геометрии — вытянутая треугольная пирамида одно из тел Джонсона ( $J 7$ ). Как следует из названия, его можно построить, удлинив тетраэдр , прикрепив треугольную призму к его основанию . Как и любая вытянутая пирамида , полученное тело топологически (но не геометрически) самодвойственно .

Строительство

Удлиненная треугольная пирамида состоит из треугольной призмы путем присоединения к одному из ее оснований правильного тетраэдра — процесс, известный как удлинение . ^[1] Тетраэдр покрывает равносторонний треугольник , заменяя его тремя другими равносторонними треугольниками, так что получившийся многогранник имеет четыре равносторонних треугольника и три квадрата . в качестве граней ^[2] Выпуклый многогранник, у которого все грани представляют собой правильные многоугольники, называется телом Джонсона , и к ним относится вытянутая треугольная пирамида, обозначаемая как седьмое тело Джонсона. $J_{7}$ . ^[3]

Характеристики

Вытянутая треугольная пирамида с длиной ребра. $a$ имеет высоту путем сложения высоты правильного тетраэдра и треугольной призмы: ^[4] $\left(1+{\frac {\sqrt {6}}{3}}\right)a\approx 1.816a.$ Площадь его поверхности можно вычислить, сложив площади всех восьми равносторонних треугольников и трех квадратов: ^[2] $\left(3+{\sqrt {3}}\right)a^{2}\approx 4.732a^{2},$ а его объём можно вычислить, разрезав его на правильный тетраэдр и призму, сложив их объёмы: ^[2]: $\left({\frac {1}{12}}\left({\sqrt {2}}+3{\sqrt {3}}\right)\right)a^{3}\approx 0.551a^{3}.$

Он имеет трехмерную группу симметрии , циклическую группу. $C_{3\mathrm {v} }$ порядка 6. Его двугранный угол можно вычислить сложением угла тетраэдра и треугольной призмы: ^[5]

двугранный угол тетраэдра между двумя соседними треугольными гранями равен ${\textstyle \arccos \left({\frac {1}{3}}\right)\approx 70.5^{\circ }}$ ;
двугранный угол треугольной призмы между квадратом и ее основаниями равен ${\textstyle {\frac {\pi }{2}}=90^{\circ }}$ , а двугранный угол между квадратом и треугольником на ребре, где прикреплены тетраэдр и треугольная призма, равен ${\textstyle \arccos \left({\frac {1}{3}}\right)+{\frac {\pi }{2}}\approx 160.5^{\circ }}$ ;
двугранный угол треугольной призмы между двумя соседними квадратными гранями является внутренним углом равностороннего треугольника ${\textstyle {\frac {\pi }{3}}=60^{\circ }}$ .

Двойной многогранник

Топологически вытянутая треугольная пирамида сама себе двойственна. Геометрически дуал имеет семь неправильных граней: один равносторонний треугольник, три равнобедренных треугольника и три равнобедренные трапеции.

Двойная вытянутая треугольная пирамида	Чистая двойная

Связанные многогранники и соты

Вытянутая треугольная пирамида может образовывать мозаику пространства с квадратными пирамидами и/или октаэдрами . ^[6]

Ссылки

^ Раджваде, Арканзас (2001). Выпуклые многогранники с условиями регулярности и третья проблема Гильберта . Тексты и чтения по математике. Книжное агентство Индостан. п. 84–89. дои : 10.1007/978-93-86279-06-4 . ISBN 978-93-86279-06-4 .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Берман, Мартин (1971). «Выпуклые многогранники с правильными гранями». Журнал Института Франклина . 291 (5): 329–352. дои : 10.1016/0016-0032(71)90071-8 . МР 0290245 .
^ Уэхара, Рюхэй (2020). Введение в вычислительное оригами: мир новой вычислительной геометрии . Спрингер. п. 62. дои : 10.1007/978-981-15-4470-5 . ISBN 978-981-15-4470-5 . S2CID 220150682 .
^ Сапинья, Р. «Площадь и объём тела Джонсона». $J_{8}$ « . Проблемы и уравнения (на испанском языке). ISSN 2659-9899 . Проверено 9 сентября 2020 г.
^ Джонсон, Норман В. (1966). «Выпуклые многогранники с правильными гранями» . Канадский математический журнал . 18 : 169–200. дои : 10.4153/cjm-1966-021-8 . МР 0185507 . S2CID 122006114 . Збл 0132.14603 .
^ «Соты J7» .

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. , « Тело Джонсона » (« Удлиненная треугольная пирамида ») в MathWorld .

[rajwade-1] Раджваде, Арканзас (2001). Выпуклые многогранники с условиями регулярности и третья проблема Гильберта . Тексты и чтения по математике. Книжное агентство Индостан. п. 84–89. дои : 10.1007/978-93-86279-06-4 . ISBN 978-93-86279-06-4 .

[berman-2] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Берман, Мартин (1971). «Выпуклые многогранники с правильными гранями». Журнал Института Франклина . 291 (5): 329–352. дои : 10.1016/0016-0032(71)90071-8 . МР 0290245 .

[uehara-3] Уэхара, Рюхэй (2020). Введение в вычислительное оригами: мир новой вычислительной геометрии . Спрингер. п. 62. дои : 10.1007/978-981-15-4470-5 . ISBN 978-981-15-4470-5 . S2CID 220150682 .

[pye-4] Сапинья, Р. «Площадь и объём тела Джонсона». $J_{8}$ « . Проблемы и уравнения (на испанском языке). ISSN 2659-9899 . Проверено 9 сентября 2020 г.

[johnson-5] Джонсон, Норман В. (1966). «Выпуклые многогранники с правильными гранями» . Канадский математический журнал . 18 : 169–200. дои : 10.4153/cjm-1966-021-8 . МР 0185507 . S2CID 122006114 . Збл 0132.14603 .

[6] «Соты J7» .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

v т и Твердые вещества Джонсона
Пирамиды , купола и круги	квадратная пирамида пятиугольная пирамида треугольный купол квадратный купол пятиугольный купол пятиугольная ротонда
Модифицированные пирамиды	вытянутая треугольная пирамида вытянутая квадратная пирамида вытянутая пятиугольная пирамида Гироудлиненная квадратная пирамида гироудлиненная пятиугольная пирамида треугольная бипирамида пятиугольная бипирамида вытянутая треугольная бипирамида вытянутая квадратная бипирамида вытянутая пятиугольная бипирамида гироудлиненная квадратная бипирамида
Модифицированные купола и раунды	удлиненный треугольный купол вытянутый квадратный купол удлиненный пятиугольный купол вытянутая пятиугольная ротонда гироудлинённый треугольный купол гироудлиненный квадратный купол гироудлиненный пятиугольный купол гироудлиненная пятиугольная ротонда гиробифастигий треугольный ортобикупол квадратный ортобикупол квадратный гиробикупол пятиугольный ортобикупол пятиугольный гирокупол пятиугольная ортокуполаротонда пятиугольная гирокуполаротонда пятиугольная ортобиротонда удлиненный треугольный ортобикупол удлиненный треугольный гиробикупол вытянутый квадратный гиробикупол удлиненный пятиугольный ортобикупол удлиненный пятиугольный гиробикупол вытянутая пятиугольная ортокуполаротонда вытянутая пятиугольная гирокуполаротонда вытянутая пятиугольная ортобиротонда вытянутая пятиугольная гиробиротунда гироудлиненный треугольный двуглавый купол гироудлиненный квадратный двуглавый купол гироудлиненный пятиугольный двуглавый купол гироудлинённый пятиугольный купол-ротонда гироудлиненная пятиугольная биротонда
Дополненные призмы	увеличенная треугольная призма смещенная треугольная призма триаугментированная треугольная призма увеличенная пятиугольная призма увеличенная пятиугольная призма дополненная шестиугольная призма парабиоувеличенная шестиугольная призма метаувеличенная шестиугольная призма трехугольная шестиугольная призма
Модифицированные платоновые тела	дополненный додекаэдр парабиоувеличенный додекаэдр метаувеличенный додекаэдр триаугментированный додекаэдр метабидиминированный икосаэдр трехмерный икосаэдр увеличенный трехмерный икосаэдр
Модифицированные архимедовы тела	расширенный усеченный тетраэдр дополненный усеченный куб увеличенный усеченный куб дополненный усеченный додекаэдр парабиоувеличенный усеченный додекаэдр метаувеличенный усеченный додекаэдр триаугментированный усеченный додекаэдр вращающийся ромбокосододекаэдр парабигиратный ромбикосидодекаэдр метабивративный ромбокосододекаэдр тригиратный ромбикосидодекаэдр уменьшенный ромбокосододекаэдр парагиратный уменьшенный ромбикосидодекаэдр метавращающийся уменьшенный ромбокосододекаэдр большой, уменьшенный ромбокосододекаэдр парабидиуменьшенный ромбокосододекаэдр метабидиминированный ромбикосододекаэдр вращающийся двууменьшенный ромбокосододекаэдр трехмерный ромбикосидодекаэдр
Элементарные твердые тела	курносый дисфеноид курносая квадратная антипризма сфенокорона расширенная сфенокорона сфеномегакорона Гебесфеномегакорона дисфеномен коды неисправностей треугольная гебесфеноротонда
(См. также Список твердых тел Джонсона , сортируемую таблицу)