Вытянутая треугольная бипирамида

Вытянутая треугольная бипирамида
Вытянутая треугольная бипирамида
Тип	Джонсон ; 13 – 14 – 15
Лица	6 треугольников ; 3 квадрата
Края	15
Вершины	8
Конфигурация вершин	2(3 3 ) ; 6(3 2 .4 2 )
Группа симметрии	Д 3ч , [3,2], (*322)
Группа вращения	Д 3 , [3,2] + , (322)
Двойной многогранник	Треугольный бифрустум
Характеристики	выпуклый
Сеть

В геометрии вытянутая треугольная бипирамида (или дипирамида ) или триакис треугольная призма — многогранник, построенный из треугольной призмы путем прикрепления двух тетраэдров к ее основаниям . Это пример твердого Джонсона .

Строительство

Вытянутая треугольная бипирамида состоит из треугольной призмы путем прикрепления к ее основаниям двух тетраэдров — процесс, известный как удлинение . ^[1] Эти тетраэдры покрывают треугольные грани так, что полученный многогранник имеет девять граней (шесть из них — равносторонние треугольники и три — квадраты ), пятнадцать рёбер и восемь вершин. ^[2] многогранник Выпуклый , все грани которого являются правильными многоугольниками, называется телом Джонсона . Вытянутая бипирамида — одна из них, называемая четырнадцатым телом Джонсона. $J_{14}$ . ^[3]

Характеристики

Площадь поверхности вытянутой треугольной бипирамиды $A$ представляет собой сумму площадей всех многоугольных граней: шести равносторонних треугольников и трех квадратов. Объем вытянутой треугольной бипирамиды $V$ В этом можно убедиться, разрезав его на два тетраэдра и правильную треугольную призму, а затем сложив их объем. Высота вытянутой треугольной бипирамиды $h$ представляет собой сумму двух тетраэдров и высоты правильной треугольной призмы. Следовательно, учитывая длину ребра $a$ , его площадь поверхности и объем формулируются как: ^[2]^[4] ${\begin{aligned}A&=\left({\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}+3\right)a^{2}\approx 5.598a^{2},\\V&=\left({\frac {\sqrt {2}}{6}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)a^{3}\approx 0.669a^{3},\\h&=\left({\frac {2{\sqrt {6}}}{3}}+1\right)\cdot a\approx \cdot 2.633a.\end{aligned}}$

Он имеет ту же трехмерную группу симметрии, что и треугольная призма, группу диэдра. $D_{3\mathrm {h} }$ порядка двенадцатого. Двугранный угол вытянутой треугольной бипирамиды можно рассчитать, сложив угол тетраэдра и треугольной призмы: ^[5]

двугранный угол тетраэдра между двумя соседними треугольными гранями равен ${\textstyle \arccos \left({\frac {1}{3}}\right)\approx 70.5^{\circ }}$ ;
двугранный угол треугольной призмы между квадратом и ее основаниями равен ${\textstyle {\frac {\pi }{2}}=90^{\circ }}$ , а двугранный угол между квадратом и треугольником на ребре, где прикреплены тетраэдр и треугольная призма, равен ${\textstyle \arccos \left({\frac {1}{3}}\right)+{\frac {\pi }{2}}\approx 160.5^{\circ }}$ ;
двугранный угол треугольной призмы между двумя соседними квадратными гранями является внутренним углом равностороннего треугольника ${\textstyle {\frac {\pi }{3}}=60^{\circ }}$ .

Появления

Нирросула — африканский музыкальный инструмент, сплетенный из полосок листьев растений, выполнен в виде ряда вытянутых бипирамид с неравносторонними треугольниками в качестве граней их торцевых вершин. ^[6]

Ссылки

^ Раджваде, А.Р. (2001), Выпуклые многогранники с условиями регулярности и третья проблема Гильберта , Тексты и материалы по математике, Книжное агентство Hindustan, стр. 84–89, номер домена : 10.1007/978-93-86279-06-4 , ISBN. 978-93-86279-06-4 .
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Берман, Мартин (1971), «Выпуклые многогранники с правильными гранями», Журнал Института Франклина , 291 (5): 329–352, doi : 10.1016/0016-0032(71)90071-8 , MR 0290245 .
^ Уэхара, Рюхей (2020), Введение в вычислительное оригами: мир новой вычислительной геометрии , Springer, стр. 62, номер домена : 10.1007/978-981-15-4470-5 , ISBN. 978-981-15-4470-5 , S2CID 220150682 .
^ Сапинья, Р., «Площадь и объем тела Джонсона». $J_{8}$ " , Проблемы и уравнения (на испанском языке), ISSN 2659-9899 , получено 9 сентября 2020 г. " .
^ Джонсон, Норман В. (1966), «Выпуклые многогранники с правильными гранями», Canadian Journal of Mathematics , 18 : 169–200, doi : 10.4153/cjm-1966-021-8 , MR 0185507 , S2CID 122006114 , Zbl 0132.14603 .
^ Гердес, Паулюс (2009), «Исследование технологий, возникших из африканской культурной практики, в математическом (педагогическом) образовании», ZDM Mathematics Education , 42 (1): 11–17, doi : 10.1007/s11858-009-0208-2 , S2CID 122791717 .

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. , « Удлиненная треугольная бипирамида » (« Тело Джонсона ») в MathWorld .

[rajwade-1] Раджваде, А.Р. (2001), Выпуклые многогранники с условиями регулярности и третья проблема Гильберта , Тексты и материалы по математике, Книжное агентство Hindustan, стр. 84–89, номер домена : 10.1007/978-93-86279-06-4 , ISBN. 978-93-86279-06-4 .

[berman-2] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Берман, Мартин (1971), «Выпуклые многогранники с правильными гранями», Журнал Института Франклина , 291 (5): 329–352, doi : 10.1016/0016-0032(71)90071-8 , MR 0290245 .

[uehara-3] Уэхара, Рюхей (2020), Введение в вычислительное оригами: мир новой вычислительной геометрии , Springer, стр. 62, номер домена : 10.1007/978-981-15-4470-5 , ISBN. 978-981-15-4470-5 , S2CID 220150682 .

[pye-4] Сапинья, Р., «Площадь и объем тела Джонсона». $J_{8}$ " , Проблемы и уравнения (на испанском языке), ISSN 2659-9899 , получено 9 сентября 2020 г. " .

[johnson-5] Джонсон, Норман В. (1966), «Выпуклые многогранники с правильными гранями», Canadian Journal of Mathematics , 18 : 169–200, doi : 10.4153/cjm-1966-021-8 , MR 0185507 , S2CID 122006114 , Zbl 0132.14603 .

[gerdes-6] Гердес, Паулюс (2009), «Исследование технологий, возникших из африканской культурной практики, в математическом (педагогическом) образовании», ZDM Mathematics Education , 42 (1): 11–17, doi : 10.1007/s11858-009-0208-2 , S2CID 122791717 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

v т и Твердые вещества Джонсона
Пирамиды , купола и круги	квадратная пирамида пятиугольная пирамида треугольный купол квадратный купол пятиугольный купол пятиугольная ротонда
Модифицированные пирамиды	вытянутая треугольная пирамида вытянутая квадратная пирамида вытянутая пятиугольная пирамида Гироудлиненная квадратная пирамида гироудлиненная пятиугольная пирамида треугольная бипирамида пятиугольная бипирамида вытянутая треугольная бипирамида вытянутая квадратная бипирамида вытянутая пятиугольная бипирамида гироудлиненная квадратная бипирамида
Модифицированные купола и раунды	удлиненный треугольный купол вытянутый квадратный купол удлиненный пятиугольный купол вытянутая пятиугольная ротонда Гироудлиненный треугольный купол гироудлиненный квадратный купол гироудлиненный пятиугольный купол гироудлиненная пятиугольная ротонда гиробифастигий треугольный ортобикупол квадратный ортобикупол квадратный гиробикупол пятиугольный ортобикупол пятиугольный гирокупол пятиугольная ортокуполаротонда пятиугольная гирокуполаротонда пятиугольная ортобиротонда удлиненный треугольный ортобикупол удлиненный треугольный гиробикупол вытянутый квадратный гиробикупол удлиненный пятиугольный ортобикупол удлиненный пятиугольный гиробикупол вытянутая пятиугольная ортокуполаротонда вытянутая пятиугольная гирокуполаротонда вытянутая пятиугольная ортобиротонда вытянутая пятиугольная гиробиротунда гироудлиненный треугольный двуглавый купол гироудлиненный квадратный двуглавый купол гироудлиненный пятиугольный двуглавый купол гироудлиненный пятиугольный купол-ротонда гироудлиненная пятиугольная биротонда
Дополненные призмы	увеличенная треугольная призма смещенная треугольная призма триаугментированная треугольная призма увеличенная пятиугольная призма увеличенная пятиугольная призма дополненная шестиугольная призма парабиоувеличенная шестиугольная призма метаувеличенная шестиугольная призма трехугольная шестиугольная призма
Модифицированные платоновые тела	дополненный додекаэдр парабиоувеличенный додекаэдр метаувеличенный додекаэдр триаугментированный додекаэдр метабидиминированный икосаэдр трехмерный икосаэдр увеличенный трехмерный икосаэдр
Модифицированные архимедовы тела	расширенный усеченный тетраэдр дополненный усеченный куб увеличенный усеченный куб дополненный усеченный додекаэдр парабиоувеличенный усеченный додекаэдр метаувеличенный усеченный додекаэдр триаугментированный усеченный додекаэдр вращающийся ромбокосододекаэдр парабигиратный ромбикосидодекаэдр метабивративный ромбокосододекаэдр тригиратный ромбикосидодекаэдр уменьшенный ромбокосододекаэдр парагиратный уменьшенный ромбокосододекаэдр метавращающийся уменьшенный ромбокосододекаэдр большой, уменьшенный ромбокосододекаэдр парабидиуменьшенный ромбокосододекаэдр метабидиминированный ромбикосододекаэдр вращающийся двууменьшенный ромбокосододекаэдр трехмерный ромбикосидодекаэдр
Элементарные твердые тела	курносый дисфеноид курносая квадратная антипризма сфенокорона расширенная сфенокорона сфеномегакорона Гебесфеномегакорона дисфеномен коды неисправностей треугольная гебесфеноротонда
(См. также Список твердых тел Джонсона , сортируемую таблицу)