Список твердых тел Джонсона

В геометрии многогранники — это трехмерные объекты, точки которых соединены линиями, образуя многоугольники . Точки, линии и многоугольники многогранника называются его вершинами , ребрами и гранями соответственно. Многогранник считается выпуклым, если:

• Кратчайший путь между любыми двумя его вершинами лежит либо внутри него , либо на его границе .
• Ни одна из его граней не является компланарной — они не находятся в одной плоскости и не «лежат ровно».
• Ни одно из его ребер не коллинеарно — они не являются отрезками одной прямой.

Выпуклый многогранник, грани которого представляют собой правильные многоугольники , известен как тело Джонсона или иногда как тело Джонсона-Залгаллера . Некоторые авторы исключают однородные многогранники из определения . Однородный многогранник — это многогранник, у которого грани правильные и вершинно-транзитивные — это Платоновы тела и Архимедовы тела , а также призмы и антипризмы . Тела Джонсона названы в честь математика Нормана Джонсона (1930–2017), опубликовавшего в 1966 году список из 92 таких многогранников. Его гипотезу о том, что список полон и других примеров не существует, доказала российско-израильский математик Виктор Залгаллер (1920–2017) . 2020) в 1969 году.

Некоторые из тел Джонсона можно отнести к категории элементарных многогранников , то есть их нельзя разделить плоскостью для создания двух небольших выпуклых многогранников с правильными гранями. Телами Джонсона, удовлетворяющими этому критерию, являются первые шесть - равносторонняя квадратная пирамида , пятиугольная пирамида , треугольный купол , квадратный купол , пятиугольный купол и пятиугольная ротонда , а также трехмерный икосаэдр , парабидиминидированный ромбокододекаэдр , трехмерный ромбикосододекаэдр , курносый дисфеноид , курносый квадратный антипризма. , сфенокорона , сфеномегакорона , гебесфеномегакорона , дисфеноцингулум , билунабиротонда и треугольная гебесфеноротонда . Остальные тела Джонсона не являются элементарными и построены с использованием первых шести тел Джонсона вместе с платоновыми и архимедовыми телами в различных процессах. Увеличение предполагает прикрепление их к одной или нескольким граням многогранников, тогда как удлинение или гироудлинение предполагает присоединение их к основаниям призмы или антипризмы соответственно. Некоторые другие строятся путем уменьшения — удаления одного из первых шести тел с одной или нескольких граней многогранника.

В следующей таблице приведены 92 тела Джонсона с длиной ребра $a$. Таблица включает нумерацию тел (обозначается как $J_{n}$). Он также включает количество вершин, ребер и граней каждого твердого тела, а также его группу симметрии , площадь поверхности. $A$и объем $V$. Каждый многогранник имеет свои характеристики , включая симметрию и размер. Говорят, что объект обладает симметрией, если существует преобразование , которое отображает его в себя. Все эти преобразования могут быть объединены в группу по количеству элементов , называемую порядком . В двумерном пространстве эти преобразования включают вращение вокруг центра многоугольника и отражение объекта вокруг серединного перпендикуляра многоугольника. Многоугольник, который вращается симметрично ${\textstyle {\frac {360^{\circ }}{n}}}$ обозначается $C_{n}$, циклическая группа порядка $n$; объединение этого с отражательной симметрией приводит к симметрии группы диэдра. $D_{n}$ порядка $2n$. В трехмерных группах точек симметрии преобразования, сохраняющие симметрию многогранника, включают вращение вокруг линии, проходящей через центр основания, известной как ось симметрии , и отражение относительно перпендикулярных плоскостей, проходящих через биссектрису основания, которая известна как пирамидальная симметрия $C_{nv}$ порядка $2n$. Преобразование, которое сохраняет симметрию многогранника путем отражения его через горизонтальную плоскость, известно как призматическая симметрия. $D_{nh}$ порядка $4n$. Антипризматическая симметрия $D_{nd}$ порядка $4n$ сохраняет симметрию за счет поворота половины нижней части и отражения в горизонтальной плоскости. Группа симметрии $C_{nh}$ порядка $2n$ сохраняет симметрию за счет вращения вокруг оси симметрии и отражения от горизонтальной плоскости; частный случай сохранения симметрии на один полный оборот: $C_{1h}$ порядка 2, часто обозначаемый как $C_{s}$. Измерение многогранников включает в себя площадь поверхности и объём . Площадь ; — это двумерное измерение, рассчитанное как произведение длины и ширины для многогранника площадь поверхности равна сумме площадей всех его граней. Объем — это измерение области в трехмерном пространстве. Объем многогранника можно определить разными способами: либо по его основанию и высоте (как для пирамид и призм ), либо путем разрезания его на части и суммирования их отдельных объемов, либо путем нахождения корня многочлена , представляющего многогранник.

92 твердых тела Джонсона

$J_{n}$	Солидное имя	Изображение	Вершины	Края	Лица	Группа симметрии и ее порядок	Площадь поверхности и объем
1	Равносторонняя квадратная пирамида		5	8	5	$C_{4v}$ порядка 8	${\begin{aligned}A&=\left(1+{\sqrt {3}}\right)a^{2}\\&\approx 2.7321a^{2}\\V&={\frac {\sqrt {2}}{6}}a^{3}\\&\approx 0.2357a^{3}\end{aligned}}$
2	Пятиугольная пирамида		6	10	6	$C_{5v}$ порядка 10	${\begin{aligned}A&={\frac {a^{2}}{2}}{\sqrt {{\frac {5}{2}}\left(10+{\sqrt {5}}+{\sqrt {75+30{\sqrt {5}}}}\right)}}\\&\approx 3.8855a^{2}\\V&=\left({\frac {5+{\sqrt {5}}}{24}}\right)a^{3}\\&\approx 0.3015a^{3}\end{aligned}}$
3	Треугольный купол		9	15	8	$C_{3v}$ порядка 6	${\begin{aligned}A&=\left(3+{\frac {5{\sqrt {3}}}{2}}\right)a^{2}\\&\approx 7.3301a^{2}\\V&=\left({\frac {5}{3{\sqrt {2}}}}\right)a^{3}\\&\approx 1.1785a^{3}\end{aligned}}$
4	Квадратный купол		12	20	10	$C_{4v}$ порядка 8	${\begin{aligned}A&=\left(7+2{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}\right)a^{2}\\&\approx 11.5605a^{2}\\V&=\left(1+{\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}\right)a^{3}\\&\approx 1.9428a^{3}\end{aligned}}$
5	Пятиугольный купол		15	25	12	$C_{5v}$ порядка 10	${\begin{aligned}A&=\left({\frac {1}{4}}\left(20+5{\sqrt {3}}+{\sqrt {5\left(145+62{\sqrt {5}}\right)}}\right)\right)a^{2}\\&\approx 16.5798a^{2}\\V&=\left({\frac {1}{6}}\left(5+4{\sqrt {5}}\right)\right)a^{3}\\&\approx 2.3241a^{3}\end{aligned}}$
6	Пятиугольная ротонда		20	35	17	$C_{5v}$ порядка 10	${\begin{aligned}A&=\left({\frac {1}{2}}\left(5{\sqrt {3}}+{\sqrt {10\left(65+29{\sqrt {5}}\right)}}\right)\right)a^{2}\\&\approx 22.3472a^{2}\\V&=\left({\frac {1}{12}}\left(45+17{\sqrt {5}}\right)\right)a^{3}\\&\approx 6.9178a^{3}\end{aligned}}$
7	Вытянутая треугольная пирамида		7	12	7	$C_{3v}$ порядка 6	${\begin{aligned}A&=\left(3+{\sqrt {3}}\right)a^{2}\\&\approx 4.7321a^{2}\\V&=\left({\frac {1}{12}}\left({\sqrt {2}}+3{\sqrt {3}}\right)\right)a^{3}\\&\approx 0.5509a^{3}\end{aligned}}$
8	Вытянутая квадратная пирамида		9	16	9	$C_{4v}$ порядка 8	${\begin{aligned}A&=\left(5+{\sqrt {3}}\right)a^{2}\\&\approx 6.7321a^{2}\\V&=\left(1+{\frac {\sqrt {2}}{6}}\right)a^{3}\\&\approx 1.2357a^{3}\end{aligned}}$
9	Вытянутая пятиугольная пирамида		11	20	11	$C_{5v}$ порядка 10	${\begin{aligned}A&={\frac {20+5{\sqrt {3}}+{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}}{4}}a^{2}\\&\approx 8.8855a^{2}\\V&=\left({\frac {5+{\sqrt {5}}+6{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}}{24}}\right)a^{3}\\&\approx 2.022a^{3}\end{aligned}}$
10	Гироудлиненная квадратная пирамида		9	20	13	$C_{4v}$ порядка 8	${\begin{aligned}A&=(1+3{\sqrt {3}})a^{2}\\&\approx 6.1962a^{2}\\V&={\frac {1}{6}}\left({\sqrt {2}}+2{\sqrt {4+3{\sqrt {2}}}}\right)a^{3}\\&\approx 1.1927a^{3}\end{aligned}}$
11	Гироудлиненная пятиугольная пирамида		11	25	16	$C_{5v}$ порядка 10	${\begin{aligned}A&={\frac {1}{4}}\left(15{\sqrt {3}}+{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)a^{2}\\&\approx 8.2157a^{2}\\V&={\frac {1}{24}}\left(25+9{\sqrt {5}}\right)a^{3}\\&\approx 1.8802a^{3}\end{aligned}}$
12	Треугольная бипирамида		5	9	6	$D_{3h}$ порядка 12	${\begin{aligned}A&={\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}a^{2}\\&\approx 2.5981a^{2}\\V&={\frac {\sqrt {2}}{6}}a^{3}\\&\approx 0.2358a^{3}\end{aligned}}$
13	Пятиугольная бипирамида		7	15	10	$D_{5h}$ порядка 20	${\begin{aligned}A&={\frac {5{\sqrt {3}}}{2}}a^{2}\\&\approx 4.3301a^{2}\\V&={\frac {1}{12}}\left(5+{\sqrt {5}}\right)a^{3}\\&\approx 0.603a^{3}\end{aligned}}$
14	Вытянутая треугольная бипирамида		8	15	9	$D_{3h}$ порядка 12	${\begin{aligned}A&={\frac {3}{2}}\left(2+{\sqrt {3}}\right)a^{2}\\&\approx 5.5981a^{2}\\V&={\frac {1}{12}}\left(2{\sqrt {2}}+3{\sqrt {3}}\right)a^{3}\\&\approx 0.6687a^{3}\end{aligned}}$
15	Вытянутая квадратная бипирамида		10	20	12	$D_{4h}$ порядка 16	${\begin{aligned}A&=2\left(2+{\sqrt {3}}\right)a^{2}\\&\approx 7.4641a^{2}\\V&={\frac {1}{3}}\left(3+{\sqrt {2}}\right)a^{3}\\&\approx 1.4714a^{3}\end{aligned}}$
16	Вытянутая пятиугольная бипирамида		12	25	15	$D_{5h}$ порядка 20	${\begin{aligned}A&={\frac {5}{2}}\left(2+{\sqrt {3}}\right)a^{2}\\&\approx 9.3301a^{2}\\V&={\frac {1}{12}}\left(5+{\sqrt {5}}+3{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)a^{3}\\&\approx 2.3235a^{3}\end{aligned}}$
17	Гироудлиненная квадратная бипирамида		10	24	16	$D_{4d}$ порядка 16	${\begin{aligned}A&=4{\sqrt {3}}a^{2}\\&\approx 6.9282a^{2}\\V&={\frac {1}{3}}\left({\sqrt {2}}+{\sqrt {4+3{\sqrt {2}}}}\right)a^{3}\\&\approx 1.4284a^{3}\end{aligned}}$
18	Вытянутый треугольный купол		15	27	14	$C_{3v}$ порядка 6	${\begin{aligned}A&={\frac {1}{2}}\left(18+5{\sqrt {3}}\right)a^{2}\\&\approx 13.3301a^{2}\\V&={\frac {1}{6}}\left(5{\sqrt {2}}+9{\sqrt {3}}\right)a^{3}\\&\approx 3.7766a^{3}\end{aligned}}$
19	Вытянутый квадратный купол		20	36	18	$C_{4v}$ порядка 8	${\begin{aligned}A&=(15+2{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})a^{2}\\&\approx 19.5605a^{2}\\V&=\left(3+{\frac {8{\sqrt {2}}}{3}}\right)a^{3}\\&\approx 6.7712a^{3}\end{aligned}}$
20	Вытянутый пятиугольный купол		25	45	22	$C_{5v}$ порядка 10	${\begin{aligned}A&={\frac {1}{4}}\left(60+5{\sqrt {3}}+10{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)a^{2}\\&\approx 26.5798a^{2}\\V&={\frac {1}{6}}\left(5+4{\sqrt {5}}+15{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)a^{3}\\&\approx 10.0183a^{3}\end{aligned}}$
21	Вытянутая пятиугольная ротонда		30	55	27	$C_{5v}$ порядка 10	${\begin{aligned}A&={\frac {1}{2}}a^{2}\left(20+5{\sqrt {3}}+5{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+3{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)\\&\approx 32.3472a^{2}\\V&={\frac {1}{12}}a^{3}\left(45+17{\sqrt {5}}+30{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)\\&\approx 14.612a^{3}\end{aligned}}$
22	Гироудлиненный треугольный купол		15	33	20	$C_{3v}$ порядка 6	${\begin{aligned}A&={\frac {1}{2}}\left(6+11{\sqrt {3}}\right)a^{2}\\&\approx 12.5263a^{2}\\V&={\frac {1}{3}}{\sqrt {{\frac {61}{2}}+18{\sqrt {3}}+30{\sqrt {1+{\sqrt {3}}}}}}a^{3}\\&\approx 3.5161a^{3}\end{aligned}}$
23	Гироудлиненный квадратный купол		20	44	26	$C_{4v}$ порядка 8	${\begin{aligned}A&=(7+2{\sqrt {2}}+5{\sqrt {3}})a^{2}\\&\approx 18.4887a^{2}\\V&=\left(1+{\frac {2}{3}}{\sqrt {2}}+{\frac {2}{3}}{\sqrt {4+2{\sqrt {2}}+2{\sqrt {146+103{\sqrt {2}}}}}}\right)a^{3}\\&\approx 6.2108a^{3}\end{aligned}}$
24	Гироудлиненный пятиугольный купол		25	55	32	$C_{5v}$ порядка 10	${\begin{aligned}A&={\frac {1}{4}}\left(20+25{\sqrt {3}}+10{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)a^{2}\\&\approx 25.2400a^{2}\\V&=\left({\frac {5}{6}}+{\frac {2}{3}}{\sqrt {5}}+{\frac {5}{6}}{\sqrt {2{\sqrt {650+290{\sqrt {5}}}}-2{\sqrt {5}}-2}}\right)a^{3}\\&\approx 9.0733a^{3}\end{aligned}}$
25	Гироудлиненная пятиугольная ротонда		30	65	37	$C_{5v}$ порядка 10	${\begin{aligned}A&={\frac {1}{2}}\left(15{\sqrt {3}}+\left(5+3{\sqrt {5}}\right){\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)a^{2}\\&\approx 31.0075a^{2}\\V&=\left({\frac {45}{12}}+{\frac {17}{12}}{\sqrt {5}}+{\frac {5}{6}}{\sqrt {2{\sqrt {650+290{\sqrt {5}}}}-2{\sqrt {5}}-2}}\right)a^{3}\\&\approx 13.6671a^{3}\end{aligned}}$
26	Гиробифастигиум		8	14	8	$D_{2d}$ порядка 8	${\begin{aligned}A&=\left(4+{\sqrt {3}}\right)a^{2}\\&\approx 5.7321a^{2}\\V&=\left({\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)a^{3}\\&\approx 0.866a^{3}\end{aligned}}$
27	Треугольный ортобикупол		12	24	14	$D_{3h}$ порядка 12	${\begin{aligned}A&=2\left(3+{\sqrt {3}}\right)a^{2}\\&\approx 9.4641a^{2}\\V&={\frac {5{\sqrt {2}}}{3}}a^{3}\\&\approx 2.357a^{3}\end{aligned}}$
28	Квадратный ортобикупол		16	32	18	$D_{4h}$ порядка 16	${\begin{aligned}A&=2(5+{\sqrt {3}})a^{2}\\&\approx 13.4641a^{2}\\V&=\left(2+{\frac {4{\sqrt {2}}}{3}}\right)a^{3}\\&\approx 3.8856a^{3}\end{aligned}}$
29	Гиробикупол квадратный		16	32	18	$D_{4d}$ порядка 16	${\begin{aligned}A&=2(5+{\sqrt {3}})a^{2}\\&\approx 13.4641a^{2}\\V&=\left(2+{\frac {4{\sqrt {2}}}{3}}\right)a^{3}\\&\approx 3.8856a^{3}\end{aligned}}$
30	Пятиугольный ортобикупол		20	40	22	$D_{5h}$ порядка 20	${\begin{aligned}A&=\left(10+{\sqrt {{\frac {5}{2}}\left(10+{\sqrt {5}}+{\sqrt {75+30{\sqrt {5}}}}\right)}}\right)a^{2}\\&\approx 17.7711a^{2}\\V&={\frac {1}{3}}\left(5+4{\sqrt {5}}\right)a^{3}\\&\approx 4.6481a^{3}\end{aligned}}$
31	Пятиугольный гиробикупола		20	40	22	$D_{5d}$ порядка 20	${\begin{aligned}A&=\left(10+{\sqrt {{\frac {5}{2}}\left(10+{\sqrt {5}}+{\sqrt {75+30{\sqrt {5}}}}\right)}}\right)a^{2}\\&\approx 17.7711a^{2}\\V&={\frac {1}{3}}\left(5+4{\sqrt {5}}\right)a^{3}\\&\approx 4.6481a^{3}\end{aligned}}$
32	Пятиугольная ортокуполаротонда		25	50	27	$C_{5v}$ порядка 10	${\begin{aligned}A&=\left(5+{\frac {1}{4}}{\sqrt {1900+490{\sqrt {5}}+210{\sqrt {75+30{\sqrt {5}}}}}}\right)a^{2}\\&\approx 23.5385a^{2}\\V&={\frac {5}{12}}\left(11+5{\sqrt {5}}\right)a^{3}\\&\approx 9.2418a^{3}\end{aligned}}$
33	Пятиугольная гирокуполаротонда		25	50	27	$C_{5v}$ порядка 10	${\begin{aligned}A&=\left(5+{\frac {15}{4}}{\sqrt {3}}+{\frac {7}{4}}{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\right)a^{2}\\&\approx 23.5385a^{2}\\V&={\frac {5}{12}}\left(11+5{\sqrt {5}}\right)a^{3}\\&\approx 9.2418a^{3}\end{aligned}}$
34	Пятиугольная ортобиротонда		30	60	32	$D_{5h}$ порядка 20	${\begin{aligned}A&=\left((5{\sqrt {3}}+3{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)a^{2}\\&\approx 29.306a^{2}\\V&={\frac {1}{6}}(45+17{\sqrt {5}})a^{3}\\&\approx 13.8355a^{3}\end{aligned}}$
35	Удлиненный треугольный ортобикупол.		18	36	20	$D_{3h}$ порядка 12	${\begin{aligned}A&=2(6+{\sqrt {3}})a^{2}\\&\approx 15.4641a^{2}\\V&=\left({\frac {5{\sqrt {2}}}{3}}+{\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}\right)a^{3}\\&\approx 4.9551a^{3}\end{aligned}}$
36	Гиробикупол вытянутой треугольной формы.		18	36	20	$D_{3d}$ порядка 12	${\begin{aligned}A&=2(6+{\sqrt {3}})a^{2}\\&\approx 15.4641a^{2}\\V&=\left({\frac {5{\sqrt {2}}}{3}}+{\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}\right)a^{3}\\&\approx 4.9551a^{3}\end{aligned}}$
37	Вытянутый квадратный гиробикупол.		24	48	26	$D_{4d}$ порядка 16	${\begin{aligned}A&=2(9+{\sqrt {3}})a^{2}\\&\approx 21.4641a^{2}\\V&=\left(4+{\frac {10{\sqrt {2}}}{3}}\right)a^{3}\\&\approx 8.714a^{3}\end{aligned}}$
38	Удлиненный пятиугольный ортобикупол.		30	60	32	$D_{5h}$ порядка 20	${\begin{aligned}A&=\left(20+{\sqrt {{\frac {5}{2}}\left(10+{\sqrt {5}}+{\sqrt {75+30{\sqrt {5}}}}\right)}}\right)a^{2}\\&\approx 27.7711a^{2}\\V&={\frac {1}{6}}\left(10+8{\sqrt {5}}+15{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)a^{3}\\&\approx 12.3423a^{3}\end{aligned}}$
39	Удлиненный пятиугольный гиробикупол.		30	60	32	$D_{5d}$ порядка 20	${\begin{aligned}A&=\left(20+{\sqrt {{\frac {5}{2}}\left(10+{\sqrt {5}}+{\sqrt {75+30{\sqrt {5}}}}\right)}}\right)a^{2}\\&\approx 27.7711a^{2}\\V&={\frac {1}{6}}\left(10+8{\sqrt {5}}+15{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)a^{3}\\&\approx 12.3423a^{3}\end{aligned}}$
40	Вытянутая пятиугольная ортокуполаротонда.		35	70	37	$C_{5v}$ порядка 10	${\begin{aligned}A&={\frac {1}{4}}\left(60+{\sqrt {10\left(190+49{\sqrt {5}}+21{\sqrt {75+30{\sqrt {5}}}}\right)}}\right)a^{2}\\&\approx 33.5385a^{2}\\V&={\frac {5}{12}}\left(11+5{\sqrt {5}}+6{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)a^{3}\\&\approx 16.936a^{3}\end{aligned}}$
41	Вытянутая пятиугольная гирокуполаротонда.		35	70	37	$C_{5v}$ порядка 10	${\begin{aligned}A&={\frac {1}{4}}\left(60+{\sqrt {10\left(190+49{\sqrt {5}}+21{\sqrt {75+30{\sqrt {5}}}}\right)}}\right)a^{2}\\&\approx 33.5385a^{2}\\V&={\frac {5}{12}}\left(11+5{\sqrt {5}}+6{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)a^{3}\\&\approx 16.936a^{3}\end{aligned}}$
42	Вытянутая пятиугольная ортобиротонда.		40	80	42	$D_{5h}$ порядка 20	${\begin{aligned}A&=\left(10+{\sqrt {30\left(10+3{\sqrt {5}}+{\sqrt {75+30{\sqrt {5}}}}\right)}}\right)a^{2}\\&\approx 39.306a^{2}\\V&={\frac {1}{6}}\left(45+17{\sqrt {5}}+15{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)a^{3}\\&\approx 21.5297a^{3}\end{aligned}}$
43	Удлинённая пятиугольная гиробиротунда.		40	80	42	$D_{5d}$ порядка 20	${\begin{aligned}A&=\left(10+{\sqrt {30\left(10+3{\sqrt {5}}+{\sqrt {75+30{\sqrt {5}}}}\right)}}\right)a^{2}\\&\approx 39.306a^{2}\\V&={\frac {1}{6}}\left(45+17{\sqrt {5}}+15{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)a^{3}\\&\approx 21.5297a^{3}\end{aligned}}$
44	Гироудлинённый треугольный бикупол		18	42	26	$D_{3}$ порядка 6	${\begin{aligned}A&=\left(6+5{\sqrt {3}}\right)a^{2}\\&\approx 14.6603a^{2}\\V&={\sqrt {2}}\left({\frac {5}{3}}+{\sqrt {1+{\sqrt {3}}}}\right)a^{3}\\&\approx 4.6946a^{3}\end{aligned}}$
45	Гироудлиненный квадратный бикупол		24	56	34	$D_{4}$ порядка 8	${\begin{aligned}A&=\left(10+6{\sqrt {3}}\right)a^{2}\\&\approx 20.3923a^{2}\\V&=\left(2+{\frac {4}{3}}{\sqrt {2}}+{\frac {2}{3}}{\sqrt {4+2{\sqrt {2}}+2{\sqrt {146+103{\sqrt {2}}}}}}\right)a^{3}\\&\approx 8.1536a^{3}\end{aligned}}$
46	Гироудлиненный пятиугольный бикупол		30	70	42	$D_{5}$ порядка 10	${\begin{aligned}A&={\frac {1}{2}}\left(20+15{\sqrt {3}}+{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\right)a^{2}\\&\approx 26.4313a^{2}\\V&=\left({\frac {5}{3}}+{\frac {4}{3}}{\sqrt {5}}+{\frac {5}{6}}{\sqrt {2{\sqrt {650+290{\sqrt {5}}}}-2{\sqrt {5}}-2}}\right)a^{3}\\&\approx 11.3974a^{3}\end{aligned}}$
47	Гироудлинённый пятиугольный купол-ротонда		35	80	47	$C_{5}$ порядка 5	${\begin{aligned}A&={\frac {1}{4}}\left(20+35{\sqrt {3}}+7{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\right)a^{2}\\&\approx 32.1988a^{2}\\V&=\left({\frac {55}{12}}+{\frac {25}{12}}{\sqrt {5}}+{\frac {5}{6}}{\sqrt {2{\sqrt {650+290{\sqrt {5}}}}-2{\sqrt {5}}-2}}\right)a^{3}\\&\approx 15.9911a^{3}\end{aligned}}$
48	Гироудлиненная пятиугольная биротонда		40	90	52	$D_{5}$ порядка 10	${\begin{aligned}A&=\left(10{\sqrt {3}}+3{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\right)a^{2}\\&\approx 37.9662a^{2}\\V&=\left({\frac {45}{6}}+{\frac {17}{6}}{\sqrt {5}}+{\frac {5}{6}}{\sqrt {2{\sqrt {650+290{\sqrt {5}}}}-2{\sqrt {5}}-2}}\right)a^{3}\\&\approx 20.5848a^{3}\end{aligned}}$
49	Увеличенная треугольная призма		7	13	8	$C_{2v}$ порядка 4	${\begin{aligned}A&={\frac {1}{2}}(4+3{\sqrt {3}})a^{2}\\&\approx 4.5981a^{2}\\V&={\frac {1}{12}}(2{\sqrt {2}}+3{\sqrt {3}})a^{3}\\&\approx 0.6687a^{3}\end{aligned}}$
50	Увеличенная треугольная призма		8	17	11	$C_{2v}$ порядка 4	${\begin{aligned}A&={\frac {1}{2}}(2+5{\sqrt {3}})a^{2}\\&\approx 5.3301a^{2}\\V&={\sqrt {{\frac {59}{144}}+{\frac {1}{\sqrt {6}}}}}a^{3}\\&\approx 0.9044a^{3}\end{aligned}}$
51	Триаугментированная треугольная призма		9	21	14	$D_{3h}$ порядка 12	${\begin{aligned}A&={\frac {7{\sqrt {3}}}{2}}a^{2}\\&\approx 6.0622a^{2}\\V&={\frac {2{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}}{4}}a^{3}\\&\approx 1.1401a^{3}\end{aligned}}$
52	Дополненная пятиугольная призма		11	19	10	$C_{2v}$ порядка 4	${\begin{aligned}A&={\frac {1}{2}}\left(8+2{\sqrt {3}}+{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)a^{2}\\&\approx 9.173a^{2}\\V&={\frac {1}{12}}{\sqrt {233+90{\sqrt {5}}+12{\sqrt {50+20{\sqrt {5}}}}}}a^{3}\\&\approx 1.9562a^{3}\end{aligned}}$
53	Биувеличенная пятиугольная призма		12	23	13	$C_{2v}$ порядка 4	${\begin{aligned}A&={\frac {1}{2}}a^{2}\left(6+4{\sqrt {3}}+{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)\\&\approx 9.9051a^{2}\\V&={\frac {1}{12}}a^{3}{\sqrt {257+90{\sqrt {5}}+24{\sqrt {50+20{\sqrt {5}}}}}}\\&\approx 2.1919a^{3}\end{aligned}}$
54	Дополненная шестиугольная призма		13	22	11	$C_{2v}$ порядка 4	${\begin{aligned}A&=(5+4{\sqrt {3}})a^{2}\\&\approx 11.9282a^{2}\\V&={\frac {1}{6}}\left({\sqrt {2}}+9{\sqrt {3}}\right)a^{3}\\&\approx 2.8338a^{3}\end{aligned}}$
55	Парабиаугментированная шестиугольная призма		14	26	14	$D_{2h}$ порядка 8	${\begin{aligned}A&=(4+5{\sqrt {3}})a^{2}\\&\approx 12.6603a^{2}\\V&={\frac {1}{6}}\left(2{\sqrt {2}}+9{\sqrt {3}}\right)a^{3}\\&\approx 3.0695a^{3}\end{aligned}}$
56	Метабиаувеличенная шестиугольная призма		14	26	14	$C_{2v}$ порядка 4	${\begin{aligned}A&=(4+5{\sqrt {3}})a^{2}\\&\approx 12.6603a^{2}\\V&={\frac {1}{6}}\left(2{\sqrt {2}}+9{\sqrt {3}}\right)a^{3}\\&\approx 3.0695a^{3}\end{aligned}}$
57	Триаугментированная шестиугольная призма		15	30	17	$D_{3h}$ порядка 12	${\begin{aligned}A&=3\left(1+2{\sqrt {3}}\right)a^{2}\\&\approx 13.3923a^{2}\\V&=\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}+{\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}\right)a^{3}\\&\approx 3.3052a^{3}\end{aligned}}$
58	Дополненный додекаэдр		21	35	16	$C_{5v}$ порядка 10	${\begin{aligned}A&={\frac {1}{4}}\left(5{\sqrt {3}}+11{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)a^{2}\\&\approx 21.0903a^{2}\\V&={\frac {1}{24}}\left(95+43{\sqrt {5}}\right)a^{3}\\&\approx 7.9646a^{3}\end{aligned}}$
59	Парабиаугментированный додекаэдр		22	40	20	$D_{5d}$ порядка 20	${\begin{aligned}A&={\frac {5}{2}}\left({\sqrt {3}}+{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)a^{2}\\&\approx 21.5349a^{2}\\V&={\frac {1}{6}}\left(25+11{\sqrt {5}}\right)a^{3}\\&\approx 8.2661a^{3}\end{aligned}}$
60	Метабиаугментированный додекаэдр		22	40	20	$C_{2v}$ порядка 4	${\begin{aligned}A&={\frac {5}{2}}\left({\sqrt {3}}+{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)a^{2}\\&\approx 21.5349a^{2}\\V&={\frac {1}{6}}\left(25+11{\sqrt {5}}\right)a^{3}\\&\approx 8.2661a^{3}\end{aligned}}$
61	Триаугментированный додекаэдр		23	45	24	$C_{3v}$ порядка 6	${\begin{aligned}A&={\frac {3}{4}}\left(5{\sqrt {3}}+3{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)a^{2}\\&\approx 21.9795a^{2}\\V&={\frac {5}{8}}\left(7+3{\sqrt {5}}\right)a^{3}\\&\approx 8.5676a^{3}\end{aligned}}$
62	Метабидиминидированный икосаэдр		10	20	12	$C_{2v}$ порядка 4	${\begin{aligned}A&={\frac {1}{2}}\left(5{\sqrt {3}}+{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)a^{2}\\&\approx 7.7711a^{2}\\V&={\frac {1}{6}}\left(5+2{\sqrt {5}}\right)a^{3}\\&\approx 1.5787a^{3}\end{aligned}}$
63	Трехмерный икосаэдр		9	15	8	$C_{3v}$ порядка 6	${\begin{aligned}A&={\frac {1}{4}}\left(5{\sqrt {3}}+3{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)a^{3}\\&\approx 7.3265a^{3}\\V&=\left({\frac {5}{8}}+{\frac {7{\sqrt {5}}}{24}}\right)a^{3}\\&\approx 1.2772a^{3}\end{aligned}}$
64	Увеличенный трехмерный икосаэдр		10	18	10	$C_{3v}$ порядка 6	${\begin{aligned}A&={\frac {1}{4}}\left(7{\sqrt {3}}+3{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)a^{2}\\&\approx 8.1925a^{2}\\V&={\frac {1}{24}}\left(15+2{\sqrt {2}}+7{\sqrt {5}}\right)a^{3}\\&\approx 1.395a^{3}\end{aligned}}$
65	Дополненный усеченный тетраэдр		15	27	14	$C_{3v}$ порядка 6	${\begin{aligned}A&={\frac {1}{2}}\left(6+13{\sqrt {3}}\right)a^{2}\\&\approx 14.2583a^{2}\\V&={\frac {11}{2{\sqrt {2}}}}a^{3}\\&\approx 3.8891a^{3}\end{aligned}}$
66	Дополненный усеченный куб		28	48	22	$C_{4v}$ порядка 8	${\begin{aligned}A&=(15+10{\sqrt {2}}+3{\sqrt {3}})a^{2}\\&\approx 34.3383a^{2}\\V&=\left(8+{\frac {16{\sqrt {2}}}{3}}\right)a^{3}\\&\approx 15.5425a^{3}\end{aligned}}$
67	Улучшенный усеченный куб		32	60	30	$D_{4h}$ порядка 16	${\begin{aligned}A&=2\left(9+4{\sqrt {2}}+2{\sqrt {3}}\right)a^{2}\\&\approx 36.2419a^{2}\\V&=(9+6{\sqrt {2}})a^{3}\\&\approx 17.4853a^{3}\end{aligned}}$
68	Дополненный усеченный додекаэдр		65	105	42	$C_{5v}$ порядка 10	${\begin{aligned}A&={\frac {1}{4}}\left(20+25{\sqrt {3}}+110{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)a^{2}\\&\approx 102.1821a^{2}\\V&=\left({\frac {505}{12}}+{\frac {81{\sqrt {5}}}{4}}\right)a^{3}\\&\approx 87.3637a^{3}\end{aligned}}$
69	Парабиаугментированный усеченный додекаэдр		70	120	52	$D_{5d}$ порядка 20	${\begin{aligned}A&={\frac {1}{2}}\left(20+15{\sqrt {3}}+50{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)a^{2}\\&\approx 103.3734a^{2}\\V&={\frac {1}{12}}\left(515+251{\sqrt {5}}\right)a^{3}\\&\approx 89.6878a^{3}\end{aligned}}$
70	Метабиаугментированный усеченный додекаэдр		70	120	52	$C_{2v}$ порядка 4	${\begin{aligned}A&={\frac {1}{2}}\left(20+15{\sqrt {3}}+50{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)a^{2}\\&\approx 103.3734a^{2}\\V&={\frac {1}{12}}\left(515+251{\sqrt {5}}\right)a^{3}\\&\approx 89.6878a^{3}\end{aligned}}$
71	Триаугментированный усеченный додекаэдр		75	135	62	$C_{3v}$ порядка 6	${\begin{aligned}A&={\frac {1}{4}}\left(60+35{\sqrt {3}}+90{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+3{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)a^{2}\\&\approx 104.5648a^{2}\\V&={\frac {7}{12}}\left(75+37{\sqrt {5}}\right)a^{3}\\&\approx 92.0118a^{3}\end{aligned}}$
72	Вращающийся ромбокосододекаэдр		60	120	62	$C_{5v}$ порядка 10	${\begin{aligned}A&=\left(30+5{\sqrt {3}}+3{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)a^{2}\\&\approx 59.306a^{2}\\V&=\left(20+{\frac {29{\sqrt {5}}}{3}}\right)a^{3}\\&\approx 41.6153a^{3}\end{aligned}}$
73	Парабигратный ромбокосододекаэдр		60	120	62	$D_{5d}$ порядка 20	${\begin{aligned}A&=\left(30+5{\sqrt {3}}+3{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)a^{2}\\&\approx 59.306a^{2}\\V&=\left(20+{\frac {29{\sqrt {5}}}{3}}\right)a^{3}\\&\approx 41.6153a^{3}\end{aligned}}$
74	Метабигиратный ромбикосидодекаэдр		60	120	62	$C_{2v}$ порядка 4	${\begin{aligned}A&=\left(30+5{\sqrt {3}}+3{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)a^{2}\\&\approx 59.306a^{2}\\V&=\left(20+{\frac {29{\sqrt {5}}}{3}}\right)a^{3}\\&\approx 41.6153a^{3}\end{aligned}}$
75	Тригиратный ромбикосидодекаэдр		60	120	62	$C_{3v}$ порядка 6	${\begin{aligned}A&=\left(30+5{\sqrt {3}}+3{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)a^{2}\\&\approx 59.306a^{2}\\V&=\left(20+{\frac {29{\sqrt {5}}}{3}}\right)a^{3}\\&\approx 41.6153a^{3}\end{aligned}}$
76	Уменьшенный ромбокосододекаэдр		55	105	52	$C_{5v}$ порядка 10	${\begin{aligned}A&={\frac {1}{4}}\left(100+15{\sqrt {3}}+10{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+11{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)a^{2}\\&\approx 58.1147a^{2}\\V&=\left({\frac {115}{6}}+9{\sqrt {5}}\right)a^{3}\\&\approx 39.2913a^{3}\end{aligned}}$
77	Парагиратный уменьшенный ромбикосидодекаэдр		55	105	52	$C_{5v}$ порядка 10	${\begin{aligned}A&={\frac {1}{4}}\left(100+15{\sqrt {3}}+10{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+11{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)a^{2}\\&\approx 58.1147a^{2}\\V&=\left({\frac {115}{6}}+9{\sqrt {5}}\right)a^{3}\\&\approx 39.2913a^{3}\end{aligned}}$
78	Метагиратный уменьшенный ромбикосододекаэдр		55	105	52	$C_{s}$ порядка 2	${\begin{aligned}A&={\frac {1}{4}}\left(100+15{\sqrt {3}}+10{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+11{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)a^{2}\\&\approx 58.1147a^{2}\\V&=\left({\frac {115}{6}}+9{\sqrt {5}}\right)a^{3}\\&\approx 39.2913a^{3}\end{aligned}}$
79	Бигиратный уменьшенный ромбокосододекаэдр		55	105	52	$C_{s}$ порядка 2	${\begin{aligned}A&={\frac {1}{4}}\left(100+15{\sqrt {3}}+10{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+11{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)a^{2}\\&\approx 58.1147a^{2}\\V&=\left({\frac {115}{6}}+9{\sqrt {5}}\right)a^{3}\\&\approx 39.2913a^{3}\end{aligned}}$
80	Парабидоуменьшенный ромбокосододекаэдр		50	90	42	$D_{5d}$ порядка 20	${\begin{aligned}A&={\frac {5}{2}}\left(8+{\sqrt {3}}+2{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)a^{2}\\&\approx 56.9233a^{2}\\V&={\frac {5}{3}}\left(11+5{\sqrt {5}}\right)a^{3}\\&\approx 36.9672a^{3}\end{aligned}}$
81	Метабидиминированный ромбикосододекаэдр		50	90	42	$C_{2v}$ порядка 4	${\begin{aligned}A&={\frac {5}{2}}\left(8+{\sqrt {3}}+2{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)a^{2}\\&\approx 56.9233a^{2}\\V&={\frac {5}{3}}\left(11+5{\sqrt {5}}\right)a^{3}\\&\approx 36.9672a^{3}\end{aligned}}$
82	Вращающийся двууменьшенный ромбикосидодекаэдр		50	90	42	$C_{s}$ порядка 2	${\begin{aligned}A&={\frac {5}{2}}\left(8+{\sqrt {3}}+2{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)a^{2}\\&\approx 56.9233a^{2}\\V&={\frac {5}{3}}\left(11+5{\sqrt {5}}\right)a^{3}\\&\approx 36.9672a^{3}\end{aligned}}$
83	Трехмерный ромбокосододекаэдр		45	75	32	$C_{3v}$ порядка 6	${\begin{aligned}A&={\frac {1}{4}}\left(60+5{\sqrt {3}}+30{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+9{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)a^{2}\\&\approx 55.732a^{2}\\V&=\left({\frac {35}{2}}+{\frac {23{\sqrt {5}}}{3}}\right)a^{3}\\&\approx 34.6432a^{3}\end{aligned}}$
84	Курносый дисфеноид		8	18	12	$D_{2d}$ порядка 8	${\begin{aligned}A&=3{\sqrt {3}}a^{2}\\&\approx 5.1962a^{2}\\V&\approx 0.8595a^{3}\end{aligned}}$
85	Курносая квадратная антипризма		16	40	26	$D_{4d}$ порядка 16	${\begin{aligned}A&=2\left(1+3{\sqrt {3}}\right)a^{2}\\&\approx 12.3923a^{2}\\V&\approx 3.6012a^{3}\end{aligned}}$
86	Сфенокорона		10	22	14	$C_{2v}$ порядка 4	${\begin{aligned}A&=(2+3{\sqrt {3}})a^{2}\\&\approx 7.1962a^{2}\\V&={\frac {1}{2}}a^{3}{\sqrt {1+3{\sqrt {\frac {3}{2}}}+{\sqrt {13+3{\sqrt {6}}}}}}\\&\approx 1.5154a^{3}\end{aligned}}$
87	Дополненная сфенокорона		11	26	17	$C_{s}$ порядка 2	${\begin{aligned}A&=(1+4{\sqrt {3}})a^{2}\\&\approx 7.9282a^{2}\\V&={\frac {1}{2}}a^{3}{\sqrt {1+3{\sqrt {\frac {3}{2}}}+{\sqrt {13+3{\sqrt {6}}}}}}+{\frac {1}{3{\sqrt {2}}}}\\&\approx 1.7511a^{3}\end{aligned}}$
88	Сфеномегакорона		12	28	18	$C_{2v}$ порядка 4	${\begin{aligned}A&=2\left(1+2{\sqrt {3}}\right)a^{2}\\&\approx 8.9282a^{2}\\V&\approx 1.9481a^{3}\end{aligned}}$
89	Гебесфеномегакорона		14	33	21	$C_{2v}$ порядка 4	${\begin{aligned}A&={\frac {3}{2}}\left(2+3{\sqrt {3}}\right)a^{2}\\&\approx 10.7942a^{2}\\V&\approx 2.9129a^{3}\end{aligned}}$
90	дисфеноцинальный		16	38	24	$D_{2d}$ порядка 8	${\begin{aligned}A&=(4+5{\sqrt {3}})a^{2}\\&\approx 12.6603a^{2}\\V&\approx 3.7776a^{3}\end{aligned}}$
91	Время отказа		14	26	14	$D_{2h}$ порядка 8	${\begin{aligned}A&=\left(2+2{\sqrt {3}}+{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)a^{2}\\&\approx 12.346a^{2}\\V&={\frac {1}{12}}\left(17+9{\sqrt {5}}\right)a^{3}\\&\approx 3.0937a^{3}\end{aligned}}$
92	Треугольная гебесфеноротонда		18	36	20	$C_{3v}$ порядка 6	${\begin{aligned}A&={\frac {1}{4}}\left(12+19{\sqrt {3}}+3{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)a^{2}\\&\approx 16.3887a^{2}\\V&=\left({\frac {5}{2}}+{\frac {7{\sqrt {5}}}{6}}\right)a^{3}\\&\approx 5.1087a^{3}\end{aligned}}$

вернуться наверх

Библиография

• Берман, М. (1971). «Выпуклые многогранники с правильными гранями». Журнал Института Франклина . 291 (5): 329–352. дои : 10.1016/0016-0032(71)90071-8 . МР   0290245 .
• Буассонна, доктор медицинских наук; Ивинец, М. (июнь 1989 г.). Зондирование сцены из невыпуклых многогранников . Материалы пятого ежегодного симпозиума по вычислительной геометрии. стр. 237–246. дои : 10.1145/73833.73860 .
• Кромвель, PR (1997). Многогранники . Издательство Кембриджского университета . ISBN  978-0-521-66405-9 .
• Дюдя, МВ (2018). Многооболочечные многогранные кластеры . Спрингер . дои : 10.1007/978-3-319-64123-2 . ISBN  978-3-319-64123-2 .
• Флассер, Дж.; Сук, Т.; Зитофа, Б. (2017). Анализ 2D и 3D изображений по моментам . Джон Уайли и сыновья . ISBN  978-1-119-03935-8 .
• Хергерт, В.; Гейлхуфе, М. (2018). Теория групп в физике твердого тела и фотонике: решение проблем с помощью Mathematica . Джон Уайли и сыновья . ISBN  978-3-527-41300-3 .
• Холм, А. (2010). Геометрия: наше культурное наследие . Спрингер . дои : 10.1007/978-3-642-14441-7 . ISBN  978-3-642-14441-7 .
• Джонсон, Н. (1966). «Выпуклые тела с правильными гранями». Канадский математический журнал . 18 : 169–200. дои : 10.4153/CJM-1966-021-8 .
• Литченберг, Д.Р. (1988). «Пирамиды, призмы, антипризмы и дельтаэдры». Учитель математики . 81 (4): 261–265. JSTOR   27965792 .
• Мейер, В. (2006). Геометрия и ее приложения . Академическая пресса . ISBN  978-0-123-69427-0 .
• Паркер, СП (1997). Словарь математики . МакГроу Хилл . ISBN  978-0-070-52433-0 .
• Пауэлл, Р.С. (2010). Симметрия, теория групп и физические свойства кристаллов . Спрингер . дои : 10.1007/978-1-4419-7598-0 . ISBN  978-1-441-97598-0 .
• Раджваде, Арканзас (2001). Выпуклые многогранники с условиями регулярности и третья проблема Гильберта . Тексты и чтения по математике. Книжное агентство Индостан. дои : 10.1007/978-93-86279-06-4 . ISBN  978-9-386-27906-4 .
• Соломон, Р. (2003). Абстрактная алгебра . Американское математическое общество . ISBN  978-0-821-84795-4 .
• Слободан, М.; Обрадович, М.; Джуканович, Г. (2015). «Композитные вогнутые купола как геометрические и архитектурные формы» (PDF) . Журнал геометрии и графики . 19 (1): 79–91.
• Тимофеенко А.В. (2009). «Неплатонические и неархимедовы несоставные многогранники». Журнал математических наук . 162 (5): 710–729. дои : 10.1007/s10958-009-9655-0 .
• Тодеско, генеральный директор (2020). «Гиперболические соты». В Эммере, М.; Абате, М. (ред.). Представьте себе математику 7: между культурой и математикой . Спрингер . дои : 10.1007/978-3-030-42653-8 . ISBN  978-3-030-42653-8 .
• Уэхара, Р. (2020). Введение в вычислительное оригами: мир новой вычислительной геометрии . Спрингер . дои : 10.1007/978-981-15-4470-5 . ISBN  978-9-811-54470-5 .
• Уолш, ET (2014). Первый курс геометрии . Дувр . ISBN  978-0-486-78020-7 .
• Уильямс, К.; Монтелеоне, К. (2021). Перспектива Даниэле Барбаро 1568 года . Спрингер . дои : 10.1007/978-3-030-76687-0 . ISBN  978-3-030-76687-0 .
• Залгаллер, Вирджиния (1969). Выпуклые многогранники с правильными гранями . Спрингер . ISBN  978-1-489-95671-2 .

Внешние ссылки

• Харт, Джордж В. «Джонсон Солидс» .
• «Многогранники Джонсона» . – Изображения всех 92 классифицированных тел Джонсона
• «Джонсон Солидс» . – Визуализация всех 92 тел Джонсона
• Булатов Владимир. «Твердые тела Джонсона» . – VRML-модели твердых тел Джонсона
• Ганьон, Сильвен (1982). «Выпуклые многогранники с правильными гранями» ( PDF) . Topologie Structurale [ Структурная топология ] (на французском языке) (6): 83–95.