Группа симметрии

В теории групп геометрического группа симметрии объекта — это группа всех преобразований, относительно которых объект инвариантен , наделенная групповой операцией композиции . Такое преобразование представляет собой обратимое отображение окружающего пространства , которое переносит объект в себя и сохраняет всю соответствующую структуру объекта. Частое обозначение группы симметрии объекта X — G = Sym( X ).

Для объекта в метрическом пространстве его симметрии образуют подгруппу окружающего группы изометрии пространства. В этой статье в основном рассматриваются группы симметрии в евклидовой геометрии , но эту концепцию можно также изучить для более общих типов геометрической структуры.

Введение [ править ]

«Объектами», обладающими симметрией, мы считаем геометрические фигуры, изображения и узоры, например рисунок обоев . Для симметрии физических объектов можно также принять их физическую композицию как часть узора. (Формально шаблон может быть определен как скалярное поле , функция положения со значениями в наборе цветов или веществ; как векторное поле ; или как более общая функция объекта.) Группа изометрий пространства вызывает групповое действие на объекты в нем, а группа симметрии Sym( X ) состоит из тех изометрий, которые отображают X в себя (а также отображают в себя любой дальнейший шаблон). Мы говорим, относительно такого X инвариантно отображения, и что это отображение является симметрией X что .

Вышеупомянутое иногда называют полной группой симметрии X , чтобы подчеркнуть, что оно включает в себя изометрии, меняющие ориентацию (отражения, скользящие отражения и неправильные вращения ), пока эти изометрии отображают этот конкретный X сам на себя. Подгруппа сохраняющих ориентацию симметрий (переносов, вращений и их композиций) называется собственной группой симметрии . Объект является киральным , если он не имеет симметрий, изменяющих ориентацию , так что его собственная группа симметрии равна его полной группе симметрии.

Любая группа симметрии, элементы которой имеют общую неподвижную точку (что верно, если группа конечна или фигура ограничена), может быть представлена как подгруппа ортогональной группы O( n ), выбрав начало координат в качестве фиксированной точки. Собственная группа симметрии тогда является подгруппой специальной ортогональной группы SO( n ) и называется группой вращения фигуры.

В дискретной группе симметрии точки, симметричные данной точке, не накапливаются к предельной точке . То есть каждая орбита группы (образы данной точки под всеми элементами группы) образует дискретное множество . Все конечные группы симметрии дискретны.

Дискретные группы симметрии бывают трех типов: (1) конечные точечные группы , которые включают только вращения, отражения, инверсии и ротоинверсии – т.е. конечные подгруппы O( n ); (2) бесконечные решетчатые группы , включающие только сдвиги; и (3) бесконечные пространственные группы , содержащие элементы обоих предыдущих типов, а также, возможно, дополнительные преобразования, такие как винтовые смещения и скользящие отражения. Существуют также непрерывные группы симметрии ( группы Ли ), которые содержат повороты на сколь угодно малые углы или сдвиги на сколь угодно малые расстояния. Примером является O(3) , группа симметрии сферы. Группы симметрии евклидовых объектов можно полностью отнести к подгруппам евклидовой группы E( n ) (группы изометрий R ^н).

Две геометрические фигуры имеют один и тот же тип симметрии , когда их группы симметрии являются сопряженными подгруппами евклидовой группы: то есть, когда подгруппы H ₁ , H ₂ связаны соотношением H ₁ = g ⁻¹H ₂ g для некоторого g из E( n ). Например:

две трехмерные фигуры обладают зеркальной симметрией, но относительно разных зеркальных плоскостей.
две трехмерные фигуры обладают 3-кратной вращательной симметрией , но относительно разных осей.
два 2D-паттерна обладают трансляционной симметрией, каждый в одном направлении; два вектора трансляции имеют одинаковую длину, но разное направление.

В следующих разделах мы рассматриваем только группы изометрий, орбиты , которых топологически замкнуты включая все дискретные и непрерывные группы изометрий. Однако это исключает, например, 1D-группу переводов рационального числа ; такую незамкнутую фигуру невозможно нарисовать с достаточной точностью из-за ее сколь угодно мелкой детализации.

Одно измерение [ править ]

Группы изометрии в одном измерении:

тривиальная циклическая группа C ₁
группы двух элементов, порожденные отражением; они изоморфны C ₂
бесконечные дискретные группы, порожденные трансляцией; они изоморфны Z , аддитивной группе целых чисел
бесконечные дискретные группы, порожденные трансляцией и отражением; они изоморфны обобщенной группе диэдра Z , Dih( Z ), также обозначаемой D _∞ (которая является полупрямым произведением Z и C ₂ ).
группа, порожденная всеми трансляциями (изоморфная аддитивной группе действительных чисел R ); эта группа не может быть группой симметрии евклидовой фигуры, даже наделенной узором: такой узор был бы однородным, а значит, мог бы также отражаться. Однако постоянное одномерное векторное поле обладает этой группой симметрии.
группа, порожденная всеми переводами и отражениями в точках; они изоморфны обобщенной группе диэдра Dih( R ).

Два измерения [ править ]

с точностью до Дискретными группами точек в двумерном пространстве сопряженности являются следующие классы:

циклические группы C ₁ , C ₂ , C ₃ , C ₄ , ... где C _n состоит из всех поворотов вокруг фиксированной точки на угол, кратный 360°/ n.
группы диэдра D ₁ , D ₂ , D ₃ , D ₄ , ..., где D _n (порядка 2 n ) состоит из вращений в C _n вместе с отражениями в n осях, проходящих через неподвижную точку.

C ₁ — тривиальная группа , содержащая только операцию тождества, которая возникает, когда фигура несимметрична, например буква «F». С ₂ — группа симметрии буквы «Z», С ₃ — трискелиона , С ₄ , — свастики С ₅ , С ₆ и т. д. — группы симметрии подобных свастикообразных фигур с пятью, шестью, и т. д. вооружения вместо четырех.

D ₁ представляет собой группу из двух элементов, содержащую операцию тождества и одиночное отражение, которое происходит, когда фигура имеет только одну ось двусторонней симметрии , например букву «А».

D ₂ , изоморфная четверной группе Клейна , является группой симметрии неравностороннего прямоугольника. Эта фигура имеет четыре операции симметрии: операцию тождества, одну ось вращения второго порядка и две неэквивалентные зеркальные плоскости.

D ₃ , D ₄ и т. д. — группы симметрии правильных многоугольников .

Внутри каждого из этих типов симметрии имеется две степени свободы для центра вращения, а в случае групп диэдра - еще одна для положения зеркал.

Остальные группы изометрии в двух измерениях с фиксированной точкой:

специальная ортогональная группа SO(2), состоящая из всех вращений вокруг фиксированной точки; ее также называют группой кругов S ¹, мультипликативная группа комплексных чисел с абсолютным значением 1. Это собственная группа симметрии круга и непрерывный эквивалент C _n . Не существует геометрической фигуры, которая имела бы полную группу симметрии группу круга, но для векторного поля она может применяться (см. трехмерный случай ниже).
ортогональная группа O(2), состоящая из всех вращений вокруг фиксированной точки и отражений по любой оси через эту фиксированную точку. Это группа симметрии круга. Его также называют Dih(S ¹), поскольку это обобщенная группа диэдра S ¹.

Неограниченные фигуры могут иметь группы изометрии, включая переводы; это:

7 групп фризов
17 групп обоев
для каждой группы симметрии в одном измерении комбинация всех симметрий в этой группе в одном направлении и группа всех сдвигов в перпендикулярном направлении.
то же самое касается и отражений в линии в первом направлении.

Три измерения [ править ]

С точностью до сопряженности множество трехмерных точечных групп состоит из 7 бесконечных серий и 7 других индивидуальных групп. В кристаллографии рассматриваются только те точечные группы, которые сохраняют некоторую кристаллическую решетку (поэтому их вращение может иметь только порядок 1, 2, 3, 4 или 6). Это кристаллографическое ограничение бесконечных семейств общих точечных групп приводит к образованию 32 кристаллографических точечных групп (27 отдельных групп из 7 серий и 5 из 7 других отдельных групп).

К непрерывным группам симметрии с неподвижной точкой относятся группы:

цилиндрическая симметрия без плоскости симметрии, перпендикулярной оси. Это касается, например, бутылки или рожка .
цилиндрическая симметрия с плоскостью симметрии, перпендикулярной оси
сферическая симметрия

Для объектов со скалярной структурой поля цилиндрическая симметрия подразумевает также симметрию вертикального отражения. Однако это не так для структур векторного поля : например, в цилиндрических координатах относительно некоторой оси векторное поле $\mathbf {A} =A_{\rho }{\boldsymbol {\hat {\rho }}}+A_{\phi }{\boldsymbol {\hat {\phi }}}+A_{z}{\boldsymbol {\hat {z}}}$ имеет цилиндрическую симметрию относительно оси всякий раз, когда $A_{\rho },A_{\phi },$ и $A_{z}$ имеют эту симметрию (нет зависимости от $\phi$ ); и он обладает отражательной симметрией только тогда, когда $A_{\phi }=0$ .

Для сферической симметрии такого различия нет: любой узорчатый объект имеет плоскости отражательной симметрии.

К непрерывным группам симметрии без фиксированной точки относятся группы с винтовой осью , например бесконечная спираль . См. также подгруппы евклидовой группы .

Группы целом в симметрии

В более широком контексте группа симметрии может быть любой группой преобразований или автоморфизмов группой . Каждый тип математической структуры имеет обратимые отображения , сохраняющие структуру. И наоборот, указание группы симметрии может определить структуру или, по крайней мере, прояснить значение геометрического соответствия или инвариантности; Это один из способов взглянуть на программу Эрлангена .

Например, объекты в гиперболической неевклидовой геометрии имеют фуксовы группы симметрии , которые представляют собой дискретные подгруппы группы изометрии гиперболической плоскости, сохраняющие гиперболическое, а не евклидово расстояние. (Некоторые из них изображены на рисунках Эшера .) Точно так же группы автоморфизмов конечной геометрии сохраняют семейства множеств точек (дискретных подпространств), а не евклидовы подпространства, расстояния или скалярные произведения. Как и в случае с евклидовыми фигурами, объекты в любом геометрическом пространстве имеют группы симметрии, которые являются подгруппами симметрий окружающего пространства.

Другим примером группы симметрии является комбинаторный граф : симметрия графа — это перестановка вершин, которая переводит ребра в ребра. Любая конечно определенная группа является группой симметрии своего графа Кэли ; свободная группа — это группа симметрии бесконечного графа дерева .

Структура группы с точки зрения симметрии [ править ]

Теорема Кэли утверждает, что любая абстрактная группа является подгруппой перестановок некоторого множества X и поэтому может рассматриваться как группа симметрии X с некоторой дополнительной структурой. Кроме того, многие абстрактные свойства группы (определяемые исключительно с точки зрения групповой операции) можно интерпретировать с точки зрения симметрии.

Например, пусть G = Sym( X ) — конечная группа симметрии фигуры X в евклидовом пространстве , и пусть H ⊂ G — подгруппа. Тогда H можно интерпретировать как группу симметрии X ⁺, «украшенная» версия X . Такое украшение можно соорудить следующим образом. несколько узоров, таких как стрелки или цвета, Добавьте к X чтобы нарушить всю симметрию и получить фигуру X. ^# с Sym( X ^#) = {1} — тривиальная подгруппа; то есть gX ^# ≠ Х ^# для всех нетривиальных g ∈ G . Теперь мы получаем:

X^{+}\ =\ \bigcup _{h\in H}hX^{\#}\quad {\text{satisfies}}\quad H=\mathrm {Sym} (X^{+}).

Нормальные подгруппы также могут быть охарактеризованы в этой структуре. Группа симметрии трансляции gX ⁺ – сопряженная подгруппа gHg ⁻¹. Таким образом, H является нормальным, когда:

\mathrm {Sym} (gX^{+})=\mathrm {Sym} (X^{+})\ \ {\text{for all}}\ g\in G;

то есть всякий раз, когда украшение X ⁺ может быть нарисован в любой ориентации относительно любой стороны или элемента X и при этом давать ту же самую группу симметрии gHg ⁻¹ = Ч.

В качестве примера рассмотрим группу диэдра G = D ₃ = Sym( X ), где X — равносторонний треугольник. Мы можем украсить его стрелкой на одном краю, получив асимметричную фигуру X. ^#. Полагая τ ∈ G отражением стрелочного края, составная фигура X ⁺ = Х ^# ∪ τ Икс ^# имеет двунаправленную стрелку на этом ребре, а его группа симметрии H = {1, τ}. Эта подгруппа не является нормальной, поскольку gX ⁺ может иметь двойную стрелку на другом краю, что дает другую группу симметрии отражения.

Однако, полагая H = {1, ρ, ρ ²} ⊂ D ₃ — циклическая подгруппа, порожденная вращением, декорированная фигура X ⁺ состоит из 3-х циклов стрелок с последовательной ориентацией. Тогда H является нормальным, поскольку рисование такого цикла с любой ориентацией дает одну и ту же группу симметрии H .

См. также [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

Бернс, Г.; Глейзер, AM (1990). Космические группы для ученых и инженеров (2-е изд.). Academic Press, Inc. Бостон: ISBN 0-12-145761-3 .
Клегг, В. (1998). Определение кристаллической структуры (Оксфордский учебник химии) . Оксфорд: Издательство Оксфордского университета . ISBN 0-19-855901-1 .
О'Киф, М.; Хайд, Б.Г. (1996). Кристаллические структуры; I. Узоры и симметрия . Вашингтон, округ Колумбия: Минералогическое общество Америки, серия монографий. ISBN 0-939950-40-5 .
Миллер, Уиллард младший (1972). Группы симметрии и их приложения . Нью-Йорк: Академическая пресса. OCLC 589081 . Архивировано из оригинала 17 февраля 2010 г. Проверено 28 сентября 2009 г.

Внешние ссылки [ править ]

Вайсштейн, Эрик В. «Группа симметрии» . Математический мир .
Вайсштейн, Эрик В. «Тетраэдрическая группа» . Математический мир .
Обзор 32 кристаллографических точечных групп — образуют первые части (кроме пропуска n = 5) 7 бесконечных серий и 5 из 7 отдельных трехмерных точечных групп.