Фуксова группа

В математике — фуксова группа это дискретная подгруппа PSL (2, R ) . Группу PSL(2, R ) можно эквивалентно рассматривать как группу сохраняющих ориентацию изометрий гиперболической плоскости , или конформных преобразований единичного круга, или конформных преобразований верхней полуплоскости , поэтому фуксову группу можно рассматривать как группа, действующая на любом из этих пространств. Существуют некоторые варианты определения: иногда предполагается, что фуксова группа конечно порождена , иногда она может быть подгруппой PGL(2, R ) (чтобы она содержала элементы, меняющие ориентацию), а иногда допускается быть клейновой группой (дискретной подгруппой PSL(2, C ) ), которая сопряжена с подгруппой PSL(2, R ).

Фуксовы группы используются для создания фуксовых моделей римановых поверхностей . В этом случае группу можно назвать фуксовой группой поверхности . В некотором смысле фуксовы группы делают для неевклидовой геометрии то же, что кристаллографические группы делают для евклидовой геометрии . некоторая графика Эшера На их основе основана (для дисковой модели гиперболической геометрии).

Общие фуксовы группы были впервые изучены Анри Пуанкаре ( 1882 ), который был мотивирован статьей ( Фукс 1880 ) и поэтому назвал их в честь Лазаря Фукса .

Фуксовы группы в верхней полуплоскости

Пусть H = { z в C : Im( z ) > 0} — верхняя полуплоскость . Тогда H является моделью гиперболической плоскости, если она наделена метрикой

$ds={\frac {1}{y}}{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}.$

Группа PSL(2, R ) действует на H дробно -линейными преобразованиями (также известными как преобразования Мёбиуса ):

${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\cdot z={\frac {az+b}{cz+d}}.$

Это действие является точным, и фактически PSL(2, R ) изоморфно группе всех сохраняющих ориентацию изометрий H , .

Фуксову группу Γ можно определить как подгруппу PSL(2, R действующую разрывно на H. ) , То есть,

• Для каждого z в H орбита Γ : γ z = {γ z в Γ} не имеет точки накопления в H .

Эквивалентное определение фуксовой группы Γ состоит в том, что Γ — дискретная группа , а это означает, что:

• Любая последовательность {γ _n } элементов Γ, сходящаяся к единице в обычной топологии поточечной сходимости, в конечном счете постоянна, т. е. существует целое число N такое, что для всех n > N γ _n = I, где I — идентификационная матрица.

Хотя разрыв и дискретность в этом случае эквивалентны, это вообще не верно для случая произвольной группы конформных гомеоморфизмов, действующих на полной сфере Римана (в отличие от H ). Действительно, фуксова группа PSL(2, Z ) дискретна, но имеет точки накопления на линии действительных чисел Im z = 0: элементы PSL(2, Z ) переносят z = 0 в каждое рациональное число, а рациональные числа Q равны плотный в R. ​

Общее определение

Дробно-линейное преобразование, определенное матрицей из PSL(2, C ), сохранит сферу Римана P ¹ ( C ) = C ∪ ∞, но отправит верхнюю полуплоскость H в некоторый открытый диск ∆. Сопряжение таким преобразованием отправит дискретную подгруппу PSL(2, R ) в дискретную подгруппу PSL(2, C ), сохраняющую ∆.

Это мотивирует следующее определение фуксовой группы . Пусть Γ ⊂ PSL(2, C ) действует инвариантно на собственном открытом круге ⊂ C ∪ ∞, т. е. Γ(∆) = ∆. Тогда Γ фуксово тогда и только тогда, когда выполняется любое из следующих трех эквивалентных свойств:

1. Γ — дискретная группа (относительно стандартной топологии на PSL(2, C )).
2. Γ действует собственно разрывно в каждой точке z ∈ ∆.
3. Множество ∆ является подмножеством области разрыва Ω(Γ) группы Γ.

То есть любой из этих трех может служить определением фуксовой группы, а остальные следуют как теоремы. Понятие инвариантного собственного подмножества ∆ важно; так называемая группа Пикара PSL(2, Z [ i ]) дискретна, но не сохраняет никакого диска в сфере Римана. Действительно, даже модулярная группа PSL(2, Z ), являющаяся фуксовой группой, не действует разрывно на прямой вещественных чисел; он имеет точки накопления в рациональных числах . Точно так же важна идея о том, что Δ является собственным подмножеством области разрыва; если это не так, подгруппа называется клейновой группой .

Инвариантной областью Δ чаще всего считают либо открытый единичный диск , либо верхнюю полуплоскость .

Наборы лимитов

Ввиду дискретности действия орбита Γ z точки z в верхней полуплоскости под действием Γ не имеет точек накопления в верхней полуплоскости. Однако на действительной оси могут быть предельные точки. Пусть Λ(Γ) — предельное множество Γ, т. е. множество предельных точек Γ z при z ∈ H . Тогда Λ(Γ) ⊆ R ∪ ∞. Предельное множество может быть пустым, содержать одну или две точки или содержать бесконечное число. В последнем случае существует два типа:

Фуксова группа первого типа — это группа, предельным множеством которой является замкнутая вещественная прямая R ∪ ∞. Это происходит, если фактор-пространство H /Γ имеет конечный объем, но существуют фуксовы группы первого рода бесконечного кообъема.

В противном случае , что фуксова группа говорят принадлежит ко второму типу . Эквивалентно, это группа, для которой предельное множество является совершенным множеством , нигде не плотным на R ∪ ∞. Поскольку оно нигде не плотно, это означает, что любая предельная точка сколь угодно близка к открытому множеству, не входящему в предельное множество. Другими словами, предельное множество — это множество Кантора .

Тип фуксовой группы не обязательно должен совпадать с ее типом, если рассматривать ее как клейнову группу: фактически все фуксовы группы являются клейновыми группами типа 2, поскольку их предельные множества (как клейновы группы) являются собственными подмножествами сферы Римана. , содержащаяся в некотором круге.

Примеры

Примером фуксовой группы является модулярная группа PSL(2, Z ). Это подгруппа PSL(2, R ), состоящая из дробно-линейных преобразований

${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\cdot z={\frac {az+b}{cz+d}}$

где a , b , c , d — целые числа. Факторпространство H /PSL(2, Z ) — это пространство модулей эллиптических кривых .

Другие фуксовы группы включают группы Γ( n ) для каждого целого числа n > 0. Здесь Γ( n ) состоит из дробно-линейных преобразований указанного выше вида, где элементы матрицы

${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$

конгруэнтны единичной матрице по модулю n .

Кокомпактным примером является (обычная, вращательная) (2,3,7) группа треугольников , содержащая фуксовы группы квартики Клейна и поверхности Макбита , а также другие группы Гурвица . В более общем смысле, любая гиперболическая группа фон Дейка (подгруппа индекса 2 группы треугольников , соответствующая изометриям, сохраняющим ориентацию) является фуксовой группой.

Все это фуксовы группы первого рода .

• Все гиперболические и параболические циклические подгруппы PSL(2, R ) фуксовы.
• Любая эллиптическая циклическая подгруппа фуксова тогда и только тогда, когда она конечна.
• Любая абелева фуксова группа является циклической.
• Ни одна фуксова группа не изоморфна Z × Z .
• Пусть Γ — неабелева фуксова группа. Тогда нормализатор Γ в PSL(2, R ) фуксов.

Свойства метрики

Если h — гиперболический элемент, то длина трансляции как матрицей 2 × L его действия в верхней полуплоскости связана со следом h 2 соотношением

$|\mathrm {tr} \;h|=2\cosh {\frac {L}{2}}.$

Аналогичное соотношение справедливо и для систолы соответствующей римановой поверхности, если фуксова группа без кручения и кокомпактна.

См. также

• Квазифуксова группа
• Неевклидова кристаллографическая группа
• группа Шоттки

Ссылки

• Фукс, Лазарус (1880), «Об одном классе функций многих переменных, которые возникают при обращении интегралов от решений линейных дифференциальных уравнений с рациональными коэффициентами» , Дж. Рейн Ангью. Математика , 89 : 151–169.
• Гершель М. Фаркас, Ирвин Кра , Тета-константы, римановы поверхности и модульная группа , Американское математическое общество , Провиденс, Род-Айленд, ISBN   978-0-8218-1392-8 (см. раздел 1.6)
• Генрик Иванец , Спектральные методы автоморфных форм, второе издание , (2002) (том 53 в аспирантуре по математике ), Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд ISBN   978-0-8218-3160-1 (см. главу 2.)
• Светлана Каток , Фуксовы группы (1992), University of Chicago Press, Чикаго ISBN   978-0-226-42583-2
• Дэвид Мамфорд , Кэролайн Ряд , и Дэвид Райт, Жемчуг Индры: видение Феликса Кляйна , (2002) Издательство Кембриджского университета ISBN   978-0-521-35253-6 . (Прекрасное изложение теории и результатов, богато иллюстрированное диаграммами.)
• Питер Дж. Николлс, Эргодическая теория дискретных групп , (1989) Серия лекций 143 Лондонского математического общества, Cambridge University Press, Кембридж ISBN   978-0-521-37674-7
• Пуанкаре, Анри (1882), «Теория фуксовых групп», Acta Mathematica , 1 , Springer Нидерланды: 1–62, doi : 10.1007/BF02592124 , ISSN   0001-5962 , JFM   14.0338.01
• Винберг, Эрнест Б. (2001) [1994], «Фуксова группа» , Энциклопедия математики , EMS Press