Клейн квартик

В гиперболической геометрии квартика Клейна , названная в честь Феликса Клейна , представляет собой компактную риманову поверхность рода 3 $168$ максимально возможного порядка с группой автоморфизмов для этого рода, а именно порядка $168$ автоморфизмов, сохраняющих ориентацию, и $\times 2 = 336$ автоморфизмов, если ориентация может быть полностью изменен. По сути, квартика Клейна представляет собой поверхность Гурвица наименьшего возможного рода; см. теорему Гурвица об автоморфизмах . Ее (сохраняющая ориентацию) группа автоморфизмов изоморфна $PSL(2, 7)$ , второй по величине неабелевой простой группе после знакопеременной группы A ₅ . Впервые квартика была описана в ( Klein 1878b ).

Квартика Клейна встречается во многих областях математики, в таких контекстах, как теория представлений , теория гомологии , Великая теорема Ферма и теорема Штарка-Хигнера о полях мнимых квадратичных чисел класса номер один; см. ( Levy 1999 ) обзор недвижимости.

Первоначально «квартика Клейна» относилась конкретно к подмножеству комплексной проективной плоскости $P. 2 (C)$ определяется алгебраическим уравнением . Она имеет особую риманову метрику (что делает ее минимальной поверхностью в $P 2 (C)$ ), при котором его гауссова кривизна не является постоянной. Но чаще (как и в этой статье) под ней теперь понимают любую риманову поверхность, конформно эквивалентную этой алгебраической кривой, и особенно ту, которая является фактором гиперболической плоскости $H. 2$ некоторой кокомпактной группой $G$ , действующей свободно на $H 2$ по изометриям. Это дает квартике Клейна риманову метрику постоянной кривизны $-1$ , которую она наследует от $H 2$ . Этот набор конформно эквивалентных римановых поверхностей в точности такой же, как и все компактные римановы поверхности рода 3, группа конформных автоморфизмов которых изоморфна единственной простой группе порядка 168. Эта группа также известна как $PSL(2, 7)$ , а также как изоморфная группа $PSL(3, 2)$ . Согласно теории накрывающих пространств , упомянутая выше группа $G$ изоморфна фундаментальной группе компактной поверхности рода $3$ .

Закрытые и открытые формы [ править ]

Важно различать две разные формы квартики. Замкнутая квартика — это то, что обычно подразумевается в геометрии; топологически оно имеет род 3 и является компактом . Открытая или « проколотая» квартика представляет интерес в теории чисел; топологически это поверхность рода 3 с 24 точками, а геометрически эти точки являются точками возврата . Открытая квартика может быть получена (топологически) из закрытой квартики путем прокалывания 24 центров мозаики правильными семиугольниками, как обсуждается ниже. Открытая и закрытая квартики имеют разные метрики, хотя они одновременно гиперболические и полные. ^[1] - геометрически точки возврата представляют собой «точки на бесконечности», а не дыры, поэтому открытая квартика все еще завершена.

Как алгебраическая кривая [ править ]

Квартику Клейна можно рассматривать как проективную алгебраическую кривую над комплексными числами $C$ , определенную следующим уравнением квартики в однородных координатах $[x : y : z]$ на $P 2 (С)$ :

x^{3}y+y^{3}z+z^{3}x=0.

Локус этого уравнения в $P 2 (C)$ — исходная риманова поверхность, описанная Клейном.

Построение алгебры кватернионов [ править ]

Компактная квартика Клейна может быть построена как фактор гиперболической плоскости по действию подходящей фуксовой группы $Γ(I),$ которая является главной конгруэнтной подгруппой , связанной с идеалом $I=\langle \eta -2\rangle$ в кольце целых алгебраических чисел $Z (η)$ поля $Q (η)$ , где $η = 2 cos(2 π /7)$ . Обратите внимание на личность

(2-\eta )^{3}=7(\eta -1)^{2},

показывая $2 - η$ как простой делитель числа 7 в кольце целых алгебраических чисел.

Группа $Γ(I)$ является подгруппой (2,3,7) группы гиперболических треугольников . А именно, $Γ(I)$ является подгруппой группы элементов единичной нормы в алгебре кватернионов, порожденной как ассоциативная алгебра генераторами $i,j$ и соотношениями

i^{2}=j^{2}=\eta ,\qquad ij=-ji.

Выбирается подходящий порядок кватернионов Гурвица. ${\mathcal {Q}}_{\mathrm {Hur} }$ в алгебре кватернионов $Γ(I)$ тогда является группой элементов нормы 1 в $1+I{\mathcal {Q}}_{\mathrm {Hur} }$ . Наименьшее абсолютное значение следа гиперболического элемента в $Γ(I)$ есть $\eta ^{2}+3\eta +2$ , что соответствует значению 3,936 для систолы квартики Клейна, одной из самых высоких в этом роде.

Черепица [ править ]

Квартика Клейна допускает разбиения, связанные с группой симметрии (« регулярное отображение » ^[2]), и они используются для понимания группы симметрии, начиная с оригинальной статьи Кляйна. Учитывая фундаментальную область действия группы (для полной группы симметрии, меняющей ориентацию, треугольник (2,3,7)), области отражения (образы этой области под группой) дают мозаику квартики такую, что группа автоморфизмов замощения равна группе автоморфизмов поверхности – отражения в линиях замощения соответствуют отражениям в группе (отражения в линиях данного фундаментального треугольника дают набор из 3 порождающих отражений). Это замощение является частным замощением биссектрисы семиугольника третьего порядка гиперболической плоскости ( универсального покрытия квартики), и все поверхности Гурвица замощены таким же образом, как и частные.

Это замощение является однородным, но не регулярным (это разносторонние треугольники ), и вместо него часто используются правильные замощения. фактор любого мозаики из семейства (2,3,7) Можно использовать (и он будет иметь ту же группу автоморфизмов); из них две правильные мозаики — это мозаика из 24 правильных гиперболических семиугольников , каждый степени 3 (встречающихся в 56 вершинах), и двойственная мозаика из 56 равносторонних треугольников , каждый степени 7 (встречающихся в 24 вершинах). С этим связан порядок группы автоморфизмов: в обоих случаях количество многоугольников умножается на количество ребер в многоугольнике.

24 × 7 = 168

56 × 3 = 168

Накрывающими мозаиками на гиперболической плоскости являются семиугольная мозаика 3-го порядка и треугольная мозаика 7-го порядка .

Группу автоморфизмов можно дополнить (за счет симметрии, не реализуемой симметрией мозаики), чтобы получить группу Матье M ₂₄ . ^[3]

Каждому замощению квартики (разделению квартического многообразия на подмножества) соответствует абстрактный многогранник , который абстрагируется от геометрии и лишь отражает комбинаторику замощения (это общий способ получения абстрактного многогранника из замощения) – вершины, ребра и грани многогранника равны как множества вершинам, ребрам и граням мозаики с одинаковыми отношениями инцидентности, а (комбинаторная) группа автоморфизмов абстрактного многогранника равна (геометрической) группе автоморфизмов квартики. Таким образом, геометрия сводится к комбинаторике.

Аффинная квартика [ править ]

Вышеуказанное представляет собой мозаику проективной квартики (замкнутого многообразия); аффинная квартика имеет 24 точки возврата (топологически проколы), которые соответствуют 24 вершинам правильной треугольной мозаики или, что эквивалентно, центрам 24 семиугольников в семиугольной мозаике, и может быть реализована следующим образом.

Учитывая действие $SL(2, R)$ на модель верхней полуплоскости $H 2$ гиперболической плоскости преобразованиями Мёбиуса аффинная квартика Клейна может быть реализована как фактор $Γ(7)\ H 2$ . (Здесь $Γ(7)$ — конгруэнтная подгруппа SL $(2, Z),$ состоящая из матриц, конгруэнтных единичной матрице, когда все элементы взяты по модулю 7.)

штанов Фундаментальное разложение области и

Квартику Клейна можно получить как фактор гиперболической плоскости по действию фуксовой группы. Фундаментальная область представляет собой правильный 14-угольник, площадь которого $8\pi$ по теореме Гаусса-Бонне . Это можно увидеть на соседнем рисунке, который также включает в себя 336 (2,3,7) треугольников, которые замощяют поверхность и создают ее группу симметрий.

Внутри мозаики треугольниками (2,3,7) находится мозаика 24 правильными семиугольниками. Систола поверхности проходит через середины 8 сторон семиугольника; по этой причине в литературе ее называют «восьмиступенчатой геодезической», и это причина названия книги в разделе ниже. Все цветные кривые на рисунке, показывающие разложение штанов, представляют собой систолы, однако это лишь подмножество; всего их 21. Продолжительность систолы составляет

16\sinh ^{-1}\left(\left({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\csc ^{2}\left({\tfrac {\pi }{7}}\right)-4}}\right)\sin \left({\tfrac {\pi }{7}}\right)\right)\approx 3.93594624883.

Эквивалентная замкнутая формула:

8\cosh ^{-1}\left({\tfrac {3}{2}}-2\sin ^{2}\left({\tfrac {\pi }{7}}\right)\right).

Хотя квартика Клейна максимизирует группу симметрии для поверхностей рода 3, она не максимизирует длину систолы. Предполагаемый максимизатор — это поверхность, называемая «M3» ( Schmutz 1993 ). M3 представляет собой мозаику из (2,3,12) треугольников, а его систола имеет кратность 24 и длину.

2\cosh ^{-1}\left(2+{\sqrt {3}}\right)\approx 3.9833047820988736.

Разложение штанов квартики Клейна. На рисунке слева показаны граничные геодезические в мозаике (2,3,7) фундаментальной области. На рисунке справа штаны раскрашены по-разному, чтобы было понятно, какая часть фундаментальной области принадлежит какой паре штанов.

Квартику Клейна можно разложить на четыре пары штанов , разрезав шесть ее систол. Это разложение дает симметричный набор координат Фенхеля-Нильсена , где все параметры длины равны длине систолы, а все параметры скручивания равны ${\tfrac {1}{8}}$ от длины систолы. В частности, взяв $l(S)$ чтобы быть длиной систолы, координаты

\left\{l(S),{\tfrac {l(S)}{8}};l(S),{\tfrac {l(S)}{8}};l(S),{\tfrac {l(S)}{8}};l(S),{\tfrac {l(S)}{8}};l(S),{\tfrac {l(S)}{8}};l(S),{\tfrac {l(S)}{8}}\right\}.

Кубический граф, соответствующий этому разложению штанов, представляет собой тетраэдрический граф, то есть граф из 4 узлов, каждый из которых соединен с другими 3. Тетраэдрический граф аналогичен графу для проективной плоскости Фано ; действительно, группа автоморфизмов квартики Клейна изоморфна группе автоморфизмов плоскости Фано.

Спектральная теория [ править ]

Восемь функций, соответствующих первому положительному собственному значению квартики Клейна. Функции равны нулю вдоль голубых линий. Эти графики были созданы в FreeFEM++ .

мало что было доказано О спектральной теории квартики Клейна . Поскольку квартика Клейна имеет наибольшую группу симметрии поверхностей в своем топологическом классе, как и поверхность Больца рода 2, было высказано предположение, что она максимизирует первое положительное собственное значение оператора Лапласа среди всех компактных римановых поверхностей рода 3 с константой отрицательная кривизна. Это также максимизирует кратность первого положительного собственного значения (8) среди всех таких поверхностей, что недавно было доказано. ^[4] Собственные значения квартики Клейна рассчитаны с различной степенью точности. Первые 15 различных положительных собственных значений показаны в следующей таблице вместе с их кратностями.

Численные расчеты первых 15 положительных собственных значений квартики Клейна.
собственное значение	Числовое значение	Множественность
$\lambda _{0}$	0	1
$\lambda _{1}$	2.67793	8
$\lambda _{2}$	6.62251	7
$\lambda _{3}$	10.8691	6
$\lambda _{4}$	12.1844	8
$\lambda _{5}$	17.2486	7
$\lambda _{6}$	21.9705	7
$\lambda _{7}$	24.0811	8
$\lambda _{8}$	25.9276	6
$\lambda _{9}$	30.8039	6
$\lambda _{10}$	36.4555	8
$\lambda _{11}$	37.4246	8
$\lambda _{12}$	41.5131	6
$\lambda _{13}$	44.8884	8
$\lambda _{14}$	49.0429	6
$\lambda _{15}$	50.6283	6

3-мерные модели [ править ]

Анимация Грега Игана, показывающая встраивание кривой четвертого порядка Кляйна в трех измерениях, начиная с формы, имеющей симметрию тетраэдра, и выворачиваясь наизнанку, чтобы продемонстрировать дальнейшую симметрию.

Квартика Клейна не может быть реализована как трехмерная фигура в том смысле, что ни одна трехмерная фигура не имеет (вращательной) симметрии, равной $PSL(2,7)$ , поскольку $PSL(2,7)$ не вкладывается как подгруппа $SO(3)$ (или $O(3)$ ) – не имеет (нетривиального) трёхмерного линейного представления над действительными числами.

Однако было дано множество трехмерных моделей квартики Клейна, начиная с оригинальной статьи Клейна: ^[2]^[5]^[6]^[7]^[8] которые стремятся продемонстрировать особенности квартики и сохранить симметрии топологически, хотя и не все геометрически. Получающиеся модели чаще всего имеют либо тетраэдрическую (порядок 12), либо октаэдрическую (порядок 24) симметрию; оставшуюся симметрию 7-го порядка не так легко визуализировать, и это фактически название статьи Клейна.

Чаще всего квартика моделируется либо гладкой поверхностью рода 3 с тетраэдрической симметрией (замена ребер правильного тетраэдра трубками/ручками дает такую форму), которые получили название «тетрусы», ^[8] или с помощью многогранных приближений, получивших название «тетроиды»; ^[8] в обоих случаях это вложение формы в 3 измерения. Самая известная гладкая модель (тетрус) — скульптура Восьмеричный путь» « Хеламана Фергюсона в Институте математических наук Саймонса Лауфера в Беркли, Калифорния , сделанная из мрамора и змеевика и открытая 14 ноября 1993 года. Название отсылает к тому факту, что начиная с любой вершины триангулированной поверхности и двигаясь по любому ребру, если при достижении вершины поочередно поворачивать влево и вправо, вы всегда возвращаетесь в исходную точку после восьми ребер. Приобретение скульптуры со временем привело к публикации книги статей ( Леви, 1999 ), подробно описывающей свойства квартики и содержащей первый английский перевод статьи Кляйна. Многогранные модели с тетраэдрической симметрией чаще всего имеют выпуклую оболочку – в виде усеченного тетраэдра см. ( Scholle & Wills 1985 ) и ( Scholl, Schürmann & Wills 2002 примеры и иллюстрации ). Некоторые из этих моделей состоят из 20 или 56 треугольников (абстрактно, правильный косой многогранник {3,7|,4}, с 56 гранями, 84 ребрами и 24 вершинами), который не может быть реализован как равносторонний, с завитками в плечах тетраэдра; а у других 24 семиугольника – эти семиугольники можно считать плоскими, хотя и невыпуклыми, ^[9] и модели более сложны, чем треугольные, потому что сложность отражается в формах (негибких) семиугольных граней, а не в (гибких) вершинах. ^[2]

Альтернативно, квартику можно смоделировать многогранником с октаэдрической симметрией: Кляйн смоделировал квартику формой с октаэдрической симметрией и с точками, обращенными к бесконечности («открытый многогранник»). ^[6] а именно три гиперболоида, встречающихся на ортогональных осях, ^[2] в то время как его также можно смоделировать как замкнутый многогранник, который должен быть погружен (иметь самопересечения), а не вложен. ^[2] Такие многогранники могут иметь различные выпуклые оболочки, в том числе усеченный куб , ^[10] курносый куб , ^[9] или ромбокубооктаэдр , как в маленьком кубооктаэдре справа. ^[3] Небольшое погружение кубооктаэдра получается путем соединения некоторых треугольников (2 треугольника образуют квадрат, 6 образуют восьмиугольник), что можно визуализировать, раскрасив треугольники. Архивировано 3 марта 2016 г. на Wayback Machine (соответствующая мозаика топологически но не геометрически мозаика 3 4 | 4 ). Это погружение также можно использовать для геометрического построения группы Матье M ₂₄ путем добавления к PSL(2,7) перестановки, меняющей местами противоположные точки биссектрис квадратов и восьмиугольников. ^[3]

Детский рисунок [ править ]

на Детский рисунок квартике Клейна, связанный с фактор-отображением по его группе автоморфизмов (с фактор-сферой Римана), представляет собой в точности 1-скелет семиугольной мозаики третьего порядка. ^[11] То есть фактор-отображение разветвлено по точкам $0, 1728$ и $\infty$ ; деление на 1728 дает функцию Белого (разветвленную в точках $0, 1$ и $\infty$ ), где 56 вершин (черные точки на рисунке) лежат над 0, середины 84 ребер (белые точки на рисунке) лежат над 1, а центры 24 семиугольников лежат над бесконечностью. Полученный рисунок является «платоническим» рисунком, что означает транзитивный по краям и «чистый» (каждая белая точка имеет валентность 2).

римановы Родственные поверхности

Квартика Клейна связана с различными другими римановыми поверхностями.

Геометрически это наименьшая поверхность Гурвица (самый низший род); следующая - поверхность Макбита (род 7), а следующая - первая тройка Гурвица (3 поверхности рода 14). В более общем смысле, это наиболее симметричная поверхность данного рода (будучи поверхностью Гурвица); в этом классе поверхность Больца является наиболее симметричной поверхностью рода 2, а поверхность Бринга - высокосимметричной поверхностью рода 4 - см. Изометрии римановых поверхностей для дальнейшего обсуждения .

Алгебраически (аффинная) квартика Клейна — это модулярная кривая X(7), а проективная квартика Клейна — это ее компактификация, точно так же, как додекаэдр (с точкой возврата в центре каждой грани) — это модулярная кривая X(5); это объясняет актуальность теории чисел.

Более тонко: (проективная) квартика Клейна является кривой Шимуры (как и поверхности Гурвица родов 7 и 14) и, как таковая, параметризует преимущественно поляризованные абелевы многообразия размерности 6. ^[12]

В более редких случаях квартика Клейна образует часть « троицы » в смысле Владимира Арнольда , которую также можно описать как соответствие Маккея . В этом наборе проективные специальные линейные группы аналогичны PSL(2,5), PSL(2,7) и PSL(2,11) (порядки 60, 168, 660). Обратите внимание, что 4 × 5 × 6/2 = 60, 6 × 7 × 8/2 = 168 и 10 × 11 × 12/2 = 660. Это соответствует икосаэдрической симметрии (род 0), симметрии квартики Клейна ( род 3) и поверхность бакибола (род 70). ^[13] Они далее связаны со многими другими исключительными явлениями, которые разрабатываются в « троицах ».

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ ( Леви 1999 , стр. 24)
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ( Шолль, Шюрманн и Уиллс, 2002 г. )
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ( Рихтер )
^ Максим Фортье Бурк, Брэм Петри. «Квартика Клейна максимизирует кратность первого положительного собственного значения лапласиана»
^ Баэз, Джон К. (23 мая 2013 г.). «Кривая Кварта Клейна» . Вещи Джона Баэза .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Вестендорп, Джерард. «Платоновые разбиения римановых поверхностей» .
^ Останься, Майк. «Квартика Клейна» .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Секин, Карло Х. (2006). «Образцы Клейна Квартика рода-3» (PDF) . В Сарханги, Реза; Шарп, Джон (ред.). МОСТЫ Математические связи в искусстве, музыке и науке. Материалы конференции . Мосты 2006. Лондон, Великобритания: Тарквин. стр. 245–254. ISBN 0-9665201-7-3 . ISSN 1099-6702 .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ( Шульте и Уиллс, 1985 )
^ Иган, Грег (5 июня 2017 г.). «Кривая Кварта Клейна» . Научные заметки.
^ Ле Брюн, Ливен (7 марта 2007 г.), Лучшее отвергнутое предложение за всю историю , заархивировано из оригинала 27 февраля 2014 г.
^ Elkies, раздел 4.4 (стр. 94–97) в ( Levy 1999 ).
^ Мартин, Дэвид; Сингерман, Пабло (17 апреля 2008 г.), От бипланов до квартики Клейна и бакиболла (PDF)

Литература [ править ]

Кляйн, Ф. (1878). порядка «О преобразовании эллиптических функций семи ». Математические летописи . 14 (3): 428–471. дои : 10.1007/BF01677143 . S2CID 121407539 . Переведено в Леви в 1999 году .
Элкис, Н. (1998), «Вычисления кривой Шимуры», Алгоритмическая теория чисел (Портленд, Орегон, 1998) , Конспекты лекций по информатике, том. 1423, Берлин: Springer, стр. 1–47, arXiv : math.NT/0005160 , doi : 10.1007/BFb0054850 , ISBN 978-3-540-64657-0 , МР 1726059 , S2CID 18251612
Леви, Сильвио, изд. (1999), Восьмеричный путь , Публикации Научно-исследовательского института математических наук, том. 35, Издательство Кембриджского университета , ISBN 978-0-521-66066-2 , МР 1722410 . Издание в мягкой обложке , издательство Кембриджского университета , 2001 г., ISBN 978-0-521-00419-0 . Проверено: Михлер, Рут И. (31 июля 2000 г.). «Восьмеричный путь: красота кривой четвертого порядка Кляйна» . Математическая ассоциация Америки . Отзывы МАА.
Шульте, Эгон ; Уиллс, Дж. М. (1985-12-01), «Многогранная реализация карты Феликса Кляйна {3, 7} ₈ на римановой поверхности рода 3» , J. London Math. Соц. , s2-32 (3): 539–547, doi : 10.1112/jlms/s2-32.3.539 , получено 17 апреля 2010 г.
Рихтер, Дэвид А., Как сделать группу Матье M ₂₄ , получено 15 апреля 2010 г.
Шмутц, П. (1993). «Римановы поверхности с кратчайшей геодезической максимальной длины». ГАФА . 3 (6): 564–631. дои : 10.1007/BF01896258 . S2CID 120508826 .
Шолль, П.; Шюрманн, А.; Уиллс, Дж. М. (сентябрь 2002 г.), «Многогранные модели группы Феликса Кляйна» , The Mathematical Intelligencer , 24 (3): 37–42, doi : 10.1007/BF03024730 , S2CID 122330024 , заархивировано из оригинала 11 июня 2007 г. {{citation}}: CS1 maint: bot: исходный статус URL неизвестен ( ссылка )
Сингерман, Дэвид; Сиддалл, Роберт И. (2003), «Риманова поверхность однородной конструкции» , Вклад в алгебру и геометрию , 44 (2): 413–430

Внешние ссылки [ править ]

Кривая Кварта Кляйна , Джон Баэз, 28 июля 2006 г.
Кривая Кляйна , автор Грег Иган - иллюстрации
Кварцевые уравнения Кляйна , автор Грег Иган - иллюстрации

[1] ( Леви 1999 , стр. 24)

[scholl-2] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ( Шолль, Шюрманн и Уиллс, 2002 г. )

[richter-3] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ( Рихтер )

[4] Максим Фортье Бурк, Брэм Петри. «Квартика Клейна максимизирует кратность первого положительного собственного значения лапласиана»

[baez-5] Баэз, Джон К. (23 мая 2013 г.). «Кривая Кварта Клейна» . Вещи Джона Баэза .

[westendorp-6] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Вестендорп, Джерард. «Платоновые разбиения римановых поверхностей» .

[7] Останься, Майк. «Квартика Клейна» .

[sequin-8] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Секин, Карло Х. (2006). «Образцы Клейна Квартика рода-3» (PDF) . В Сарханги, Реза; Шарп, Джон (ред.). МОСТЫ Математические связи в искусстве, музыке и науке. Материалы конференции . Мосты 2006. Лондон, Великобритания: Тарквин. стр. 245–254. ISBN 0-9665201-7-3 . ISSN 1099-6702 .

[schulte-9] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ( Шульте и Уиллс, 1985 )

[egan-10] Иган, Грег (5 июня 2017 г.). «Кривая Кварта Клейна» . Научные заметки.

[11] Ле Брюн, Ливен (7 марта 2007 г.), Лучшее отвергнутое предложение за всю историю , заархивировано из оригинала 27 февраля 2014 г.

[12] Elkies, раздел 4.4 (стр. 94–97) в ( Levy 1999 ).

[martin-13] Мартин, Дэвид; Сингерман, Пабло (17 апреля 2008 г.), От бипланов до квартики Клейна и бакиболла (PDF)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]