Регулярное отображение (теория графов)

Регулярное отображение {6,3} _{4 , 0} на торе с 16 гранями, 32 вершинами и 48 ребрами.

В математике — регулярная карта это симметричная мозаика замкнутой поверхности . Точнее, регулярное отображение — это разложение двумерного многообразия (такого как сфера , тор или вещественная проективная плоскость ) на топологические диски, такое, что каждый флаг (тройка инцидентных вершин, ребер и граней) может быть преобразован в любой другой флаг в силу симметрии разложения. Регулярные карты в некотором смысле являются топологическими обобщениями Платоновых тел . Теория отображений и их классификация связана с теорией римановых поверхностей , гиперболической геометрией и теорией Галуа . Регулярные карты классифицируются в зависимости от: рода и ориентируемости опорной поверхности, основного графа или группы автоморфизмов .

Обзор [ править ]

Регулярные карты обычно определяются и изучаются тремя способами: топологически, теоретико-групповым и теоретико-графовым.

Топологический подход

Топологически карта представляет собой 2-клеточное разложение компактного связного 2-многообразия. ^[1]

Род g отображения М задается соотношением Эйлера $\chi (M)=|V|-|E|+|F|$ что равно $2-2g$ если карта ориентируема, и $2-g$ если отображение неориентируемо. Важнейшим фактом является то, что для каждого ориентируемого рода, кроме тора, существует конечное (ненулевое) число регулярных отображений.

Теоретико-групповой подход [ править ]

С теоретико-групповой точки зрения представление перестановок регулярного отображения M представляет собой транзитивную группу перестановок C на множестве $\Omega$ флагов , порожденных тремя свободными инволюциями с неподвижной точкой r ₀ , r ₁ , r ₂ , удовлетворяющими (r ₀ r ₂ ) ²= I. В этом определении грани — это орбиты F = < r ₀ , r ₁ >, ребра — это орбиты E = < r ₀ , r ₂ >, а вершины — это орбиты V = < r ₁ , r ₂ >. Более абстрактно, группа автоморфизмов любого регулярного отображения — это невырожденный гомоморфный образ группы <2,m,n> -треугольников .

Теоретико-графовый подход [ править ]

С точки зрения теории графов карта представляет собой кубический граф. $\Gamma$ с краями, окрашенными в синий, желтый и красный цвета так, что: $\Gamma$ связен, каждая вершина инцидентна одному ребру каждого цвета, а циклы ребер, не окрашенных в желтый цвет, имеют длину 4. Заметим, что $\Gamma$ граф флагов или карта с графическим кодированием (GEM) карты, определенная в наборе вершин флагов $\Omega$ и не является скелетом G = (V,E) карты. В целом, | $\Omega$ | = 4|Е|.

Отображение M является регулярным, если Aut(M) действует регулярно на флагах. Aut( M ) регулярного отображения транзитивна на вершинах, ребрах и гранях M . Отображение M называется рефлексивным тогда и только тогда, когда Aut( M ) регулярно и содержит автоморфизм $\phi$ который фиксирует и вершину v , и грань f , но меняет порядок ребер. Отображение, регулярное, но не рефлексивное, называется киральным .

Примеры [ править ]

Большой додекаэдр — правильная карта с пятиугольными гранями на ориентируемой поверхности рода 4.
Полукуб — регулярное отображение типа {4,3} в проективной плоскости .
Полудодекаэдр — это правильное отображение , полученное пятиугольным вложением графа Петерсена в проективную плоскость.
p- госоэдр — регулярное отображение типа {2,p}.
Карта Дейка представляет собой правильную карту из 12 восьмиугольников на поверхности рода 3. Его основной граф, граф Дика , также может образовывать регулярное отображение 16 шестиугольников в торе.

Ниже приводится полный список регулярных отображений на поверхностях положительной эйлеровой характеристики χ: сфера и проективная плоскость. ^[2]

час	г	Шлефли	Зеленый.	Края	Лица	Группа	Заказ	График	Примечания
2	0	{п, 2}	п	п	2	С ₂ × Дих _п	4 р.	С _п	Диэдр
2	0	{2,р}	2	п	п	С ₂ × Дих _п	4 р.	р -складка К ₂	Осоэдр
2	0	{3,3}	4	6	4	С ₄	24	К ₄	Тетраэдр
2	0	{4,3}	8	12	6	С ₂ × С ₄	48	K ₄ × K ₂	Куб
2	0	{3,4}	6	12	8	С ₂ × С ₄	48	К _2,2,2	Октаэдр
2	0	{5,3}	20	30	12	С ₂ х А ₅	120		Додекаэдр
2	0	{3,5}	12	30	20	С ₂ х А ₅	120	K ₆ × K ₂	Икосаэдр
1	n1	{2p,2}/2	п	п	1	Дих _2п	4 р.	С _п	Полудиэдр ^[3]
1	n1	{2,2p}/2	2	п	п	Дих _2п	4 р.	р -складка К ₂	Полуосоэдр ^[3]
1	n1	{4,3}/2	4	6	3	С ₄	24	К ₄	Гемикуб
1	n1	{3,4}/2	3	6	4	С ₄	24	2-кратный К ₃	Гемиоктаэдр
1	n1	{5,3}/2	10	15	6	A_А5	60	график Петерсена	Гемидодекаэдр
1	n1	{3,5}/2	6	15	10	A_А5	60	К ₆	Полу-икосаэдр

На изображениях ниже показаны три из 20 правильных карт тройного тора , помеченные их типами Шлефли.

${6,4$ }
${4,8$ }
${8,4$ }

Тороидальные многогранники [ править ]

Пример, визуализированный в виде сетей
{4,4} _1,0 (т:1, д:2, е:1)	{4,4} _1,1 (т:2, д:4, е:2)	{4,4} _2,0 (т:4, Д:8, е:4)	{4,4} _2,1 (т:5, Э:10, е:5)	{4,4} _2,2 (ст:8, Э:16, е:8)
{3,6} _1,0 (т:1, д:3, е:2)	{3,6} _1,1 (т:3, Д:9, е:6)	{3,6} _2,0 (ст:4, Э:12, е:8)	{3,6} _2,1 (ст:7, Э:21, е:14)	{3,6} _2,2 (ст:12, Э:36, е:24)
{6,3} _1,0 (т:2, д:3, е:1)	{6,3} _1,1 (т:6, Д:9, е:3)	{6,3} _2,0 (ст:8, Э:12, е:4)	{6,3} _2,1 (ст:14, Э:21, е:7)	{6,3} _2,2 (ст:24, Э:36, е:12)

Регулярные карты существуют в виде тороэдральных многогранников как конечные части евклидовых мозаик, обернутых на поверхность дуоцилиндра как плоский тор . Они помечены {4,4} _{b , c} для тех, которые относятся к квадратной мозаике , {4,4}. ^[4]{3,6} _{b , c} относятся к треугольной мозаике , {3,6}, а {6,3} _{b , c} относятся к шестиугольной мозаике , {6,3}. b и c — целые числа . ^[5] Есть 2 особых случая ( b ,0) и ( b , b ) с отражательной симметрией, тогда как общие случаи существуют в киральных парах ( b , c ) и ( c , b ).

Регулярные отображения вида {4,4} _{m ,0} можно представить как конечный правильный косой многогранник {4,4 | m }, рассматриваемые как квадратные грани размером m × m дуопризмы в 4-х измерениях.

Вот пример {4,4} _8,0, преобразованный из плоскости в виде шахматной доски в сечение цилиндра и в тор. Проекция цилиндра на тор искажает геометрию в трех измерениях, но может быть выполнена без искажений в четырех измерениях.

Регулярные отображения с нулевой эйлеровой характеристикой ^[6]
г	Шлефли	Зеленый.	Края	Лица	Группа	Заказ	Примечания
1	{4,4} _{б ,0} п = б ²	н	22н	н	[4,4] _{( б ,0)}	8 н	Плоские тороидальные многогранники То же, что {4,4 \| б }
1	{4,4} _{б , б} п =2 б ²	н	22н	н	[4,4] _{( б , б )}	8 н	Плоские тороидальные многогранники То же, что исправленный {4,4 \| б }
1	{4,4} _{б , в} п = б ²+ с ²	н	22н	н	[4,4] ⁺ _{_{( До эры нашей )}}	4 n	Плоские киральные тороидальные многогранники
1	{3,6} _{б , 0} т = б ²	т	3 т	2 т	[3,6] _{( б ,0)}	12 т	Плоские тороидальные многогранники
1	{3,6} _{б , б} т = 3б ²	т	3 т	2 т	[3,6] _{( б , б )}	12 т	Плоские тороидальные многогранники
1	{3,6} _{б , в} т = б ²+ до н.э. + с ²	т	3 т	2 т	[3,6] ⁺ _{_{( До эры нашей )}}	6 т	Плоские киральные тороидальные многогранники
1	{6,3} _{б , 0} т = б ²	2 т	3 т	т	[3,6] _{( б ,0)}	12 т	Плоские тороидальные многогранники
1	{6,3} _{б , б} т = 3б ²	2 т	3 т	т	[3,6] _{( б , б )}	12 т	Плоские тороидальные многогранники
1	{6,3} _{б , в} т = б ²+ до н.э. + с ²	2 т	3 т	т	[3,6] ⁺ _{_{( До эры нашей )}}	6 т	Плоские киральные тороидальные многогранники

В целом правильные тороидальные многогранники { p , q } _{b , c} могут быть определены, если либо p , либо q четны, хотя только евклидовы вышеперечисленные многогранники могут существовать как тороидальные многогранники в 4-мерном измерении. В {2 p , q } пути ( b , c ) могут быть определены как ступенчатые грань-ребро-грань по прямым линиям, в то время как двойственные формы { p ,2 q } будут рассматривать пути ( b , c ) как ступенчатые. вершина-ребро-вершина по прямым линиям.

Гиперболические регулярные карты [ править ]


Отображение {6,4} ₃ можно рассматривать как {6,4} _4,0 . Следующие противоположные ребра будут последовательно пересекать все 4 шестиугольника. Он существует в петриальном октаэдре , {3,4} ^$Пи$ с 6 вершинами, 12 ребрами и 4 косыми гранями шестиугольника.

Бранко Грюнбаум определил куб с двойным покрытием {8/2,3}, с 6 восьмиугольными гранями, дважды обернутыми, требующий 24 ребер и 16 вершин. Его можно рассматривать как обычную карту {8,3} _2,0 на гиперболической плоскости с 6 цветными восьмиугольниками. ^[7]

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Неделя (2007)
^ Коксетер и Мозер (1980)
^ Перейти обратно: ^а ^б Блестка (2013)
^ Коксетер 1980, 8.3 Отображения типа {4,4} на торе.
^ Коксетер 1980, 8.4 Отображения типа {3,6} или {6,3} на торе.
^ Коксетер и Мозер, Генераторы и отношения для дискретных групп , 1957, Глава 8, Регулярные карты , 8.3 Карты типа {4,4} на торе, 8.4 Карты типа {3,6} или {6,3} на торе тор
^ https://web.archive.org/web/20181126084335/https://sites.math.washington.edu/~grunbaum/Your%20polyhedra-my%20polyhedra.pdf

Библиография [ править ]

Коксетер, HSM ; Мозер, WOJ (1980), Генераторы и соотношения для дискретных групп , Результаты математики и ее границы, том. 14 (4-е изд.), Springer Verlag, ISBN 978-0-387-09212-6 .
ван Вейк, Ярке Дж. (2009), «Симметричное замощение замкнутых поверхностей: визуализация регулярных карт» (PDF) , Proc. SIGGRAPH, Транзакции ACM в графике , 28 (3) 49: 1–12, doi : 10.1145/1531326.1531355 , заархивировано из оригинала (PDF) 9 июня 2011 г.
Кондер, Марстон ; Добчани, Питер (2001), «Определение всех регулярных карт малого рода», Журнал комбинаторной теории, серия B , 81 (2): 224–242, doi : 10.1006/jctb.2000.2008 .
Недела, Роман (2007), Карты, гиперкарты и связанные темы (PDF) .
Винс, Эндрю (2004), «Карты», Справочник по теории графов .
Брем, Ульрих; Шульте, Эгон (2004), «Многогранные карты», Справочник по дискретной и вычислительной геометрии .
Секен, Карло (2013), «Симметричные погружения неориентируемых регулярных карт низкого рода» (PDF) , Университет Беркли .

[1] Неделя (2007)

[2] Коксетер и Мозер (1980)

[csequin-3] Перейти обратно: ^а ^б Блестка (2013)

[4] Коксетер 1980, 8.3 Отображения типа {4,4} на торе.

[5] Коксетер 1980, 8.4 Отображения типа {3,6} или {6,3} на торе.

[6] Коксетер и Мозер, Генераторы и отношения для дискретных групп , 1957, Глава 8, Регулярные карты , 8.3 Карты типа {4,4} на торе, 8.4 Карты типа {3,6} или {6,3} на торе тор

[7] ttps://web.archive.org/web/20181126084335/https://sites.math.washington.edu/~grunbaum/Your%20polyhedra-my%20polyhedra.pdf

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]