Дуоцилиндр

Дуоцилиндр евклидово , также называемый двойным цилиндром или бидиском , представляет собой геометрический объект, помещенный в 4- мерное пространство , определяемое как декартово произведение двух дисков соответствующих радиусов r ₁ и r ₂ :

D=\left\{(x,y,z,w)\,\left|\,x^{2}+y^{2}\leq r_{1}^{2},\ z^{2}+w^{2}\leq r_{2}^{2}\right.\right\}

Он похож на цилиндр в трехмерном пространстве, который является декартовым произведением диска на отрезок . Но в отличие от цилиндра обе гиперповерхности (правильного дуоцилиндра ) конгруэнтны .

Его двойником является дуошпиндель, построенный из двух окружностей, одна в $плоскости xy$ , а другая в $плоскости zw$ .

Геометрия

Ограничивающие 3-многообразия

Дуоцилиндр ограничен двумя взаимно 3 - многообразиями с торообразными перпендикулярными поверхностями , описываемыми соответственно формулами:

x^{2}+y^{2}=r_{1}^{2},z^{2}+w^{2}\leq r_{2}^{2}

и

z^{2}+w^{2}=r_{2}^{2},x^{2}+y^{2}\leq r_{1}^{2}

Дуоцилиндр назван так потому, что эти два ограничивающих трехмерных многообразия можно рассматривать как трехмерные цилиндры изогнутые» в четырехмерном пространстве так, что они образуют замкнутые петли в $xy$ и $zw$ плоскостях , « . Дуоцилиндр обладает вращательной симметрией в обеих этих плоскостях.

Правильный дуоцилиндр состоит из двух конгруэнтных ячеек, одной квадратной плоской грани тора (гребня), нулевых ребер и нулевых вершин.

Хребет

Гребень . дуоцилиндра представляет собой 2-многообразие, которое является границей между двумя ограничивающими (сплошными) ячейками тора Он имеет форму тора Клиффорда , который является декартовым произведением двух окружностей. Интуитивно его можно построить следующим образом: сверните двумерный прямоугольник в цилиндр так, чтобы его верхний и нижний края встретились. Затем катите цилиндр в плоскости, перпендикулярной трехмерной гиперплоскости, в которой находится цилиндр, так, чтобы два его круговых конца встретились.

Полученная форма топологически эквивалентна евклидову 2- тору (форме пончика). Однако, в отличие от последнего, все части его поверхности одинаково деформированы. На (2D-поверхности, встроенной в 3D) бублике поверхность вокруг «отверстия бублика» деформируется с отрицательной кривизной (как седло), а внешняя поверхность деформируется с положительной кривизной (как сфера).

Гребень дуоцилиндра можно рассматривать как реальную глобальную форму экранов видеоигр , таких как Asteroids , где выход за край одной стороны экрана ведет к другой стороне. Его нельзя внедрить без искажений в трехмерное пространство, поскольку для соединения обеих пар ребер в дополнение к присущей ему двумерной поверхности требуются две степени свободы («направления»).

Дуоцилиндр можно построить из 3-сферы , «отрезав» выпуклость 3-сферы по обе стороны от гребня. Аналогом этого на 2-сфере является рисование малых кругов по широте на уровне ±45 градусов и срезание выпуклости между ними, оставляя цилиндрическую стенку, и срезание вершин, оставляя плоские вершины. Эта операция эквивалентна удалению выбранных вершин/пирамид из многогранников , но поскольку трехмерная сфера гладкая/правильная, вам придется обобщить операцию.

Двугранный угол между двумя трехмерными гиперповерхностями по обе стороны от гребня составляет 90 градусов.

Прогнозы

Параллельные проекции дуоцилиндра в трехмерное пространство и его сечения с трехмерным пространством образуют цилиндры. Перспективные проекции дуоцилиндра образуют тороидальные формы с заполненным «бубликом».

Отношение к другим формам

Дуоцилиндр — это предельная форма дуопризм , поскольку число сторон составляющих их многоугольных призм приближается к бесконечности. Таким образом, дуопризмы служат хорошим политопическим приближением дуоцилиндра.

В трехмерном пространстве цилиндр можно считать промежуточным между кубом и сферой . В 4-мерном пространстве существуют три декартовых произведения, которые в том же смысле являются промежуточными между тессерактом ( 1 шар × 1 шар × 1 шар × 1 шар) и гиперсферой (4 шара ). Они есть:

кубиндер . (2-шар × 1-шар × 1-шар), поверхность которого состоит из четырёх цилиндрических ячеек и одного квадратного тора
сфериндер (3 шара × 1 шар), поверхность которого состоит из трех ячеек — двух сфер и области между ними.
дуоцилиндр (2 шара × 2 шара), поверхность которого состоит из двух тороидальных ячеек.

Дуоцилиндр — единственный из трех вышеперечисленных, который является регулярным. Эти конструкции соответствуют пяти разделам по 4, числу измерений.

См. также

Ссылки

Простое объяснение четвертого измерения , Генри П. Мэннинг, Munn & Company, 1910, Нью-Йорк. Доступно в библиотеке Университета Вирджинии. Также доступно в Интернете: «Четвертое измерение просто объяснено» - содержит описание дуопризм и дуоцилиндров (двойных цилиндров).
Визуальное руководство по дополнительным измерениям: визуализация четвертого измерения, многомерных многогранников и изогнутых гиперповерхностей , Крис МакМаллен, 2008 г., ISBN 978-1438298924

Внешние ссылки

( копия Wayback Machine )