Многогранник

Не путать с Политропом .

Многогранник . – это трехмерный многогранник

Многоугольник — это двумерный многогранник. Полигоны можно характеризовать по различным критериям. Вот некоторые примеры: открытый (исключая границу), только ограничивающий контур (игнорируя внутреннюю часть), закрытый (включая как границу, так и внутреннюю часть) и самопересекающийся с различной плотностью различных областей.

В элементарной геометрии многогранник — это геометрический объект с плоскими сторонами ( гранями ). Многогранники — это обобщение трехмерных многогранников на любое количество измерений. Многогранники могут существовать в любом общем числе измерений n как n -мерный многогранник или n -многогранник . Например, двумерный многоугольник — это 2-многогранник, а трехмерный многогранник — 3-многогранник. В этом контексте «плоские стороны» означают, что стороны ( k + 1) -многогранника состоят из k -многогранников, которые могут иметь ( k – 1) -многогранники общие.

Некоторые теории далее обобщают идею, включая такие объекты, как неограниченные апейротопы и мозаики , разложения или мозаики искривленных многообразий, включая сферические многогранники , и теоретико-множественные абстрактные многогранники .

Многогранники более трех измерений были впервые обнаружены Людвигом Шлефли до 1853 года, который назвал такую ​​фигуру полисхемой . термин Немецкий « многогранник» был придуман математиком Рейнхольдом Хоппе и был представлен английским математикам как «многогранник» Алисией Буль Стотт .

Подходы к определению

В настоящее время термин «многогранник» представляет собой широкий термин, охватывающий широкий класс объектов, и в математической литературе появляются различные определения. Многие из этих определений не эквивалентны друг другу, в результате чего различные перекрывающиеся наборы объектов называются многогранниками . Они представляют собой разные подходы к обобщению выпуклых многогранников для включения других объектов со схожими свойствами.

Первоначальный подход, которому широко следовали Людвиг Шлефли , Торольд Госсет и другие, начинается с распространения по аналогии на четыре или более измерений идеи многоугольника и многогранника соответственно в двух и трех измерениях.

Попытки обобщить эйлерову характеристику многогранников на многогранники более высокой размерности привели к развитию топологии и трактовке разложения или CW-комплекса как аналога многогранника. В этом подходе многогранник можно рассматривать как мозаику или разложение некоторого заданного многообразия . Пример этого подхода определяет многогранник как набор точек, который допускает симплициальное разложение . В этом определении многогранник — это объединение конечного числа симплексов с дополнительным свойством, заключающимся в том, что для любых двух симплексов, имеющих непустое пересечение, их пересечение является вершиной, ребром или гранью более высокой размерности. Однако это определение не допускает звездчатых многогранников с внутренней структурой и поэтому ограничивается определенными областями математики.

Открытие звездчатых многогранников и других необычных конструкций привело к представлению о многограннике как о ограничивающей поверхности, игнорируя его внутреннюю часть. В этом свете выпуклые многогранники в p -пространстве эквивалентны мозаикам ( p -1)-сферы , в то время как другие могут быть мозаиками других эллиптических , плоских или тороидальных ( p -1)-поверхностей – см. эллиптические мозаики и тороидальные многогранники . Под многогранником являются понимается поверхность, грани которой являются многоугольниками , под 4-многогранником — гиперповерхность, гранями (ячейками) которой многогранники , и так далее.

Идея построения многогранника более высокого уровня из многогранников более низкого измерения также иногда распространяется вниз по измерению, при этом ( ребро ) рассматривается как 1-многогранник, ограниченный парой точек, а точка или вершина - как 0-многогранник. Этот подход используется, например, в теории абстрактных многогранников .

В некоторых областях математики термины «многогранник» и «многогранник» используются в другом смысле: многогранник он называется многогранником — это общий объект в любом измерении ( в этой статье ), а многогранник означает ограниченный многогранник. многогранникам и многогранникам Эта терминология обычно применяется к выпуклым . Используя эту терминологию, выпуклый многогранник представляет собой пересечение конечного числа полупространств и определяется его сторонами, а выпуклый многогранник представляет собой выпуклую оболочку конечного числа точек и определяется своими вершинами.

Многогранники с меньшим числом размерностей имеют стандартные имена:

Измерение многогранника	Описание
−1	Нуллитоп
0	деньги
1	Дион
2	Полигон
3	Многогранник
4	Полихорон

Элементы

Многогранник состоит из элементов разной размерности, таких как вершины, ребра, грани, ячейки и т. д. Терминология для них не полностью единообразна у разных авторов. Например, некоторые авторы используют лицо для обозначения ( n - 1)-мерного элемента, в то время как другие используют лицо для обозначения 2-мерного элемента. Авторы могут использовать j -face или j -facet для обозначения элемента размером j . Некоторые используют край для обозначения гребня, в то время как HSM Коксетер использует ячейку для обозначения ( n - 1)-мерного элемента.

Термины, принятые в настоящей статье, приведены в таблице ниже:

Измерение элемента	Срок (в n -многограннике)
−1	Недействительность (необходима в абстрактной теории)
0	Вертекс
1	Край
2	Лицо
3	Клетка
$\vdots$	$\vdots$
дж	j -face – элемент ранга j = −1, 0, 1, 2, 3, ..., n
$\vdots$	$\vdots$
п - 3	Пик – ( n − 3)-грань
п - 2	Гребень или подфасет - ( n - 2)-грань
п - 1	Фасет – ( n − 1)-грань
н	Сам многогранник

мерный многогранник n- ограничен множеством ( n −1)-мерных граней . Эти фасеты сами являются многогранниками, чьи фасеты представляют собой ( n - 2)-мерные гребни исходного многогранника. Каждый гребень возникает как пересечение двух граней (но пересечение двух граней не обязательно должно быть гребнем). Гребни снова представляют собой многогранники, грани которых образуют ( n - 3)-мерные границы исходного многогранника и так далее. Эти ограничивающие подмногогранники можно называть гранями или, в частности, j -мерными гранями или j -гранями. 0-мерная грань называется вершиной и состоит из одной точки. Одномерная грань называется ребром и состоит из отрезка. Двумерная грань состоит из многоугольника , а трёхмерная грань, иногда называемая клеткой , состоит из многогранника .

Важные классы многогранников

Выпуклые многогранники

Основная статья: Выпуклый многогранник

Многогранник может быть выпуклым . Выпуклые многогранники являются простейшим видом многогранников и составляют основу для нескольких различных обобщений понятия многогранников. Выпуклый многогранник иногда определяют как пересечение набора полупространств . Это определение позволяет многограннику не быть ни ограниченным, ни конечным. Многогранники определяются таким образом, например, в линейном программировании . Многогранник называется ограниченным , если существует шар конечного радиуса, содержащий его. Многогранник называется заостренным , если он содержит хотя бы одну вершину. Каждый ограниченный непустой многогранник является заостренным. Примером неострого многогранника является множество $\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x\geq 0\}$. Многогранник конечен, если он определен через конечное число объектов, например, как пересечение конечного числа полуплоскостей. Многогранник является целочисленным, если все его вершины имеют целочисленные координаты.

Определенный класс выпуклых многогранников представляют собой рефлексивные многогранники. Интеграл $d$-многогранник ${\mathcal {P}}$ рефлексивно, если для некоторой целой матрицы $\mathbf {A}$, ${\mathcal {P}}=\{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{d}:\mathbf {Ax} \leq \mathbf {1} \}$, где $\mathbf {1}$ обозначает вектор всех единиц, а неравенство является покомпонентным. Из этого определения следует, что ${\mathcal {P}}$ рефлексивно тогда и только тогда, когда $(t+1){\mathcal {P}}^{\circ }\cap \mathbb {Z} ^{d}=t{\mathcal {P}}\cap \mathbb {Z} ^{d}$ для всех $t\in \mathbb {Z} _{\geq 0}$. Другими словами, $(t+1)$-расширять ​ ${\mathcal {P}}$ отличается в терминах целочисленных точек решетки от $t$-расширять ​ ${\mathcal {P}}$ только точками решетки, полученными на границе. Эквивалентно, ${\mathcal {P}}$ рефлексивно тогда и только тогда, когда его двойственный многогранник ${\mathcal {P}}^{*}$ является целым многогранником.

Правильные многогранники

Основная статья: Правильный многогранник

Правильные многогранники имеют высшую степень симметрии среди всех многогранников. Группа симметрии правильного многогранника действует транзитивно на его флагах ; следовательно, двойственный многогранник к правильному многограннику также является правильным.

Существует три основных класса правильных многогранников, которые встречаются в любом количестве измерений:

• Симплексы , включая равносторонний треугольник и правильный тетраэдр .
• Гиперкубы или многогранники меры, включая квадрат и куб .
• Ортоплексы или перекрестные многогранники, включая квадратный и правильный октаэдр .

В измерения два, три и четыре входят правильные фигуры, имеющие пятикратную симметрию, некоторые из которых являются невыпуклыми звездами, а в двух измерениях существует бесконечно много правильных многоугольников n -кратной симметрии, как выпуклых , так и (при n ≥ 5) звездчатых. Но в более высоких измерениях других правильных многогранников нет.

В трех измерениях выпуклые платоновые тела включают пятикратно-симметричный додекаэдр и икосаэдр , а также существуют четыре звездчатых многогранника Кеплера-Пуансо с пятикратной симметрией, в результате чего общее количество правильных многогранников достигает девяти.

В четырех измерениях правильные 4-многогранники включают одно дополнительное выпуклое тело с четырехкратной симметрией и два с пятикратной симметрией. Существует десять звездных 4-многогранников Шлефли-Гесса , все с пятикратной симметрией, что дает всего шестнадцать правильных 4-многогранников.

Звездные многогранники

Основная статья: Звездный многогранник

Невыпуклый многогранник может быть самопересекающимся; к этому классу многогранников относятся звездчатые многогранники . Некоторые правильные многогранники являются звездами.

Характеристики

Эйлерова характеристика

Поскольку (заполненный) выпуклый многогранник P в $d$ размеры стягиваемы до точки, эйлерова характеристика $\chi$ его границы ∂P определяется знакопеременной суммой:

$\chi =n_{0}-n_{1}+n_{2}-\cdots \pm n_{d-1}=1+(-1)^{d-1}$, где $n_{j}$ это количество $j$-мерные лица.

Это обобщает формулу Эйлера для многогранников .

Внутренние углы

Теорема Грама – Эйлера аналогичным образом обобщает знакопеременную сумму внутренних углов. ${\textstyle \sum \varphi }$ от выпуклых многогранников к многогранникам более высокой размерности:

$\sum \varphi =(-1)^{d-1}$

Обобщения многогранника

Бесконечные многогранники

Основная статья: Апейротоп

Не все многообразия конечны. Если под многогранником понимается замощение или разложение многообразия, эта идея может быть распространена на бесконечные многообразия. плоские мозаики , заполняющие пространство ( соты ) и гиперболические мозаики в этом смысле являются многогранниками и иногда называются апейротопами , потому что они имеют бесконечно много ячеек.

Среди них есть правильные формы, включая правильные косые многогранники и бесконечные серии мозаик, представленные правильным апейрогоном , квадратной мозаикой, кубическими сотами и так далее.

Абстрактные многогранники

Основная статья: Абстрактный многогранник

Теория абстрактных многогранников пытается отделить многогранники от содержащего их пространства, учитывая их чисто комбинаторные свойства. Это позволяет расширить определение термина, включив в него объекты, для которых трудно определить интуитивное базовое пространство, например, 11-клеточное пространство .

Абстрактный многогранник — это частично упорядоченный набор элементов или членов, подчиняющийся определенным правилам. Это чисто алгебраическая структура, и теория была разработана, чтобы избежать некоторых проблем, которые затрудняют согласование различных геометрических классов в рамках последовательной математической структуры. Говорят, что геометрическим многогранником является реализация в некотором реальном пространстве соответствующего абстрактного многогранника.

Комплексные многогранники

Основная статья: Комплексный многогранник

Структуры, аналогичные многогранникам, существуют в комплексных гильбертовых пространствах. $\mathbb {C} ^{n}$ где n действительных измерений сопровождаются n мнимыми . Правильные комплексные многогранники правильнее рассматривать как конфигурации .

Двойственность

Каждый n -многогранник имеет двойственную структуру, полученную путем замены его вершин на грани, ребер на гребни и т. д., как правило, путем замены его ( j − 1)-мерных элементов на ( n − j )-мерные элементы (от j = 1 до n - 1), сохраняя при этом связность или инцидентность между элементами.

Для абстрактного многогранника это просто меняет порядок множества. Это изменение видно в символах Шлефли для правильных многогранников, где символ двойственного многогранника просто является обратным оригиналу. Например, {4, 3, 3} двойственно {3, 3, 4}.

В случае геометрического многогранника необходимо некоторое геометрическое правило дуализации, см., например, правила, описанные для двойственных многогранников . В зависимости от обстоятельств двойственная фигура может быть или не быть другим геометрическим многогранником.

Если двойственный многогранник переворачивается, то восстанавливается исходный многогранник. Таким образом, многогранники существуют в дуальных парах.

Самодвойственные многогранники

( 5-клеточный 4-симплекс) самодвойственный с 5 вершинами и 5 тетраэдрическими ячейками.

Если многогранник имеет такое же количество вершин, как граней, ребер, как гребней и т. д., и одинаковые связности, то двойственная фигура будет подобна исходной, а многогранник самодуален.

Некоторые распространенные самодвойственные многогранники включают:

• Каждый правильный n - симплекс любого числа измерений с символом Шлефли {3 ^н }. К ним относятся равносторонний треугольник {3}, правильный тетраэдр {3,3} и 5-клеточный {3,3,3}.
• Любые гиперкубические соты в любом количестве измерений. К ним относятся апейрогон {∞}, квадратная мозаика {4,4} и кубические соты {4,3,4}.
• Многочисленные компактные, паракомпактные и некомпактные гиперболические мозаики, такие как икосаэдральные соты {3,5,3} и пятиугольные мозаики 5-го порядка {5,5}.
• В 2 измерениях все правильные многоугольники (правильные 2-многогранники).
• В 3-х измерениях канонические многоугольные пирамиды и вытянутые пирамиды , а также тетраэдрически уменьшенный додекаэдр .
• В 4 измерениях: 24 ячейки с символом Шлефли {3,4,3}. А также великолепный 120-ячеечный {5,5/2,5} и грандиозный звездчатый 120-ячеечный {5/2,5,5/2}.

История

Многоугольники и многогранники известны с древних времен.

Ранний намек на более высокие измерения появился в 1827 году, когда Август Фердинанд Мёбиус обнаружил, что два зеркальных твердых тела можно наложить друг на друга, вращая одно из них через четвертое математическое измерение. К 1850-м годам несколько других математиков, таких как Артур Кэли и Герман Грассманн, также рассматривали высшие измерения.

Людвиг Шлефли был первым, кто рассмотрел аналоги многоугольников и многогранников в этих высших пространствах. Он описал шесть выпуклых правильных 4-многогранников в 1852 году, но его работа не была опубликована до 1901 года, через шесть лет после его смерти. К 1854 году в книге Бернхарда Римана Habilitationsschrift была твердо установлена ​​геометрия высших измерений, и, таким образом, концепция n -мерных многогранников стала приемлемой. Многогранники Шлефли много раз открывались заново в последующие десятилетия, даже при его жизни.

В 1882 году Рейнхольд Хоппе , писавший по-немецки, придумал слово «многогранник» для обозначения более общей концепции многоугольников и многогранников. Со временем Алисия Буль Стотт , дочь логика Джорджа Буля , ввела англизированный многогранник в английский язык.

В 1895 году Торольд Госсет не только заново открыл правильные многогранники Шлефли, но также исследовал идеи полуправильных многогранников , заполняющих пространство и мозаик в более высоких измерениях. Многогранники также начали изучаться в неевклидовых пространствах, таких как гиперболическое пространство.

Важная веха была достигнута в 1948 году с выходом Х. С. М. Коксетера книги «Регулярные многогранники» , в которой были подведены итоги работы на сегодняшний день и добавлены новые собственные открытия.

Тем временем французский математик Анри Пуанкаре разработал топологическую идею многогранника как кусочного разложения (например, CW-комплекса ) многообразия . Бранко Грюнбаум опубликовал свою влиятельную работу « Выпуклые многогранники» в 1967 году.

В 1952 году Джеффри Колин Шепард обобщил эту идею как сложные многогранники в комплексном пространстве, где каждому реальному измерению соответствует мнимое. Коксетер развил теорию дальше.

Концептуальные проблемы, возникающие в связи со сложными многогранниками, невыпуклостью, двойственностью и другими явлениями, привели Грюнбаума и других к более общему изучению абстрактных комбинаторных свойств, связывающих вершины, ребра, грани и так далее. Сходной идеей была идея комплексов инцидентности, которые изучали встречаемость или связь различных элементов друг с другом. Эти разработки в конечном итоге привели к теории абстрактных многогранников как частично упорядоченных наборов или частично упорядоченных множеств таких элементов. Питер Макмаллен и Эгон Шульте опубликовали свою книгу «Абстрактные правильные многогранники» в 2002 году.

Перечисление однородных многогранников , выпуклых и невыпуклых, в четырех и более измерениях остается нерешенной проблемой. Выпуклые однородные 4-многогранники были полностью перечислены Джоном Конвеем и Майклом Гаем с помощью компьютера в 1965 году; в более высоких измерениях эта проблема все еще оставалась открытой по состоянию на 1997 год. Полное перечисление невыпуклых однородных многогранников в размерностях четыре и выше по состоянию на 2008 год неизвестно.

В наше время многогранники и связанные с ними концепции нашли множество важных применений в таких разнообразных областях, как компьютерная графика , оптимизация , поисковые системы , космология , квантовая механика и многих других областях. В 2013 году амплитуэдр был открыт как упрощающая конструкция в некоторых расчетах теоретической физики.

Приложения

области оптимизации ; линейное программирование изучает максимумы и минимумы линейных В функций эти максимумы и минимумы встречаются на границе -мерного многогранника n . В линейном программировании многогранники возникают при использовании обобщенных барицентрических координат и слабых переменных .

В твисторной теории , разделе теоретической физики , многогранник, называемый амплитуэдром, используется для расчета амплитуд рассеяния субатомных частиц при их столкновениях. Конструкция является чисто теоретической и не имеет известного физического проявления, но, как говорят, значительно упрощает некоторые расчеты.

См. также

• Список правильных многогранников
• Ограничивающий объем - дискретный ориентированный многогранник.
• Пересечение многогранника прямой
• Расширение многогранника
• Многогранник Монреаля
• Соты (геометрия)
• Опетоп

Ссылки

Библиография

• Коксетер, Гарольд Скотт Макдональд (1973), Правильные многогранники , Нью-Йорк: Dover Publications , ISBN  978-0-486-61480-9 .
• Грюнбаум, Бранко (2003), Кайбель, Фолькер; Клее, Виктор ; Циглер, Гюнтер М. (ред.), Выпуклые многогранники (2-е изд.), Нью-Йорк и Лондон: Springer-Verlag , ISBN  0-387-00424-6 .
• Циглер, Гюнтер М. (1995), Лекции по многогранникам , Тексты для аспирантов по математике, том. 152, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag .

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Многогранник» . Математический мир .
• «Математика потрясет ваш мир» – применение многогранников к базе данных статей, используемых для поддержки пользовательских лент новостей через Интернет – ( Business Week Online )
• Правильные и полуправильные выпуклые многогранники: краткий исторический обзор: