Апейротоп
В геометрии апейротоп , имеющий или бесконечный многогранник — это обобщенный многогранник бесконечно много граней .
Определение [ править ]
Абстрактный апейротоп [ править ]
Абстрактным флагом n -многогранником называется частично упорядоченное множество P (элементы которого называются гранями ), такое, что P содержит наименьшую и наибольшую грань, каждое максимальное полностью упорядоченное подмножество (называемое ) содержит ровно n + 2 грани, P строго упорядочен. связаны, и существует ровно две грани, лежащие строго между a и b, — это две грани, ранги которых различаются на два. [1] [2] Абстрактный многогранник называется абстрактным апейротопом, если он имеет бесконечно много граней. [3]
Абстрактный многогранник называется регулярным если его группа автоморфизмов Γ( P ) действует транзитивно на всех флагах P. , [4]
Классификация [ править ]
Существует два основных геометрических класса апейротопа: [5]
- соты в n измерениях, которые полностью заполняют n -мерное пространство .
- косые апейротопы , состоящие из n -мерного многообразия в высшем пространстве.
Соты [ править ]
В общем, соты в n измерениях — это бесконечный пример многогранника в n + 1 измерениях.
Замощения плоскости и плотноупакованные пространственные заполнения многогранников являются примерами сот в двух и трех измерениях соответственно.
Примером апейрогона является линия, разделенная на бесконечное число конечных отрезков .
Косые апейротопы [ править ]
Косые апейрогоны [ править ]
Косой апейрогон в двух измерениях образует на плоскости зигзагообразную линию. Если зигзаг ровный и симметричный, то апейрогон правильный.
Косые апейрогоны можно построить в любом количестве измерений. В трех измерениях правильный косой апейрогон образует спиральную спираль и может быть как левосторонним, так и правосторонним.
Бесконечные косые многогранники [ править ]
Различают три правильных косых апейроэдра, похожих скорее на многогранные губки:
- 6 квадратов вокруг каждой вершины, символ Кокстера {4,6|4}
- 4 шестиугольника вокруг каждой вершины, символ Кокстера {6,4|4}
- 6 шестиугольников вокруг каждой вершины, символ Кокстера {6,6|3}
В евклидовом пространстве имеется тридцать правильных апейроэдров. [6] К ним относятся перечисленные выше, а также (на плоскости) многогранники типа: {∞,3}, {∞,4}, {∞,6} и в трехмерном пространстве их смеси либо с апейрогоном, либо с отрезок прямой и «чистые» трехмерные апейроэдры (всего 12)
Ссылки [ править ]
- ^ МакМаллен и Шульте (2002) , стр. 22–25.
- ^ МакМаллен (1994) , с. 224.
- ^ Макмаллен и Шульте (2002) , с. 25.
- ^ Макмаллен и Шульте (2002) , с. 31.
- ^ Грюнбаум (1977) .
- ^ Макмаллен и Шульте (2002 , Раздел 7E)
Библиография [ править ]
- Грюнбаум, Б. (1977). «Правильные многогранники — старые и новые». Математические уравнения . 16 :1–20.
- Макмаллен, Питер (1994), «Реализации регулярных апейротопов», Mathematical Equations , 47 (2–3): 223–239, doi : 10.1007/BF01832961 , MR 1268033
- МакМаллен, Питер ; Шульте, Эгон (2002), Абстрактные правильные многогранники , Энциклопедия математики и ее приложений, том. 92, Кембридж: Издательство Кембриджского университета, номер номера : 10.1017/CBO9780511546686 , ISBN. 0-521-81496-0 , г-н : 1965665