Апейрогон
| Обычный апейрогон | |
|---|---|
 | |
| Ребра и вершины | ∞ |
| Символ Шлефли | {∞} |
| Диаграммы Кокстера – Динкина |    |
| Внутренний угол ( градусы ) | 180° |
| Двойной полигон | Самодвойственный |
В геометрии апейрогон . (от древнегреч ἀπεριος apeiros 'бесконечный, безграничный' и γωνία gonia 'угол') или бесконечный многоугольник – это многоугольник с бесконечным числом сторон. Апейрогоны — это случай бесконечных многогранников ранга 2 . В некоторой литературе термин «апейрогон» может относиться только к правильному апейрогону с бесконечной двугранной симметрий группой . [1]
Определения [ править ]
Геометрический апейрогон [ править ]
Учитывая точку A 0 в евклидовом пространстве и сдвиг S , определите точку A i как точку, полученную в результате i применений перевода S в A 0 , поэтому A i = S я ( А 0 ). Набор вершин A i с любым целым числом i вместе с ребрами, соединяющими соседние вершины, представляет собой последовательность отрезков прямой одинаковой длины и называется правильным апейрогоном , как это определено HSM Coxeter . [1]
можно Правильный апейрогон определить как разбиение евклидовой прямой E 1 на бесконечное число отрезков одинаковой длины. Он обобщает правильный n -угольник , который можно определить как разбиение круга S 1 на конечное число отрезков одинаковой длины. [2]
Гиперболический псевдогон [ править ]
Правильный псевдогон является разбиением гиперболической прямой H 1 (вместо евклидовой линии) на отрезки длины 2λ, как аналог правильного апейрогона. [2]
Абстрактный апейрогон [ править ]
Абстрактным многогранником называется частично упорядоченное множество P (элементы которого называются гранями ) со свойствами, моделирующими свойства включения граней выпуклых многогранников . Ранг (или размерность ) абстрактного многогранника определяется длиной максимальных упорядоченных цепочек его граней, а абстрактный многогранник ранга n называется абстрактным n -многогранником. [3] : 22–25
Для абстрактных многогранников ранга 2 это означает, что: А) элементами частично упорядоченного множества являются множества вершин либо с нулевой вершиной ( пустое множество ), с одной вершиной, двумя вершинами ( ребро ) или со всем множеством вершин ( двумерная грань), упорядоченная включением множеств; Б) каждая вершина принадлежит ровно двум ребрам; В) неориентированный граф, образованный вершинами и ребрами, связен. [3] : 22–25 [4] : 224
Абстрактный многогранник называется абстрактным апейротопом , если он имеет бесконечное число элементов; абстрактный 2-апейротоп называется абстрактным апейрогоном . [3] : 25
Реализация абстрактного многогранника — это отображение его вершин в точки геометрического пространства (обычно евклидова пространства ). [3] : 121 Точная реализация — это реализация, в которой отображение вершин инъективно . [3] : 122 [примечание 1] Каждый геометрический апейрогон является реализацией абстрактного апейрогона.
Симметрии [ править ]
Бесконечная группа диэдра G симметрий правильного геометрического апейрогона порождается двумя отражениями, произведение которых переводит каждую вершину P в следующую. [3] : 140–141 [4] : 231 Продукт двух отражений можно разложить как произведение ненулевого перемещения, конечного числа вращений и, возможно, тривиального отражения. [3] : 141 [4] : 231
В абстрактном многограннике флаг представляет собой набор граней каждого измерения, инцидентных друг другу (то есть сравнимых в частичном порядке); абстрактный многогранник называется регулярным , если он имеет симметрии (перестановки его элементов, сохраняющие структуру), которые переводят любой флаг в любой другой флаг. В случае двумерного абстрактного многогранника это автоматически верно; симметрии апейрогона образуют бесконечную группу диэдра . [3] : 31
Симметричная реализация абстрактного апейрогона определяется как отображение его вершин в конечномерное геометрическое пространство (обычно евклидово пространство ) такое, что каждая симметрия абстрактного апейрогона соответствует изометрии образов отображения. [3] : 121 [4] : 225
Пространство модулей [ править ]
В общем случае пространство модулей точной реализации абстрактного многогранника представляет собой выпуклый конус бесконечной размерности. [3] : 127 [4] : 229–230 Конус реализации абстрактного апейрогона имеет несчетную бесконечную алгебраическую размерность и не может быть замкнутым в евклидовой топологии . [3] : 141 [4] : 232
евклидовых апейрогонов Классификация
Симметричная реализация любого правильного многоугольника в евклидовом пространстве размерности больше 2 является приводимой , то есть ее можно составить как смесь двух многоугольников меньшей размерности. [3] Эта характеристика правильных многоугольников, естественно, характеризует и правильные апейрогоны. Дискретные апейрогоны являются результатом смешивания одномерного апейрогона с другими многоугольниками. [4] : 231 Поскольку каждый многоугольник является частным апейрогона, при слиянии любого многоугольника с апейрогоном получается другой апейрогон. [3]
В двух измерениях дискретные правильные апейрогоны представляют собой бесконечные зигзагообразные многоугольники . [5] в результате смешения одномерного апейрогона с дигоном , представленным символом Шлефли {∞}#{2} , {∞}#{} или . [3]
В трех измерениях дискретные правильные апейрогоны представляют собой бесконечные спиральные многоугольники. [5] с вершинами, равномерно расположенными по спирали . Это результат смешивания 1-мерного апейрогона с 2-мерным многоугольником, {∞}#{ p / q } или . [3]
Обобщения [ править ]
Высшее звание [ править ]
Апейроэдры — это аналоги апейрогонов 3-го ранга и бесконечные аналоги многогранников . [6] В более общем смысле, n - апейротопы или бесконечные n- многогранники являются n -мерными аналогами апейрогонов и бесконечными аналогами n - многогранников . [3] : 22–25
См. также [ править ]
- Апейрогональная черепица
- Апейрогональная призма
- Апейрогональная антипризма
- Терагон — фрактальный обобщенный многоугольник, который также имеет бесконечно много сторон.
Примечания [ править ]
- ^ McMullen & Schulte (2002) дают более строгое определение, требуя, чтобы индуцированные отображения на гранях более высокого ранга также были инъективными. Однако правильный многогранник либо вырожден, и в этом случае он не имеет точных реализаций, либо каждая верная по вершинам реализация является точной. Апейрогон не вырожден, и, следовательно, этого условия достаточно, чтобы показать, что его реализации точны.
Ссылки [ править ]
- ^ Перейти обратно: а б Коксетер, HSM (1948). Правильные многогранники . Лондон: Methuen & Co. Ltd., с. 45.
- ^ Перейти обратно: а б Джонсон, Норман В. (2018). «11: Группы конечной симметрии». Геометрии и преобразования . Издательство Кембриджского университета . п. 226. ИСБН 9781107103405 .
- ^ Перейти обратно: а б с д Это ж г час я дж к л м н О п МакМаллен, Питер ; Шульте, Эгон (декабрь 2002 г.). Абстрактные правильные многогранники (1-е изд.). Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-81496-0 .
- ^ Перейти обратно: а б с д Это ж г МакМаллен, Питер (1994), «Реализации регулярных апейротопов», Mathematical Equations , 47 (2–3): 223–239, doi : 10.1007/BF01832961 , MR 1268033 , S2CID 121616949
- ^ Перейти обратно: а б Грюнбаум, Б. (1977). «Правильные многогранники – старые и новые». уравнения Математические 16 :1–20. дои : 10.1007/BF01836414 . S2CID 125049930 .
- ^ Коксетер, HSM (1937). «Правильные косые многогранники в трех и четырех измерениях». Учеб. Лондонская математика. Соц . 43 : 33–62.
Внешние ссылки [ править ]
- Рассел, Роберт А. . «Апейрогон» . Математический мир .
- Ольшевский, Георгий. «Апейрогон» . Глоссарий по гиперпространству . Архивировано из оригинала 4 февраля 2007 года.