Двойной полигон
 | Эта статья нуждается в дополнительных цитатах для проверки . ( ноябрь 2019 г. ) |
В геометрии двойственными многоугольники объединяются в пары, называемые , где вершины одного соответствуют краям другого .
Свойства [ править ]
многоугольники самодвойственны Правильные .
Двойственный изогональному ( вершинно-транзитивному) многоугольнику является изотоксальный (транзитивный по ребру) многоугольник. Например, (изогональный) прямоугольник и (изотоксальный) ромб двойственны.
В циклическом многоугольнике более длинные стороны соответствуют большим внешним углам в двойном ( тангенциальном многоугольнике ), а более короткие стороны — меньшим углам. [ нужна ссылка ] Кроме того, конгруэнтные стороны исходного многоугольника дают равные углы в двойственном, и наоборот. Например, двойником острого равнобедренного треугольника является тупоугольный равнобедренный треугольник.
В конструкции Дормана-Люка каждая грань двойственного многогранника является двойственным многоугольником соответствующей вершинной фигуры .
Двойственность в четырёхугольниках [ править ]
В качестве примера двойственности боковых углов многоугольников мы сравниваем свойства вписанных и касательных четырехугольников . [1]
| Циклический четырехугольник | Тангенциальный четырехугольник |
|---|---|
| Описанный круг | Вписанный круг |
| Биссектрисы сторон совпадают в центре описанной окружности. | Биссектрисы угла совпадают в центре. |
| Суммы двух пар противоположных углов равны | Суммы двух пар противоположных сторон равны |
Эта двойственность, возможно, становится еще более очевидной при сравнении равнобедренной трапеции с воздушным змеем .
| Равнобедренная трапеция | Видеть |
|---|---|
| Две пары равных смежных углов | Две пары равных смежных сторон |
| Одна пара равных противоположных сторон | Одна пара равных противоположных углов |
| Ось симметрии, проходящая через одну пару противоположных сторон. | Ось симметрии, проходящая через одну пару противоположных углов. |
| Описанный круг | Вписанный круг |
Виды двойственности [ править ]
Исправление [ править ]
Простейшее качественное построение двойного многоугольника — это операция выпрямления , при которой края многоугольника усекаются до вершин в центре каждого исходного края. Между этими новыми вершинами образуются новые ребра.
Эта конструкция необратима. То есть многоугольник, сгенерированный двойным применением, в целом не похож на исходный многоугольник.
Полярное взаимное движение [ править ]
![[икона]](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1c/Wiki_letter_w_cropped.svg/20px-Wiki_letter_w_cropped.svg.png){kind=small} | Этот раздел нуждается в расширении . Вы можете помочь, добавив к нему . ( декабрь 2008 г. ) |
Как и в случае с двойственными многогранниками, можно взять окружность (будь то вписанная окружность , описанная окружность или, если они существуют, их средняя окружность ) и совершить полярное возвратно-поступательное движение в ней .
Проективная двойственность [ править ]
В соответствии с проективной двойственностью двойственная точка является линией, а линия является точкой - таким образом, двойственная многоугольнику является многоугольником, края которого соответствуют вершинам двойственной, и наоборот.
С точки зрения двойственной кривой , где каждой точке кривой сопоставляется точка, двойственная к ее касательной в этой точке, проективно-двойственную кривую можно интерпретировать следующим образом:
- каждая точка на стороне многоугольника имеет одну и ту же касательную линию, которая совпадает с самой стороной - таким образом, все они сопоставляются с одной и той же вершиной в двойном многоугольнике.
- в вершине «касательные линии» к этой вершине - это все линии, проходящие через эту точку с углом между двумя краями - двойственные точки к этим линиям тогда являются ребром двойного многоугольника.
Комбинаторно [ править ]
Комбинаторно можно определить многоугольник как набор вершин, набор ребер и отношение инцидентности (какие вершины и ребра соприкасаются): две соседние вершины определяют ребро, а два соседних ребра определяют вершину. Тогда двойной многоугольник получается простой перестановкой вершин и ребер.
Таким образом, для треугольника с вершинами {A, B, C} и ребрами {AB, BC, CA} двойственный треугольник имеет вершины {AB, BC, CA} и ребра {B, C, A}, где B соединяет AB. & БК и так далее.
Это не особенно плодотворный путь, поскольку с комбинаторной точки зрения существует одно семейство многоугольников (задаваемое количеством сторон); геометрическая двойственность многоугольников более разнообразна, как и комбинаторно- двойственные многогранники .
См. также [ править ]
Ссылки [ править ]
- ^ Майкл де Вильерс, Некоторые приключения в евклидовой геометрии , ISBN 978-0-557-10295-2 , 2009 г., с. 55.